初一升初二数学衔接教材

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初一升初二数学衔接教材(一)
初一升初二衔接教材

第一讲 无理数与平方根

【学习目标】

1.了解算术平方根与平方根及无理数的概念，并且会用根号表示；

2.会进行有关平方根和算术平方根的运算；

3.理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

一、【基础知识精讲】

1. 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

2. 平方根: 如果x2＝a（a≥0），那么x叫做a的平方根.

3. 平方根的表示方法: ① 当a>0时，a的平方根记为±；

。 ② 当a＝0时，a的平方根是a，即＝0；

③ 当a<0时，a没有平方根.

4. 平方根的性质: ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

②0有一个平方根，它就是0本身；

③负数没有平方根.

5. 算术平方根: ①正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作，

②0的算术平方根是0.

6. 算术平方根的性质: 非负数的算术平方根是非负数，即当a≥0时，≥0.

7. 开平方: ①求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫被开方数。

②开平方是一种运算方法，与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算。 ③平方与开平方互为逆运算.

8. (1) ()2＝a，

(a≥0) (2) a.........(a0)a0.........(a0)

a......(a0)

二、【例题精讲】

例1：判断下列说法是否正确：

① ±6的平方根是36；( )

② 1的平方根是1；( )

③ －9的平方根是±3；( )

⑤ 9是(9)2的算术平方根；( )

例2：求下列各数的平方根和算术平方根：

（1）169； （2）2

例3：填空题

(1)

(3) 9-2的平方根是_________； (4) 若｜x－4｜+2xy=0, 那么x=__, y=__.

例4：求下列各式中的x:

（1）9x＝34； （2）（3x－1）2＝25 2 ④ 19； ( ) ⑥ |－16|的平方根是±4；( ) 14－； （3）102； 2514的平方根是_________； (2) (－)2的算术平方根是_________； 4121

三、【同步练习】 A组

1．填空题

（1）0.16的平方根是__________，0.16的平方是_________.

(2）若17是m的一个平方根，则m的另一个平方根是_____.

（3）9的平方根是_____，81的算术平方根是_____.

2．求下列各式中的x:

．（1）49（x2＋1）＝50； （2）（3x－1）2＝（－5）2

3．求下列各式的值：

222（1）(12)5； （2）(7)；

B组

一.填空题

1. 若a2(5)2,b5，则a

b的所有可能值为 ________.

2. b10，则ab______________.

3. 下列说法：（1）任何数都有算术平方根；

。 （2）一个数的算术平方根一定是正数；

（3）a的算术平方根是a，

（4）(4)2的算术平方根是4，

（5）算术平方根不可能是负数，

正确的个数有____________个。

4.设x是16的算术平方根，y(2)，则x与y的关系是 _________________.

二．解答题

1．已知9y160，且y是负数，求3y+5的算术平方根。

2.若实数

a、b、c满足a3(5b)20，求代数式

222a的值。 bc

家庭作业（一）

姓名：..11、在实数 -2，0.3，13，7，0.80108中，无理数的个数为（ ）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

2、下列语句不正确的是（ ）

A、0的平方根是零 B、非负数的平方根互为相反数

C、-22 的平方根是±2

D、一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数

3、 ）

A、±9 B、±3 C、9 D、3

4、下列计算正确的是（

）

A=±

5 B3

C、±

6 D

5、0，则a+b-5=

6、2xy0，那么x+y的值为 。

7、一个自然数的算术平方根是a则下一个自然数的算术平方根是（

）

A

B1 C、a1 D、a1

2

8

m为任意一个数，则m等于（ ）

A、1 B、-5 C、5 D、

1或-5

9、

当-1<x<2

10

、n，求m+n的值。

11、若a、

b、c、d是不相等的整数，且abcd=9,

12、已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的平方根是±4，求a+2b的平方根。

第二讲 立方根

一、【基础知识精讲】

1. 立方根的概念：若xa，则x叫做a的立方根；记作a 3

2．立方根的性质： (1) 正数有一个立方根，仍为正数.

如：8的立方根是2，记作2；

(2) 零的立方根是零，记作0；

(3) 负数有一个立方根，仍为负数，

如：－8的立方根为－2，记作82。

3．开立方：

① 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数。

② 正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算.

4．(1) aa (a>0), (2) ()3a (3) (a3)a

二、【例题精讲】

例1：求下列各数的立方根：

（1）512； （2）－0.729； （3）2

变式训练:

1．下列说法中正确的是（ ）

A. －4没有立方根

C.

2．在下列各式中：210； (4) 6 27 B. 1的立方根是±1 D. －5的立方根是5 11的立方根是 636 410 = 0.001=0.1,0.01 =0.1,－(27)3=－27,其中327

C.3 D.4 正确的个数是（ ） A.1

B.2

初一升初二数学衔接教材(二)
初一升初二暑假衔接班数学教材(共15讲)

目 录

第一部分——温故知新

专题一 整式运算·················································1 专题二 乘法公式·················································3 专题三 平行线的性质与判定·······································9 专题四 三角形的基本性质·········································11 专题五 专题六 专题七

专题一 专题二 专题三 专题四 专题五 专题六 专题七 专题八 全等三角形···············································14 如何做几何证明题·········································17 轴对称···················································22

第二部分——提前学习

勾股定理·················································25 平方根与算数平方根·······································29 立方根···················································32 平方根与立方根的应用 ····································35 实数的分类···············································39 最简二次根式及分母有理化··································42 非负数的性质及应用·······································46 二次根式的复习···········································49

第一部分——温故知新

专题一 整式运算

1.由数字与字母 单项式中的 叫做单项式的系数

单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式

多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为

4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：am·

anamn

（m.n都是正整数）；逆运算a

mn



6.幂的乘方法则：am



n

m.n都是正整数）

；逆运算amn

7.积的乘方法则：abn

（n为正整数）；逆运算anbn

8.同底数幂除法法则：amanamn

（a≠0，m.n都是正整数）；逆运算a

mn

9.零指数的意义：a0

1a0；

10.负指数的意义：a

p



1

a

pa0,p为正整数 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式

知识点1.单项式多项式的相关概念

归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）

A．没有加减运算的式子叫单项式 B.【初一升初二数学衔接教材】

5ab

53

的系数是3

C.单项式－1的次数是0 D.2a2

b2ab3是二次三项式 例2.如果多项式3x

m2

n1x1是关于x的二次二项式，求m，n的值

知识点2.整式加减

归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式

x23kxy3y2

1

3xy8

中不含xy项，求k的值

知识点3.幂的运算

归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。

例4.已知am3,an5 求（1）a

2m3n

的值 （2）a

3m2n

的值

2011

2010

1

例5.计算 （1）3

14

2

43

（2）1

20100212

知识点4.整式的混合运算

归纳：整式的乘法法则和除法法则是整式运算的依据，注意运算时灵活运用法则。 例6.先化简，再求值：a2b2ab2b3

babab，其中a

1

2

,b1 知识点5.运用幂的法则比较大小

归纳：根据幂的运算法则，可以将比较大小的题分为两种：①化为同底数比较；②化为同指数比较 例7.比较大小 （1）a355,b444,c533

（2）a

841,b1631,c3225

1.若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是（ ）

A.五次整式 B.八次多项式 C.三次多项式 D.次数不能确定

2.已知a8131，b2741

，c961

，则a、b、c的大小关系是（ ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a

3.若2x4y1，27y3x1

，则xy等于（ ）

A．－5 B.－3 C.－1 D.1 4.下列叙述中，正确的是（ ）

A.单项式x2

y的系数是0，次数是3 B.a、π、0、22都是单项式 C.多项式3a3

b2a2

1是六次三项式 D.

mn

2

是二次二项式 5.下列说法正确的是（ ）

A.任何一个数的0次方都是1 B. 多项式与多项式的和是多项式【初一升初二数学衔接教材】

C. 单项式与单项式的和是多项式 D.多项式至少有两项 6.下列计算： ① (1)0

1 ② (1)1

1 ③ 222

12 ④ 3a21

3a

2(a0) ⑤ (a2)m

(am)2 ⑥ a3a2

1

a

2a3正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

7.在ax3y与xy的积中，不想含有xy项，则a必须为.

8.若a2pa8a2

3aq

中不含有a3和a2项，则pq9.比较大小

（1）a920

,b2714

,c8111

（2）a2

100

,b375 (3)a224,b420,c512

12005

2006

10.计算（1）22

13

52

2 （2）13





235



专题二 乘法公式

1.平方差公式：ababa2b2 平方差公式的一些变形：

（1）位置变化：abba a2

b2

（2）系数变化：3a5b3a5b 9a2

25b2

（3）指数变化：

m3n

2

m

3

n2

m6n4

（4）符号变化：abab= 

a2

b

2

b

2

a2

（5）数字变化：98×102=（100－2）×（100+2）=10000－4=9996

（6）增项变化：xyzxyz xz2

y2x22xzz2y2

（7）增因式变化：ababa2b2a4b4a2b2a2b2a4b4

 a8

b8

2.完全平方公式：ab2

a22abb2,ab2

a22abb2

完全平方公式的一些变形： （1）形如abc2

的计算方法

abc2ab22abcc2a22abb22ac2bcc2（2）完全平方公式与平方差公式的综合运用

2abc2abc2a2bc24a2b22bcc2

（3）幂的运算与公式的综合运用

2ab22ab24a2b2216a48a2b2b4

（4）利用完全平方公式变形，求值是一个难点。

已知：ab,ab的值,求 ：ab2

ab2

4ab，a2b2ab2

2ab

已知：ab,ab的值,求 ：ab2

ab2

4ab，a2b2ab2

2ab

已知：ab,a

2

2

aba2b2 b的值,求：ab

2

2

22

abab已知：ab,ab或ab,ab的值,求：ab

22

4

（5）运用完全平方公式简化复杂的运算 9992

10001100000020001998001

2

知识点1.平方差公式的应用

例1.计算下列各题 （1）x

13

2

1121

yxy （2）axbyaxby （3）999×1001 232

例2.计算（1）2121212

2

4



2006

11 （2）



2012

2

201220112013

知识点2.完全平方公式

11

例3.计算（1）xyxy （2）ab2cab2c

22

例4.已知ab3,ab1.求（1）ab (2) ab

2

2

22

2

例5.已知xy5,xy1，求xy的值

知识点3.配完全平方式

归纳：配完全平方式求待定系数有三种情况，求一次项系数（2个答案）求另一个平方项（1个答案）求另一个平方项的底数（2个答案）

例6.已知4x8xm是一个完全平方式，则m的值为（ ） A.2 B. 2 C. 4 D. 4 知识点4.技巧性运算

归纳：观察规律，找突破口，准确判断是添项还是拆项，熟记常见题型

2

11111111）（1+）（1－）（1+）（1－）（1+）···（1－）（1+）

2334410102

11111

例7.（1－2）（1－2）（1－2）···（1－2）（1－2）

234910111111

例8.（1+）（1+2）（1+4）（1+8）（1+16）（1+32）

222222

例6.（1－

例9.19902－19892+19882－19872···+22－

1

初一升初二数学衔接教材(三)
北师版初一升初二暑假衔接教材

第一讲、三角形总复习

基础知识

1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。

例题精讲

一、三角形内角和定理的应用

【例1】如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 BAC90，ADBCABC 求证： BEDC

二、三角形三边关系的应用

AM【例2】已知：如图，在中，AB>AC，AM是BC边的中线。求证：ABC

1

BAC A。

2

三、角平分线定理的应用

【例3】如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分DAB。

四、全等三角形的应用 1、构造全等三角形解决问题

【例4】已知如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。

AMN

2、“全等三角形”在综合题中的应用

【例5】如图，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。【初一升初二数学衔接教材】

五、中考点拨

【例6】如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交ABC

AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为【 】 A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

六、题型展示

【例7】已知：如图，中，AB＝AC，∠ACB＝90°，D是AC上一点，AE垂直BDABC的延长线于E，AE

1

BD。求证：BD平分∠

ABC 2

【例8】某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。如图7，在正三角形ABC花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD为多少度时，才能达到上述要求？

课堂练习

1、填空：等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。 2、在锐角中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。 ABC

3、 如图所示，D是的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。试比较∠BACABC与∠B的大小关系。

4、如图所示，AB＝AC，∠BAC＝90°，M是AC中点，AE⊥BM。 求证：∠AMB＝∠

CMD

2abc，求证：a、b、c一定是某5、设三个正数a、b、c满足abc

个三角形三边的长。

6、如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形ABCD（此时，点B落在对角线AC上，点A落在CD的延长线上），AB交AD于点E，连接AA、CE． 求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA的垂直平分线．



22

22



444



第二讲、如何做几何证明题

基础知识

1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：

（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；

（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

例题精讲

一、证明线段相等或角相等

【例1】已知：如图所示，中，C90，AC=BC，AD=BD，AE=CF。 ABC求证：DE＝DF。



初一升初二数学衔接教材(四)
初一升初二数学衔接班测试试卷

初一升初二数学衔接测试试卷

时间：60分钟

姓名：___________ 得分____________

一、选择题（3分/题）

1、方程y-y1

2=5的解是 （ ）

A．y=9， B.y=-9， C.y=3， D.y=-3。

2、下列说法正确的是（ ）

A． 2是－4的算术平方根 B． 5是(5)2 的算术平方根

C． 的平方根是± 3 D． 27的立方根是±3

3、一个多项式与x2-2x+1的和等于-3x+2，则此多项式是 （ ）

A.-x2+x+1 B.-x2+x-1

C.-x2-x-1 D.-x2-x+1

4、下列每组数分别是三根小木棒的长度，其中能摆成直角三角形的是（ ）

A．6cm，8cm，10cm B. 7cm ，8cm ，9cm

C．5cm，6cm，7cm D. 5cm ，5cm ，11cm

5、若方程组x4y

2xy2a中的x是y的2倍，则a等于（ ）



A．－9 B．8 C．－7 D．－6

6

、22

7,

4,6（从左往右两个2之间依次多一个0）中，无理数共有（个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7、已知某直角三角形的两边长为5cm,12cm,则第三边长为（ ）cm.

A.13

B.13或12 C.13 D.12

8、三角形的三边长为(ab)2c22ab,则这个三角形是( )

（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形

（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.

二、填空题（4分/题）

9. 若2axyb3与4a5bxy是同类项，则xy。

10. 如果x9，那么x＝________；如果x29，那么x________.

11. 三角形有两边的长为2cm和6cm，第三边的长为xcm，则x的范围是。

12. 若（x－２）2+|y+1

3|=0，则x y 13、当m______时，m有意义； ）

14、的平方根是

15、直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长为______.

16、直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为

三、计算题

y1x,17、解方程组 （5分） 5x2y8;

18、二元一次方程组

19、计算（1）8（5分） （2）3（5分）

20（12分）、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

B 4x3y7的解x，y的值相等，求k （7分） kx(k1)y3

L

21（10分）、一列快车长306米，一列慢车长344米，两车相向而行，从车头相遇到车尾离开，需要13秒，若两车同向而行，快车车头从追上慢车到车尾离开慢车需要65秒，求慢车和快车的速度各是多少？ 第20题图

初一升初二数学衔接教材(五)
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目录

第一讲 三角形总复习 第二讲 如何做几何证明题 第三讲 勾股定理 第四讲 平方根 第五讲 立方根 第六讲 实数

第七讲 非负数的性质及应用 第八讲 分母有理化

第九讲 二次根式的混合运算 第十讲 平行四边形的性质 第十一讲 平行四边形的判定 第十二讲 菱形

第十三讲 《勾股定理》质量检测 第十四讲 《实数》质量检测 第十五讲 《二次根式》质量检测 第十六讲 综合评估

第一讲、三角形总复习

【知识精读】

1. 三角形的内角和定理与三角形的外角和定理； 2. 三角形中三边之间的关系定理及其推论； 3. 全等三角形的性质与判定；

4. 特殊三角形的性质与判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性质与判定。

三角形一章在平面几何中占有十分重要的地位。从知识上来看，许多内容应用十分广泛，可以解决一些简单的实际问题；从证题方法来看，全等三角形的知识，为我们提供了一个及为方便的工具，通过证明全等，解决证明两条线段相等，两个角相等，从而解决平行、垂直等问题。因此，它揭示了研究封闭图形的一般方法，为以后的学习提供了研究的工具。因此，在学习中我们应该多总结，多归纳，使知识更加系统化，解题方法更加规范，从而提高我们的解题能力。 【分类解析】

1. 三角形内角和定理的应用

例1. 如图1，已知中，于D，E是AD上一点。 ABCBAC90，ADBC 求证：

BEDC

说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。

2. 三角形三边关系的应用

例2. 已知：如图2，在中，A，AM是BC边的中线。 BACABC 求证：AM1

BACA

2

说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2，然后通过倍长中AMABAC线的方法，相当于将绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC、AB、2AMAMC转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。很自然有

11ABACAABAC。请同学们自己试着证明。 22

3. 角平分线定理的应用

例3. 如图3，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 求证：AM平分DAB。

说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG＝MB。同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。 4. 全等三角形的应用

（1）构造全等三角形解决问题

例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为 120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。求证：的周长等于2。

AMN

分析：欲证的两边的长，只需证AMN的周长等于2，需证明它等于等边ABC。采用旋转构造全等的方法来解决。 MNBMCN

说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。

（2）“全等三角形”在综合题中的应用

例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。点B在AE的延长线上，点D在AF上。若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。求AC的长。

分析：要求AC的长，需在直角三角形ACE中知AE、CE的长，而AE、CE均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE、CE的长，使问题得以解决。

5、中考点拨 例1.

如图，在中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交ABABC于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为（ ） A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

分析：初看此题，看到DE＝DF＋FE后，就想把DF和FE的长逐个求出后再相加得DE，但由于DF与FE的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD＋CE＝9”，就应想一想，DF＋FE是否与BD＋CE相关？是否可以整体求出？若

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