苏教版必修一数学知识点

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苏教版必修一数学知识点(一)
苏教版高中数学必修一第一章 集合知识点整理

第一章 集合

1．1集合 ⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C„表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c„表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；

5.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大

发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1, 2*,而不是1, 1, 2

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数； ⑵我国的小河流；

⑶非负奇数； ⑷方程x2+1=0的解；

⑸徐州艺校校2011级新生； ⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家； ⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4A，8A，32A.

例1．用“∈”或“”符号填空：

⑴N； ⑵； ⑶Z；

；

⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国，美国，印度A，英国

A。

例2．已知集合P的元素为1,m,mm3, 若2∈P且-1P，求实数m的值。 2

第二课时

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“”括起来表示集合的方法

叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，„；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3) 从51到100的所有整数的集合；

(4) 小于10的所有自然数组成的集合；

(5) 方程xx的所有实数根组成的集合； 2

⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，

再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：xAp(x)

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，„；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是

不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}

也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存

真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;

（2）方程x220的所有实数根组成的集合

（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意， 一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：

1.由方程x2－2x－3＝0的所有实数根组成的集合；

2.大于2且小于6的有理数；

3.已知集合A＝{x|-3<x<3，x∈Z}，B＝{(x,y)|y＝x2+1，x∈A}，则集合B

用列举法表示是

3、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即 画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

A

二、集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {xR∣0<x<3};

3. {xR∣x2+1=0}

由此可以得到

有限集:含有有限个元素的集合

集合的分类无限集:含有无限个元素的集合

空集:不含有任何元素的集合(emptyset)A 3,9,27 表示{3，9，27}

【题型一】 元素与集合的关系

２1、设集合A＝｛１，2a3｝,B=｛1,a｝,且A=B，求实数a的值。

2、已知集合A＝｛a+2，（a+1)２｝若1∈A,求实数a的值。

【题型二】 元素的特征

1、已知集合M=｛x∈N∣

一选择题：

1.给出下列四个关系式：①3∈R；②πQ；③0∈N；④0其中正确的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 xy32.方程组  的解组成的集合是( ) 61x∈Z｝,求M

xy1

A.｛2,1｝ B.｛-1,2｝ C.（2,1） D.｛（2,1）｝

3.把集合｛-3≤x≤3,x∈N｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝ B.｛3,2,1,0｝ C.｛-2,-1,0,1,2｝D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

4. 已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )

A．3∈A B．1∈A

C．0∈A D．－1∉A

二填空题：

5．已知集合A＝{1，a2}，实数a不能取的值的集合是________．

6．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.

7. 集合M=｛y∈Z∣y=,x∈Z｝,用列举法表示是M＝ 。 3x

8. 已知集合A＝｛2a,a2-a｝，则a的取值范围是 。

三、解答题：

9．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}． 8

(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；

(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

1.1.2 集合间的基本关系

（1）A{1,2,3}，B{1,2,3,4,5}；

（2）C{北京一中高一一班全体女生}，D{北京一中高一一班全体学生}； 观察可得：

⒈子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两

个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。

记作：AB(或BA) 读作：A包含于B，或B包含A

表示：AB

⒉集合相等定义：如果A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，则集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，即若AB且BA，则AB。 如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，nZ}，此时有A=B。

⒊真子集定义：若集合AB，但存在元素xB,且xA，则称集合A是集合B的真子集。 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A）

4.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A都有A。

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC。

练习：填空：

⑴N； {2N； A;

⑵已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8,x∈N}，则

B； C； ；

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

1.写出集合｛a,b,c｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

2.已知集合M满足｛2,3｝M｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M。

3.已知集合A＝｛x|x2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝，若BA，则实数a的值构成的集合是（ ）

111A.｛-1,0,｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,｝ D.｛,0｝ 333

4.已知集合Ax2x5,Bxm1x2m1且AB，求实数m的取值范围。

当集合A不包含于集合B时，记作A⊈B(或B⊉【苏教版必修一数学知识点】

用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：

苏教版必修一数学知识点(二)
苏教版高一数学必修一、必修四拓展知识点

苏教版高一数学必修一、必修四拓展知识点

必修一

1. 韦达定理：

X1+X2=-b/a X1X2=c/a

2. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

3.四个维度：开口方向、区间端点值的函数符号、对称轴、△。 4.常用对数：log10N=lgN loge=lnN 5.函数的表达法：解析法（解析式）、列表法、图像法。 6.求函数定义域的依据： （1）分式的分母不为零。

（2）正切函数中X≠π/2+kπ(k∈Z)。 （3）偶次方根的被开方数不小于零。 （4）零次幂的底数不为零。 （5）考虑实际情况。

（6）指、对数函数的底数大于零且不为一。 （7）对数函数的真数大于零。

7.判断函数是否为增减函数的方法：

（1）取值（在定义域上任意取X1X2，且X1﹤X2）。 （2）作差（f(X1)-f(X2)）。 （3）变形（通分）。 （4）定号。 （5）结论。

8.判断函数是否为奇偶函数的步骤：

（1）求定义域，判断是否关于原点对称。 （2）求f(-X)。

（3）判断f（X）与f(-X)的关系。 （4）结论。

9.奇函数与偶函数的性质：

（1）单调性是局部性质，奇偶性是整体性质。

（2）奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。 （3）奇偶函数定义域关于原点对称。

（4）奇函数在X=0有意义时，必有f（0）=0

10.正数a的偶次方根是互为相反数的两个：±

n

n

。

a的奇次方根只有一个为 0的n次方根为0。

。

12.设基础值为N，增长率为p％,期数为X，本利和为y.

X

则y=N(1+ p％)

13.f(x)与f(-x)图像关于y轴对称； f(x)与-f(x)图像关于x轴对称； f(x)与-f(-x)图像关于原点对称。 必修四 2. 同角三角函数关系：

sin2a+cos2a=1 sina/cosa=tana（a≠π/2+kπ(k∈Z)） 3. a+2kπ 终边相同

-a+2kπ 关于x轴对称 π+a+2kπ 关于原点对称 π-a+2kπ 关于y轴对称 π/2-a+2kπ 关于y=x对称 a±π/2+2kπ 垂直

4. 在三角形中，三个内角A、B、C。

sin(A+B)=sinC cos(A+B)=-cosC tan(A+B)=-tanC sin(A+B)/2=cosC/2 cos(A+B)/2=sinC/2 sin(2A+2B)=-2sin2C

cos(2A+2B)=cos2C

5. 任意角三角函数在象限中的正负符号：

6. 诱导公式熟记口诀：奇变偶不变，符号看象限。 7. 若f(x+k)=-f(x)则2k是f(x)的一个周期。

若f(x+k)=c/f(x)(c≠0)则2k是f(x)的一个周期。

8. e1,e2不共线，且有(λ1e1+μ1e2)∥(λ2 e1+μ2 e2)则有λ1μ2-λ2μ1=0 附：特殊角三角函数表。

苏教版必修一数学知识点(三)
苏教版高一数学必修一_复习卷

集合与函数其中复习题

一、填空题

2a

1. 设集合A=xlog0.5(3x)2，B=x1，若A∩B≠，则实数a的取值范围是 ▲

xa

1

x,xA11

2. 设集合A=0,, B=,1, 函数f(x)=若x0A, 且f [ f (x0)]A,则x0的取2

2221x,xB,



值范围是 ▲

a2b

3. 已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)

22

＞0的解集是 ▲

2

9x2

4. 函数y的图象关于对称

|x4||x3|

5.下列说法正确的是．（只填正确说法序号）

2

①若集合Ayyx1，Byyx1，则AB{(0,1),(1,0)}；【苏教版必修一数学知识点】





②y

③y是非奇非偶函数；

④若函数fx在(,0]，[0,)都是单调增函数，则fx在,上也是增函数； ⑤函数ylog1x22x3的单调增区间是,1．

2



6.已知函数yloga(x3)1（a0,a1）的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)3b 的图像上，则f(log32)=7. 方程lgx(lg2lg3)lgxlg2lg30的两根积为x1x2等于

f(x)x8. 已知一次函数f(x)满足f(1)3，f(2)5，则函数y2的图像是由函数y4的图像向

x

2

单位得到的.

x21,x09. 已知定义在R上的函数fx，若fx在,上单调递增，则实数a的

xa1,x0

取值范围是 ▲ ．

10. 若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0]上是减函数，且f(3)0，则使得

x[f(x)f(x)]<0的x的取值范围是

11. 定义在（－∞，+∞）上的奇函数f（x）和偶函数g（x）在区间（－∞，0]上的图像关于 x轴对

称，且f（x）为增函数，则下列各选项中能使不等式f（b）－f（－a）>g（a）－g（－b）成立的是 ▲

③．ab>0 ④．ab<0 g(x)，若f(x)≥g(x)，2

12. 已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x－2x，F(x)＝则F(x)的最值是 ▲

f(x)，若f(x)<g(x).

①．a>b>0 ②．a<b<0

13. 已知函数yf(x)和yg(x)在[2,2]的图象如下所示：

yf(x)

yg(x)

给出下列四个命题：

（1）方程f[g(x)]0有且仅有6个根 （3）方程f[f(x)]0有且仅有5个根

其中正确的命题个数是



（2）方程g[f(x)]0有且仅有3个根 （4）方程g[g(x)]0有且仅有4个根

14. 已知函数f(x)x2x，若f

log3

1，则实数f(2)m1

m的取值范围是 ▲

11

答案：1. (-1,0)∪(0,3) 2.,

42





9

3. (a2，b)∪(－b，－a2)【苏教版必修一数学知识点】

2

2

4. y轴 5. ③④ 6.8 7.

8. 左

1

9.(,2] 10. (,3)(0,3) 11. ① 2

8

7，无最小值 13. 3个 14.(,9)

9

1

6

12. 最大值为7－2

二、解答题

15.已知A{(x,y)|xn,yanb,nZ}, B{(x,y)|xm,y3m215,mZ}，

22

C{(x,y)|xy14}4，问是否存在实数a，b，使得①AB，②(a,b)C同时成立？.

2

解：A{(x,y)|yaxb,xZ},B{(x,y)|y3x15,xZ}

yaxb2

AB,(xZ)有解,即3xax(15b)0有整数解， 2

y3x15

22

由a12(15b)0a18012b①，而ab144②，由①、②得

2

2

144a2b218012bb2(b6)20b6,代入①、②得

2a108

a2108, 2

a108

a6,3x263x90xZ,

故这样的实数a，b不存在

11b，试比较1.5a与0.8b的大小 m2n

32a3a

解：∵48 ∴22，又∵f(x)2x为单调递增的函数∵a，

2

11mn

b， ∵2936， ∴mlog236，nlog936 又∵

m2n

16.已知48，2936，且

a

m

n

∴b

1111

log362log369log362log363log366

log2362log93622

∵y1.5x在R上单调递增，y0.8x在R上单调递减，

ab

∴1.51.51.51，0.80.80.81 即1.50.8

a

32

0b

12

17.函数f(x)kax(k,a为常数，a0且a1)的图象过点A(0,1),B(3,8)

⑴求函数f(x)的解析式；

⑵若函数g(x)

f(x)b

是奇函数，求b的值；

f(x)1

(3)在(2)的条件下判断函数g(x)的单调性，并用定义证明你的结论.

k11

k1,a解：⑴，∴，∴f(x)2x 3

2ka8

f(x)b2xb

⑵∵g(x)是奇函数，且定义域为(,0)(0,) 

f(x)12x1

2xb2xb2x(2xb)2xb

g(x)x ∴g(x)x，∴xx x

21212(21)21

1b2x2xbxxx

1b22b即，∴即(b1)(21)0对于x(,0)(0,)恒成立，∴xx

1212b1

2x12x122

1（3）在(2)的条件下，g(x)x，x(,0)(0,) 212x12x1

当x0时，g(x)为单调递减的函数；当x0时，g(x)也为单调递减的函数，证明如下：

222(2x22x1)

设0x1x2，则g(x1)g(x2)x 

2112x21(2x11)(2x21)

∵ 0x1x2 ∴2110,2210,22210，∴g(x1)g(x2)，即g(x)为单调递减的函数

同理可证，当x0时，g(x)也为单调递减的函数.

18.某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个；… …，一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75℅销售。现某茶社要购买这种茶壶x个，如果全部在甲店购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙店购买，则所需金额为y2元。

xxxx

⑴分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；

⑵该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

解：⑴对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为802x元 则y1与x之间的函数关系式为:

y1x802x2x280x0x18,xN*

(无定义域或定义域不正确扣1分)

对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x个时，每个售价为8075%60元 则y2与x之间的函数关系式为:

y260xx0,xN*

(无定义域或定义域不正确扣1分)

22

⑵y1y22x80x60x2x20x0 0x10

所以，茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少，茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多，茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少.

19.定义在R上的奇函数fx，当x,0时，fxxmx1．

2

⑴当x0,时，求fx的解析式；

⑵若方程fx0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围． 解：⑴设x0,则x0，fxx2mx1 又fx为奇函数，即fxfx， 所以，fxx2mx1x0， 又f00，

x2mx1,x0

,x0 所以fx0

x2mx1,x0

⑵因为fx为奇函数，所以函数yfx的图像关于原点对称，

由方程fx0有五个不相等的实数解，得yfx的图像与x轴有五个不同的交点， 又f01，所以fxx2mx1x0的图像与x轴正半轴有两个不同的交点， 10分 即，方程xmx10有两个不等正根，记两根分别为x1,x2

2

m240

x1x2m0m2， xx1012

所以，所求实数m的取值范围是m2

20.设f(x)alog22xblog4x21，(a,b为常数）．当x0时，F(x)f(x)，且F(x)为R上的奇函数． （1）若f()0，且f(x)的最小值为0，求F(x)的表达式； （2）在（1）的条件下，g(x)

1

2

f(x)k1

在2,4上是单调函数，求实数k的取值范围．

log2x

解:f(x)alog22xblog2x1……1分

由f()0得ab10, f(x)alog22x(a1)log2x1． 若a0，则f(x)log2x1无最小值．∴ a0．

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苏教版必修一数学知识点(四)
苏教版数学必修1练习题集

高中数学必修1练习题集

第一章、集合与函数概念

例1. 用符号和填空。

⑴ 设集合A是正整数的集合，则0_______A，2________A，1 ______A； 0

⑵ 设集合B是小于的所有实数的集合，则2______B，1+2______B；

⑶ 设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_____A，美国_____A，印度_____A，英国____A

例 2. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

⑴ 某个单位里的年轻人组成一个集合；

⑵ 1，3611，，，这些数组成的集合有五个元素； 2422

⑶ 由a，b，c组成的集合与b，a，c组成的集合是同一个集合。

例3. 用列举法表示下列集合：

⑴ 小于10的所有自然数组成的集合A；

⑵ 方程x= x的所有实根组成的集合B；

⑶ 由1～20中的所有质数组成的集合C。

例4. 用列举法和描述法表示方程组

1 2xy1的解集。 xy1

典型例题精析

题型一 集合中元素的确定性

例 1. 下列各组对象：① 接近于0的数的全体；② 比较小的正整数全体；③ 平面上到点O的距离等于1的点的全体；④ 正三角形的全体；⑤ 2的近似值得全体，其中能构成集合的组数是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

题型二 集合中元素的互异性与无序性

例 2. 已知x{1，0，x}，求实数x的值。

题型三 元素与集合的关系问题

1. 判断某个元素是否在集合内

例3．设集合A={x∣x =2k, kZ}，B={x∣x =2k + 1, kZ}。若aA，bB，试判断a + b与A，B的关系。

2. 求集合中的元素

例4. 数集A满足条件，若aA，则

他元素。

3. 利用元素个数求参数取值问题

例5. 已知集合A={ x∣ax+ 2x + 1=0, aR }，

⑴ 若A中只有一个元素，求a的取值。

2 221a1（a≠ 1），若A，求集合中的其A，1a3

⑵ 若A中至多有一个元素，求a的取值范围。

题型四 列举法表示集合

例6. 用列举法表示下列集合

⑴ A={x∣x≤2，xZ}；⑵ B={ x∣x1

⑶ M={x,y x+ y= 4，xN，yN}. **2x2= 0}

题型五 描述法表示集合

例7. ⑴ 已知集合M={ xN∣

⑵ 已知集合C={

例8. 用描述发表示图（图-8）中阴影部分（含边界）

的点的坐标的集合。

例9. 已知集合A={a + 2，(a + 1)，a+ 3a + 3}，若1A，求实数a的值。

3 226Z}，求M； 1x6Z∣xN}，求C. 1x

例10. 集合M的元素为自然数，且满足：如果xM，则8 - xM，试回答下列问题： ⑴ 写出只有一个元素的集合M；

⑵ 写出元素个数为2的所有集合M；

⑶ 满足题设条件的集合M共有多少个？

创新、拓展、实践

1、实际应用题

例11. 一个笔记本的价格是2元，一本教辅书的价格是5元，小明拿9元钱到商店，如果他可以把钱花光，也可以只买一种商品，请你将小明购买商品的所有情况一一列举出来，并用集合表示。

2、信息迁移题

例12. 已知A={1，2，3}，B={2，4}，定义集合A、B间的运算A＊B={x∣xA且xB}，则集合A＊B等于（ ）

A. {1，2，3} B. {2，4} C. {1，3} D. {2}

3、开放探究题

例13. 非空集合G关于运算满足：⑴ 对任意a、bG，都有abG；⑵ 存在eG，使得对一切aG，都有ae = ea = a，则称G关于运算为“融洽集”。现给出下列集合与运算：

① G={非负整数}，为整数的加法。

② G={偶数}，为整数的乘法。

③ G={二次三项式}，为多项式的加法。

其中G关于运算为“融洽集”的是__________。（写出所有“融洽集”的序号） 例14. 已知集合A={0，1，2，3，a}，当xA时，若x - 1A，则称x为A的一个“孤立”元素，现已知A中有一个“孤立”元素，是写出符合题意的a值_______(若有多个a值，则只写出其中的一个即可)。

例15. 数集A满足条件；若aA，则1。 A（a≠1）1a

⑴ 若2A，试求出A中其他所有元素；

⑵ 自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；

⑶ 从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的“道理”。

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高考中出现的题

例1. （2008·江西高考）定义集合运算：A＊B={z∣z = xy，xA，yB}。设A={1，2}，B={0，2}，则集合A＊B的所有元素之和为（ ）

A. 0 B. 2 C. 3 D. 6

例2. （2007·北京模拟）已知集合A={a1，a2，„，ak}(k≥2)，其中aiZ (i=1，2，„，k)，由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）∣aA，bA，a + bA}；T={(a，b)∣aA，bA，a - bA }，其中（a，b）是有序数对。

若对于任意的aA，总有- aAA，则称集合A具有性质P。

试检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P，并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T。

例1 用Venn图表示下列集合之间的关系：A={x∣x是平行四边形}，B={ x∣x是菱形}，C={ x∣x是矩形}，D={ x∣x是正方形}。

例2 设集合A={1，3，a}，B={1，a- a + 1}，且AB，求a的值

例3 已知集合A={x，xy，x - y}，集合B={0，x，y}，若A=B，求实数x，y的值。

例4 写出集合{a、b、c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集。

例5 判断下列关系是否正确：（1）0{0}；（2）{0}；（3）{0}；（4）

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苏教版必修一数学知识点(五)
苏教版数学必修一知识梳理及题型

函数重要知识点及题型

一．函数的定义域问题：

1.三个基本问题

①分式的分母不等于0；

②偶次开方问题，被开方数大于等于0；

③对数函数ylogax中，a0且a1,x0.

2.解题程序

根据题意列不等式（组）——解不等式（组）——结论（写成集合或区间形式）. 题组1.函数定义域的求解

1.f(x)x11的定义域是____________________. 2x

2.f(x)logx2x22x3的定义域是________________.

3.复合函数定义域问题解题策略：

①函数的定义域是指自变量x的取值集合；

②所有括号中的取值范围相同.

题组2.复合函数定义域的求解

1. 已知函数f(x)的定义域是a,b，其中a0b,ab.则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是___________________. 

2. 已知f(x21)的定义域是3,3，则f(x1)的定义域是________.

4.定义域的逆向问题

已知函数定义域，求解析式中字母参数的取值（范围）.

题组3.定义域的逆向问题

，则a________. 1.已知函数f(x)ax3的定义域是3，

2.已知函数f(x)

________.

二．函数解析式问题 1的定义域是R，则实数a的取值集合是ax2ax1

常用解法：（1）换元法；（2）配凑法；（3）待定系数法；（4）函数方程法.

题组4.求解函数解析式的常见题型

1.已知f__； x1x2x，则f(x)__________

__； 2.已知f(2x1)4x22x，则f(x)__________

__； 3.已知一次函数f(x)满足ffx2x1，则f(x)__________

4.已知f(x)是二次函数，且f(0)2,f(x1)f(x)x1，则f(x)____________；

1__. 5.已知f(x)2f2x3，则f(x)__________x

三．函数的值域/求值问题

1.值域问题的常用解法：直接法，配方法（二次函数问题），单调性法，换元法，数形结合法

题组5.求下列函数值域：

（1）f(x)x11,x1,0,1,2,3； 2

（2）f(x)2x3x；

（3）yx2x2

2.探究性函数求值问题，一般从函数本身或结论特征入手，注意分析待求结论式中的数据特征，寻找函数内在联系来求解.

题组6.探究性函数求值

1.设f(x)1111，则f(1)f(2)ff(3)ff(10)f_____. 1x2310

3x2，则2x12. 设f(x)1f112f1110f________. 11

四．函数图像的作法及应用

1.描点法是函数作图的基本方法（列表—描点—连线）；

2.变换作图法

左加右减—针对x而言：yf(x)yf(xa)；①平移变换

上加下减—针对y而言:yf(x)yf(x)b.

x轴对称yf(x)关于yf(x);y轴对称yf(x); ②对称变换yf(x)关于

关于原点对称yf(x)yf(x).

yf(x)yf(x);整体绝对值变换：③绝对值变换 局部绝对值变换：yf(x)yfx.

注：局部绝对值函数为偶函数.

题组5.函数图像的变换及其简单应用

1.设a0且a1，则函数f(x)loga(x2)1恒过定点_____________；

2.将函数f(x)2x1的图像向右平移_______个单位,再将每一点的横坐标变为原来的_________倍，可得函数yx的图像.

3.直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是_________.

五．函数的单调性

1.定义：

2.单调性的判定/证明方法：

（1）数形结合（图像法）——只能用于判断；

解题程序：函数解析式——函数图像——单调区间

题组7.图像法求解函数的单调区间及其简单应用 1.f(x)x22x的单调增区间是_________________.

2.若f(x)2xa的单调递增区间是3,，则a_____.

3.函数f(x)x2ax1有4个单调区间，则实数a的取值范围是_____.

2x2x,x0,34.设f(x)2，则f_______fa2a1（比较大小）. 4x2x,x0

（2）定义法——目前证明函数单调性的唯一方法.

利用定义证明函数单调性的程序：取值——作差——变形——定号——结论（变形的结果必须能明确f(x1)f(x2)的正负符号）

题组8.利用单调性定义证明函数单调性

1.求证函数f(x)x1在区间0，上单调递增.

1上单调递增. 2.求证函数f(x)x在1，x

3.掌握常见函数的单调性：

（1）f(x)kxb(k0)；

（2）f(x)k(k0)； x

（3）f(x)ax2bxca0

4.复合函数单调性判定定理：同增异减.

5.三个需要注意的问题：

（1）函数的单调区间是其定义域的子集；

（2）函数的单调区间之间不能用“”连接；

（3）注意区分“f(x)在区间a,b上单调”与“f(x)的单调区间是a,b”. 题组9.“f(x)在区间a,b上单调”与“f(x)的单调区间是a,b”的理解

1.设f(x)2ax24(a3)x5的单调减区间是,3，则a______.

2.设f(x)2ax24(a3)x5在,3上是减函数，则a的取值范围是_______.

题组10.复合函数单调区间的求解 1.f(x)x2的单调递增区间是_____________. 2.f(x)lnx22x3的单调增区间是_______________.

6.函数型不等式的求解策略：

（1）根据函数的单调性“脱f”；

（2）注意函数定义域的限制.

题组11.函数型不等式的求解 

1 1.已知f(x)是定义在R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范x

围是________________.

2.定义在1,4上的函数fx为减函数，则满足不等式f12af4a20的a的值的集合是______________.

2x4x,x02f2afa，则实数a的取值范围是. 3.已知函数fx，若24xx,x0

x21,x04.已知函数f(x)，若f(2x)f(x23)，则实数x的取值范围是. x01,

5.已知f(x)x1,xR,则不等式f(x22x)f(3x4)的解集是_______. x1

16.已知偶函数fx在区间[0,)上单调递增，则f2x1f的x的取值范3

围是.

8.分段函数单调性问题：

f(x),xa,函数f(x)1在R上单调递增，则f(x)满足两个条件： f2(x),xa

（1） f1(x)在(,a]上单调递增，f2(x)在(a,)上单调递增；

（2） f1(a)f2(a).

题组12.分段函数单调性的应用

x12,x1, 1.函数f(x)满足对于任意的实数x都有(3a)x4a,x1

f(x1)f(x2)0成立，则a的取值范围是________________. x1x2

(3a1)x4a,x1, 2.已知f(x)是(,)上的减函数，则a的取值范围是logx,x1a

________.

x2ax,x1, 3.设f(x)若存在x1,x2R,x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，ax1,x1,

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