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第一讲 有理数
一 基本知识结构
1 实数的分类
正整数自然数 整数0
有理数负整数实数
分数 形如q的形式p,q为既约整数且p0p无理数 无限不循环小数或开方开不尽的数
2 数轴
⑴ 定义:包含有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 ⑵ 性质:数轴上的点与全体实数一一对应
⑶ 运用 :比较大小 数轴上的点所表示的数从左到右越来越大。 3 相反数与倒数
⑴ 性质:互为相反数的数和为0,互为倒数的数积为1。
⑵ 奇数与偶数:定义 表示方法 。 ⑶ 质数与合数:性质
⑷ 应用:相反数为本身的数 倒数为本身的数 绝对值为本身的数 平方为本身的数 立方为本身的数 最小的自然数 最小的正整数 最大的负整数 最小的非负数 最大的非正数 。 4 绝对值
⑴ 定义:|a|是数轴上表示a的点到原点的距离。
⑵ 应用:怎样去绝对值符号? a⑶ |x-a|的几何意义: ⑷ 非负数:
① 初中数学常用的非负数的一般形式为:( ) ,| |
2
aa0
aa0
。
② 性质:非负数的和为0,只有这些非负数分别为0。 5 有理数的混合运算:
⑴ 有理数的运算法则:加(乘)法的结合律,交换律,乘法对加法的分配律.
⑵ 运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,有括号先算括号里面的. ⑶ 数列(提高):
① 等差数列:一个数列从第二项起,每一项减去它前面项的差都等于一个定值,这
样的数列叫等差列.数列中的第一个数叫首项,最后一个数叫末项.
首项末项公差末项-首项
等差数列的项=1,等差数列的和
公差2
② 等比数列:一个数列从第二项起,每一项与它前面项的比都等于一个定值,这样
的数列叫等比列.
⑷ 常用公式:
11111111111
,(),[]
n(n1)nn1n(na)annan(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)
1111
[]
n(n1)(n2)(na)an(n1)(n2)(na1)(n1)(n2)(na)
二 基本技能演练
A 组
(一)有理数的混合运算
3713
723 2. 14(10.5)3[2(3)2] 4848133134
0.5) 3.{1[()](2)}(
164164
1121332
4.[|33|||3(3)](2)(3)
332
1. 2 (二)解答
1.若(a-1)+|b+1| = 0,则a2.2
2013
2
2012
+b
2013
的值为多少?
×(
12012
)等于多少?(强调多方法求解) 2
555
444
333
3.试比较3 ,4,5 的大小。
4.请在下列式子的括号里填一个适当的数,使式子成立。|2012×( )-2012| = 2012
B 组
(一) 有理数的运算 1.(1)(59)|183.{1[
23
32
17
8| 27
2.2()9()(1)
3
12
2
13
310
113
0.25](2)4}[7()5(8)4(0.125)] 168
1
23(1)2012|12|[()2]
4.
(1)2011()1
54
(二) 解答题
1.若(2b1)2012|a1|(c1)20,求2.已知
abac的值. 3cb
fa1b1c1d1e1
,,,,,求的值.
ab2c3d4e5f6
a 0 b c 试化简|a-b|+|c-b|-|a-c|+|a|
3.如图:
4. 若|a|=3,|b|=5,求
|a|b
的值
a|b|
C组
(一)有理数的混合运算 1.||||1-2|-3|-4|-5| 3.
2.
2222232012 3333
111
1234234517181920
111 4. 1 1212312n
(二) 解答题
1. 已知|ab+2|+|a+1| = 0, 试求
111
的值。
(a1)(b1)(a2)(b2)(a2012)(b2012)
n
2. (3)()
13
n1
的值少于0,试判断n的取值范围?
3. 已知abcde是一个五位自然数,其中a,b,c,d,e为阿拉伯数码,试求 |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值.
4. 已知y|x5||x7||x10|,问x 取什么值时,y有最小值,这个值是多少?
第二讲 代数式
一 基本知识结构
1.代数式的分类
单项式整式有理式多项式 代数式分式分母里含有未知数的代数式无理式根号里含有未知数的代数式
2.单项式
⑴ 定义 ⑵ 单项式的系数 ⑶ 单项式的次数 ⑷ 同类项 3.多项式
⑴ 定义 ⑵ 多项式的项数 ⑶ 多项式的次数 ⑷ 把一个多项式按某一个字母的升(降)幂排列 (5) 完全平方数与完全平方式 4.幂
⑴ 定义及表示方法:aaaaa
n个
n
⑵ 应用:正数的任何次幂为 ,负数的任何次幂为 ,1 = , (-1) = ,(-1)
2n
2n+1
n
= ,0 = (n≠0),a = (a≠0),a
n
n
n
1
. an
⑶ 科学计数法:①形式:a×10,② 1≤|a| 10,n表示小数点移动的方向及位数。 5.代数式的运算
⑴ 添括号与去括号 ⑵ 合并同类项
⑶ 幂的运算:
aaa
mnmn
,aaa
mnmn
amam
,ab(ab),()m
bb
m
m
m
(am)n(an)mamn,(xy)2n(yx)2n,(xy)2n1(yx)2n1
⑷ 乘法公式:
① 平方差公式:(ab)(ab)ab,(xyz)(xyz)(xy)z
② 完全平方公式:(ab)a2abb,(abc)abc2ab2ac2bc ③ 立方和(差)公式:(ab)(aabb)ab
④ 和的立方公式(杨辉三角——二项式定理):(ab)a3ab3abb
3
3
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
二 基本技能演练
A组
(一)用字母表示数
1. 三角形、长方形、平行四边形、梯形、圆的面积公式及两(三)位数的表示? 2.请写出奇数、偶数、被5除余3的数、比7的倍数少5的数。
3.产品的价格为a元,先提高20%,再下降20%,则产品现在的价格为多少?
4.电影院第一排有a个座位,后面每一排都比前一排多2个座位,则第n排有多少个座位?
5.a、b两数的平方差除以a与b差的平方用代数式表示为多少?
6.a的3倍与b的和除以a与b的3倍的差为多少?(注意怎样断句) 7.说出下列代数式的意义 ⑴ (ab)2 ⑵ab ⑸ ()
2
2
⑶ (xy)(xy)
⑷ 3(xy2)
yx
2
⑹
y x2
8.把下列各种情况用代数式表示
⑴ 一项工程,甲a天完成,乙b天完成,则甲乙合做多少天完成? ⑵ 上山的速度为x,下山速度为y,则上下山的平均速度为多少?
⑶ 浓度为a%的盐水m克与浓度为b%的盐水n克混合后的盐水浓度为多少?
(二)幂的运算 1.(a)2(a4)(a)
2.a5am1(a)2a2m1
3.(xy)m(yx)2m1[(xy)m] 5.162
n2
4.(10)2n1000(10)2n1 6.0.20.412.5
m3
m2
m
4
4
4
82n342n4
4
7.()49 9.(3)9
a
17
8
8.(t)t(t)tt
10.(2xy)(3xy)4xy18xy
23
2
2
3
2
4
6
n2n3
(9)3
11.已知xx
3a2
xx35,则a的值为多少? 12.已知32n132n36,求n的值。
x
y
2n
13.已知2x5y30,求432的值。14.已知x15.已知a4,b5,求(ab)的值。
x
x
2x【七年级数学暑假培训资料】
2,求4x4n6x6n8x8n的值。
5
n
16.已知824,求n的值。
2015年暑期七年级数学培训资料(1) 班级________ 姓名__________ 成绩________
1、整式、整式的加减
ab23
,4,abc,0,xy,中,单项式有【 】 1.在下列代数式:33x
(A)3个 (B)4个 (C)5个 (D)6个
23xy4
2.单项式的次数是【 】
7
(A)8次 (B)3次 (C)4次 (D)5次 3.在下列代数式:
1121
ab,ab,ab2b1,3,,x2x1中,多项式有【 】 222
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
4.下列多项式次数为3的是【 】
222222
(A)-5x+6x-1 (B)πx+x-1 (C)ab+ab+b (D)xy-2xy-1 5.下列说法中正确的是【 】
(A)代数式一定是单项式 (B)单项式一定是代数式
222
(C)单项式x的次数是0 (D)单项式-πxy的次数是6。 6.下列语句正确的是【 】
22
(A)x+1是二次单项式 (B)-m的次数是2,系数是1 (C)
12abc是二次单项式 (D)是三次单项式
3x2
7. 化简
2222
(1)2a-3ab+2b-(2a+ab-3b) (2) 2x-(5a-7x-2a)
2
8.减去-2x后,等于4x-3x-5的代数式是什么?
2232
9.一个多项式加上3xy-3xy得x-3xy,这个多项式是多少?
2、同底数幂的乘法
1. 10
m1
10n1=________,64(6)5=______.2. (xy)2(xy)5=_________________.
3. 1010010100100100100001010=___________.
3
4. 若2
x1
16,则x=________. 5. 若am2,an5,则amn=________.
34
4
a
16
6. 若aaa,则m=________;若xxx,则a=__________;
若xxxxxx,则y=______;若ax(a)2a5,则x=_______. 7. 下面计算正确的是( )
A.bbb; B.xxx; C.aaa; D.mmm 8. 81³27可记为( )
A.9; B.3; C.3; D.3 10. 计算(2)1999(2)2000等于( ) A.2
39993
7
6
12
m
2345y
32633642656
; B.-2; C.2
1999
; D.2
1999
3、幂的乘方与积的乘方
12235722n3
(pq)(pq)1. 计算 (abc) (a)a 3
(3a2)3(a2)2a2 (x2yn)2(xy)n1
2.()
13
100
(3)100 =_________ , 若xn2,yn3,则(xy)n=_______,
32
3.若a为有理数,则(a)的值为( )
A.有理数 B.正数 C.零或负数 D.正数或零 4.若(ab)0,则a与b的关系是( )
A.异号 B.同号 C.都不为零 D.关系不确定
xy82332
5.计算(p)(p)[(p)]的结果是( ) 6.44= ( )
33
7.拓展题
(1)(x)+(x)-x(x)x-(-x)(-x)(-x)
42
24
223
3
22
(2)已知a=3,b=2,求(a)+(b)- a
3m
3n
2m3
n3
2m n 4m 2n
ba
b的值。
2015年暑期七年级数学培训资料(2) 班级________ 姓名__________ 成绩________
4、同底数幂的除法
1.计算(x)5(x)2=_______,xxxx =______. 2.水的质量0.000204kg,用科学记数法表示为__________. 3.若(x2)0有意义,则x_________.
4.计算 (3)0(0.2)2 [(mn)2(mn)3]2(mn)4
5.若5x-3y-2=0,则1010=_________.6.如果am3,an9,则a
5x
3y
3m2n
10234
=________.
7.下列运算结果正确的是( )
3235213633-2-•1
①2x-x=x ②x²(x)=x ③(-x)÷(-x)=x ④(0.1)³10=10 A.①② B.②④ C.②③ D.②③④ 8.已知a≠0,下列等式不正确的是( ) A. (-7a)=1 B. (a+
2
10100
)=1 C. (│a│-1)=1 D. ()1
a2
2
5、整式的乘法
1.计算 ab²(-4ab) (-2.5³10)³(2³10)
x(-5x-2y+1) (a+1)(a-
2.将一个长为x,宽为y的长方形的长增加1,宽减少1,得到的新长方形的面积是 .
6
6
3
1) 2
6、整式的除法
1. 9ab
(7x-6x+3x)÷3x [(2xy)(0.5xyz)][(25xy)(xy)]
3
2
2m2m3
3amb2m 8a2b2c÷_________=2a2bc.
232324
2.____________________²4xy8xy2xy6xy. 3.__________÷(210)510.
4.如果x+x-6除以(x-2)(x+a)的商为1,那么a=________.
2
23544423
73
7、 平方差公式
1.利用公式计算 (x+6)(6-x) (x)(x)
(a+b+c)(a-b-c) 2019
2.下列式中能用平方差公式计算的有( ) ①(x-
1212
198
403³397 9
11
y)(x+y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) 22
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.下列式中,运算正确的是( ) ①(2a)4a, ②(④2482
a
b
a2b3
222
111
x1)(1x)1x2, ③(m1)2(1m)3(m1)5, 339
.
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
4.乘法公式中的字母a、b表示( )
A.只能是数 B.只能是单项式 C.只能是多项式 D.单项式、•多项式都可以
8、完全平方公式
1
计算(1)1x (2)ab
2
2
2【七年级数学暑假培训资料】
111
(3)xy (4)cd
1025
2
(5)(2xy1)(2xy1) (6)(2xy)4(xy)(x2y)
22
2 2
(7)499 (8)998
(9)若x+mx+4是一个完全平方公式,则m的值为( )
2
2015年暑期七年级数学培训资料(3)
班级________ 姓名__________ 成绩________
一、选择题
1、下列运算正确的是
A、aaa B、2a2、下列计算正确的是 A、a0a1
4
5
9
23
8a5 C、
2a
23
6a6 D、bmbm1b
2113
B、11 C、2a3 D、a4a4a0 aa
3、下列等式中,成立的是
A、(ab)2a2b2 B、(ab)2a2b2 C、aba22abb2 D、(a2)(a3)a26
2
4、下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是
A、xaxa B、bmmb C、xbbx D、abab
2
5、已知2xk4x12x9, 则k
2
A、3 B、3 C、3 D、9 6、已知ab6,ab5,则 a2b2
A、26 B、19 C、13 D、37 7、 如图7,直线l截两平行直线a、b,则下列式子不一定成立的是( ) A.∠1=∠5 B.∠2=∠4 C.∠3=∠5 D.∠5=∠10. 、 8、如若AB∥CD,则( )
A.∠1=∠4 B.∠3=∠5 C.∠4=∠5 D.∠3=∠4
二、计算题
2
(1)(x1)(1x) (2) a2a3a (3) 1
(5) 2009220112007 (6) 4xyxyy2x
2
1
3201
3.14 (4) xx2n1x2nx 2
2
第一讲 二元一次方程组
一、填空题
1.若3x-2y-4=0,用含x的式子表示y为____________.
2.若x1,是方程ax+3y=2的一个解,则a的值为______.
y2
+b-43.若方程2x2a
4.在+4y3a-2b-3=1是关于x、y的二元一次方程,则a,b的值分别是______. x0,x3,x4m,各对数中,______是方程3x-2y=9的解,______是方程x+4y=0的解. y4;y0;ym.
5.四辆手推车和五辆卡车一次能运货27吨,十辆手推车和三辆卡车一次能运货20吨,则一辆手推车一
次能运货______吨,一辆卡车一次能运货______吨.
二、选择题
6.下列方程是二元一次方程的是( ).
(A)x2+x=1 (B)2x+3y-1=0 (C)x+y-z=0 (D)x+1+1=0 y
7.若225m2n23xy与x6y3m2n1的和是单项式,则( ). 55
1m,(A)2
n0.
8.如果m1,m2, (B) 1 (C)n3.n2m3, (D) n2.x2,nxmy4,是方程组的解,则m,n的值是( ).
y1nxmy8
m2,m1, (B) (C) n3.n8.m3.5, (D) n2.25.m2,(A) n1.
9.若方程x+y=3,x-y=5和x+ky=2有公共解,则k的值是( ).
(A)3 (B)-2 (C)1 (D)2
10.若(x+y-2)2+|4x+3y-7|=0,则8x-3y的值为( ).
(A)0 (B)-5 (C)11 (D)5
三、解方程组
11.
- 1 - x5y20, 3xy12. 12.y23(x1), 2(y1)(x3)5.
xyxy6,13.2 34(xy)5(xy)2.
15.若
xyz5,14.3xyz1, 4x3y2z2.xy2yz2zx1,求x,y,z的值. 345
2x3yk,16.已知的解满足x+y=3,求k的值. 3x4y2k6
四、列方程组解应用题
17.养8匹马和15头牛每天需162千克干草,已知养5匹马每天所需要的干草比7头牛每天所需要的干
草多3千克,问:一匹马和一头牛平均每天各需干草多少千克?
18.用火车运送一批货物,如果每节装34吨,还剩18吨装不下;如果每节多装4吨,则还可以多装26
吨.共有火车车厢多少节?这批货物共有多少吨?
- 2 -
第二讲 整式运算
例1.下列说法正确的是( )
A.没有加减运算的式子叫单项式 B.55ab的系数是 33
2C.单项式-1的次数是0 D.2ab2ab3是二次三项式
例2.如果多项式3xm2n1x1是关于x的二次二项式,求m,n的值
例3.多项式x3kxy3y
例4.已知a
m221xy8中不含xy项,求k的值 33,an5 求(1)a2m3n的值 (2)a3m2n的值
3例5.计算 (1)14
201124320101 (2)2010021 21
例6.先化简,再求值:ab2abb
223,b1 babab,其中a12- 3 -【七年级数学暑假培训资料】
例7.比较大小 (1)a355,b444,c533 (2)a841,b1631,c3225
1.若A是五次多项式,B是三次多项式,则A+B一定是( )
A.五次整式 B.八次多项式 C.三次多项式 D.次数不能确定
6131412.已知a81,b27,c9,则a、b、c的大小关系是( )
A.a>b>c B.a>c>b C.a<b<c D.b>c>a
xy1yx13.若24,273,则xy等于( )
A.-5 B.-3 C.-1 D.1
4.下列叙述中,正确的是( )
A.单项式xy的系数是0,次数是3 B.a、π、0、2都是单项式 22
C.多项式3ab2a1是六次三项式 D.
5.下列说法正确的是( ) 32mn是二次二项式 2
A.任何一个数的0次方都是1 B. 多项式与多项式的和是多项式
C. 单项式与单项式的和是多项式 D.多项式至少有两项
6.下列计算: ① (1)1 ② (1)
⑤ (a)(a) ⑥ a3a22mm2011 ③ 22211 ④ 3a22(a0) 23a13正确的有( ) a2a
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7.在ax3y与xy的积中,不想含有xy项,则a必须为 .
328.若a2pa8a23aq中不含有a和a项,则p,q
9.比较大小
(1)a920,b2714,c8111 (2)a2
10.计算(1)22
- 4 - 0100,b375 (3)a224,b420,c512 5132 (2)132120053252006
第三讲 乘法公式
例1.计算下列各题
(1)x2
例2.计算(1)212212412200611 (2)
131121yxy (2)axbyaxby (3)999³1001 2322012 2201220112013
11例3.计算(1)xyxy (2)ab2cab2c 22
例4.已知ab3,ab1.求(1)ab (2) ab 22222
例5.已知xy5,xy1,求xy的值
例6.已知4x8xm是一个完全平方式,则m的值为( )
A.2 B. 2 C. 4 D. 4
- 5 - 2
佳炜练习3
一、选择题
1.如果a,b都代表有理数,并且a+b=0,那么 ( )
A.a,b都是0. B.a,b之一是0.C.a,b互为相反数.D.a,b互为倒数.
2.下面的说法中正确的是 ( )
A.单项式与单项式的和是单项式.B.单项式与单项式的和是多项式.
C.多项式与多项式的和是多项式.D.整式与整式的和是整式.
3.下面说法中不正确的是 ( )
A. 有最小的自然数. B.没有最小的正有理数.
C.没有最大的负整数. D.没有最大的非负数.
4.如果a,b代表有理数,并且a+b的值大于a-b的值,那么
A.a,b同号. B.a,b异号.C.a>0. D.b>0.
( ) ( ) 5.大于-π并且不是自然数的整数有
A.2个. B.3个.C.4个. D.无数个.
6.有四种说法:
甲.正数的平方不一定大于它本身;乙.正数的立方不一定大于它本身;
丙.负数的平方不一定大于它本身;丁.负数的立方不一定大于它本身.
这四种说法中,不正确的说法的个数是 ( )
A.0个. B.1个.C.2个. D.3个.
7.a代表有理数,那么,a和-a的大小关系是 ( )
A.a大于-a.B.a小于-a.C.a大于-a或a小于-a.D.a不一定大于-a.
8.在解方程的过程中,为了使得到的方程和原方程同解,可以在原方程的两边( )
A.乘以同一个数.B.乘以同一个整式.C.加上同一个代数式.D.都加上1.
9.杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )
A.一样多. B.多了.C.少了. D.多少都可能.
10.轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大时,船往返一次所用的时间将( )
A.增多. B.减少.C.不变. D.增多、减少都有可能.
11. 方程|1990x-1990|=1990的根是______.
1
212. 计算:-3÷6×6+(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)
七年级数学下 培优讲稿、练习资料 7/20/2015 1
七年级数学下 培优讲稿目录
七年级数学下 培优讲稿目录 .................................................................................................................. 1
第一章 整式的运算 ................................................................................................................................... 3 整式及整式的加减 ................................................................................................................................... 3
知识要点 ............................................................................................................................................... 3
易错易混点 ........................................................................................................................................... 3
典型例题 ............................................................................................................................................... 3
学习自评 ............................................................................................................................................... 4 幂的运算性质 ........................................................................................................................................... 5
知识要点 ............................................................................................................................................... 5
易错易混点 ........................................................................................................................................... 5
典型例题 ............................................................................................................................................... 6
学习自评 ............................................................................................................................................... 6 整式的乘除 ............................................................................................................................................... 8
知识要点 ............................................................................................................................................... 8
易错易混点 ........................................................................................................................................... 8
典型例题 ............................................................................................................................................... 9
学习自评 ............................................................................................................................................... 9
第二章 平行线与相交线 ......................................................................................................................... 11 平行线与相交线 ..................................................................................................................................... 11
知识要点 ............................................................................................................................................. 11
易错易混点 ......................................................................................................................................... 12
典型例题 ............................................................................................................................................. 12
学习自评 ............................................................................................................................................. 13
第三章 生活中的数据 ............................................................................................................................. 17 生活中的数据 ......................................................................................................................................... 17
知识要点 ............................................................................................................................................. 17
易错易混点 ......................................................................................................................................... 18
典型例题 ............................................................................................................................................. 18
学习自评 ............................................................................................................................................. 19
第四章 概率 ............................................................................................................................................. 22 概率 ......................................................................................................................................................... 22
知识要点 ............................................................................................................................................. 22
易错易混点 ......................................................................................................................................... 23
典型例题 ............................................................................................................................................. 23
学习自评 ............................................................................................................................................. 24
第五章 三角形 ......................................................................................................................................... 27 三角形的边、角关系 ............................................................................................................................. 27
知识要点 ............................................................................................................................................. 27
易错易混点 ......................................................................................................................................... 27
典型例题 ............................................................................................................................................. 28
学习自评 ............................................................................................................................................. 29
全等图形、全等三角形及三角形全等的条件、作三角形 ................................................................. 31
知识要点 ............................................................................................................................................. 31
易错易混点 ......................................................................................................................................... 31
典型例题 ............................................................................................................................................. 32
学习自评 ............................................................................................................................................. 33 利用三角形全等测距离及直角三角形全等的条件 ............................................................................. 36
知识要点 ............................................................................................................................................. 36
易错易混点 ......................................................................................................................................... 36
典型例题 ............................................................................................................................................. 37
学习自评 ............................................................................................................................................. 37
第六章 变量之间的关系 ......................................................................................................................... 40 变量之间的关系、表达方法 ................................................................................................................. 40
知识要点 ............................................................................................................................................. 40
易错易混点 ......................................................................................................................................... 41
典型例题 ............................................................................................................................................. 41
学习自评 ............................................................................................................................................. 42
第七章 生活中的轴对称 ......................................................................................................................... 47 轴对称图形及轴对称的性质 ................................................................................................................. 47
知识要点 ............................................................................................................................................. 47
易错易混点 ......................................................................................................................................... 47
典型例题 ............................................................................................................................................. 47
学习自评 ............................................................................................................................................. 48 利用轴对称设计图案、镜面对称 ......................................................................................................... 51
知识要点 ............................................................................................................................................. 51
易错易混点 ......................................................................................................................................... 51
典型例题 ............................................................................................................................................. 51
学习自评 ............................................................................................................................................. 52
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七年级数学 第一章 整式的运算 7/20/2015 3
第一章 整式的运算
整式及整式的加减
知识要点
▴要点1 单项式、单项式系数及次数 单项式:数与字母的乘积的代数式叫单项式。单项式中的数字因数(包括前面的符号)为单项式的系数,在单项式中,所有字母的指数和叫做单项式的次数,单独的一个非零数的次数是零。
▴要点2 多项式、多项式的项数、多项式的次数
多项式:几个单项式的和,称为多项式,在多项式中,每个单项式叫多项式的项;多项式里次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数。
▴要点3 整式:单项式和多项式统称为整式。
★说明:(1) 单独的一个数或一个字母也是单项式;(2)多项式的次数,并不是所有字母的指数和,而是组成多项式中的单项式的最高次数;(3) 如何区别一个代数式是否为整式,关键看项的因数的分母中是否含有字母,若无,则是整式,否则就不是整式。
▴要点4 整式的加减
整式的加减实质:整式的加减实质就是合并同类项。
步骤:(1) 去括号;(2) 合并同类项
★说明:(1) 改变项的位置要连同它前面的符号一起移动,整式加减后的次数比原整式的次数小或不变;(2) 求整式的值原则是先化简,再求值;(3) 带有绝对值符号的式子进行化简,首先考虑的是去掉绝对值符号,去掉绝对值符号时就必须首先考虑绝对值号内式子结果的符号,然后根据绝对值的性质确定去掉绝对值符号后应取什么符号,最后按整式加减运算进行化简。
易错易混点
(1) 没有弄清单项式系数与次数的概念;(2) 不能区别整式与分式;(3)没有搞清同类项的概念与合并同类项的法则;(4) 对绝对值性质的理解有误。
典型例题
【例1】 已知多项式5xy4xy3xy6233m17,如果这个多项式是一个八次多项式,求m的值并写出各项及项的系数和次数。
+【例2】 若单项式xm2ny8与单项式-8x2y4n的和仍是单项式,则m+n=________。
【例3】 如图所示,A,B,C三点表示的数分别为a,b,c,化简:abacba。
学习自评
1. 下列代数式xy1,1,x,,2xyz,x2y,a中,单项式的个数是___________________。 2x
x2yzm
2. 单项式2的次数是7,则m=________;
3. 单项式-x3y2和2xmy的次数相等,则m的值为__________。
4. 多项式(a+1)x4y-xby2+3x2y-2xy+1是关于x,y的四次多项式,则a+b=_______。
5. 一个多项式减去4ab-3b2得2a2-3ab,则这个多项式是___________。
6. (3x3-2x2+5x-2)-_________=-x2+5-4x3.
7. 已知x2+xy=3,xy+y2=-2,则(1)x2-y2=_________;(2) x2+4xy+3y2=__________。
8. 下列说法正确的是( )
A. 3x-5的项是3x和5 B. x1
2和xy
3都是单项式 C. xy
z和x22xyy2都是多项式 D. 2x1ab
2和7都是整式
9. 若x<y<0,则xyxy的值是( )
A. 2x B. 2y C. 2x+2y D. 2x-2y
10. 如果x2+x-1=0,那么代数式2x2+2x-6的值为( )
A. 4 B. 5 C. -4 D. -5
11. 已知A是二次三项式,B是三次四项式,则A+B是( )
A. 高于三次 B. 二次式 C. 五次式 D. 不高于三次
12. 合并同类项
(1) a33a27a5a37a4; (2)x21
2x2yz3x2y
13. (1) 若x-y=3,xy=1,求2xy2x3y3xy2y2xx4yxy的值。
(2) 已知A=3a2+6ab-b2,B=2b2-5ab+a2,C=-4a2-ab+b2,求当a=1
2,b=1时,
+B-C的值。
14. (1)已知ab22b10,求ab-[2ab-3(ab-1)]的值。
(2)若a<0,ab<0,求baab5的值
15. 已知xyx
xy3,求(1) (2)y4xy
5xyxy的值。
16. 有一串单项式:-x,2x2,-3x3,4x4,„,-19x19,20x20.
(1) 你能说出它们的规律是什么吗?
(2) 写出第2007个单项式;
A4
(3) 写出第n个,第(n+1)个单项式。
17. 阅读下题的解法,完成填空:
已知关于x的多项式P=3x2-6x+7,Q=ax2+bx+c,P+Q是二次三项式吗?请说明理由;若不是,请说明P+Q是一个怎样的代数式,并指出a、b、c应满足的条件。
解:P+Q=(3x2-6x+7)+( ax2+bx+c)=(3+a) x2+(b-6)x+(7+c).
(1) 当a_________,b__________时,P+Q是一个二次式;
(2) 当a_________,b__________时,P+Q是一个一次式;
(3) 当a_________,b__________时,P+Q是常数;
(4) 当a_________,b__________,c__________时,P+Q是一个二次三项式。
幂的运算性质
知识要点
▴要点1 同底数幂的乘法:
+++am²an=amn (m,n都是正整数) 可扩展为am²an²ap=amnp
★说明:幂的底数相同时,才可运用此法则。
▴要点2 幂的乘方与积的乘方
(1) 幂的乘方:(a)=a (m,n都是正整数),可推广为amnmnapmnmnp
(2) 积的乘方:(ab)n=anbn (n为正整数),可扩展为(abc)n=anbncn
▴要点3 同底数幂的除法
-am÷an=amn (a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)
▴要点4 零指数与负整数指数的意义(两个规定):
(1) 零指数: a0=1 (a≠0)
(2) 负整数指数:ap1(a≠0,p是正整数) 即任何一个不等于0的数的-p(p为正整数)次幂pa
p等与这个数的p次幂的倒数。也可变形为:a11p aap
★说明:(1)在幂的性质运算中,幂的底数字母a、b可以是单项式或多项式,运算法则皆可逆向应用;
(2) 零指数幂和负整数指数幂中,底数都不能为0,即a≠0;(3) (4) 在运算当中,要找准底数(即要符合同底数),如果出现底数互为相反数,或其他不同,则应根据有关理论进行变形,变形要注意指数的奇偶性。在计算过程中,时刻注意符号的变化。
易错易混点
(1) 将幂的意义与乘法的意义相混淆; (2) 不能正确理解幂的运算性质,而导致错误; (3) 忽略零指数幂、负整数指数幂的规定中底数不等为零的条件。
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