数学log定义域

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数学log定义域(一)
对数函数定义域练习

对数函数定义域

例1、求下列函数的定义域：

1ylogax2a0,a1 2yloga(4x)a0,a13ylog714y3x 13x

练习2、求下列函数的定义域

12ylog1ylog31x 52x1

3y14yloglog23x alogx 2

5ylog13x1 6ylg

223x

3函数ylog1(2x2)的定义域是2

2．函数y=1的定义域是lg(x1)．

5．函数y＝log2(2－x2)的值域是________．

6．y＝lg(x2＋ax＋1)的值域是R，则实数a的取值范围是________．

7．函数y=

1ln(x－1)，(x＞1)的反函数是3．

8.求函数ylgxlg(53x)的定义域_________________.

数学log定义域(二)
定义域练习题及解答

函数的定义域练习题

一、知识要点：

1．函数的定义域问题常从以下几方面考虑： ①分式的分母不等于0；

②偶次根式的被开方数非负；

③对数式的真数大于零，底数大于零且不等于1； ④指数为0时，底数不等于0．

2．已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域；已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域． 二、例题分析：

1．求下列函数的定义域： ①f(x)

3x2ln(x1)

x

lg(3x1)；②f(x)

(x21x23x4；③f(x))0

log(2x1)

(324x)；④y

2x2xlog2(1x)

2．若函数f(2x

)的定义域为[1,1],求f(log2x)的定义域． 3．当k为何值时，函数ykx7

kx2

4kx3

的定义域是一切实数？ 三、练习：

1．下列各题中表示同一函数的是（ ）

A．yx2

x

与yx B．y(x)2与yx

2C．y10

lgx

与yx D．y

x1

x1

(x1)与yx1(x1) 2．设函数f(x)

xx2

1

,则f(1

x) A. f(x) B. f(x) C.

1f(x) D. 1

f(x)

3．若函数g(x)12x,f[g(x)]1x2

x2

(x0),则

f(12) A. 1 B. 3 C. 15 D.30

4．若xR,函数f(x)是y2x2

,yx这两个函数中的最小者，则f(x)|max A. 2 B. 1 C. 1 D. 无最大值 5．设f(x)

x2,(x10)

f[f(x6)],(x10)

则f(5)的值为 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

） （ ） （ ）

（ ）

（

6．已知定义域为R的函数满足f(ab)f(a)f(b)(a,bR), 且f(x)>0，若f(1), 则f(2)（ ） A. 2 B.4 C.二、填空题

12

11 D. 24

1

x1(x0),2

若f(a)a.则实数a的取值范围是 7．设函数f(x)

1(x0).x

8．.函数y

x2

的定义域. x24

111x2

f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f() ,9．已知函数f(x)则2

2341x

10．已知函数f(x)

x

(ab0),且f(2)1.f(x)x有唯一解，则函数yf(x)的解析式为axb

11．若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为．

2三、解答题

12．求下列函数的定义域：

1

①y

x1【数学log定义域】

xlg(x22x8)；②yx4

log1(4x3)；③y2x1(x3)0；

2

④ylog0.3(2x3)2x4；⑤y

13．解下列各题：

5|x|

log3(x2)

①已知函数f(x)的定义域为15，，求f(3x5)的定义域． ②已知函数f(x22x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域． ③若f(x)的定义域为3，5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域． ④已知函数f(x)的定义域是0,1,求g(x)f(xa)f(xa)(

1

<a≤0)的定义域． 2

14.如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD2x,梯形面积为S.

(1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值. 解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图）， 则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

x2y2

1(y≥0),

r24r2

解得y=2r2x2 (0<x<r).S=

1

(2x+2r)·2r

2x22

=2(x+r)·r2x2,其定义域为{x|0<x<r}.

（2）记f(x)=4(x+r)(r-x),0<x<r,则f′(x)=8(x+r)(r-2x).

2

2

2

2

1r

r.因为当0<x<时，f′(x)>0; 22

r1

当<x<r时,f′(x)<0，所以f（r）是f(x)的最大值. 22

令f′(x)=0,得x=因此，当x=

1

r时，S也取得最大值，最大值为2132f(r)

r. 22

数学log定义域(三)
1 抽象函数定义域 高中数学 高考

一.定义域问题

总结解题模板

1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[gx]的定义域【数学log定义域】

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为xa,b，求出f[g(x)]中

ag(x)b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

2.已知复合函数f[gx]的定义域，求f(x)的定义域

方法是：若f[gx]的定义域为xa,b，则由axb确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[gx]定义域求得fx的定义域，再由fx的定义域求得f[hx]的定义域。 4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

，5，求f(3x5)的定义域． 例1 已知函数f(x)的定义域为1

分析：若f(x)的定义域为a≤x≤b，则在fg(x)中，a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域．本题该函数是由u3x5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知

1≤u≤5，即1≤3x5≤5，求x的取值范围．

，5，1≤3x5≤5，≤x≤解：f(x)的定义域为1

故函数f(3x5)的定义域为．

33

变式训练：

1 若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2x)的定义域为

2

4310． 3

410

1



分析：由函数yf(x)的定义域为

2,2可知：2x2；所以yf(log2x)中有

1

1

1

log2x2。 2

1

解：依题意知：log2x2 解之，得：2x4

2

∴ f(log2x)的定义域为x|

2 若函数yf(x1)的定义域为[2,3)，求函数yf(2)的定义域。

解析：由yf(x1)的定义域为[2,3)，知x1中的x[2,3)，从而1x14，



2x4



1x

111

24，解之得：x(,](,)。

32x

111

所以函数yf(2)的定义域为(,](,)

x32

对函数yf(2)而言，有1【数学log定义域】

1x

3，求函数f(x)的定义域． 例2 已知函数f(x22x2)的定义域为0，

分析：若fg(x)的定义域为m≤x≤n，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．这种情况下，f(x)的定义域即为复合函数fg(x)的内函数的值域。本题中令

ux22x2，则f(x22x2)f(u)，

由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域． 解：由0≤x≤3，得1≤x2x2≤5．

2

令ux2x2，则f(x2x2)f(u)，1≤u≤5．

2

2

，5． 故f(x)的定义域为1

变式训练： 已知函数解：由所以例3. 函数

，得

，故填定义域是的定义域为

，则

的定义域是（ ）

，则

的定义域为________。

A. 分析：已知

B. C. D. 的定义域，可先由的定义域

定义域求得

的

的定义域，求的定义域求得的定义域

的定义域是

定义域，再由解：先求

，

即的定义域是，再求

的定义域

的定义域是

变式训练：

，故应选A

已知函数f(2）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.

分析：先求2x的值域为M则log2x的值域也是M，再根据log2x的值域求定义域。

x

1解 ∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴2≤2x≤2.

1

∴函数y=f(log2x)中2≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.

故函数f(log2x)的定义域为［2，4］

5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域． 例4 若f(x)的定义域为3，

分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．

5，则(x)必有 解：由f(x)的定义域为3，

0． 所以函数(x)的定义域为4，

变式训练：

3≤x≤5，

解得4≤x≤0．

3≤2x5≤5，

已知函数的定义域是，求的定义域。

分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有

，即

函数的定义域由

确定

函数

的定义域是

12

，2]，求f(x)的定义域． 2111

分析：已知f(x+1)的定义域为[－，2]，x满足－≤x≤2，于是＜x＋1＜3，得到f(x)

222

例5 若函数f(x+1)的定义域为[－

的定义域，然后f(x)的定义域由f(x)的定义域可得． 解：先求f(x)的定义域：

由题意知－

2

111

≤x≤2，则＜x＋1＜3，即f(x)的定义域为[，3]， 222

再求f[h(x)] 的定义域：

∴

12

＜x＜3，解得－＜x

＜－或＜x＜．

2

22

2

∴f(x)的定义域是{x|－3＜x

＜－

或＜x＜3}． 2

2

例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际

上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为S三角形S矩形xy

12

x8，由于4

xy0，于是

12

x8，即x42。又x0，∴x的取值范围是0x42。 4

解：由题意得

x28

12=8x(0<x<42). xy+x=8,∴y=

x4x4

于是, 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2316

x)=(+2)x+≥4642. 22x

当(

316+2)x=,即x=8－42时等号成立. 2x

此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省. 变式训练：

（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r，短半轴长为r.计划将此钢板切

割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上.记CD=2x,梯形面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域； (2)求面积S的最大值.

解（1）依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy（如图）， 则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程

x2y2

21(y≥0), 2r4r

解得y=2rx (0<x<r).S=

2

2

2

2

122

(2x+2r)·2rx 2

=2(x+r)·rx,其定义域为{x|0<x<r}.

（2）记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0<x<r,则f′(x)=8(x+r)2(r-2x).

1r

r.因为当0<x<时，f′(x)>0; 22

r1

当<x<r时,f′(x)<0，所以f（r）是f(x)的最大值. 22

令f′(x)=0,得x=因此，当x=

1321

r. r时，S也取得最大值，最大值为f(r)

222

332

r. 2

即梯形面积S的最大值为

数学log定义域(四)
高中数学必修一对数及对数函数

2.2.1第一课时 对数的概念教案

1．对数的概念：

定义：一般地，如果 aa0,a1的b次幂等于N, 就是 aN，那么数 b叫做 以a为底 N的b

对数，记作 logaNb，a叫做对数的底数，N叫做真数

2 例如：416  log4162 ; 10100log10100

42 log421

22212 ; 100.01log100.012 2

1）以10为底的对数称常用对数，log10N记作lgN，

2）以无理数e(e2.71828)为底的对数称自然对数，logeN记作lnN

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2）loga10，

3）logaa1， 4）对数恒等式：alogaNN

③运算性质：如果a0,a0,M0,N0,则

1）loga(MN)logaMlogaN；

2）logaMlogaMlogaN； N

n3）logaMnlogaM(nR）. ④换底公式：logaNlogmN(a0,a0,m0,m1,N0), logma

n1）logablogba1， 2）logambnlogab. m

（要注意以上公式中字母取值范围）。对数运算是函数一章中的难点，又是学好对数函数的基础，要学好它，必须具备：

1. 有指对数互化的意识

由于对数的定义是建立在指数基础上的，所以它们之间有密切关系，因此在处理指数或对数运算时，往往将它们相互转化。

2m3n 例1. 已知loga2m,loga3n，求a的值。

2. 有根据换底公式，换为同底的意识

对数的运算公式都是建立在同底的基础上的，但在实际的运算中，底数往往不同，而换底公式的主要功能是将底数不相同的对数，换为相同的底数，进而可采用对数的运算公式。

例2. 计算log2

例3. 设log32a,log37b，试用a，b表示log4256。

[当堂检测]

1、求值：log14，log48

2111log3log5 2589

2、计算：（1）lg1+lg10+lg100

3、已知logx116（2）lg0.1+lg0.01+lg0.001 4，求x。

[巩固练习]

1、下列各式中正确的有个。

（1）log416=2

2

、若logA、y7=xz （2）log1641 2（3）lg100=2 （4）lg0.01=-2 z则 B、y=x7z C、y=7xz D、y=z7x

3、alogablogbclogcN

1 。 4、求x的值：log

5、log(3x22x1)2x21[log4(log2)]=0，求8xx。

9 化简下列各式： (1)4lg23lg5lg1； 5

1lg9lg2402(2)； 2361lg27lg351

10 利用对数恒等式alogaNN，求下列各式的值： 111(1)()log43()log54()log35 453

log14

(2)3310log0.012log12

77

11 化简下列各式：

(1)(log43log83)(log32log92)； (2)[(1log63)2log62log618]log46

12 已知log35a，5b7，用a、b的代数式表示log63105=________．

2．对数函数：

①定义：函数ylogax(a0,且a1)称对数函数，

1）函数的定义域为(0,)， 2）函数的值域为R，

3）当0a1时函数为减函数，当a1时函数为增函数，

4）对数函数ylogax与指数函数ya(a0,且a1)互为反函数.

②

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，

2）对数函数都以y轴为渐近线（当0a1时，图象向上无限接近y轴；当a1时，图象向下无限接近y轴）.

4）对于相同的a(a0,且a1)，函数y

logax与ylog1x的图象关于x轴对称.

x

③函数值的变化特征：

对数函数练习题

1 (1)ylog3(x1) 的定义域为_________值域为____________.

(2)ylog2x2 的定义域为__________值域为_____________． 2 求下列函数的定义域： 25x2

(1)y； (2)ylog(2x1)(x26x8)； (3)ylog2(log1x)． loga(3x2)2

3 (1)已知a0.33，b30.3，clog30.3，dlog0.33，将a、b、c、d四数从小到大排列为_____________________．

(2)若logn2logm20时，则m与n的关系是( )

A．m>n>1 B．n>m>1 C．1>m>n>0 D．1>n>m>0

31，则实数a的取值范围是( ) 4

3333A．0<a<1 B．0a C．a或0a D．0a或a>1 44444 (1)若a>0且a≠1，且loga

(2)若1<x<d，令a(logdx)2，blogdx2，clogd(logdx)，则( )

A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b

5 已知函数y1log3(2x4)，y2log3(53x)．

(1)分别求这两个函数的定义域；

(2)求使y1y2的x的值；

(3)求使y1y2的x值的集合．

6 已知函数f(x)lg(x21x)

(1)求函数的定义域；

(2)证明f(x)是减函数．

数学log定义域(五)
如何求函数定义域

如何求函数定义域

我们把函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。那么如何求函数的定义域呢？

1、解析式为整式时，x取任何实数

求下列函数的定义域 (1) y5x2， (2) y3x5

2、当解析式为分式时，x取分母不为零的实数

12x

求下列函数的定义域 (1)y (2) y

13xx1

3、当解析式为偶次根式时，x取被开方数为非负数的实数 求下列函数的定义域

（1）y3x， （2）y2x4， （3）y

x2

4、当解析式为复合表达式时，首先逐个列出不等式，求出各部分的允许取值范围，再求其公共部分。 求下列函数的定义域 (1)y (3)y

5x2

y3x2 (4)

x25x62x3

3xx3

(2)y x45x

5、当解析式涉及到具体应用问题时，视具体应用问题而定。

如果使用函数反映实际问题时，自变量的取值除表示函数的数字式子有意义之外，还必须使实际问题有意义。

小明带了10元钱去买铅笔，铅笔每支售价0.38元，小明共买了x支，余下的钱是y元, 求y关于x的函数解析式,并指出X的取值范围.

本文来源：http://www.guakaob.com/lizhiwendang/521415.html