正弦定理和余弦定理习题

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正弦定理和余弦定理习题(一)
正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理 测试题

一、选择题：

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )

2226A．－ B.．－

3336

D.

3

2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2

3bc，sinC＝23sinB，则A＝( )

A．30° B．60° C．120° D．150°

3．E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tan∠ECF＝( )

16233 B. C. D.27334

π

4．△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，，则△ABC

2

的形状是( )

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )

3＋3

A．13 B．3＋ D．2＋3

3

6．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角1

的对应边，若sinA－cosA＝( )

2

2

2

A．b＋c＝2a B．b＋c<2ª C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a

7、若ABC的内角A满足sin2A，则sinAcosA

8、如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则

A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 B．A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形

C．A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形 D．A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

9、ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量



p(ac,,b)q(ba,ca),若p//q,则角C的大小为

55

．． D．

332

3

(A) (B) (C) (D)

6322 3

10、已知等腰△ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是（ ）

11、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB A．D

12、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=3,b=1，则c= (A)

1 （B）2 （C3—1 （D）

3

13 B． C

． 44

3

二、填空题：

A13、在ABC中，若sin

:sBin

C:sin

，则

B

的大小是

___________.

14、在ABC中，已知a

15、在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝

16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．

33，b＝4，A＝30°，则sinB＝4

三、解答题：

11

17。、已知△ABC的内角A，B及其对边a，b满足a＋b＝a＋btanAtanB求内角C.

18、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．

19、如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，

AC＝14，DC＝6，求AB的长．

20、已知△

ABC

1，且sinAsinBC．（I）求边AB的长；（II）若△ABC的面积为sinC，求角C的度数．

21、△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，cosB.

3

（Ⅰ）求cotA+cotC的值； （Ⅱ）设BABC，求a＋c的值.

2

34

16

22、 某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．

正弦定理和余弦定理习题(二)
正弦定理余弦定理的基本练习题

基本运算类

1、ABC中，A45,B60,a10,则b等于（ ）

3

A

答案：D

2、在△ABC中，已知a8，B=600，C=750，则b等于

A.46 B.45 C.43 D.

223

答案：A

3、已知ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a

2,b

3,B60，则A=



A.135 B.45 C.135或45 D.90

答案：B

4、在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边, A75,C45,b=2,则此三角形的最小边

长为（ ）

A．

64

B．

223

C．

263

D．

24

答案：C

5、在ABC中，B=30，C=45，c=1，则最短边长为（ ）

A

3

B

．

2

C．

12

D

2

答案：B

6、在

ABC中，若边ac4，且角A



4

，则角C= ；

答案：30



7、在ABC中，已知a8，B60，C75，则b的值为（ ）

A.

B.

C.

D.

323

答案：C

8、在ABC中，a15，b10，A60，则cosB（ ）

A.

3

B.

3

C.

4

D.

4

答案：B

9、在ABC中，已知b

2,c1,B45，则C＝0

答案：30°

10、在△ABC中，A

4

3

，BC

3，AB，则C

A.或

34

B.

34

C.

4

D.

6

答案：C

11、在△ABC中，A450,B300,b2，则a边的值为

答案：

12

12、在ABC中, 若a3,cosA

A．3 B．23 C．

12

,则ABC的外接圆的半径为（ ）

32

D．

答案：A

13、△ABC

中，A30,a8,b则此三角形的面积为（ ）

A B 16

C 或

16 D

或

答案：D

14、已知锐角

ABC的面积为BC4，CA3，则角C大小为

（A）30 （B）45 （C）60 （D）75









答案：C

15、已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a2,b3,cosB

45

，则sinA的值

为 ．

答案：2

5

16、△ABC中，若AB5，AC3，BC7，则A 的大小为（ ）

A．150

B．120 C．60 D．30

答案：B

17、在ABC中，若b

1，cC

23

，则a= .

答案：1

18、在△ABC中，若c2

a2b2

ab，则∠C=（ ）

A. 60°

B. 90°

C. 150°

D. 120°

答案：D

19、在ABC中，a2c2b2ab，则C（ ）

A.60 B.45或135

C.120

D.30

答案：A

20、边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是（ ）.

A．117

B．

7

C．

1114

D．

114

答案：B

21、若ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2b2c2bc，则角A的大小为 A．



2

26

B．



3

C．

3

D．

3

或

3【正弦定理和余弦定理习题】

答案：B

22、在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a2b2c2bc，则A等于（ ）

A.120

B. 60

C. 45

D. 30

）

（

答案：A

23、在ΔABC中, 角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=



3

, a3, b1，则c( )

A. 1 B. 2 C. 3－1 D. 3

答案：B

24、在△

ABC中，若cbB120，则a等于 （ ）

A

． B．2

C

．

D

答案：D

25、在ABC中，a2,A30, C120,则ABC的面积为（ ）

A.2 B. 22 C. 3 D.312

答案：C

26、在ABC中,B30，AB

23，AC2，那么ABC

的面积是 ( )

A.23 B.3 C.23或43

D.3或23

答案：D

27、在ABC中，AB5,BC7,AC8，则ABC的面积是 ；

答案：28、

ABC中，A120,b2,SABCa等于 。

答案：29、在△ABC中，已知a4,b6,C1200，则sinA的值是

A.5719

B.

217

C.

338

D.

5719

答案：A

230、已知三角形ABC的面积S

ab2c

2

4

，则角C的大小为

A. 300 B.450 C.600 D.750

答案：B

31、在ABC中，若A

23

,AB5,BC7,则ABC的面积＝

；

答案：

153

4

32、.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b， c，若

b2

c2

a2

bc,且ACAB4，则△ABC的面积等于 ．

答案：23 33、在△ABC中，B=



3

中，且BABC

43

,则△ABC的面积是_____

答案：6

34、在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为

A.

322

B.

3332

C.

2

D.33

答案：B

35、若ABC的面积为

3

，BC2,C60O，则边长AB的长度等于 .

答案：2

边角互化基础训练

36、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，

若abcos

Bc

os

A

，则ABC的形状一定是 （A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

答案：C

）

正弦定理和余弦定理习题(三)
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

一、选择题

1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sinA－sinB)sinB，则角C等于( )

π 6

π32π35π 6

[答案] B

[解析] 由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，

a2＋b2－c21由余弦定理得cosC＝＝ 2ab2

π∵0<C<π，∴C. 3

2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC中，若A＝60°，BC＝3，AC＝42，则角B的大小为( )

A．30°

C．135°

[答案] B

[解析] ∵AC·sin60°＝42×

4243＝， sinBsin60°

∴sinB＝242<43，∴B<A，∴B＝45°. 2326<42<43，故△ABC只有一解，由正弦定理得，2 B．45° D．45°或135°

π(理)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝，a＝3，b＝1，则c＝( ) 3

A．1

3－1

[答案] B

[解析] ∵bsinA＝33，∴本题只有一解． 2 B．2 3

π∵a3，b＝1，A＝ 3

b2＋c2－a21＋c2－31∴根据余弦定理，cosA＝＝， 2bc2c2

解之得，c＝2或－1，

∵c>0，∴c＝2.故选B.

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝2，b＝22，且三角形有两解，则角A的取值范围是( )

π0， A.4

π3πC.44

[答案] A

[解析] 由条件知bsinA<a，即2sinA<2，∴sinA<

π∵a<b，∴A<B，∴A为锐角，∴0<A<4

[点评] 如图，AC＝2，以C为圆心2为半径作⊙C，则⊙C

上任一点(⊙C与直线AC交点除外)可为点B构成△ABC，当AB与

ππ⊙C相切时，AB＝2，∠BAC＝AB与⊙C相交时，∠BAC44

π因为三角形有两解，所以直线AB与⊙C应相交，∴0<∠BAC<4

4．(2010·湖南理)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )

A．a＞b

C．a＝b

[答案] A

[解析] ∵∠C＝120°，c＝2a，c2＝a2＋b2－2abcosC

∴a2－b2＝ab，

又∵a>0，b>0，∴a－b＝ab，所以a>b. a＋b B．a＜b D．a与b的大小关系不能确定 2 2 ππB.42 ππD.43

5．(文)(2010·天津理)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sinC＝3sinB，则A＝( )

A．30°

C．120°

[答案] A

b2＋c2－a2

[解析] 由余弦定理得：cosA 2bc

∵sinC＝23sinB，∴c＝3b，∴c2＝23bc，

又∵b2－a2＝－3bc，∴cosA＝ 2 B．60° D．150°

又A∈(0°，180°)，∴A＝

30°，故选A.

(理)(2010·山东济南)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为( )

π 6

π3π2π33π5π 66

[答案] D

a2＋c2－b2[解析] 由(a＋c－b)tanB＝3ac得，·tanB＝3，再由余弦定理cosB＝ac222

a2＋c2－b23π2π得，2cosB·tanB3，即sinB＝B的值为，故应选D. 2ac233

6．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )

A．1＋3

3＋3 3

[答案] C

11[解析] acsinB＝ac＝2， 22

又2b＝a＋c，∴a2＋c2＝4b2－4，

33由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得，b＝. 3

7．(2010·厦门市检测)在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若角A、

B、C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC等于( )

2 3 2 3 D．2 B．3＋3 D．2＋[答案] C

[解析] ∵A、B、C成等差数列，∴B＝60°，

baasinB＝，∴sinA＝sinBsinAb1×321 2∵

∴A＝30°或A＝150°(舍去)，∴C＝90°，

13∴S△ABC＝22

Ba＋c8．(2010·山师大附中模考)在△ABC中，cos2＝a、b、c分别为角A、B、C的对22c

边)，则△ABC的形状为( )

C．等腰三角形

[答案] A D．等腰三角形或直角三角形

1＋cosBsinA＋sinCBa＋c[解析] ∵cos2，∴， 22c22sinC

∴sinCcosB＝sinA，

∴sinCcosB＝sin(B＋C)，∴sinBcosC＝0，

π∵0<B，C<π，∴sinB≠0，cosC＝0，∴C＝，故选A. 2

13109．(2010·四川双流县质检)在△ABC中，tanA＝cosB＝1，则最短210

边的长为( ) 4 5

25 5

[答案] D

[解析] 由tanA>0，cosB>0知A、B均为锐角， 1π3103∵tanA，∴0<A<，cosB＝>， 24102

π∴0<B<，∴C为最大角， 6

3101由cosB＝tanB＝，∴B<A，∴b为最短边， 103

由条件知，sinA＝121cosA＝sinB， 5510 35 55 5

∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB

＝13212＋×， 5105102bcb15由正弦定理＝＝b＝. sinBsinC152

102→→→→ABAC→AC·BC→→→10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB，AC和BC满足·BC＝0，且→→→→|AB||AC||AC|·|BC|

2，则△ABC为( ) 2

A．等边三角形

B．等腰非直角三角形

D．等腰直角三角形

[答案] D

→→AC·BC2[解析] ＝cos∠ACB＝ 2→→|AC|·|BC|

∴∠ACB＝45°，

→→ABAC→又∵·BC＝0， →→|AB||AC|

∴∠A＝90°，∴△ABC为等腰直角三角形，故选D.

二、填空题

11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．

①a＝1，b2，B＝45°；

②a5，b＝15，A＝30°；

③a＝6，b＝20，A＝30°；

④a＝5，B＝60°，C＝45°.

[答案] ①④

[解析] ①一解，asinB＝

②两解，b·sinA＝2<1<2，有一解． 2155<，有两解； 2③无解，b·sinA＝10>6，无解．

④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．

(理)在锐角△ABC中，边长a＝1，b＝2，则边长c的取值范围是________．

[答案] 3<c5

[解析] 边c最长时：

a2＋b2－c21＋4－c2

cosC＝>0， 2ab2×1×2

∴c2<5.∴0<c<5.

a2＋c2－b21＋c2－4边b最长时：cosB＝， 2ac2c

∴c2>3.∴c>3.

3<c<5.

12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－1,0)，C(1,0)，顶点

sinA＋sinCx2y2

B＋＝1的值为________． 43sinB

正弦定理和余弦定理习题(四)
正余弦定理练习题(含答案)[1]

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

A.6 2 C.3 D．6 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )【正弦定理和余弦定理习题】

32

A．42 B．43 C．6 D.

3

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝，b＝，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定 解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )

11

A．1 B. C．2 24cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC中，AB，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

33333A. B. C.或3 D.或 24242

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b6，B＝120°，则a等于( )

A.6 B．2 C.3 D.2

π

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c3，C＝，则A＝________.

3

43

10．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________. 12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.

sinA＋sinB＋sinCa－2b＋c

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.

sin A－2sin B＋sin C

1

15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.

3

16．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

CC1A

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝，＝，sin Bsin C＝cos2A、

2242

B及b、c.

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A3

＝sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 510

20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为3，求边b的长．

1

1．在△ABC中，如果BC＝6，AB＝4，cosB＝，那么AC等于( )

3

A．6 B．6 C．6 D．6 2．在△ABC中，a＝2，b＝3－1，C＝30°，则c等于( )

A. C. D．2 3．在△ABC中，a2＝b2＋c23bc，则∠A等于( )

A．60° B．45° C．120° D．150°

22

4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若(a＋c－b2)tanB3ac，则∠B的值为( )

πππ5ππ2πA. C.或 D.或636633

5．在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，则acosB＋bcosA等于( )

A．a B．b C．c D．以上均不对

6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．由增加的长度决定

→→→→

7．已知锐角三角形ABC中，|AB|＝4，|AC|＝1，△ABC的面积为3，则AB·AC的值为( )

A．2 B．－2 C．4 D．－4 8．在△ABC中，b3，c＝3，B＝30°，则a为( )

A.3 B．23 C.3或23 D．2

9．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________． 10．△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(3－1)∶3＋1)10，求最大角的度数．

11．已知a、b、c是△ABC的三边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝53，则边c的值为________． 12．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4，则cos A∶cos B∶cos C＝________.

1

13．在△ABC中，a＝32，cos C，S△ABC＝43，则b＝________.

3

→→

14．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6，则AB·BC的值为________．

222a＋b－c

15．已知△ABC的三边长分别是a、b、c，且面积S＝C＝________.

4

16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，且2cos(A＋B)＝1，求AB的长．

1

18．已知△ABC2＋1，且sin A＋sin B2sin C.(1)求边AB的长；(2)若△ABC的面积为sin C，

6

求角C的度数．

π

19．在△ABC中，BC，AC＝3，sin C＝2sin A.(1)求AB的值；(2)求sin(2A－的值．

4

20．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos Asin B＝sinC，确定△ABC的形状．

正弦定理

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )

A.6 2 C.3 D．6

abasinB

解析：选A.应用正弦定理得：b＝6.

sinAsinBsinA

2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )

32

A．42 B．43 C．6 D.

3

asinB

解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝46.

sinA

3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝3，b＝2，则角B为( )

A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对

abbsinA2

解析：选C.由正弦定理sinBa>b，∴B<60°，∴B＝45°.

sinAsinBa2

4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于( )

A．1∶5∶6 B．6∶5∶1 C．6∶1∶5 D．不确定

解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )

11

A．1 B. C．2 24

bc2×sin 30°

解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由c＝1.

sinBsinCsin45°

cos Ab

6．在△ABC中，若，则△ABC是( )

cos Ba

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形

bsin Bcos Asin B

解析：选D.∵＝，∴＝

asin Acos Bsin A

sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B

π

即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝2

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为( )

33A. B.24333或3 D.242

ABAC3

解析：选D.，求出sinC＝，∵AB＞AC，

sinCsinB2

∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.

1

再由S△ABC＝AB·ACsinA可求面积．

2

8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b6，B＝120°，则a等于( )

A. B．2 3 D.2

62

解析：选D.由正弦定理得，

sin120°sinC

1

∴sinC＝2

又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°， △ABC为等腰三角形，a＝c＝2.

π

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c3，C＝，则A＝________.

3

ac

＝

sinAsinC

a·sinC1

所以sinA＝＝c2

ππ

又∵a＜c，∴A＜C＝A＝36

π答案：6

410．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.

3ab

解析：由正弦定理得＝

sinAsinB12bsinA3

⇒sinB＝＝a432

3

3

答案：

2

11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.

解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，

ab12×sin30°由＝得，a＝＝3， sinAsinBsin120°∴a＋c＝83. 答案：83

12．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB， 代入式子a＝2bcosC，得 2RsinA＝2·2R·sinB·cosC， 所以sinA＝2sinB·cosC， 即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC， 化简，整理，得sin(B－C)＝0. ∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°， ∴－180°＜B－C＜180°， ∴B－C＝0°，B＝C. 答案：等腰三角形

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝3，b＝12，S△ABC＝183，则＝________，c＝________.

sinA＋sinB＋sinC

a＋b＋ca311

解析：由正弦定理得＝12，又S△ABC＝bcsinA，12×sin60°×c＝3，

22sinA＋sinB＋sinCsinAsin60°

∴c＝6.

答案：12 6

a－2b＋c

14．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则＝________.

sin A－2sin B＋sin C

解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，

a1

∴2R＝＝2，

sinAsin30°

又∵a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

a－2b＋c2Rsin A－2sinB＋sin C∴＝2R＝2. sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C答案：2

1

15．在△ABC中，已知a＝2，cosC＝，S△ABC＝43，则b＝________.

3

221

解析：依题意，sinC＝S△ABC＝absinC＝43，

32

解得b＝23. 答案：23

16．在△ABC中，b＝4，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．

1

解析：∵bsinC＝＝2且c＝2，

2

∴c<bsinC，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？

1

解：在△ABC中，BC＝＝20，

2

∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得

BC·sin∠ABCAC＝【正弦定理和余弦定理习题】

sinA

20sin30°＝2(km)． sin45°

即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102 km.

CC1A

18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝3，＝，sin Bsin C＝cos2A、

2242

B及b、c.

CC11

解：由sinC＝

2242

π5π

又C∈(0，π)，所以CC＝66A

由sin Bsin C＝cos

21

sin Bsin C－cos(B＋C)]，

2

即2sin Bsin C＝1－cos(B＋C)，

即2sin Bsin C＋cos(B＋C)＝1，变形得 cos Bcos C＋sin Bsin C＝1，

π5π

即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝B＝C＝(舍去)，

66

2π

A＝π－(B＋C)＝3abc

由正弦定理，得

sin Asin Bsin C

12sin B

b＝c＝a2＝2.

sin A3

2

2ππ

故A＝，B＝b＝c＝2.

36

19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A3

10＝sin B＝.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值． 510

正弦定理和余弦定理习题(五)
《正弦定理和余弦定理》典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析 类型一：正弦定理的应用：

例1．已知在ABC中，c10，A45，C30，解三角形.

思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a，然后用三角形内角和求出角B，最后用正弦定理求出边b.

解析：





ac

，

sinAsinC

csinA10sin45

 ∴a

sinCsin30

∴ B180(AC)105， 又

bc，

sinBsinC

csinB10sin105

∴b20sin7520

sinCsin304

总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.

举一反三：

【变式1】在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9cm，解三角形。 【答案】根据三角形内角和定理，C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20；

asinB42.9sin81.80

80.1(cm)； 根据正弦定理，b

sin32.00asinC42.9sin66.20

74.1(cm). 根据正弦定理，c

sin32.0【变式2】在ABC中，已知B75，C60，c5，求a、A. 【答案】A180(BC)180(7560)45，

根据正弦定理

a5

a，∴sin45osin60o【变式3】在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c 【答案】根据正弦定理

abc

，得a:b:csinA:sinB:sinC1:2:3. sinAsinBsinC

例2．

在ABC中，bB60,c1，求：a和A，C．

思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C，然后用三角形内角和求出角A，最后用正弦定理求出边a.

解析：由正弦定理得：

bc

，

sinBsinC

csinB1

∴sinC，

b2（方法一）∵0C180， ∴C30或C150， 当C150时，BC210180，（舍去）； 当C30时，A90，∴a2．



















（方法二）∵bc，B60， ∴CB，

∴C60即C为锐角， ∴C30，A90

∴a2．

总结升华：

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角C时，因为sinCsin(1800C)，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.

3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍. 举一反三：

【变式1】在

ABC中，c



a2，A45，求b和B,C．

accsinA【答案】∵，

∴sinC， sinAsinCa∵0C180， ∴C60或C120





csinB1； ∴当C60时，B75，bsinC



csinB1；

∴当C120时，B15，bsinC



所以，b1,B75,C60

或b1,B15,C120． 【变式2】在ABC中a20, b2,A45, 求B和c；



【答案】

∵

1asinB ∴ o

2sin45sinB

∵0B180， ∴B30或B150 ①当B30时，C105，c10(31)； ②当B150时，AB195180（舍去）。

【变式3】在ABC中，B60，a

14, b求A.















asinB14sin6002【答案】由正弦定理，得sinA. 

b27

∵ab, ∴AB，即 0A60

∴A45

类型二：余弦定理的应用：

例3．已知ABC中，AB

3、BCAC4，求ABC中的最大角。 思路点拨: 首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解. 解析：

∵三边中BCBC其所对角A最大，



AB2AC2BC21

根据余弦定理：cosA，

2ABAC2

∵ 0A180， ∴A120 故ABC中的最大角是A120.

总结升华：

1.ABC中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理； 2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系. 举一反三：

【变式1】已知ABC中a3, b5, c7, 求角C.









a2b2c25232721

， 【答案】根据余弦定理：cosC

2ab2352

∵0C180， ∴C120

【变式2】在ABC中，角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a:b:c

的各角的大小．

【答案】

设a，b

2k，c

，求ABC3）





o

1k，k0



根据余弦定理得：

cosB

6

14

2



， 2

∵0B180，∴B45； 同理可得A60； ∴C180AB75

【变式3】在ABC中，若abcbc，求角A.

2

2

2









b2c2a21

 【答案】∵bcabc， ∴cosA

2bc2

2

2

2

∵0A180， ∴A120 类型三：正、余弦定理的综合应用

例4．在

ABC中，已知

acB450，求b及A.

思路点拨: 画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边b，然后继续用余弦定理或正

弦定理求角A.

解析：

⑴由余弦定理得：



b2a2c22accos

B

=22

2

=1221

) =8 ∴b

⑵求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： （法一：余弦定理）

b2c2a21

∵cosA，

∴A600.

（法二：正弦定理）

asin450∵sinA

sinB

2.41.43.8，21.83.6

∴a＜c，即00＜A＜900,

∴A600.

总结升华：画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好. 举一反三：

【变式1】在ABC中，已知b3, c4, A135.求B和C. 【答案】由余弦定理得：a34234cos135252， ∴a

2

2

2

o

2526.48

bsinA3sin135o

0.327， 由正弦定理得：sinBaa

因为A135为钝角，则B为锐角， ∴B197. ∴C1800(AB)25053/.

【变式2】在ABC中，已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c，若a

2，b

c求角A和sinC

【答案】根据余弦定理可得：

0/

b2c2a2 cosA

2bc2

∵0A180， ∴ A30 ；



csinA



∴由正弦定理得：sinCa

sin30

2



4

.

本文来源：http://www.guakaob.com/lizhiwendang/521524.html