2015～2016学年第二学期期末调研测试

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　　2015～2016学年第二学期期末调研测试

　　高一数学2016.6

　　注意事项：

　　考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

　　1. 本试卷共4页，包含填空题(第1题?第14题)、解答题(第15题?第20题).本卷满分160分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.

　　2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

　　3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

　　4. 如需作图，须用2 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

　　5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.

　　参考公式：样本数据 的方差 ，其中

　　一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

　　1.函数y=ln(x-2)的定义域为▲.

　　2.利用计算机产生0~2之间的均匀随机数a，则事件“3a-2<0”发生的概率为▲.▲.

　　3.根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为▲.

　　4.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间[25，30)的为一等品，在区间[20，25)和[30,35)的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为▲.

　　5.已知 , 的夹角 为 ，则 为▲.

　　6.从长度为2，3， 4，5的四条线段中随机地选取三条线段，则所选取的三条线段恰能

　　构成三角形的概率是▲.

　　7.已知实数x、y满足 则 的最大值为▲.

　　8.函数 且 的部分图象

　　如图所示,则 的值为▲.

　　9.已知等差数列 的公差为d,若 的方差

　　为8,则d的值为▲.

　　10.在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若D点在斜边

　　BC上，CD=2DB，则AB→?AD→的值为▲.

　　11. 计算 的值为▲.

　　12. 已知正实数 满足 ，则 的最小值为▲.

　　13. 已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=x2-3x.则关于x的方程f(x)=x+3的解集为▲.

　　14. 已知数列 的前n项和为 . ,且对于任意正整数m，n都有 .若 对任意n∈N*恒成立,则实数a的最小值是▲.

　　二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

　　15.(本小题满分14分)

　　已知集合A={x|y= }，B={x|x2-2x+1-m2≤0}.

　　(1)若 ，求 ;

　　(2)若 ， ，求m的取值范围.

　　16.(本小题满分14分)

　　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+ csinB.

　　(1)求B;

　　(2)若b=2， ，求△ABC的面积.

　　17.(本小题满分14分)

　　已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn-an}为等比数列.

　　(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;

　　(2)求数列{bn}的前n项和.

　　18.(本小题满分16分)

　　如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°.现在边界AP，AQ处建围墙，PQ处围栅栏.

　　(1)若 ，AP与AQ两处围墙长度和为 米，求栅栏PQ的长;

　　(2)已知AB，AC的长度均大于200米，若水果园APQ面积为 平方米，问AP，AQ长各为多少时，可使三角形APQ周长最小?

　　19.(本小题满分16分)

　　已知函数f(x)=x|x-a|，a∈R，g(x)=x2-1.

　　(1)当a=1时，解不等式f(x)≥g(x);

　　(2)记函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式.

　　20.(本小题满分16分)

　　已知数列{an}，{bn}，Sn为数列{an}的前n项和，向量x=(1,bn)，y=(an-1,Sn)，x//y.

　　(1)若bn=2，求数列{an}通项公式;

　　(2)若 ，a2=0.

　　①证明：数列{an}为等差数列;

　　②设数列{cn}满足 ，问是否存在正整数l，m(l<m,且l≠2，m≠2)，使得cl、c2、cm成等比数列，若存在，求出l、m的值;若不存在，请说明理由.

　　2015～2016学年第二学期期末调研测试

　　高一数学参考答案及评分标准 2016.6

　　一、填空题：

　　1. (2，+∞); 2. ;3.31; 4. 100;5.1;6. ;7.7;

　　8. ; 9. 2; 10. 24; 11. 4; 12. ; 13. {2+ ， ， }; 14. .

　　二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

　　15. 解 (1)令3-2x-x2≥0，解得A=[-3，1]，　………………………3分

　　时，x2-2x =0解得B=[-2，4];　………………………6分

　　………………………7分

　　(2) ，即[-3，1] [1-m，1+m]，

　　所以1-m≤-3且1+m≥1，………………………11分

　　解得m≥4,所以m≥4. 　………………………14分

　　16. 解 (1)由a=bcosC+ csinB及正弦定理，sinA=sinBcosC+ sinCsinB,①

　　又sinA=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②，

　　由①②得 sinCsinB=cosBsinC，又三角形中，sinC≠0，　………………………3分

　　所以 sinB=cosB，　………………………5分

　　又B∈(0，π)，所以B= .　………………………7分

　　(2)△ABC的面积为S= = .　………………………9分

　　由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB得4=a2+c2-

　　,得 ， ，　………………………12分

　　所以△ABC的面积为 .　………………………14分

　　17.解(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得

　　d=a4-a13=12-33=3. 　………………………2分

　　所以an=a1+(n-1)d=3n(n=1，2，…).………………………4分

　　设等比数列{bn-an}的公比为q，由题意得

　　q3=b4-a4b1-a1=20-124-3=8，解得q=2. ………………………6分

　　所以bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1.

　　从而bn=3n+2n-1(n=1，2，…).………………………8分

　　(2)由(1)知bn=3n+2n-1(n=1，2，…).

　　数列{3n}的前n项和为32n(n+1)，………………………10分

　　数列{2n-1}的前n项和为1×1-2n1-2=2n-1，………………………12分

　　所以，数列{bn}的前n项和为32n(n+1)+2n-1. ………………………14分

　　18.解 (1)依题意， ，由正弦定理：

　　………………………2分

　　得 ………………………3分

　　…………5分

　　………………………7分

　　(2)设 米， 米.

　　则

　　-----------------------------------------------------------------------------------9分

　　-----------------------------------------------------------------------------11分

　　设 的周长为 ，则 ---12分

　　令 ， 在定义域上单调增，所以 ，当

　　取等号;---------------------------------------------------------------------------15分

　　答：(1) 米;

　　(2)当 米时，三角形地块APQ的周长最小

　　--------------------------------------------------------------------------16分

　　19.解

　　f(x)≥g(x)，a=1时，即解不等式x|x-1|≥x2-1，………………………1分

　　当x≥1时，不等式为x2-x≥x2-1，解得x≤1，所以x=1;…………………3分

　　当x<1时，不等式为x-x2≥x2-1，解得 ，

　　所以 ;………………………5分

　　综上，x∈ . ………………………6分

　　(2)因为x∈[0，2]，当a≤0时，f(x)=x2-ax，则f(x)在区间[0，2]上是增函数，

　　所以F(a)=f(2)=4-2a;………………………7分

　　当0<a<2时， ，则f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F(a)=max{f( )，f(2)}，…………9分

　　而 ，f(2)=4-2a，令 即 ，

　　解得 ，

　　所以当 时，F(a)= 4-2a;………………………11分

　　令 即 ，解得 或 ，

　　所以当 时， ;………………………12分

　　当a≥2时，f(x)=-x2+ax，

　　当 即2≤a<4时，f(x)在间 上是增函数，在 上是减函数，则 ;………………………13分

　　当 ，即a≥4时，f(x)在间[0，2]上是增函数，则 ;………14分

　　所以， ，………………………16分

　　20.解 (1) x//y，得Sn=(an-1)bn，当bn=2，则Sn=2an-2 ①，

　　当n=1时，S1=2a1-2，即a1=2, ………………………1分

　　又Sn+1=2an+1-2 ②，

　　②-①得Sn+1-Sn=2an+1-2an，

　　即an+1=2an，又a1=2，

　　所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，………………………3分

　　所以an=2n. ………………………4分

　　(2)① ，则2Sn= nan-n③,当n=1时，2S1=a1-1，即a1=-1，

　　又2Sn+1=( n+1)an+1-(n+1)④，

　　④-③得2Sn+1-2Sn=(n+1)an+1-nan-1，………………………6分

　　即(n-1)an+1-nan-1=0 ⑤，

　　又nan+2-(n+1)an+1-1=0⑥

　　⑥-⑤得，nan+2-2nan+1+nan=0，

　　即an+2+an=2an+1，所以数列{an}是等差数列. ………………………8分

　　②又a1=-1，a2=0，

　　所以数列{an}是首项为-1，公差为1的等差数列.

　　an=-1+(n-1)×1=n-2，所以 ，………………………10分

　　假设存在l<m(l≠2，m≠2)，使得cl、c2、cm成等比数列，即 ，

　　可得 ，………………………12分

　　整理得5lm-4l=4m+4即 ，由 ，得1≤m≤8，………………14分

　　一一代入检验

　　或 或 或 或 或 或 或

　　由l<m，所以存在l=1,m=8符合条件. ………………………16分

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