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曲从篇一
《非线性贝叶斯滤波算法综述_曲从善》
第15卷第8期电光与控制Vol.15 No.8
2008年8月ElectronicsOptics&ControlAug.2008
文章编号:1671-637Ú(2008)08-0064-08
非线性贝叶斯滤波算法综述
曲从善, 许化龙, 谭 营
(第二炮兵工程学院,西安 710025)
摘 要: 滤波的目的是从序贯量测中在线、实时地估计和预测出动态系统的状态和误差的统计量。从递归贝叶斯估计的框架出发,对非线性滤波算法作了统一描述,并根据对后验概率密度的近似方法的不同,把非线性滤波划归为3类:基于函数近似的滤波方法、基于确定性采样的滤波方法和基于随机采样的滤波方法。对这些非线性滤波的原理、方法及特点做了分析和评述,最后介绍了非线性滤波研究的新动态,并对其发展作了展望。
关 键 词: 非线性滤波; 递归贝叶斯估计; 差分滤波; 无味卡尔曼滤波; 粒子滤波中图分类号: V271.4; TN713
文献标识码: A
AsurveyofnonlinearBayesianfilteringalgorithms
QVCong-shan, XUHua-long, TANYing
(TheSecondArtilleryEngineeringCollege,Xi.an710025,China)
Abstract: Themaingoaloffilteringistoobtain,recursivelyintime,optimalestimationandpredictionofthedynamicalsystemsanderrorstatisticsfromthesequentialobservations.Variousnonlinearfilteringalgorithmsare
reviewedandinterpretedinaunifiedwayusingtherecursiveBayesianestimation.Accordingtodifferentapprox-imationmethods,theseapproximatenonlinearfilterscanbecategorizedintothreetypes:analyticalapproximations,deterministic-samplingbasedapproaches,andstochastic-samplingbasedfilters.Thentheprinciples,methodsandcharacteristicsofabovenonlinearfiltersareanalyzedandreviewedindetail.Finally,somerepresentativenewdevelopmentsofthenonlinearfilteringaredescribed,andfurtherresearchprospectsareintroduced.
Keywords: nonlinearfiltering; recursiveBayesianestimation; differentialfilter; unscentedKalmanfilter; particlefilter
统状态和误差的统计量,成为科研人员面临的重要挑战。广义上来讲,非线性最优滤波的一般方法可以由递归贝叶斯方法
[2-4]
0 引言
在实际应用问题中,非线性随机动态系统是广泛遇到的一类系统,诸如火箭的制导和控制系统,飞机和舰船的惯性导航系统,卫星轨道P姿态的估计,组合导航,雷达或者声纳的探测
[1]
统一描述。递归贝叶斯估
计的核心思想是基于所获得的量测求得非线性系统状态向量的概率密度函数,即所谓的系统状态估计
完整描述的后验概率密度函数。对线性系统而言,最优滤波的闭合解就是著名的卡尔曼滤波
[2,5]
等等都属于这类
系统。非线性滤波问题是对非线性随机动态系统的最优状态估计。因为大多数的非线性随机动态系统都是非线性和P或非高斯的,因此找到有效的滤波方法,从序贯量测中在线、实时地估计和预测出动态系
收稿日期:2007-05-17 修回日期:2007-07-05
作者简介:曲从善(1980-),男,河南商水人,博士生,主要研
究方向为非线性滤波、信息融合、组合导航与制导。
;而对
于非线性系统来说,要得到精确的最优滤波解是困难甚至不可能的,因为它需要处理无穷维积分运算波
[6-7][8-17]
,为此人们提出了大量次优的近似非线性滤,这些近似非线性滤波可以归为3类:1)解
析近似(函数近似)的方法;2)基于确定性采样的方法;3)基于仿真的滤波方法。其中应用最为广泛的是扩展卡尔曼滤波(EKF),它是函数近似非线性滤
第8期 曲从善等: 非线性贝叶斯滤波算法综述
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p(Yk|xk)p(xk)
p(Yk)
(5)
Taylor级数展开的线性化处理,得到一阶近似项作为原状态方程和量测方程的近似表达形式。EKF虽然简单易于实现,但是在线性化过程中引入了模型误差,往往使得状态的估计值产生较大的偏差,不能满足精度的要求,甚至可能导致滤波发散
[6,10]
p(xk|Yk)=
递归Bayesian滤波的步骤如下:
1)假定在k-1时刻已经获得了p(xk-1|Yk-1),那么状态一步预测的概率密度函数是p(xk|Yk-1)=
p(xQ
k
,另
外,EKF在滤波前必须计算非线性模型的Jacobian矩阵,对于高维的复杂模型,过程繁琐且容易出错。因此,寻找更加有效的滤波算法和方法,来解决非线性动态系统的滤波问题成为国内外很多科研人员研究的一个热点。
近年来,越来越多的学者致力于UKF基于随机采样的PFCarlo(MCMC)
[14-15]
[12-13]
[11]
|xk-1)p(xk-1|Yk-1)dxk-1
(6)
2)在已经获得p(xk|Yk-1)基础上,计算得到量测一步预测的概率密度函数是
p(yQ
滤波,p(yk|Yk-1)=
k
|xk)p(xk|Yk-1)dxk(7)
滤波和MarkovChainMonte
等非线性滤波技术的研究,并取
3)在k时刻,已经获得新的量测数据yk,可利用贝叶斯公式计算得到后验概率密度函数
p(xk|Yk)=
p(yk|xk)p(xk|Yk-1)
p(yk|Yk-1)
(8)
得了很多有价值的研究成果。本文从递归贝叶斯估计的框架出发,给出非线性滤波的统一描述,并分门别类地对各种非线性滤波的原理、方法及特点做出分析和评述,最后介绍了非线性滤波研究的新动态,并对其发展作了简单展望。
由上面的计算过程可以看出,递归贝叶斯估计有两个步骤,即式(6)(Chapman-Kolmogoroequation,CK方程)所示的贝叶斯预测步骤(时间更新)和式(8)所示的修正步骤(量测更新),其过程如图1所[17]
示。
1 非线性递归Bayesian滤波算法概述
考虑离散时间非线性动态系统
xk+1=f(xk,wk)yk=h(xk,vk)
n
n
n
n
[18]
:
(1)(2)
其中,kIN是时间指标,xkIR是k时刻的状态向量,f:R@RyR是系统状态演化映射,而wk是n维过程演化噪声,ykIR是k时刻对系统状态的量测向量,hk:R@RyR是量测映射,而vk是m维量测噪声。
所谓Bayesian滤波问题,就是在每个时刻k,利用所获得的实时量测Yk=
y1,y2,,,yk求得状态
图1 递归Bayesian估计的预测和更新过程
n
m
mm
xk的后验概率密度函数p(xk|Yk),从而得到k时刻的状态估计及其估计误差的协方差阵,即
xk=E(xk|Yk)=Pk=
(x-Q
k
^
^
在递归贝叶斯估计中,根据不同的假设条件,对p(xk|Yk)的计算也存在多种解决方法,当动态系统满足线性高斯假设时,可通过KF求得最优解,当动态系统是非线性时,递归贝叶斯估计中的高维积分运算通常是难解问题,为了缓解非线性贝叶斯估计的计算压力,出现了许多次优的近似方法,如扩展卡尔曼滤波(ExtendedKalmanFilter,EKF),分开差分滤波(DividedDifferenceFilter,DDF),中心差分滤波(CentralDifferenceFilter,CDF),无味卡尔曼滤波(Un-scentedKalmanFilter,UKF)以及粒子滤波(ParticleFi-lter,PF)等。按照近似方法的不同,可以把上述这些非线性滤波分为4类,如表1所示。
xp(x
Q
k^
T
k
|Yk)dxk(3)
xk)(xk-xk)p(xk|Yk)dxk(4)
式(3)可以推广到状态函数的估计而不是状态本身的估计,因此,后验概率密度函数p(xk|Yk)在滤波理论中起着非常重要的作用。p(xk|Yk)封装了状态向量xk的所有信息,因为它同时蕴含了量测Yk和先验分布xk-1的信息。在给定先验密度p(xk-1|Yk-1)以及最近的观测yk时,通过式(5)所示的贝叶
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电光与控制 第15卷
表1 近似非线性Bayesian滤波的算法与分类
近似方法典型算法改进算法
函数近似
泰勒级数展开
EKF
U-D分解,奇异值分解L-D分解,平方根滤波二阶EKF,迭代EKF
插值多项式展开
DDFPCDF
Square-rootDDF
GaussianmixtureDDF
确定性采样近似
UKF
Square-rootUKFGaussianmixtureUKF
随机采样近似
PF
UnscentedPF,RegularizedPF(RPF)MarkovChainMonteCarloMethodRao-BlackwellisedPF,AssistantPF
2 基于函数近似的非线性滤波算法
2.1 基于泰勒级数展开的非线性滤波算法
Taylor-seriesExpansion(TSE)是处理非线性函数的基本数学工具阶TSE近似为
f(x,t)UTSE(x,t;n,x)对于标量f(x,t),有
TSE(x,t;n,x)=f(x,t)+fc(x,t)x
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