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汕头市2015-2016学年度普通高中教学质量检测高二理科数学答案(1)
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号123456789101112
答案BACABCDDADBD
二、填空题：(每小题5分，共20分)
13.
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; 14. 4; 15. 1; 16. 4
三、解答题(满分70分)
17.解: ⑴ 设等差数列
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的公差为
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，
则由
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，
![]()
……… 1分
得
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， ……… 2分
解得
![]()
， ……… 3分
∴
![]()
， ……… 4分
所以数列
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的通项公式为
![]()
， ……… 5分
⑵由⑴得
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， ……… 6分
∵
![]()
……… 7分
∴对于任意的
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，
![]()
恒成立，……… 8分
∴若不等式
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对于任意的
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恒成立，则只需
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，……… 9分
因此所求实数
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的取值范围为
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。 ……… 10分
18.解：⑴ ∵
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，
∴由正弦定理得
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， ……… 2分
∵
![]()
,
∴
![]()
， ……… 3分
∴
![]()
……… 4分
∵
![]()
，
∴
![]()
……… 6分
⑵由余弦定理得
![]()
，又
![]()
，
![]()
∴
![]()
， ……… 8分
∵
![]()
,
![]()
∴
![]()
，……… 9分
∴
![]()
，当且仅当
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时等号成立， ……… 10分
∴
![]()
，当且仅当
![]()
时等号成立，………11分
∴△ABC的面积S的最大值为
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。 ……… 12分
汕头市2015-2016学年度普通高中教学质量检测高二理科数学答案(2)
解：⑴由已知数据，可得
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………1分，
![]()
，………2分
![]()
![]()
………3分
![]()
，
……… 4分
∴
![]()
， ……… 5分
![]()
……… 7分
∴
![]()
关于
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的线性回归方程为
![]()
， ……… 9分
⑵由⑴知，当
![]()
时，
![]()
(kg)……… 11分
因此，当身高为168cm时，体重的估计值
![]()
为53.96kg。 ……… 12分
20. 解：⑴∵
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，
∴不等式
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等价于
![]()
， ……… 1分
依题意知不等式
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的解集为
![]()
，
∴
![]()
且1和2为方程
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的两根， ……… 2分
∴
![]()
， ……… 3分
解得
![]()
， ……… 5分
∴实数
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、
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的值分别为
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、
![]()
， ……… 6分
汕头市2015-2016学年度普通高中教学质量检测高二理科数学答案(3)
不等式
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可化为
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，
(ⅰ)当
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时，不等式
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等价于
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，解得
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，故原不等式的解集为
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，… 7分
(ⅱ)当
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时，不等式
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等价于
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，
①当
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时
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，不等式
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的解集为
![]()
，即原不等式的解集为
![]()
， ……… 8分
②当
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时，不等式
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的解集为
![]()
，即原不等式的解集为
![]()
， ………9分
③当
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时
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，不等式
![]()
的解集为
![]()
，即原不等式的解集为
![]()
， ……… 10分
(ⅲ)当
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时，不等式
![]()
等价于
![]()
，
∵
![]()
，
∴
![]()
，
∴不等式
![]()
的解集为
![]()
，即原不等式的解集为
![]()
，… 11分
综上所述，当
![]()
时不等式
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的的解集为
![]()
，
当
![]()
时不等式
![]()
的的解集为
![]()
，
当
![]()
时不等式
![]()
的的解集为
![]()
，
当
![]()
时不等式
![]()
的的解集为
![]()
，
当
![]()
时不等式
![]()
的的解集为
![]()
。 ……… 12分
21. 解：⑴∵
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∴当
![]()
时，
![]()
，解得
![]()
……… 2分
⑵证明：∵
![]()
，
∴当
![]()
时，
![]()
， ……… 3分
![]()
，即
![]()
， ……… 4分
∴
![]()
，
又
![]()
，所以
![]()
，且
![]()
， ……… 6分
所以数列
![]()
是以
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为首项，2为公比的等比数列。 ……… 7分
⑶由⑵得
![]()
，所以
![]()
……… 8分
∴
![]()
， ……… 10分
∴
![]()
……… 12分
22.解：⑴若
![]()
，则
![]()
， ……… 1分
由
![]()
，得
![]()
，解得
![]()
， ……… 2分
∴函数
![]()
的二阶不动点为
![]()
， ……… 3分
⑵证明：∵
![]()
是函数
![]()
的二阶不动点，
∴
![]()
，……… 4分
记
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，则
![]()
，
若
![]()
，则由
![]()
在区间D上为增函数，有
![]()
，即
![]()
，这与假设
![]()
相矛盾;… 5分
若
![]()
，则由
![]()
在区间D上为增函数，有
![]()
，即
![]()
，这与假设
![]()
相矛盾;… 6分
∴
![]()
，即
![]()
，
∴
![]()
是函数
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的一阶不动点，命题得证; ……… 7分
⑶函数
![]()
在
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上单调递增，则由⑵可知，若
![]()
在
![]()
上存在二阶不动点
![]()
，则
![]()
在
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上也必存在一阶不动点
![]()
;反之，若
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在
![]()
上存在一阶不动点
![]()
，即
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，那么
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，故
![]()
在
![]()
上也存在二阶不动点
![]()
。……… 8分
所以函数
![]()
在
![]()
上存在二阶不动点
![]()
等价于
![]()
在
![]()
上有解， ……… 9分
即方程
![]()
在
![]()
上有解，……… 10分
∴
![]()
在
![]()
上有解， ……… 11分
由
![]()
可得
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，∴
![]()
，
∴
![]()
的取值范围是
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。 ……… 12分
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