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3.1 平行四边形性质的证明
教学目标：
1. 经历探索、猜想、证明平行四边形性质定理的过程，进一步发展推理论证的能力。
2. 初步应用平行四边形的性质解决问题。
教材分析：
学生在初二上学期通过直观的方法获得了平行四边形的性质定理和判断方法，在初二下学期学习了证明（一），初三上学期学习了证明（二），已经初步掌握了综合法证明命题的思路和方法。同时经历了三角形全等、等腰三角形性质和判断定理的证明过程的探究，从而为本章的学习奠定了基础。
教学重点：
1、 能用综合法证明平行四边形的性质定理。
2、 平行四边形的性质机应用。
教学难点：理解平行四边形的性质并应用它们解决实际问题。
教学过程：
一、 复习回顾，引入课题：
问题1、什么叫做平行四边形？平行四边形有哪些性质？
（从四边形的边的关系看，平行四边形有哪些性质）
（从四边形的角的关系看，平行四边形有哪些性质）
（从四边形的对角线的关系看，平行四边形有哪些性质）
问题2、你能利用公理和已有的定理证明它们吗？
本节课老师将和同学们一起来探索平行四边形的性质的证明过程。
二、 讲授新课：
平行四边形性质的证明：
（1） 定理：平行四边形的对边相等。
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形。
求证：AB=CD,AD=BC
分析：证明线段相等的主要方法有：“全等三角形的对应边相等”，“等腰
三角形的两腰相等”。连结AC，得到ABC和CDA,只要证明
ABC ≌ CDA.则问题解决。
证明：法一，如图，连结AC 四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC. ∴∠BAC=∠DCA, ∠ACB=∠CAD.
在ABC和CDA中，
∠BAC=∠DCA，AC=CA，∠ACB=∠CAD
∴ABC ≌ CDA
∴AB=CD,AD=BC
法二，如图，连结BD, 四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC. ∴∠ABD=∠CDB, ∠ADB=∠CBD
在△ABD和△CDB中，
∠ABD=∠CDB, BD=DB,∠ADB=∠CBD
∴ABD ≌ CDB
∴AB=CD,AD=BC
（2） 定理：平行四边形的对角相等。
问题：观察上述证明过程，你还能得出什么结论？
（通过以上的证明过程，还能得到平行四边形的对角相等）
证明：法一，如图，四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴∠A +∠B=180
00，∠C +∠D=18000, ∠ A + ∠D=180， ∠ B + ∠C=180，
∴∠A=∠ ∠B=∠D ，
法二，如图，ABC ≌ CDA，∠BAC=∠DCA，
∠ACB=∠CAD
∴∠B=∠D，∠BAC+∠CAD=∠DCA+∠ACB ∴∠BAD=∠DCB,即∠A=∠C
法三，（略）
通过以上两个问题的证明过程，学生初步体会了将平行四边形
中线段相等，角相等的相关问题转化为全等三角形全等的问题，
丰富了探究证明过程的方法和思路。
（3） 定理：平行四边形的对角线互相平分。
如图，在平行四边形ABCD中，连结AC,BD交于点O.
求证：OA=OC,OB=OD.
分析：欲证OA=OC,OB=OD，只需要证明△AOD≌△BOC 即可
证明：法一，四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC, AD//BC
∴∠OAD=∠OCB, ∠ODA=∠OBC
在AOD和BOC中，∠OAD=∠OCB, AD=BC, ∠ODA=∠OBC
∴△AOD≌△BOC
∴OA=OC,OB=OD.
法二，四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD,AB//CD
∴∠OBA = ∠ODC, ∠OAB=∠OCD
在△AOB 和△COD中，∠OBA=∠ODC,AB=CD, ∠OAB= ∠OCD
△AOB ≌ △COD
∴OA=OC,OB=OD
三、课后思考：
是否存在将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分的线段？
如果存在，这样的线段有多少条？
你能发现满足条件的这些线段有什么特征？
分析：根据“平行四边形的对边相等，对角线互相平分”的证明过程，容易得到 ABC ≌ CDA，ABD ≌ CDB，对角线AC、BD均符合题意。 设AC、BD交于点O,猜想探究过点O与一组对边相交的线段是否符合题
意？
四、 总结：
五、 作业布置：
六、 板书设计：
平行四边形的性质：1、平行四边形的对边平行.
2、平行四边形的对边相等
3、平行四边形的对角相等.
4、平行四边形的对角线互相平分.
性质2证明 性质3证明 性质4证明
平行四边形的性质与判定的证明题
1.在□ABCD中，E、F分别为AD、BC上一点，AE=CF,求证：四边形BEDF是平行四边形，BE=DF.
2.在□ABCD中，对角线AC、BD交于0，E、F分别是0A、0B的中点,
求证：四边形BEDF是平行四边形
3.在□ABCD中，AE=BF,求证：四边形BEDF是平行四边形
4.在□ABCD中，DE∥BF,求证：四边形BEDF是平行四边形
5.在□ABCD中，E、F分别为AD、BC上一点，DE∥BF,求证：四边形BEDF是平行四边形，BE=DF.【平行四边形的证明和性质】
6.已知：四边形ABCD中，AC、BD交于O,AB∥CD,OA=OC,求证:四边形ABCD是平行四边形
7.已知：四边形AEFD与四边形EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形
8.在□ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上一点，且AE=BF,求证：四边形BEDF是平行四边形
9.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，EF∥BC交AC于F．求证：AE=CF
10.如图，□ABCD中，AC是对角线，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，求证：四边形BMDN是平行四边形
平行四边形的性质及证明试题一
◆知能点分类训练
知能点1 平行四边形的判定方法
1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）． A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
3．如图1-1所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）． A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形; B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形; D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
图1-1 图1-2
4．如图1-2所示，对四边形ABCD是平行四边形的下列判断，正确的打“∨”，错误的打“×”． （1）因为AD∥BC，AB=CD，所以ABCD是平行四边形．（ ） （2）因为AB∥CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（ ） （3）因为AD∥BC，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（ ） （4）因为AB∥CD，AD∥BC，所以ABCD是平行四边形．（ ） （5）因为AB=CD，AD=BC，所以ABCD是平行四边形．（ ） （6）因为AD=CD，AB=AC，所以ABCD是平行四边形．（ ）
5．已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件________． 6．如图1-3所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．
图1-3
7．如图1-4所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，E，F为对角线AC上的点，且AE=CF，求证：BE=DF．
图1-4
8．如图1-5所示，D为△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，且AE=CE，FC∥AB．求证：CD=AF．
图1-5
9．如图1-6所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取BE=•AB，BF=BD，连接CE，DF，相交于点M．求证：CD=CM．
图1-6 10．如图1-7所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，以AD，AC为边作□ACED，延长DC•交EB于F，求证：EF=FB．
图1-7
知能点2 三角形的中位□线
11．如图1-8所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF，求证：AB=2OF．
图1-8
12．如图1-9所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF•交于点M，连接CF，
DE交于点N，求证：MN∥AD且MN=
图1-9
13．如图1-10所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE=_______．
图1-10 图1-11
14．如图1-11所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD•于E，•若OE=3cm，则AD的长
为（ ）．
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
1
AD． 2
15．如图1-12所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，•则四边形EFGH是
平行四边形吗？为什么？
图1-12
16．如图1-13所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，求△DEF
的面积．
图1-13 ◆规律方法应用
17．如图1-14所示，A，B两点被池塘隔开，在A，B外选一点C，连接AC和BC，•并分别找出AC和BC的
中点M，N，如果测得MN=20m，那么A，B两点间的距离是多少？
图1-14
18．如图1-15所示，在□ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F分别为AB，CD的中点，EF=1cm，那么对角线BD的长度是多少？你是怎样得到的？
图1-15 19．如图1-16所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．•试说明：（1）DE∥BC．（2）DE=
1
（BC-AC）． 2
图1-16
◆开放探索创新
20．如图1-17所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD•于E，EF∥BC交AC于F，
那么AE与CF相等吗？请验证你的结论．
图1-17
◆中考真题实战 21．（长沙）如图1-18所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD•为平行四边形，则应添加的条
件是________．（添加一个即可）
图1-18
图1-19 22．（呼和浩特）如图1-19所示，已知E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，•则S四边形EFGH：S四边形ABCD的值是_________． 23．（南京）已知如图1-20所示，在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：（1）