【www.guakaob.com--初一】
高一下学期数学试题
一,选择题
1,已知是第四象限角,且sin4
cos4
7
9
,则sin2( ) A.23 B.23
C.3
D.3
2
,函数y
)
A.6k,2kkZ B.6k,2k
kZ
C.3k,2kkZ D.
3k,2k
kZ
3,已知a0,1,b1,2,c1,3且kab
akb,a与kbc
反向,则k( )
A.1
B.1
C.1 D.1 4,已知集合Pxx2
2x150
,Q
xlog3x
log3
x1
log32
,则PQ( )
A.3,12,5 B.5,12, 3 C.2,5 D.2,3 5,函数fx2sin
x3
4
对任意的xR都有fx1fxfx2,
则x1x2min( )A.2
B. C.3
2 D.3
6,若ab0,则下列结论中正确的是( )
A.不等式
1111
ab和ab均不成立。 B.不等式
1ab1a和1a1
b
均不成立。
22
C.不等式1ab1a和a1b1
ba
均不成立。
22
D.不等式11ab和a1bb1
a
均不成立。
7,在锐角ABC中,若tanAt1,tanBt1,则t的取值范围为( )
A.
B.1,
C. D.1,1
8,记asin
137
10,bcos2,ccos4
,则a,b,c的大小关系为( ) Ab.ac B.bca C.abc D.acb
9,设O为ABC的内心,当ABAC5,BC6时,AOABBC,R, 则( )A.
34 B.34 C.1516
16
D.15 10,如果满足ABC60
,AC12,BCk的ABC恰有一个,则k的取值范围为( )
A.k B.0k1 2 C.k12 D.0k
12或k二,填空题
11,已知x0,y0,xy
1,a恒成立的a的取值范围是12,不等式
11
x2
2x
的解集为
1,x,
13,已知abx2
,1
,若a,b的夹角为锐角,则x的取值范围是
14,已知ABC三个顶点A1,2,B4,1,C3,4,则角A的平分线AD的长为15,在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若acosC
ccosA且
4sinBsin2B4
2
cos2B1B
三,解答题
16,在ABC,若tanBcosBC
sinAsinBC
(1) 判断ABC的形状 (2)求bc
a
的取值范围。
17,在以O为原点的平面直角坐标系中,点A4,3为OAB的直角顶点,已知AB2OA,且点
B的纵坐标大于0
(1) 求向量AB
的坐标
(2) 求RtOAB的两直角边上的中线所成钝角的大小。
18,已知不等式m1mlog2
ax
1
11
4
对于任意的m0,1恒成立,求实数x的取值范围。
19,已知函数f
x2sin2x
4
2x1 (1)若函数hxfxt的图像关于点
6,0
对称,且t0,,求t的值。 (2)设p:x73,
12
,fxm3,若p是q的充分条件,求实数m的取值范围。
20,已知函数fx是定义在1,1上的奇函数,且f11,若a,b1,1,ab0时有
fafbab
0
(1)判断fx在1,1上的单调性,并证明 (2)解不等式f1x
2f1x1
(3)若fxm2
2am1对所有x1,1,a1,1恒成立。求m的范围。
21,在函数yx
2
1x1的图像上有A,B两点,且ABOx轴,B在A的右边,点M1,m是
ABC边AC的中点
(1) 写出用B的横坐标t表示ABC面积S的函数解析式Sft (2) 求函数Sft的最大值,并求出相应的点C的坐标。
参考答案
一,选择题
BCCCC BAACD
二,填空题
11
, 12,
,2
2,
13,,11,01, 14
, 15,
3
或23
三,解答题
16,解:(1)由题意可得:sinB
cosBCsinBcosBCcosBsinBCsinBC
cosB2cosBsinC cosBC0cosA0所以A
2
所以ABC是直角三角形
(2)由正弦定理得:
bcasinBsinCsinA
sinBsinC
B4
B
3
0,2
B44,
4
bca
17,解:(1)设AB
x,y
由题意可得:x2y2100x63y0
或4x
y8x6
y8 OBOA
ABx4,y3且y30y8AB6,8
(2)设D,E是OA,AB的中点,则OE7,1,BD13
8,2
设OE与BD的夹角为,则cosOEBDOE
BD
即OE与BD
所成的钝角为
2
18,解:m1mm1m2
14 当且仅当m1
2时等号成立 log2ax1
111
log2ax44
13 log2ax4或log2ax2(舍)logax2或logax2
故当a1时,x的取值范围是
0,
12
a2
a, 当0a1时,x的取值范围是
0,a2
1a2
,
19,解:(1)ft2tmt
2
0t1
3
3
(2)S222t2mt2mt2
22m16m3
27 当且仅当2t2m
t2
即t
时等号成立Smax
此时C2,5m3
20,解:(1)fx在1,1上单调递增
1x11
2 (2)由题意可得:1
11x
x132,1
x1
12x1 (3)fx在1,1上单调递增fxmaxf11
m2
2am11在1,1上恒成立 m2
2m0
m2或m2 m2
2m0
21,解:(1)OAAjn1ij
n1in
nOA11A2An1Anjn1,n
n1
222
2
OBnOB1B1B2Bn1Bn3i3i
333
n
2n291i99,0
33
(2)Ann1,nAn,An1两点在直线yx1上,则此直线与x轴的交点为P1,0 Bn,Bn1在x轴上 anSPAn1Bn1SPAnBn
1210923
n
n1
nn1
122n1109n5n2
233
2
(3)an5n2
3
n1
22
an1an5n15n2
33
n1
4n2
5
33
n1
所以当n4时,an1an,当n4时,a4a5,当n4时an1an 故在数列an中a4a55
16
是数列最大项 27
*
所以存在最小的自然数M6对一切nN都有anM成立。
高一数学下册期末考试试题
数 学
第一部分 基础检测(共100分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. 1.若a、b、cR,A.
ab,则下列不等式成立的是( )
11ab
D. a|c|b|c| B. a2b2 C. 22
abc1c1
2.已知an为等比数列,若A.2 B.
a1a4
4,则公比q的值为( )
a3a6
11
C.2 D.
22
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S39,S636,则a7a8a9( )
A.63 B.45 C.36 D.27 4.在ABC中,a80,b100,A30,则B的解的个数是( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 5.已知an为等比数列,a1,a99为方程x10x160的两根,则a20a80=( )
2
A.16 B.16 C.10 D.106.在ABC中,AB
,A450,C750,则BC =( )
A.3 B.2 C. 2 D.33 7.已知an为等差数列,bn为等比数列,则下列结论错误的是( ) ..A.bnbn1一定是等比数列 B.bn一定是等比数列
2
C.anan1状为( )
一定是等差数列 D.a一定是等差数列
2n
8.已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,若acosAbcosB,则ABC的形A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形 9.利用基本不等式求最值,下列各式运用正确的是( ) A.yx
44442x4 B.ysinx2sinx4(x为锐角) xxsinxsinx
x
C.ylgx4logx102lgx4logx104 D. y310.在数列an中,a12,an1anln1
44x
234 3x3x
1
,则an=( ) n
A.2lnn B.2n1lnn C.2nlnn D.1nlnn
二、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 11.不等式x82的解集为________________.
12.在ABC中,A:B:C1:2:3,则a:b:c_______________.
13.已知等差数列an的首项a110,公差d2,则前n项和Sn_________________,
当n=________________时,Sn的值最小.
三、解答题:本大题共4小题,共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14.(6分)解不等式
15.(6分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)
与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:y
2x8
1
x2x6
830
(0). 2
31600
问:在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?
16.(11分)已知A、B、C为ABC的三个内角,它们的对边分别为a、b、c,且
cosBcosCsinBsinC
(1)求A;
1
. 2
(2)若a2,bc4,求bc的值,并求ABC的面积.
17.(12分)设数列bn的前n项和为Sn,且bn22Sn;数列an为等差数列,且a510,
a714.
(1)求数列an、bn的通项公式; (2)若cn
1
anbn,Tn为数列cn的前n项和. 求Tn. 4
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题:本大题共2小题,每小题5分,共10分.
151
18.若数列an满足a1,且an1an
362
n1
,则通项
an________________.
19.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B
在同一水平面内的两
个侧点C与D.现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为,则塔高AB=_________________.
五、解答题:本大题共3小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.(12分)已知OA(sin
xxxx
,cos),OB(cos,cos)(xR),f(x)OAOB. 3333
(1)求函数f(x)的解析式,并求图象的对称中心的横坐标; (2)若x0,
21.(14分)某农场预算用5600元购买单价为50元(每吨)的钾肥和20元(每吨)的氮肥,
希望使两种肥料的总数量(吨)尽可能的多,但氮肥吨数不少于钾肥吨数,且不多于钾肥吨数的1.5倍.
(1) 设买钾肥x吨,买氮肥y吨,按题意列出约束条件、画出可行域,并求钾肥、氮肥各
买多少才行?
(2) 设点P(x,y)在(1)中的可行域内,求t
时,不等式fxa0恒成立,求实数a的取值范围.3
y20
的取值范围;
x10
(3) 已知A(10,0),O是原点, P(x,y)在(1
)中的可行域内,求s
围.
的取值范
22.(14分)设A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)
1x
的图象上的任意两点. M为log2
21x
1
AB的中点,M的横坐标为.
2
(1) 求M的纵坐标.
(2) 设Snf
1
n12fn1nf,其中nN*,求Sn. n1
2
1
(3) 对于(2)中的Sn,已知anS1,其中nN*,设Tn为数列an的前n项
n
的和,求证
45
Tn. 93
广东实验中学2008—2009学年高一级模块五考试
数 学 答案
命题:伍毅东 审定:翁之英 校对:伍毅东
本试卷分基础检测与能力检测两部分,共4页.满分为150分。考试用时120分钟.
高一数学公式总结
基本三角函数
一.
二.
终边落在x轴上的角的集合:
,z
,z 终边落在y轴上的角的集合:
2
,z 终边落在坐标轴上的角的集合:2
l rS
11
l r r222
360度2 弧度1
180.
弧度180
1 弧度180
度
弧度
tancot1
SinCsc1 正六边形对角线上对应的三角函数之积为1
倒数关系:
CosSec1
用心 爱心 专心 115号编辑 1
tan2
1Sec2
平方关系:SinCos
2
2
11Cot2Csc2
乘积关系:SintanCos , 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积
三、 诱导公式
终边相同的角的三角函数值相等
Sin2kSin , kz
Cos2kCos , kz
tan2ktan , kz
角与角关于x轴对称
SinSin
CosCos
tantan
角与角关于y轴对称
SinSin
CosCos
tantan
角与角关于原点对称
SinSin
CosCos tantan
角
2
与角关于yx对称
Sin2Cos
Cos
Sin
2tan
2
cot
用心 爱心 专心 115号编辑
2
Sin2Cos
Cos
2
Sin
tan
2
cot
上述的诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”
四.周期问题
yASinx , A0 , 0 , T
2
yACosx , A0 , 0 , T
2
yASinx , A0 , 0 , T
yACosx , A0 , 0 , T
yASinx b , A0 , 0 , b 0 , T
2
yACosx b , A0 , 0 , b0 , T
2
yAtanx , A0 , 0 , T
yAcotx , A0 , 0 , T
yAtanx , A0 , 0 , T
yAcotx , A0 , 0 , T
五. 三角函数的性质
用心 爱心 专心 115号编辑
3
怎样由ySinx变化为yASinxk ?
用心 爱心 专心 115号编辑
4
振幅变化:yyASinx 左右伸缩变化: yASinx yASin(x) yASin(x)k
六. 平面向量共线定理:一般地,对于两个向量 a,a0,b,如果有
一个实数,使得ba,a0,则b与a是共线向量;反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数,使得. 七. 线段的定比分点
当1时 当1时
八. 向量的一个定理的类似推广
向量共线定理:
推广
b
a a0
其中e1,e2为该平面内的两个
平面向量基本定理: a1e1 2e2 , 不共线的向量 推广
用心 爱心 专心 115号编辑 5
高一下数学期末试题
一、选择题
(1)sin750的值等于( )(A
(B
(C
(D
0000
(2
( )(A)cos220 (B)cos80 (C)sin220 (D)sin80
(3)化简sin(xy)sinxcos(xy)cosx等于( )
(A)cos(2xy) (B) cosy (C)sin(2xy) (D)siny (4)下列函数中是周期为的奇函数的为( ) (A)y12sinx (B)y3sin(2x(5)为了得到函数y3sin【高一下册数学题】
2
x
)(C)ytan(D)y2sin(2x) 32
11
x,xR的图象,只需把函数y3sinx的图象
5522
上所有点( )(A)向左平行移动
22个单位长度 (B)向右平行移动个单位长度 55
44
(C)向左平行移动个单位长度 (D)向右平行移动个单位长度
55
(6)已知tan2,tan3,且、都是锐角,则+等于( )
(A)
3353
(B) (C)或 (D)或
444444
(7)已知a=(2,3),b=(x,-6),若a∥b,则x等于( )
(A)9 (B)4 (C)-4 (D)-9 (8)已知a、b是两个单位向量,下列四个命题中正确的是( )
(A)a与b相等 (B)如果a与b平行,那么a与b相等 (C)a·b=1 (D)a2=b2
(9)在△ABC中,已知AB=(3,0),AC=(3,4),则cosB的值为( )
(A)0 (B)
34
(C) (D)1 55
(10)已知|a|=3,|b|=4(且a与b不共线),若(ak+b)⊥(ak-b),则k的值为( )
(A)-
3334
(B) (C)± (D)± 4443B
C
)
(11)已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,则a的坐标为( )
(A
(D
)
1
,若a·b≥0,则实数x的取值范围为( ) x
(12)已知向量a=(1,-2),b=3,
(A)(0,) (B)(0,] (C)(,0)∪[,)(D)(,0]∪[,) 二、填空题
(13)在三角形ABC中,已知a、b、c是角A、B、C的对边,且a=6,b=32,A=角B的大小为 . (14)已知cosx
23232323
,则4
3
,则sin2x的值为 . 45
(15)若将向量(2,1)绕原点按逆时针方向旋转(16)已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为三、解答题) (17)已知cos
,得到向量,则向量的坐标是 4
,则向量2a-3b与a+5b的夹角大小为 . 3
123,,
213
,求tan的值.
4
(18)已知函数yAsinx,xR(其中A>0,>0,
||<)的部分图象如图所示,求这个函数的解析式.
2
(19)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机
的高度为海拔25000米,速度为3000米/分钟,飞行员先在点A看到山顶C的俯角为300,经过8分钟后到达点B,此时看到山顶C的俯角为600,则山顶的海拔高度为多少米.
=1.414
1.732
=2.449). (20)已知|a|=3,|b|=2,且3a+5b与
4a-3b垂直求a与b的夹角.
(21)已知向量a=(cos
3x3xxx,sin),b=(cos,-sin),且x[0,]. 22222
(Ⅰ)用cosx表示a·b及|a+b|;
(Ⅱ)求函数f(x)=a·b+2|a+b|的最小值.
(22)已知向量a、b、c两两所成的角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3. (Ⅰ)求向量a+b+c的长度; (Ⅱ)求a+b+c与a的夹角.
参考答案
二、填空题 (13)
6 (14)725 (15
)(2
32
2,2) (16)2
三、解答题
(17)解:∵cos
12,且
,
3
,∴ sin513
213, 5则 tan512, ∴ tantan11
74=1tan
==-17.
121(18)解:(Ⅰ)根据题意,可知A= 且T
4
=6-2=4,所以T=16,
于是
=
2T8 将点(2,y8x
,得 82, 即sin
4
=1, 又||<2,所以=4.
从而所求的函数解析式为:y
8
x4,xR
(19)解:如图,过C作AB的垂线,垂足为D,
依题意,AB=3000·8=24000米, 由∠BAC=300,∠DBC=600,
则∠BCA=300,∴ BC=24000米, 在直角三角形CBD中, CD=BC·sin600
=24000·0.866=20784米,
故山顶的海拔高度为25000-20784=米. (20)解:∵ 3a+5b与4a-3b垂直,
∴ (3a+5b)·(4a-3b)=0, 即 12|a|2+11a·b-15|b|2=0,
4216
由于|a|=3,|b|=2,∴ a·b=-
4811
, 则 cosa,b
ab88
|a||b|=-11, 故a与b的夹角为arccos11
.
(21)解:(Ⅰ)a·b=cos
3x2cosx2-sin3x2sinx
2
=cos2x=2cos2x-1, |a+b|【高一下册数学题】
=2|cosx|, ∵ x[0,
2
],∴ cosx≥0,∴ |a+b|=2cosx.
(Ⅱ)f(x)=a·b+2|a+b|=2cos2x-1+4cosx=2(cosx+1)2-3, ∵ x[0,
2
],∴ 0≤cosx≤1, ∴ 当cosx=0时,f(x)取得最小值-1.
(22)解:(Ⅰ)设向量a、b、c两两所成的角均为,则=0或=
2
3
, 又|a|=1,|b|=2,|c|=3. 则当=0时,
a·b=|a|·|b|cos=2, b·c=|b|·|c|cos=6, c·a=|c|·|a|cos=3,
此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14+22=36,∴ |a+b+c|=6;当=
2
3
时, a·b=|a|·|b|cos=-1, b·c=|b|·|c|cos=-3,
c·a=|c|·|a|cos=-3
2
,
此时 |a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=14-11=3,∴ |a+b+c|
(Ⅱ)当=0,即|a+b+c|=6时,a+b+c与a的夹角显然为0; 当=
23,即|a+b+c|
时,∵ (a+b+c)·a=-3
2
,且|a+b+c|·|a|
+b+c,a>
=-2,∴ a+b+c与a的夹角为5
6
.
cos<a
高一下期数学知识点
一.三角恒等变换
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴cos⑶sin
coscossinsin;⑵coscoscossinsin;
sincoscossin;⑷sinsincoscossin;
tantan
(tantantan1tantan);
1tantan
tantan
(tantantan1tantan).
1tantan
⑸tan
⑹tan
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴
sin22sincos.1sin2sin2cos22sincos(sincos)2
⑵cos2
cos2sin22cos2112sin2
升幂公式1cos2cos2
22
cos211cos22
,sin降幂公式cos2
22
,1cos2sin2
.
2tan
⑶tan2
1tan2
万能公式:
.
αα2tan1tan2
;cosα sinα
αα
1tan21tan2
22
3、(辅助角公式)合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
yAsin(
x)B形式。sincos,其中tan
.
二.数列
基本概念
1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列通项公式,即an
an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的
an的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an1(或前几
f(n).
3.递推公式:如果已知数列
f(an1)或anf(an1,an2),那么这个式子叫做数
列an的递推公式. 如数列an中,a11,an2an1,其中an2an1是数列an的递推
项)间的关系可以用一个式子来表示,即an
公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
S1(n1)
①Sna1a2an; ②an.
SS(n2)n1n
5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法.【高一下册数学题】
6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列.
①递增数列:对于任何nN,均有an1②递减数列:对于任何nN,均有an1③摆动数列:例如: 1,1,1,1,1,. ④常数数列:例如:6,6,6,6,„„. ⑤有界数列:存在正数M使
an.
an.
anM,nN.
anM.
⑥无界数列:对于任何正数M,总有项an使得
等差数列
1.等差数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d,这个数列叫做等差数列,常数d称为等差数列的公差.
2.通项公式与前项和公式
⑴通项公式an
a1(n1)d,a1为首项,d
为公差.
⑵前n项和公式Sn3.等差中项
n(a1an)1
或Snna1n(n1)d.
22
A叫做a与b的等差中项.
即:A是a与b的等差中项2Aaba,A,b成等差数列.
如果a,A,b成等差数列,那么4.等差数列的判定方法 ⑴定义法:an1
and(nN,d是常数)
an是等差数列;
⑵中项法:2an1⑴数列
anan2(nN)an是等差数列.
5.等差数列的常用性质
an是等差数列,则数列anp、pan(p是常数)都是等差数列;
⑵在等差数列an中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
差数列,公差为kd.
⑶an
am(nm)d;ananb(a,b是常数);Snan2bn(a,b是常数,a0)
⑷若mn
pq(m,n,p,qN),则amanapaq;
Sn
an的前n项和Sn,则是等差数列;
n
⑸若等差数列
⑹当项数为2n(nN),则S偶S奇nd,
S偶an1
S奇an
;
当项数为2n1(nN),则S奇S偶an,
S偶n1
.
S奇n
等比数列
1.等比数列的概念
如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数q(q
0),这个数列叫做等比数
列,常数q称为等比数列的公比.
2.通项公式与前n项和公式
⑴通项公式:an
a1qn1,a1为首项,q为公比 .
1时,Snna1
⑵前n项和公式:①当q
a1(1qn)a1anq
②当q1时,Sn.
1q1q
3.等比中项
如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项. 即:G是a与b的等差中项a,
4.等比数列的判定方法 ⑴定义法:
A,b成等差数列G2ab.
an1
q(nN,q0是常数)an是等比数列; an
2
⑵中项法:an1⑴数列
anan2(nN)且an0an是等比数列.
5.等比数列的常用性质
an是等比数列,则数列pan、pan(q0是常数)都是等比数列;
⑵在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,ank,an2k,an3k,为等
比数列,公比为q.
k
amqnm(n,mN)
⑷若mnpq(m,n,p,qN),则amanapaq;
⑶an
⑸若等比数列
an的前n项和Sn,则Sk、S2kSk、S3kS2k、S4kS3k是等比数列.
三.平面向量
1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: ①用有向线段表示-----
AB(几何表示法);
②用字母a、b等表示(字母表示法); ③平面向量的坐标表示(坐标表示法):
分别取与x轴、
y轴方向相同的两个单位向量i
、
j作为基底。任作一个向量a,由平面向量基本
定理知,有且只有一对实数
x、y,使得axiyj,(x,y)叫做向量a的(直角)坐标,记作
a(x,y),其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标, 特别地,i(1,0),
j(0,1),0
(0,0)aAB
若
则x2
x1,y2y1,A(x1,y1),B(x2,y2),
3.零向量、单位向量:
①长度为0的向量叫零向量,记为0;
②长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.4.平行向量:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
就是单位向量)
②我们规定0与任一向量平行.向量a、b、c平行,记作a∥b∥c.共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.
0,b与a同向方向---
性质:a//b(b0)ab(是唯一)0,b与a反向
长度---|a|b
a//b
5.相等向量和垂直向量:
①相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为性质:ab
(b0)x1y2x2y10 (其中 a(x1,y1),b(x2,y2))
2
ab0. abx1x2y1y20 (其中 a(x1,y1),b(x2,y2))
6.向量的加法、减法:
①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 平行四边形法则: AC
ab(起点相同的两向量相加,常要构造平行四边形)
DBab
加法首尾相连
三角形法则
减法终点相连,方向指向被减数
——加法法则的推广:
ABnAB1B1B2„„Bn1Bn
„„an0
即n个向量a1,a2,„„an首尾相连成一个封闭图形,则有a1a2
②向量的减法向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。即:a b= a+ (b);
差向量的意义: = a, =b, 则
=a b
③平面向量的坐标运算:若
a(x1,y1),b(x2,y2)
,则
ab(x1x2,y1y2)
,
ab(x1x2,y1y2),a(x,y)。
④向量加法的交换律:+=+;向量加法的结合律:(+) +=+ (+) ⑤常用结论: (1)若
AD
1
(ABAC),则D是AB的中点 2
(2)或G是△ABC的重心,则GAGBGC7.向量的模:
1、定义:向量的大小,记为 |a| 或 |2、模的求法:
若 a(x,y),则 |a
|若
0
AB|
A(x1,y1),B(x2,y2), 则 |AB
|2
3、性质: (1)|a|
2
a; |a|b
(b0)|a|2b2 (实数与向量的转化关系)
(2)ab
|a|2|b|2,反之不然
(3)三角不等式:|a||b||ab||a||b| (4)|a
b||a||b| (当且仅当a,b共线时取“=”)
b|a||b|; 即当a,b同反向时 ,ab|a||b|
即当a,b同向时 ,a
(5)平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和,
即2|a|
2
2|b|2|ab|2|ab|2
a
8.实数与向量的积:实数λ与向量a的积是一个向量,记作:λ(1)|λ
a|=|λ
||a|;
<0时λ
(2)λ>0时λ
a与a方向相同;λ
a与a方向相反;λ
=0时λ
a=;
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