辽宁省沈阳市2016届高三上学期教学质量监测

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　　适当的试题能让考生很好的掌握考试节奏，下面是中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编为大家带来的辽宁省沈阳市2016届高三上学期教学质量监测，希望能帮助到大家!

　　辽宁省沈阳市2016届高三上学期教学质量监测(1)

　　1.已知

为虚数单位，则复数 所对应的点在( )

 

　　A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

　　2. 设全集

，集合 ， ,则下列结论正确的是( ) A. B.

 

　　C.

D.

 

　　3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是( )

　　A.

B.

 

　　C.

D.

 

　　4. 已知两个非零向量

满足 ，且 ，则 ( )

 

　　A.

B. C. D.

 

　　5. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )

　　

6.设等差数列 满足 ， ， 是数列 的前n项和，则使得 最大的自然数 是( )

 

　　

A.9 B. C. D.

 

　　7. 某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是( )

　　A.

B.

 

　　

C. D.

 

　　8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

　　则输出的结果是( )

　　A.

B.0 C. D.

 

　　9.实数

满足 ，则

 

　　的最大值是( )

　　A.2 B.4 C.6 D.8

　　10.已知

是双曲线 上任意一点，过点 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为 、 ，则 的值是( )

 

　　A.

B. C. D.不能确定

 

　　11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有( )

　　A.24种 B.28种 C.32种 D.36种

　　12.已知函数

的图象在点 处的切线为 ，若 也与函数 ， 的图象相切，则 必满足( )

 

　　A.

B.

 

　　C.

D.

 

　　辽宁省沈阳市2016届高三上学期教学质量监测(2)

　　13.已知

，则 =____________.

 

　　14.已知抛物线

的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，过 作 于点 ，当 ( 为坐标原点)时, ____________.

 

　　15.设数列

的前 项和为 ，且 ， ，则 ____________.

 

　　16.已知函数

若方程 恰有一个解时，则实数 的取值范围 .

 

　　辽宁省沈阳市2016届高三上学期教学质量监测(3)

　　17. (本小题满分12分)

　　在

中，角 、 、 对应的边分别是 、 、 ， ，且 .

 

　　(Ⅰ)证明：

;

 

　　(Ⅱ)若

的面积是1，求边 .

 

　　

18. (本小题满分12分)

 

　　已知长方体

中， ， ，

 

　　

为 的中点，如图所示.

 

　　(Ⅰ)在所给图中画出平面

与平面 的

 

　　交线(不必说明理由);

　　(Ⅱ)证明：

平面 ;

 

　　(Ⅲ)求平面

与平面 所成锐二面角的大小.

 

　　19. (本小题满分12分)

　　某中学根据2002—2014年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次为

、 、 ，已知三个社团他都能进入的概率为 ，至少进入一个社团的概率为 ，且 .

 

　　(Ⅰ)求

与 的值;

 

　　(Ⅱ)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.

　　20.(本小题满分12分)

　　已知椭圆

的中心在坐标原点，左、右焦点 、 分别在 轴上,离心率为 ，在其上有一动点 ， 到点 距离的最小值是1.过 、 作一个平行四边形，顶点 、 、 、 都在椭圆 上，如图所示.

 

　　

(Ⅰ)求椭圆 的方程;

 

　　(Ⅱ)判断

能否为菱形，并说明理由.

 

　　(Ⅲ)当

的面积取到最大值时，

 

　　判断

的形状，并求出其最大值.

 

　　21.(本小题满分12分)

　　已知函数

( )在其定义域内有两个不同的极值点.

 

　　(Ⅰ)求

的取值范围;

 

　　(Ⅱ)记两个极值点分别为

， ，且 .已知 ,若不等式 恒成立,求 的范围.

 

　　请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

　　22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

　　如图所示，两个圆相内切于点

，公切线为 ，外圆的弦 ， 分别交内圆于 、 两点，并且外圆的弦 恰切内圆于点 .

 

　　

(Ⅰ)证明： ;

 

　　(Ⅱ)证明：

.

 

　　23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

　　在以直角坐标原点

为极点， 的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线 的方程是 ，将 向上平移1个单位得到曲线 .

 

　　(Ⅰ)求曲线

的极坐标方程;

 

　　(Ⅱ)若曲线

的切线交曲线 于不同两点 ,切点为 .求 的取值范围.

 

　　24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

　　已知命题“

， ”是真命题，记 的最大值为 ，

 

　　命题“

， ”是假命题，其中 .

 

　　(Ⅰ)求

的值;

 

　　(Ⅱ)求

的取值范围.

 

　　2016年沈阳市高三教学质量监测(一)

　　数学(理科)参考答案与评分标准

　　说明：

　　一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

　　二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

　　三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

　　四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

　　一.选择题

　　1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.B 10.A 11.B 12.D

　　题1A

，其对应的点为 ，故选A.

 

　　题2D 化简集合

，从而A、C错， ，故选D.

 

　　题3C A虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单调性可知在其定义域内是增函数(或

)，故选C.

 

　　题4B 由题

， 而 ，故选B.

 

　　题5B

　　题6A 解出

的公差 ，于是 的通项为 ，可见 是减数列，且 ， ，于是 ， ， ，从而该题选A.

 

　　题7C 不妨令该函数解析式为

，由图知 ， ，

 

　　于是

，即 ， 是函数减时经过的零点，于是 ， ，所以 可以是 ，选C.

 

　　题8B 由框图知输出的结果

，因为函数 的周期是6，所以 ，故选B.

 

　　

题9B 依题画出可行域如图，可见 及内部区域为可行域，

 

　　令

，则 为直线 在 轴上的截距，

 

　　由图知在点

处 取最大值是4，在

 

　　

处最小值是-2，所以 ，

 

　　所以

的最大值是4,故选B.

 

　　题10A 令点

，因该双曲线的

 

　　渐近线分别是

， ，

 

　　所以

， ，又

 

　　

，

 

　　所以

，选A.

 

　　此题可以用特殊位置法解决：令P为实轴右顶点，此时

　　

，选A.

 

　　题11B 由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：

;这名同学分到的两本书有三种情况：两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区别，所以在第一情况下有 种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说，其余两名同学各分到一本诗集)，在第二情况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三情况下有 种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样第二步骤共有情况数是 ，故本题的答案是 ，选B.

 

　　解法2：将3本相同的小说记为a,a,a; 2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种情况，分别是1、aa,a,b,b,此种情况有

种;2、bb,a,a,a, 此种情况有 种;3、

 

　　Ab,a,a,b, 此种情况有

种，总共有 种，故选B

 

　　题12D 由题

， ，所以 的方程为 ，因为 也与函数 的图象相切，令切点坐标为 ， ，所以 的方程为 ，这样有 ，所以 ， ,令 ， ，所该函数的零点就是 ，排除A、B选项，又因为 ，所以 在 上单调增，又 ， ， ，从而 ，选D.

 

　　二.填空题

　　13.

14. 15.66 16.

 

　　题13 依题

，所以 ，答案为 .

 

　　

题14 令 与 轴交点为 ，在 中， ， ，所以 ，若 ，则 ，代入 中，则 ，而 ，故答案为 .

 

　　几何法：如图所示，

，

 

　　又

 

　　而

，故答案为 .

 

　　题15 依题

，与原式作差得， ，即 ， ，可见，数列 从第二项起是公比为3的等比数列， ，所以 .故答案为66.

 

　　题16当

过点 时，则 ，满足方程有两个解;

 

　　

当 与 相切时，则 ，满足方程有两个解;所求范围 .

 

　　三.解答题

　　17.解：

　　(Ⅰ)由

，以及正弦定理得， ， …………………3分

 

　　又

，所以 ，从而有 .………………………………………6分

 

　　(Ⅱ)由

，所以 ，即： ，……9分

 

　　由余弦定理知，

，…………11分

 

　　所以

.……………………………………………………………………………12分

 

　　

18.解：

 

　　几何解法

　　(Ⅰ)连接

交 于 ，则

 

　　直线

即为平面 与平面 的

 

　　交线，如图所示;……………………4分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)因为在长方体

中，所以

 

　　

为 的中点，又 为 的中点

 

　　所以在

中 是中位线，所以 ，…………………………6分

 

　　又

平面 ， 平面 ，

 

　　所以

平面 ;……………………8分

 

　　(Ⅲ)因为在长方体

中，所以 ，

 

　　

平面 即是平面 ，过平面 上

 

　　点

作 的垂线于 ，如平面图①，

 

　　因为在长方体

中， 平面 ，

 

　　

平面 ，所以 ，

 

　　

，

 

　　所以

平面 于 .

 

　　过点

作直线 的垂线于 ，如平面图②，

 

　　连接

，由三垂线定理可知， .由二面角的平面角定义可知，在 中， 即是平面 与平面 所成锐二面角的平面角.

 

　　因长方体

中， ， ，在平面图①中，

 

　　

，………………………………………………………………………10分

 

　　

， ， ，在平面图②中，由 相似 可知 ，

 

　　所以

，

 

　　所以平面

与平面 所成锐二面角的大小为 .………………………12分

 

　　空间向量解法：

　　(Ⅰ)见上述. …………………………………………………………………………4分

　　(Ⅱ)因为在长方体

中，所以 两两垂直，于是以 所在直线分别为 轴，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

 

　　因为

, ，所以 ，

 

　　

， ， ， ，

 

　　

.所以 ， ，

 

　　

，…………………………6分

 

　　令平面

的一个法向量为

 

　　所以

， ，从而有，

 

　　

，即 ，不妨令 ，

 

　　得到平面

的一个法向量为 ，

 

　　而

，所以 ，又因为 平面 ，

 

　　所以

平面 .…………………………………………………………………8分

 

　　(Ⅲ)由(Ⅱ)知

， ，令平面 的一个法向量为 ,

 

　　所以

， ，从而有，

 

　　

，即 ，不妨令 ，

 

　　得到平面

的一个法向量为 ，………………………………………10分

 

　　因为

.………………………………………11分

 

　　所以平面

与平面 所成锐二面角的大小为 .…………………12分

 

　　19.解：

　　(Ⅰ)依题，

，解得 .…………………6分

 

　　(Ⅱ)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量

，则

 

　　

的值可以为0，1，2，3，4，5，6. …………………………………………7分

 

　　而

; ;

 

　　

; ;

 

　　

; ; .

 

　　这样

的分布列为： (………………………………每答对两个，加1分)

 

　　

0123456

 

　　

 

　　于是，

. ……12分

 

　　20.解：

　　(Ⅰ)依题，令椭圆

的方程为 ，

 

　　

，所以离心率 ，即 .…………………………2分

 

　　令点

的坐标为 ，所以 ，焦点 ，即

 

　　

，(没有此步，不扣分)

 

　　因为

，所以当 时， ，……………………………3分

 

　　由题

，结合上述可知 ，所以 ，

 

　　

于是椭圆 的方程为 .………………………………………………………4分

 

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知

，如图，

 

　　直线

不能平行于 轴，所以令直线 的方程

 

　　为

， ，

 

　　联立方程，

，

 

　　得

，

 

　　所以，

， .……………………………………………5分

 

　　若

是菱形，则 ，即 ，于是有 ，……6分

 

　　又

，

 

　　所以有

，………………………………………………7分

 

　　得到

，可见 没有实数解，故 不能是菱形. ………………8分

 

　　(Ⅲ)由题

，而 ，又 ，

 

　　即

，………………………………9分

 

　　由(Ⅱ)知

， .

 

　　所以，

………………………10分

 

　　

,

 

　　因为函数

， ，在 时， ，………………11分

 

　　即

的最大值为6，此时 ，也就是 时，

 

　　这时直线

轴，可以判断 是矩形. …………………………………12分

 

　　

21.解：

 

　　(Ⅰ)依题，函数

的定义域为 ，

 

　　所以方程

在 有两个不同根.

 

　　即，方程

在 有两个不同根.…1分

 

　　(解法一)转化为，函数

与函数

 

　　的图像在

上有两个不同交点，如图. ……………3分

 

　　可见，若令过原点且切于函数

图像的直线斜率为 ，只须 .

 

　　令切点

，所以 ，又 ，所以 ，

 

　　解得，

，于是 ，所以 .………………………………………6分

 

　　(解法二)转化为，函数

与函数 的图像在 上有两个不同交点.

 

　　又

，即 时， ， 时， ，

 

　　所以

在 上单调增，在 上单调减.从而 ………3分

 

　　又

有且只有一个零点是1，且在 时， ，在在 时， ，

 

　　

所以 的草图如下，

 

　　可见，要想函数

与函数 的

 

　　图像在

上有两个不同交点，

 

　　只须

.………………………………6分

 

　　(解法三)令

，从而转化为函数 有两个不同零点，

 

　　而

( )

 

　　若

，可见 在 上恒成立，所以 在 单调增，

 

　　此时

不可能有两个不同零点. ………………………………………………3分

 

　　若

，在 时， ，在 时， ，

 

　　所以

在 上单调增，在 上单调减，从而

 

　　又因为在

时， ，在在 时， ，于是只须：

 

　　

，即 ，所以 .

 

　　综上所述，

……………………………………………………………………6分

 

　　(Ⅱ)因为

等价于 .

 

　　由(Ⅰ)可知

分别是方程 的两个根，

 

　　即

，

 

　　所以原式等价于

，因为 ， ，

 

　　所以原式等价于

.………………………………………………………7分

 

　　又由

， 作差得， ，即 .

 

　　所以原式等价于

，

 

　　因为

，原式恒成立，即 恒成立.

 

　　令

， ，

 

　　则不等式

在 上恒成立. ………………………………8分

 

　　令

，

 

　　又

,

 

　　当

时,可见 时, ,所以 在 上单调增,又 ，

 

　　

在 恒成立,符合题意. ………………………………………10分

 

　　当

时, 可见 时, , 时 ,

 

　　所以

在 时单调增,在 时单调减, 又 ,

 

　　所以

在 上不能恒小于0,不符合题意,舍去.

 

　　综上所述, 若不等式

恒成立,只须 ,又 ,所以 .…12分

 

　　22.(Ⅰ)由弦切角定理可知，

, ……………3分

 

　　同理，

,所以， ,

 

　　所以，

. ……………5分

 

　　

(Ⅱ)连接TM、AM,

 

　　因为CD是切内圆于点M，

　　所以由弦切角定理知，

，

 

　　又由(Ⅰ)知

，

 

　　所以，

，又 ,

 

　　所以

. ……………8分

 

　　在

中,由正弦定理知, ,

 

　　在

中,由正弦定理知, ,因 ,

 

　　所以

,由 知 ,

 

　　所以

,即, .…………………………………10分

 

　　

23.(Ⅰ)依题,因 ,

 

　　所以曲线

的直角坐标下的方程为 ,

 

　　

所以曲线 的直角坐标下的方程为 ,…3分

 

　　又

，所以 ,

 

　　即曲线

的极坐标方程为 .…………………5分

 

　　(Ⅱ)由题令

， ，切线 的倾斜角为 ，所以切线 的参数方程为: ( 为参数). ……………………………7分

 

　　联立

的直角坐标方程得, , …8分

 

　　即由直线参数方程中,

的几何意义可知,

 

　　

，因为 所以 . …………10分

 

　　(解法二)设点

，则由题意可知当 时，切线与曲线 相交，

 

　　由对称性可知，当

时斜线的倾斜角为 ，则切线MN的参数方程为：

 

　　

(t为参数)，…………………7分

 

　　与C2的直角坐标联立方程，得

，…………………8分

 

　　则

,

 

　　因为

，所以 . …………………10分

 

　　此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.

　　24.(Ⅰ)因为“

， ”是真命题，

 

　　所以

， 恒成立，

 

　　又

，所以 恒成立，

 

　　所以，

.…………………………3分

 

　　又因为

 

　　

，“ ”成立当且仅当 时.

 

　　因此，

，于是 . ……………………………5分

 

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)得，因为“

， ”是假命题，

 

　　所以“

， ”是真命题. ………………7分

 

　　因为

( )，

 

　　因此，

，此时 ，即 时. ……8分

 

　　即，

，由绝对值的意义可知， .…………10分
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