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韩信点兵
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难度：1
描述
相传韩信才智过人，从不直接清点自己军队的人数，只要让士兵先后以三人一排、五人一排、七人一排地变换队形，而他每次只掠一眼队伍的排尾就知道总人数了。输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7），输出总人数的最小值（或报告无解）。已知总人数不小于10，不超过100 。
输入
输入3个非负整数a,b,c ，表示每种队形排尾的人数（a<3,b<5,c<7）。
例如,输入：2 4 5
输出
输出总人数的最小值（或报告无解，即输出No answer）。实例，输出：89
#include<stdio.h>
int main()
{
int a,b,c,m; scanf("%d%d%d",&a,&b,&c); m=(a*70+b*21+c*15); if(m>105) m=m-105; printf("%d\n",m); return 0;
}
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式： 1×70＋2×21＋2×15－105
＝142－105 ＝37
韩信点兵算法流程图
韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？ 这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它
用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：
1×70＋2×21＋2×15－105
＝142－105
＝37
因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。
1900年，德国大数学家大卫•希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。
韩信点兵解法
韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？ 这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀： 三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式： 1×70＋2×21＋2×15－105 ＝142－105 ＝37 因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。 1900年，德国大数学家大卫·希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的【韩信点兵算法答案】
五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”的启发的。
韩信点兵问题的神解法
定理1：一个数除以a余数x，除以b余数y，a、b互质且a<b，求这个数的最小值。 设这个数为z，则
z=b(an+x-y)/(b-a)+y (1)
或z=a(bn+x-y)/(b-a)+x (2)
其中n为使(bn+x-y)/(b-a)为正整数的最小值。
证明：
设z=al+x=bm+y 则：al+x-y-am=(b-a)m
所以m=(a(l-m)+x-y)/(b-a)
将变量l-m用独立变量n代替：
m= (an+x-y)/(b-a)
将m代入以上等式得到：z=b(an+x-y)/(b-a)+y
同理可以证明等式2
定理2：在定理1等式中，0<=n<=b-a。
证明：从定理1等式中可知n=l-m，因为a<b，所以l>=m，故n>=0
假设n=h(b-a)+k，k<=b-a 代入以上算式z=b(ah(b-a)+ak+x-y)/(b-a)+y=ahb+b(ak+x-y)/(b-a)，由此可知，n可以取值为k。
根据以上两个定理来计算韩信点兵问题，具有两个方面的优点：
1、 将两个变量合并成了一个变量，从而只需要尝试一个变量即可。
2、 这一个变量的范围被两个除数的值界定，需要尝试的最多次数是确定的。
例1：一个数除以9余5，除以13余4，求这个数的最小值
列出算式：13*(9n+5-4)/(13-9)+4=13*(9n+1)/4+4
显然能让相除结果为整数的n的最小值为3，代入则得：13*(9*3+1)/4+4=95。
例2：一个数除以13余10，除以17余5，求这个数的最小值
列出算式：17*(13n+10-5)/(17-13)+5=17*(13n+5)/4+5
显然能让相除结果为整数的n的最小值也为3，代入则得：17*(13*3+5)/4+5=192
以上算法比传统算法更简便，但依然有缺陷，即如果除数的值比较大时，要获得满足条件的n的值尝试的次数也会相应增大，从而对于大数相除时也会计算量太大，无法手算，用计算机计算也会比较耗时。以下介绍一种即使对大数计算也非常有效的方法，无论多大的数，计算量都增加很少。
首先证明两个定理：
定理3：
在定理1中，z=b(an+x-y)/(b-a)+y，必存在一个m，使得z= b(am+(x-y)mod(a))/(b-a)+y。
证明：设x-y=ak+(x-y)mod(a)则：z=b(a(m+k)+(x-y)mod(a))/(b-a)+y，故m=n-k即可。
定理4：
在算式(an+x)/b中，必存在一个m，使得(am+x)/((b)mod(a))= (an+x)/b。
证明：设k=(an+x)/b，b=al+(b)mod(a)则：an+x=bk=alk+k((b)mod(a))
所以k=(a(n-lk)+x)/((b)mod(a))= (an+x)/b，只要n=n-lk即可。
定理5：
算式(an+x)/b，当a<b时，必存在一个m使得(an+x)/b=(am+xmod(a))/(bmod(a))。 证明：根据定理3
(an+x)/b=(al+xmod(a))/b
根据定理4
(al+xmod(a))/b=(am+xmod(a))/(bmod(a))【韩信点兵算法答案】
所以(an+x)/b=(am+xmod(a))/(bmod(a))
设m=(an+x)/b，则可以假设z=an+x=bm，则问题转化为：z除以a余x，除以b余0，求z的值。而根据定理5，则可以将算式中的b的值不断递归取余，直至其值为1，而此时n的值则为0。
由此实现的算法，最终不需要计算n的值，只需要分母的值递归至1即可，此时满足条件的n的最小值必定是0。
以下举例说明算法：
例3：一个数z除以347余159，除以362余181，求其值。
z=362*(347n+159-181)/(362-347)+181
=362*(347n+(-22)mod(347))/15+181
=362*(347n+325)/15+181
以下求347n+325的最小值z1，满足：除以347余325，除以15余0，所以其值为： 347*(15n-325)/(347-15)+325
=347*(15n+(-325)mod(15))/332mod(15)+325
=347*(15n+5)/2+325
以下求15n+5的最小值z2，满足：除以15余5，除以2余0，所以其值为：
15*(2n-5)/(15-2)+5
=15*(2n+(-5)mod(2))/13mod(2)+5
=15*(2n+1)/1+5
分母为1，令n=0，则z2=20，所以z1=347*(z2)/2+325=347*20/2+325=3795
所以z=362*z1/15+181=362*3795/15+181=91767
经过2次递归计算出结果。共进行3次乘法，三次除法，三次加法，6次减法，6次求余。
例4：一个数z除以385余251，除以793余563，求其值。
z=793*(385n+251-563)/(793-385)+563
=793*(385n+(251-563)mod(385))/408mod(385)+563
=793*(385n+73)/23+563
以下求385n+73的最小值z1，满足：除以385余73，除以23余0，所以其值为： 385*(23n-73)/(385-23)+73
=385*(23n+(-73)mod(23))/362mod(23)+73
=385*(23n+19)/17+73
以下求23n+19的最小值z2，满足：除以23余19，除以17余0，所以其值为： 23*(17n-19)/(23-17)+19
=23*(17n+(-19)mod(17))/6+19
=23*(17n+15)/6+19
以下求17n+15的最小值z3，满足：除以17余15，除以6余0，所以其值为：
17*(6n-15)/(17-6)+15
=17*(6n+(-15)mod(6))/11mod(6)+15
=17*(6n+3)/5+15
以下求6n+3的最小值z4，满足：除以6余3，除以5余0，所以其值为：
6*(5n-3)/(6-5)+3
=6*(5n+(-3)mod(5))/1mod(5)+3
=6*(5n+2)/1+3
分母为1，所以令n=0，则z4=6*2+3=15，
所以z3=17*z4/5+15=17*15/5+15=66,
所以z2=23*66/6+19=272
所以z1=385*z2/17+73=385*272/17+73=6233
所以z=793*z1/23+563=793*6233/23+563=215466
共经过四次递归计算出结果。共进行5次乘法，5次除法，5次加法，10次减法，10次求余。 由此可知，计算量由递归次数决定。设递归次数为n，则乘法、除法和加法的次数为n+1，减法和求余的次数为2(n+1)。
从以上两例可以看出，与传统计算方法相比，大大简化。其递归模式可以非常容易用程序实现，而且当除数比较大时，只要最终结果值不大于数据类型的最大值，用程序计算就不会发生溢出。以下给出javascript代码，将以下代码拷贝到一个空白文档，并以.html为后缀名保存文件后，用浏览器打开该文件即可运行（其中：a1为第一个除数，a2为第一个余数，b1为第二个除数，b2为第二个余数）：
<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Transitional//EN"
"
<html xmlns="
<head>
<meta http-equiv="Content-Type" content="text/html; charset=utf-8" />
<title>韩信点兵神器，无论多大的数都能算</title>
</head>
<script type="text/javascript" language="javascript">
var count=0;
function doCalculate(){
var a1=parseInt(document.getElementById("devider1").value); var a2=parseInt(document.getElementById("rest1").value);
} var b2=parseInt(document.getElementById("rest2").value); var result=calculate(a1,a2,b1,b2); if(result>0){ } else window.alert("两个除数不是互质"); return; document.getElementById("result").value=result; alert("共进行了"+count + "次乘法、除法和加法，"+count*2 + "次减法和求余"); count=0;
function calculate(a1,a2,b1,b2){
}
function getMod(x,n){【韩信点兵算法答案】
}
function isRelativelyPrime(m,n){
var d1,d2,d3=1; if(m<=n){ //将小数放到d1中 d1=m; d2=n; while(x<0){ } return x%n; x+=n; if(isRelativelyPrime(a1,b1)==false) return 0; count += 1; var temp=a1; if(a1>b1){ } var newA1=a1; var newA2=getMod(a2-b2,a1); //保证余数大于0 var newB2=0; var newB1=(b1-a1)%a1; if(newB1==1) return b1*newA2+b2; return b1*(calculate(newA1,newA2,newB1,newB2)/newB1)+b2; a1=b1; b1=temp; temp=a2; a2=b2; b2=temp;
}
else{ } while(d3!=0){ } if(d2==1) return true; return false; d3=d2%d1; d2=d1; d1=d3; d1=n; d2=m;
</script>
<body>
<form METHOD=POST ACTION="" name="frm1" id="frm1">
除以
<input type="text" name="devider1" id="devider1" value="5" /> 余
<input type="text" name="rest1" id="rest1" value="3" />
<br />
除以
<input type="text" name="devider2" id="devider2" value="7" /> 余
<input type="text" name="rest2" id="rest2" value="4" /> <br />
结果：
<input type="text" name="result" id="result" />
<input value="计算" type="button" onClick="doCalculate()" /> </form>
</body>
</html>