闸北区高三数学一模2015

【www.guakaob.com--初三】

闸北区高三数学一模2015(一)
2015闸北区高三数学一模

试卷（1）

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分．（2014，12，29) 闸北 1．若复数

a2i

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a ． 12i

2．若f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)，则f(0)f(2) ． 3．设定点A(0,1)，若动点P在函数y

x2

(x0)图像上，则PA的最小值为 ． x

4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有 个．

124n112

5．设nN，圆Cn:(x)(y1)n的面积为Sn，则limSn ．

nn41



6．在RtABC中，ABAC3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为 ． 7．设函数f(x)

若存在x0(1,1)同时满足以下条件：①对任意的xR，sin(x)，

2

都有f(x)f(x0)成立；②x02[f(x0)]2m2，则m的取值范围是 ．

2

8．若不等式xxa的解集是区间3， 3的子集，则实数a的取值范围为 ．9．关于曲线C:xy1，给出下列四个结论：

4

3

①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称；

③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上）

二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分.

ax2y310．“a2”是“关于x,y的二元一次方程组有唯一解”的 【 】

x(a1)y1

A．必要不充分条件； B．充分不必要条件；

C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】

A．若a30，则a20150； B．若a40，则a20140； C．若a30，则S20150； D．若a40，则S20140．

12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元

素eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法； ③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集． 其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】

A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．

三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

请仔细阅读以下材料：

已知f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数．



求证：命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题． 

证明 因为a,bR，由ab1得a



1a1b

1

0． b

又因为f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数，

1b1

同理有f(b)f()． ②

a

11

由① + ②得f(a)f(b)f()f()．

ab

于是有f(a)f()． ①

故，命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．

请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：

（1）试用命题的等价性证明：“设a,bR，若f(a)f(b)f()f()，则：

1

a1b

1a1b

ab1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f(ax1)f(2x)f(a1x)f(2x)（其中a0）．

14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数yAsin(x)(A0,0,(0,))，x[4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥

部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景

yGF(- 4,0)

PE

x

观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边

形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．

15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

x2y2

已知F1(a0,b0)的左、右焦点，椭圆C过点

1,F2分别是椭圆C:

a2b2

()且与抛物线y28x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C方程；

（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A,B两点，求弦AB的长； （3）P为直线x3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直 线l的方程．

16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

设数列an满足：①a11；②所有项anN；③1a1a2anan1． 设集合Amn|anm,mN，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是 数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值．我们称数列bn为数列an的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列an的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列an； （2）设an3n1，求数列an的伴随数列bn的前100之和； （3）若数列an的前n项和Sn数列bn前m项和Tm．



321

nnc（其中c常数），试求数列an的伴随 22

闸北区高三数学一模2015(二)
闸北2015一模理科数学试卷含答案

闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数

a2i

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a ． 12i

x2

(x0)图像上，则的最小值为 ． x

2．若f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)，则f(0)f(2)． 3．设定点A(0,1)，若动点P在函数y

4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有个．

124n112

5．设nN，圆Cn:(x)(y1)n的面积为Sn，则limSn

nn41



6．在RtABC中，ABAC3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为 ． 7．设函数f(x)

对任意的xR，sin(x)，若存在x0(1,1)同时满足以下条件：①

2

都有f(x)f(x0)成立；②x02[f(x0)]2m2，则m的取值范围是．

2

8．若不等式xxa的解集是区间3， 3的子集，则实数a的取值范围为．9．关于曲线C:x4y31，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称；

③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“a2”是“关于x,y的二元一次方程组

ax2y3

有唯一解”的 【 】

x(a1)y1

A．必要不充分条件； B．充分不必要条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】

A．若a30，则a20150； B．若a40，则a20140； C．若a30，则S20150； D．若a40，则S20140．

12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素

eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”

的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法； ③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集． 其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】

A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．

三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

请仔细阅读以下材料：

已知f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数．



求证：命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．



1a1b

证明 因为a,bR，由ab1得a

1

0． b

又因为f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数，

1b1

同理有f(b)f()． ②

a

11

由① + ②得f(a)f(b)f()f()．

ab

于是有f(a)f()． ①



故，命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．

1a1b

请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：



（1）试用命题的等价性证明：“设a,bR，若f(a)f(b)f()f()，则：

1

a1b

ab1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f(a

x1

． )f(2x)f(a1x)f(2x)（其中a0）

14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数yAsin(x)(A0,0,(0,))，x[4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥

部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 F(- 4,0)形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

yG

PE

x

上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

x2y2

已知F1(a0,b0)的左、右焦点，椭圆C过点

1,F2分别是椭圆C:

a2b2

()且与抛物线y28x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C方程；

（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A,B两点，求弦AB的长； （3）P为直线x3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直 线l的方程． 16．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

设数列an满足：①a11；②所有项anN；③1a1a2anan1． 设集合Amn|anm,mN，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是 数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值．我们称数列bn为数列an的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列an的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列an； （2）设an3n1，求数列an的伴随数列bn的前100之和； （3）若数列an的前n项和Sn数列bn前m项和Tm．



321

nnc（其中c常数），试求数列an的伴随 22

理科答案

一．填空题：

1.4； 2.2； 3.2； 4.7； 5.4； 6.4； 7.(,2)(2,)； 8.(,5] 9.②；④

二．选择题：

10.A11.C12.D

三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.

原命题的逆否命题：设a,bR，若ab1，则：f(a)f(b)f()f() ……4分

下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为a,bR，由ab1得：0a

1

a1b

1

， …………………………1分 b

又f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数

所以f(a)f()…………（1） …………………………1分

1b

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题. …………………………1分

x1x

（2）由（1）的结论有：a21，即：(2a)xa ………………………3分

1

)…………（2） …………………………1分 a

11

由（1）+（2）得：f(a)f(b)f()f() …………………………1分

ab

同理有：f(b)f(

1

时，不等式的解集为：(log2aa,) ……………2分 2

1

②当02a1时，即0a时，不等式的解集为：(,log2aa) ………2分

21

③当2a1时，即a时，不等式的解集为：R ……………2分

2

14. 解：（1）由已知条件，得A2, ……………………………1分

T2

12,3,T ……………………………2分

46

2

又∵当x1时，有y2sin()2……2分

63 2

),x[4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y2sin(x

63

2

y)1得 （2）由y2sin(x

63k

x6k(1)4(kZ) …………2分

P又x[4,0]k0,x3G(3,1)…2分

①当2a1时，即a

OG ……………………1分【闸北区高三数学一模2015】

∴ 景观路GO

……………1分

F(- 4,0)

1E

x

(3)

如图，OCCD1,OD2,COD



6

作PP1x轴于P1中， PP1OPsin2sin ……………1分 1点，在RtOPP

OPOM

在OMP中， …………………1分 

sin1200sin(600)

……………………………………1分

OPsin(600)4230

∴OMsin(60)2cossin ……………1分 0

sin12032S平行四边形OMPQOMPP(2cossin)2sin …………………1分 1

322343

cos24sincossin22sin2

333

42 (0,) …………………2分 sin(2)

3363

2当2时，即时：平行四边形面积最大值为 …………………1分

6263

15.解（1）由题意得 F1(2,0) c2 …………………2分

311， 22aa4

得，a48a2120，解得a26或a22（舍去）， …………………2分

2

则b2， …………1分

x2y2

故椭圆方程为1． …………………1分

62

（2）直线l的方程为yk(x2)． …………………1分

yk(x2),

联立方程组x2y2

1.26

消去y并整理得(3k21)x212k2x12k260． …………………3分

设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

又

12k212k26

故x1x2，x1x2． …………………1分 22

3k13k1

222

则AB【闸北区高三数学一模2015】

kx1x2(1k)[(x1x2)4x1x2] …2分

（3）设AB的中点为M(x0,y0)．

6k2

可得x02， …………………1分

3k12k

． …………………1分 y02

3k1

1

直线MP的斜率为，又 xP3，

k

3(k21)

所以MPx0xP． …………………2分 (3k21)

闸北区高三数学一模2015(三)
2015年上海市闸北区高考数学(文)一模试题

闸北区2014学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数

a2i

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a ． 12i

2．若f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)，则f(2) 3．设动点P在函数y

2

图像上，若O为坐标原点，则PO的最小值为． x

4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位数有个．

124n112

5．设nN，圆Cn:(x)(y1)n的面积为Sn，则limSn ．

nn41



6．在RtABC中，ABAC3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为 ．

7．设函数f(x)2sin(x)，若存在x0R，使得对任意的xR，都有f(x)f(x0)成 立．则关于m的不等式m2mf(x0)0的解为

8．若不等式xxa在区间3，3上恒成立，则实数a的取值范围为．

2

x2

y41，给出下列四个结论： 9．关于曲线C:4

①曲线C是椭圆； ②关于坐标原点中心对称； ③关于直线yx轴对称； ④所围成封闭图形面积小于8．

则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“a2”是“关于x,y的二元一次方程组

ax2y3

有唯一解”的 【 】

x(a1)y1

A．必要不充分条件； B．充分不必要条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

1

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】

A．若a30，则a20150； B．若a40，则a20140； C．若a30，则S20150； D．若a40，则S20140．

12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素

eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”

的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法； ③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集． 其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】

A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．

三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

请仔细阅读以下材料：

已知f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数．



求证：命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．







1a1b

证明 因为a,bR，由ab1得a

1

0． b

又因为f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数，

1b1

同理有f(b)f()． ②

a

11

由① + ②得f(a)f(b)f()f()．

ab

于是有f(a)f()． ①



故，命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．

1a1b

请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：



（1）试用命题的等价性证明：“设a,bR，若f(a)f(b)f()f()，则：

1

a1b

ab1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f(a

2

x1

)f(2x)f(a1x)f(2x)（其中a0,a

1）． 2

14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

x2y2

已知F21(a0,b0)的左、右焦点，椭圆C

过点1,F2分别是椭圆C:2

ab

(且与抛物线y28x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C方程；

（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A,B两点，求弦AB的长； （3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数yAsin(x)(A0,0,(0,))，x[4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥

部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

yGF(- 4,0)

PE

x

上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值． 16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）

设数列an满足：①a11；②所有项anN；③1a1a2anan1． 设集合Amn|anm,mN，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是 数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值．我们称数列bn为数列an的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设an3n1，求数列an的伴随数列bn的前20之和；

（3）若数列an的前n项和Snn2c（其中c常数），求数列an的伴随数列bm 的前m项和Tm．

3



文科答案

一．填空题：

1.4； 2.2； 3.2； 4.14； 5.4；

6.4； 7.(,2)(1,)； 8.7,； 9.②④．

二．选择题：

10.A11.C12.D

三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.

原命题的逆否命题：设a,bR，若ab1，则：f(a)f(b)f()f().……4分

下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为a,bR，由ab1得：0a

1

a1b

1

， …………………………1分 b

又f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数

所以f(a)f()…………（1） …………………………1分

1b

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题. …………………………1分

x1x

（2）由（1）的结论有：a21，即：(2a)xa ………………………3分

1

)…………（2） …………………………1分 a

11

由（1）+（2）得：f(a)f(b)f()f() …………………………1分

ab

同理有：f(b)f(

1

时，不等式的解集为：(log2aa,) ……………3分 2

1

②当02a1时，即0a时，不等式的解集为：(,log2aa) ………3分

2

①当2a1时，即a

14. 解（1）由题意得 F1(2,0) c2 …………………2分

311， a2a244222

得，a8a120，解得a6或a2（舍去）， …………………2分

2

则b2， …………1分

x2y2

故椭圆方程为1． …………………1分

62

（2）直线l的方程为yx2． …………………1分

yx2

联立方程组x2y2

126

消去y并整理得2x26x30． …………………3分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

3

故x1x23，x1x2． …………………1分

2

又

则AB

kx1x2

2

(1k2)[(x1x2)24x1x2] …………2分

4

（3）设AB的中点为M(x0,y0)． 可得x0

3

， …………………1分 21

y0． …………………1分

2

线段AB的中垂线l1斜率为1， 所以l1:yx1

设P(t,1t) …………………1分

所以MP当△ABP为正三角形时，MP



3

． …………………1分 2

3

AB，

2

3 解得t0或3． …………………2分 22

即P(0,1)，或P(3,2)． …………………1分

15. 解：（1）由已知条件，得A2, ……………………………1分

T2

3,T12, ……………………………2分 46

2

又∵当x1时，有y2sin()2……2分

63 2

),x[4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y2sin(x

63

2

)1得x6k(1)k4(kZ) …………2分 （2）由y2sin(x

63

又x[4,0]k0,x3G(3,1) ……………………2分

又∵

OG ……………………1分

∴ 景观路GO

……………1分 (3)如图，

yGF(- 4,0)

P1E

x

OC,CD1,OD2,COD



6

…1分

作PP1x轴于P1点，在RtOPP1中，

PP1OPsin2sin …………………1分 在OMP中， OPOM

 …………………1分 00

sin120sin(60)

OPsin(600)420∴OMsin(60)2cossin ………1分

sin120033

2S平行四边形OMPQOMPPsin)2sin …………………1分 1(2cos

3

43223

4sincossin22sin2cos2

333

5

闸北区高三数学一模2015(四)
2015届上海市闸北区高三数学一模试卷

闸北区2014学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数

a2i

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a ． 12i

2．若f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)，则f(0)f(2)． 3．设定点A(0,1)，若动点P在函数y

x2

(x0)图像上，则的最小值为 ． x

4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位偶数有个．

124n112

5．设nN，圆Cn:(x)(y1)n的面积为Sn，则limSn

nn41



6．在RtABC中，ABAC3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为 ． 7．设函数f(x)

对任意的xR，sin(x)，若存在x0(1,1)同时满足以下条件：①

2

都有f(x)f(x0)成立；②x02[f(x0)]2m2，则m的取值范围是．

2

8．若不等式xxa的解集是区间3， 3的子集，则实数a的取值范围为．9．关于曲线C:x4y31，给出下列四个结论： ①曲线C是双曲线； ②关于y轴对称；

③关于坐标原点中心对称； ④与x轴所围成封闭图形面积小于2． 则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确结论的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“a2”是“关于x,y的二元一次方程组

ax2y3

有唯一解”的 【 】

x(a1)y1

A．必要不充分条件； B．充分不必要条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】

A．若a30，则a20150； B．若a40，则a20140； C．若a30，则S20150； D．若a40，则S20140．

12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素

eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”

的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法； ③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集． 其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】

A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．

三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

请仔细阅读以下材料：

已知f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数．



求证：命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题． 

证明 因为a,bR，由ab1得a



1a1b

1

0． b

又因为f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数，

1b1

同理有f(b)f()． ②

a

11

由① + ②得f(a)f(b)f()f()．

ab

于是有f(a)f()． ①



故，命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．

1a1b

请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：



（1）试用命题的等价性证明：“设a,bR，若f(a)f(b)f()f()，则：

1

a1b

ab1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f(a

x1

． )f(2x)f(a1x)f(2x)（其中a0）

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数yAsin(x)(A0,0,(0,))，x[4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥

部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 F(- 4,0)形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧

yG

PE

x

上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

x2y2

已知F1(a0,b0)的左、右焦点，椭圆C过点

1,F2分别是椭圆C:

a2b2

()且与抛物线y28x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C方程；

（2）斜率为k的直线l过右焦点F2，且与椭圆交于A,B两点，求弦AB的长； （3）P为直线x3上的一点，在第（2）题的条件下，若△ABP为等边三角形，求直 线l的方程．

设数列an满足：①a11；②所有项anN；③1a1a2anan1． 设集合Amn|anm,mN，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是 数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值．我们称数列bn为数列an的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）若数列an的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列an； （2）设an3n1，求数列an的伴随数列bn的前100之和； （3）若数列an的前n项和Sn数列bn前m项和Tm．



321

nnc（其中c常数），试求数列an的伴随 22

理科答案

一．填空题：

1.4； 2.2； 3.2； 4.7； 5.4； 6.4； 7.(,2)(2,)； 8.(,5] 9.②；④

二．选择题：

10.A11.C12.D

三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.

原命题的逆否命题：设a,bR，若ab1，则：f(a)f(b)f()f() ……4分

下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为a,bR，由ab1得：0a

1

a1b

1

， …………………………1分 b

又f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数

所以f(a)f()…………（1） …………………………1分

1b

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题. …………………………1分

x1xx

（2）由（1）的结论有：a21，即：(2a)a ………………………3分

1

)…………（2） …………………………1分 a

11

由（1）+（2）得：f(a)f(b)f()f() …………………………1分

ab

同理有：f(b)f(

1

时，不等式的解集为：(log2aa,) ……………2分 2

1

②当02a1时，即0a时，不等式的解集为：(,log2aa) ………2分

21

③当2a1时，即a时，不等式的解集为：R ……………2分

2

14. 解：（1）由已知条件，得A2, ……………………………1分

T2

12,3,T ……………………………2分

46

2

又∵当x1时，有y2sin()2……2分

63 2

),x[4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y2sin(x

63

2

y)1得 （2）由y2sin(x

63k

x6k(1)4(kZ) …………2分

P又x[4,0]k0,x3G(3,1)…2分

①当2a1时，即a

OG ……………………1分

∴ 景观路GO

……………1分

F(- 4,0)1E

x

闸北区高三数学一模2015(五)
闸北区2015年高三数学文科一模试卷

闸北区2014学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷

考生注意：

1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．

3. 本试卷共有16道试题，满分150分．考试时间120分钟．

一、填空题（54分）本大题共有9题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每

个空格填对得6分，否则一律得零分． 1．若复数

a2i

（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a ． 12i

2．若f(x)为奇函数，当x0时，f(x)log2(2x)，则f(2) 3．设动点P在函数y

2

图像上，若O为坐标原点，则PO的最小值为． x

4．用数字“1,2”组成一个四位数，则数字“1,2”都出现的四位数有个．

124n112

5．设nN，圆Cn:(x)(y1)n的面积为Sn，则limSn ．

nn41



6．在RtABC中，ABAC3，M,N是斜边BC上的两个三等分点，则AMAN的值为 ．

7．设函数f(x)2sin(x)，若存在x0R，使得对任意的xR，都有f(x)f(x0)成 立．则关于m的不等式m2mf(x0)0的解为

8．若不等式xxa在区间3，3上恒成立，则实数a的取值范围为．

2

x2

y41，给出下列四个结论： 9．关于曲线C:4

①曲线C是椭圆； ②关于坐标原点中心对称； ③关于直线yx轴对称； ④所围成封闭图形面积小于8．

则其中正确结论的序号是 ．（注：把你认为正确命题的序号都填上） 二、选择题（18分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确

的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得6分，否则一律得零分. 10．“a2”是“关于x,y的二元一次方程组

ax2y3

有唯一解”的 【 】

x(a1)y1

A．必要不充分条件； B．充分不必要条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．

1

11．已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是 【 】

A．若a30，则a20150； B．若a40，则a20140； C．若a30，则S20150； D．若a40，则S20140．

12．对于集合A，定义了一种运算“”，使得集合A中的元素间满足条件：如果存在元素

eA，使得对任意aA，都有eaaea，则称元素e是集合A对运算“”

的单位元素．例如：AR，运算“”为普通乘法；存在1R，使得对任意aR，都有1aa1a，所以元素1是集合R对普通乘法的单位元素． 下面给出三个集合及相应的运算“”： ①AR，运算“”为普通减法；

②A{AmnAmn表示mn阶矩阵，mN,nN}，运算“”为矩阵加法； ③AXXM（其中M是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集． 其中对运算“”有单位元素的集合序号为 【 】

A．①②； B．①③； C．①②③； D．②③．

三、解答题（本题满分78分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤．

13．（本题满分18分，第（1）小题9分，第（2）小题9分）

请仔细阅读以下材料：

已知f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数．



求证：命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．







1a1b

证明 因为a,bR，由ab1得a

1

0． b

又因为f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数，

1b1

同理有f(b)f()． ②

a

11

由① + ②得f(a)f(b)f()f()．

ab

于是有f(a)f()． ①



故，命题“设a,bR，若ab1，则f(a)f(b)f()f()”是真命题．

1a1b

请针对以上阅读材料中的f(x)，解答以下问题：



（1）试用命题的等价性证明：“设a,bR，若f(a)f(b)f()f()，则：

1

a1b

ab1”是真命题；

（2）解关于x的不等式f(a

2

x1

)f(2x)f(a1x)f(2x)（其中a0,a

1）． 2

14．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题7分，第（3）小题7分）

x2y2

已知F21(a0,b0)的左、右焦点，椭圆C

过点1,F2分别是椭圆C:2

ab

(且与抛物线y28x有一个公共的焦点．

（1）求椭圆C方程；

（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A,B两点，求弦AB的长； （3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标． 15．（本题满分20分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）

如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC， 该曲线段是函数yAsin(x)(A0,0,(0,))，x[4,0]的图像，图像的

EF．游乐场的后一最高点为B(1,2)．边界的中间部分为长1千米的直线段CD，且CD∥

部分边界是以O为圆心的一段圆弧

．

（1）求曲线段FGBC的函数表达式； （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；

（3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边 形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上，一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧【闸北区高三数学一模2015】

yGF(- 4,0)

PE

x

上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值． 16．（本题满分20分，第（1）小题5分，第（2）小题7分，第（3）小题8分）

设数列an满足：①a11；②所有项anN；③1a1a2anan1． 设集合Amn|anm,mN，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是 数列an中满足不等式anm的所有项的项数的最大值．我们称数列bn为数列an的 伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3．

（1）请写出数列1,4,7的伴随数列；

（2）设an3n1，求数列an的伴随数列bn的前20之和；

（3）若数列an的前n项和Snn2c（其中c常数），求数列an的伴随数列bm 的前m项和Tm．

3



文科答案

一．填空题：

1.4； 2.2； 3.2； 4.14； 5.4；

6.4； 7.(,2)(1,)； 8.7,； 9.②④．

二．选择题：

10.A11.C12.D

三．解答题： 13. 解：（1）原命题与原命题的逆否命题是等价命题.

原命题的逆否命题：设a,bR，若ab1，则：f(a)f(b)f()f().……4分

下面证明原命题的逆否命题为真命题： 因为a,bR，由ab1得：0a

1

a1b

1

， …………………………1分 b

又f(x)是定义在(0,)上的单调递增函数

所以f(a)f()…………（1） …………………………1分

1b

所以原命题的逆否命题为真命题

所以原命题为真命题. …………………………1分

x1x

（2）由（1）的结论有：a21，即：(2a)xa ………………………3分

1

)…………（2） …………………………1分 a

11

由（1）+（2）得：f(a)f(b)f()f() …………………………1分

ab

同理有：f(b)f(

1

时，不等式的解集为：(log2aa,) ……………3分 2

1

②当02a1时，即0a时，不等式的解集为：(,log2aa) ………3分

2

①当2a1时，即a

14. 解（1）由题意得 F1(2,0) c2 …………………2分

311， a2a244222

得，a8a120，解得a6或a2（舍去）， …………………2分

2

则b2， …………1分

x2y2

故椭圆方程为1． …………………1分

62

（2）直线l的方程为yx2． …………………1分

yx2

联立方程组x2y2

126

消去y并整理得2x26x30． …………………3分 设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

3

故x1x23，x1x2． …………………1分

2

又

则AB

kx1x2

2

(1k2)[(x1x2)24x1x2] …………2分

4

（3）设AB的中点为M(x0,y0)． 可得x0

3

， …………………1分 21

y0． …………………1分

2

线段AB的中垂线l1斜率为1， 所以l1:yx1

设P(t,1t) …………………1分

所以MP当△ABP为正三角形时，MP



3

． …………………1分 2

3

AB，

2

3 解得t0或3． …………………2分 22

即P(0,1)，或P(3,2)． …………………1分

15. 解：（1）由已知条件，得A2, ……………………………1分

T2

3,T12, ……………………………2分 46

2

又∵当x1时，有y2sin()2……2分

63 2

),x[4,0]． ………1分 ∴ 曲线段FBC的解析式为y2sin(x

63

2

)1得x6k(1)k4(kZ) …………2分 （2）由y2sin(x

63

又x[4,0]k0,x3G(3,1) ……………………2分

又∵

OG ……………………1分

∴ 景观路GO

……………1分 (3)如图，

yGF(- 4,0)

P1E

x

OC,CD1,OD2,COD



6

…1分

作PP1x轴于P1点，在RtOPP1中，

PP1OPsin2sin …………………1分 在OMP中， OPOM

 …………………1分 00

sin120sin(60)

OPsin(600)420∴OMsin(60)2cossin ………1分

sin120033

2S平行四边形OMPQOMPPsin)2sin …………………1分 1(2cos

3

43223

4sincossin22sin2cos2

333

5

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