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如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝42，点D是AC边边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值
GRM9979
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
1、已知：如图五，在△ABC中，AB＝AC，点D是 边BC延长线上一点，点E是边AC上一点，如果0 ∠EBC＝∠D，BC＝4，cos∠ABC＝
（1）求证：
CEAB
13
C
D
．
（
图五）
＝
BCBD
；
（2）如果S1、S2分别表示△BCE、△ABD的面积，求：S1S2的值； （3）当∠AEB=∠ACD时，求△ACD的面积．（071上海部分学校）
2、已知：如图六，在矩形ABCD中．AB＝3．AD＝ 4．将一个直角的顶点P放置于对角线AC上，一条直 角边经过点B，另一条直角边与BC和DC的延长线分 别交于点E、Q
（1）如果CE＝CQ，求AP的长；
（2）比例式
PEPB
C Q D
（图六）
＝
CQBC
是否可能成立？如果可能，求出AP的长，并证明你的结论；
如果不可能，请说明理由．（07。1徐汇区）
3、已知：如图八，在直角坐标平面中，点O为坐标 原点．直线y＝
43
x＋8分别与x、y轴交于点P、Q，
△ABC的AB边在x轴上，BC⊥x轴，BC与线段PQ 交于点M，AB＝BC＝6，点P是AB的中点．
（1）求BM的长；
（2）如图九，将△ABC以点P为旋转中心进行旋 转，当△ABC的某一条边同时与x、y轴都有交点（设 与x轴的交点为点E，与y轴的交点为点F）时，△OEF 是否可能会与△OPQ相似？如果△OEF会与△OPQ相 似，那么请求出OE的长；如果△OEF不会与△OPQ 相似，那么请说明理由．（07。1闸北）
（图九）
4、已知：如图一，点D是等腰直角三角形ABC的斜边AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D作DE⊥AB交边AC于点F，连结BE．∠E＝30°，AB＝4. 设DE的长度为x,四边形DBCF的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它的定 义域；
（2）连结BF，①当△BDF与△DBE相似时，求 出x的值；②是否存在x的值，使得△BCF与△DBE 相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
（071普陀区）
B
（图二）
D
5、已知：如图九，在梯形ABCD中，AD∥BC，AP⊥BC，垂足为点P，AB＝CD＝2，BC＝5，∠B＝60°,
（1）求AD的长；
（2）若把三角尺60°的顶点与点P重合，使三角尺绕点P旋转，该60°角的两边PE与PF（看作射线）分别与边AD交于点E（点E不与点A、点D重合），与射线DC交于点F(点F不与点C重合)，如设AE为x，CF为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在第（2）小题的条件下，三角尺绕点P旋转 过程中，△PED与△PDF这两个三角形中，哪一个三角 形可能成为等腰三角形？如有可能，请指出是哪一个三 角形，并求出AE的长；如不能，请说明理由．
（071青浦）
6．如图十，点A的坐标为（0，5），点B在第一 象限，△AOB为等边三角形，点C在x轴正半轴上． （1）以AC为边，在第一象限作等边△ACE（保 留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设AC与OB的交点为点D，CE与AB的延 长线交于点F，求证：△ADB∽△AFC；
（3）连结BE，试猜想∠ABE的度数，并证明你的猜想；
D
P
C
（图九）
（图十）
（4）若点E的坐标为（s，t），当点C在x正半轴运动时，求s、t的关系式． （071南汇）
7．已知：如图八，△ABC是等边三角形，AB＝ 4，点D是AC边上一动点（不与点A、C重合），EF 垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD＝x， AE＝y．
（1）求∠EDF的度数；
C
D
（
图八）
F
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x定义域； （3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1时，求线段CD的长．（071卢湾）
8、已知：如图一，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，在BC边上取两点E、F（点E在点F的左边），以EF为边作等边△PEF，使顶点P在AD上，PE、PF分别交AC于点G、H，
（1）求△PEF的边长； （2）求证：
PGGH
P F
C
＝
EGGC
D
；
（3）若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想： E PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．（071虹口）
（
图三）
9、如图七，在直角坐标系中有一个半径
为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标原点O 向圆A做切线，切点是点B．
（1）如果OB＝33，OA与半径r的差是3，求
（图七）
圆A的半径r，点A的坐标及∠AOB的正弦值；
（2）设∠AOB＝α，在图中确定一个与2α大小相等的角（可以添加辅助线），并说明理由；
（3）在（2）的基础上，试探究sin2α与2sinα是否相等？如果相等，请说明理由；如果不相等，请你找出它们之间正确的关系式．（071长宁）
10、（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题6分，第（3）题5分） 已知：如图七，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC ＝6，AC＝8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作 ∠MPN＝∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、 N．
A
（图七）
M N （1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度；
（2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否
保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；
（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．（071宝山）
11、如图七，在四边形ABCD中，BD垂直平分 AC，垂足为点O，∠ABD＝60°，AB边长为24厘米， ctg∠ADB
＝
3
．质点P以4厘米∕秒的速度，从点
D
O A出发沿线路A→B→D作匀速运动，质点Q以5厘米
∕秒的速度，从点D同时出发，沿线路D→C→B→A 作匀速运动．
C （1）求BD和CD的长，并确定四边形ABCD的形状；
（2）求经过多少秒钟，运动中的质点P、Q构成的线段与四边形ABCD的边平行？（不包括起始位置和两点均终止的情况）；
（3）如果已知质点P、Q经过12秒后分别到达M、N两点，然后同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为a厘米∕秒，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与△AMN相似，求a的值．（061闸北）
（图七）
12、已知：如图八，在△ABC中，AB＝AC, ∠BAC ＝90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，BD＝ DC，BE＝AF，EF交AD于点G．
（1）求证：DE＝DF；
（2）求证：△DEG∽△DCF；
（3）如果AB＝3BE，BE＝2
13、抛物线y＝
14
A
F
（图八） C
求出所有与△BDE相似的三角形的面积．（051闸北） 2，
x2＋
114
x＋6与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左边），与y
轴交于点C，直线y＝kx＋b经过点A、C．点D（0，m）（其中m≤6）在y轴上，经过点B、D的直线与直线y＝kx＋b交于点M，
（1）求k和b的值；
（2）如果以点M、C、D为顶点的三角形与以点M、A、B为顶点的三角形相似，求点D、M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，求△MCD与△MAB的面积比．（041闸北）
14、在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2
2，
A
圆A的半径为1，如图五所示．若点O在BC边上运动 （与点B、C不重合），设BO＝x，△AOC的面积为y， （1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域；
（图五） C
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积．
（2004年上海市中考试题）
15、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝ 3 ．点O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半 圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E．作EP ⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．
（1）如图一，求证：△ADE∽△AEP；
（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析 式，并写出它的定义域；
（3）当BF＝1时，求线段AP的长．
A
B
P
A O （图一）
（备用图）
16、如图4，直线y＝
12
x＋2分别交x、y轴于点
A、C，点P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x 轴，点B为垂足，S△ABP＝9 ．
（1）求点P的坐标；
（图一）
（2）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，
且点R在直线PB的右侧．作RT⊥x轴，点T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标 ．
（2002年上海市中考试题）
17、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q． 探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
（2002年上海市中考试题）
18、如图一，在正方形ABCD中，AB＝1
，AC是以点B为圆心，AB一段弧，点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合），过点E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，点G为切点；
（1）当∠DEF＝45°时，求证点G为线段EF的中点；
（2）设AE＝x ，FG＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF，如图（2），当EF
56
（图5）
（图6）
（图7）
时，讨论△AD1D
与△ED1F是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由． （2003年上海市中考试题）
E
F
D1（图一）【在三角形abc中,bc=ac,D是Ab上一点】
C
（图二）
C
（备用图）
C
D
E
F D
D
1、 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证BD²+CD²=2AD²
2、 在三角形ABC中，AB=AC=m,P为BC上任意一点，则PA²+PB*PC的值为多少？ 解：过点A作AN⊥BC于N。(不妨设P在NC上）
AP^2+PB*PC=AB^2-BN^2+(NC-PC)^2＋PB*PC=m^2-BN^2+BN^2+PC^2-2BN*PC+PB*PC=m^2+PC(PC-2BN+PB)=m^2{三角形是等腰三角形}
3、 在三角形ABC中，BC=6，AD是BC边上的中线，交BC于点D，AD=3，AB+AC=8，则三角形ABC的面积是_____
解：
∵AD是中线，BC=6，AD=3
∴∠BAC=90°
∴BA²+AC²=BC²=36
∵AB+AC=8
∴AB²+2AB*AC+AC²=64【在三角形abc中,bc=ac,D是Ab上一点】
∴2AB*AC=64-36=28
AB*AC=14
1/2AB*AC=7
∴△ABC 的面积=7
4、 在三角形ABC中，AB=5，AC=13,高AD=12，则三角形ABC的周长是__42或32___ 5、 在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=4,P是AD上的动点,PE垂直于AC于E,PF垂直于BD于F,则PE+PF
等于多少？
解：假设AC、BD的交点是O，连接PO
S△APO＝(1/2)AO*PE
S△DPO＝(1/2)DO*PF
所以 PE+PF＝2S△APO/AO + 2S△DPO/DO
根据勾股定理，AO＝DO＝5/2
所以 PE+PF＝(4/5)*(S△APO+S△DPO)＝(4/5)*S△AOD＝(4/5)*(3×4÷4)＝12/5
6、 E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 BE=1 P为AC上的动点，则PB+PE的最小值等于多少？ 解：两点之间直线最短
在AD上做AF=AP=3
连接FB
这时P点是PB+PE的最小值的点，应该是 根号下（3^2+4^2）=5 7、 如图：已知DE=m,BC=n, ∠EBC与∠DCB互余，求BD²+CE²
解:沿BE和CD做一延长线交点为A.因为∠EBC+∠DCB=90°.所以,∠BAC=90° 所以BD2=AB2+AD2 CE2=AE2+AC2 所以CE2+BD2=AB2+AC2+AE2+AD2 又有∠EAD=∠BAC=90°所以AB2+AC2=BC2=n2 AE2+AD2=ED2=m2
所以有BD2+CE2=m2+n2
8、 已知：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数。 解：将△CPB绕点C逆时针旋转90度得到△CP'B,连接PP'
所以△CPB全等于△CP'A
所以CP=CP' BP=P'A ∠PCB=∠P'CA
所以∠PCB+
∠ACP=∠P'CA+∠ACP
因为角ACB等于90°所以角P'CP等于90°
在等腰直角三角形P'CP中角CP'P等于45°
因为CP=CP'=2
所以PP'等于2倍根号2
因为AP'=BP=1 AP=3
所以PP'等于根号下AP的平方减AP'的平方
PP'等于2倍根号2
所以角AP'P=90°
所以角CPB=角AP'C=角AP'P+角PP'C=90°+45°=135°
9、 如图，CD是△ABC的中线，CN=MN，求证AM=CB。
10、 （1）如图1，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC)，取线段AE的中点M,探究线段MD,MF的关系，并加以证明。
（2）将正方形ＣＧＥＦ绕点Ｃ旋转任意角度后（如图3），其他条件不变．【在三角形abc中,bc=ac,D是Ab上一点】
探究：线段ＭE与ＭＤ的关系，并加以说明．
解：(1)线段MD、MF的关系是MD=MF，DM⊥MF。
延长DM交CE于N，连结FD、FN。由正方形ABCD，得AD//BE，AD=DC，所以∠DAM=∠MEN。 因为AM=EM，∠AMD=∠E（……隐藏……）8。因为∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
所以∠DCF=∠FEN，易得△DCF≌△NEF，所以FD=FN，∠DFC=∠NFE。由∠CFE=90°，得∠DFN=90°， 所以MD=MF，DM⊥MF。
11、 矩形ABCD中，AB=20，BC=10。若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN
的值最小，求这最小值。 解：遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，显然EN垂直AB时值最小．
由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC+EG=16.
12、已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这
一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是
k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探
索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时，
顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
DCPAEB
图1 B(E)CDABCDABCDABCDAB图2
（2）若k=2，则n= 时，顶点第一次回到原来的起始位置；若k=3，则 ．．P．
n时，顶点第一次回到原来的起始位置. ．．P．
（3）请你猜测：使顶点第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含．．P．
k的代数式表示n）.
分析：这是一道面动滚动型问题，正△PAE在滚动的过程中，第1次以点E为圆心，第2次以点P为圆心，第3次以点A为圆心第4次又以点E为圆心……，每3次成循环，而半径始终为1。而把四边形展开顶点A、B、C、D、A……，每4个成循环。故问题1转化为求3与4的最小公倍数即12；问题2中，三角形每转2次，顶点才会重合一次，故需24次；问题3中，三角形每转3，顶点A便会与四边形的下一个顶点重合，故仅需12次；总结一、二两题的规律，可归纳得出第3题的结论。
解：（1）12次（2）24次；12次（3）当k是3的倍数时，n=4k；当k不是3的倍数时，n=12k.
12、 设x、y为正实数，且X+Y=4 。 求根号下X的平方加1
加上根号下Y平方加4的最小值？
解：解:令T=√(x^2+1)+√(y^2+4)
则T>0
T^2=x^2+1+y^2+4+2√(x^2+1)(y^2+4)
=x^2+y^2+5+2√(x^2y^2+4x^2+y^2+4)
因为x+y=4 所以(x+y)^2=16 即x^2+y^2=16-2xy
因为x,y都是正实数 所以 4x^2+y^2≥4xy（当且仅当2x=y时取等号）
所以T^2≥21-2xy+2√(x^2y^2+4xy+4)
=21-2xy+2√(xy+2)^2
= 25
因为T>0,所以T≥5（当且仅当2x=y时取等号） 即最小值是5。(此时x=4/3,y=8/3)
13、正△ABC的边长为3厘米边长为1厘米的正
△RPQ的顶点R与点A重合点PQ分别在ACAB上将△RPQ沿着边ABBCCA顺时针连续翻转直至点P第一次回到原来的位置则点P运动路径的长为 解：在AB上翻转时，是两段半径为1，圆心角是120度的弧。
在BC上，CA上也一样。
一共6段，长为3.14*2*1*2=12.56厘米
13、
在菱形ABCD中,AD=BD=6,点E是AD上的一点,AE=2,点P是对角线BD上的一个动点,则PA+PE的最小值。
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察
在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
| 有学生问小编关于下面的这个全等三角形知识点的数学题： 题目如下： 在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE= _________ 度； （2）设∠BAC=α，∠BCE=β． ①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由； ②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论． |
 |
| 解：（1）90°． 理由： |
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