一元二次方程导学案

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一元二次方程导学案(一)
第21章一元二次方程全章导学案(共10份)

21.1一元二次方程

【学习目标】

1．理解一元二次方程的概念；

2．知道一元二次方程的一般形式,会把一个一元二次方程化为一般形式； 3．会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

【学习重点】一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念. 【学习难点】在实际问题中建立一元二次方程的数学模型. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本25-27页内容，并完成下列问题

1． 问题1：“六一”节，八（2）班的每个同学向班上的每个小朋友发了一条祝福短信，共发短

信3306条，八（2）班有多少人？

设八（2）班有x人，可列方程为___________ ．

2．问题2：一个直角三角形的斜边长为10cm，两条直角边相差2cm,求较长的直角边. 设较长的直角边为xcm, 可列方程为___________ . ．

3．观察上面所列出的两个方程：（1）方程的两边都是 （2）方程中含有个未知数，（3）含有未知数的项的最高次数是 . 你能类比一元一次方程给上面两个方程命名吗？ 4．一元二次方程的定义

只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的 方程叫做一元二次方程.

5．一元二次方程的一般形式：， 其中 是二次项， 是二次项系数 ， 是一次项系数. 6．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5

x

=0 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．方程3x2

-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．8．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 9．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________. 二、合作、交流、展示：

1．一元二次方程的一般形式： . 一元二次方程的特殊形式有 .

2．例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、

一次项系数及常数项．

【变式】将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

3．例2:一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？ 分析：设苗圃的宽为xm，则长为 m. 根据题意，列方程为 ， 整理，得 .

(1)下面哪些数是上述方程的根？ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10

【知识链接】使一元二次方程等号左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.

(2)本题列出的方程还有其它解吗？

【思考】一元二次方程的解与一元一次方程的解的区别？ 三、巩固与应用：

1．判断下列方程是否为一元二次方程：

2

(1)1-x2=0 (2)2(x2-1)=3y (3)2x-3x-1=0 (4)

1x22x

=0 (5)(x+3)2=(x-3)2

(6)9x2=5-4x

2．将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2

;

（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4. 3．要使(k1)x

k1

(k1)x20是一元二次方程，则k=_______.

4．已知关于x的一元二次方程(m2)x2

3xm2

40有一个解是0，求m的值. 四、小结： 1. 一元二次方程的有关概念；

2．能熟练把一个一元二次方程化为一般形式；

3．准确说出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.

五、作业：必做：P28练习T1、4、5. 选做：《作业精编》相应练习.

1

22..2.1一元二次方程的解法—直接开平方法

【学习目标】

1．会用直接开平方法解形如x2p或(mxn)2p（p≥0）的方程. 2．经历直接开平方法的探究过程，领会转化、降次思想.

【学习重点】会用直接开平方法解形如x2p或(mxn)2p（p≥0）的方程. 【学习难点】领会降次──转化的数学思想. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本30-31页内容，并完成下列问题 1．【知识回顾】

平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根．这就是说，如果x2

a，那么x 叫做a的平方根，记为x= .

完全平方公式：a2

2abb2

，a2

2abb2

2．利用平方根的定义解下列方程：

（1）x2

9 （2） 2x2

80

（3）(x1)216 （4）(2x1)2

25

【归纳】在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 即如果方程能化成x

2

p或(mxn)2p(p0)的形式，

那么可得x

mxn3．思考：如何解方程x2

6x92

二、合作、交流、展示：

1．直接开平方法： 如果方程能化成x2

p或(mxn)2

p(p0)的形式，

那么可得x= 或mxn= ．

解一元二次方程的数学思想是 .

⑴ 9x2

53 ⑵(2x3)2

50

⑶(2 x-1)2+4=0 ⑷4x2-4x+1=0

【思考】用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

3．【例2】市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m2，求每年人均住房面

积增长率．

【分析】设每年人均住房面积增长率为x．一年后人均住房面积就应该是 m2；二年后人均住房面积就应该是 m2

解：设每年人均住房面积增长率为x，依题意可列方程：

三、巩固与应用： 1．解下列方程：

（1）(x2)23 （2）3(2x3)290

2．解下列方程：

（1）x2

4x42 （2）9x2

6x15

3．解方程：(2x1)2(3x)2

4. 思考：如何解方程x2

6x160

四、小结： 1. 解一元二次方程的数学思想；

2．直接开平方法.

五、作业：必做：P42练习T1、12. 选做：《作业精编》相应练习.

2

赣州一中2014—2015学年度第一学期初三数学导学案

21.2.1一元二次方程的解法—配方法

【学习目标】

1．学会利用配方法解一元二次方程，提高解方程的能力； 2．经历配方法解方程的过程，体会转化的数学思想. 【学习重点】用配方法解一元二次方程.

【学习难点】配方的过程，领会配方转化的数学思想. 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本31-34页内容，并完成下列问题. 1．填空：

x22bxb2，x22bxb2.

2．解方程（1） 4x2

－5= 4； （2）(x+6)2

－1= 0； （3） x2

－10x+25= 0

3. 填空：（1）x2－6x+( )=( x－ )2 （2）x2+8x+( )=( x+ )2

（3）x2－3x+( )=( x－ )2 (4 ) x2+5x+( )= ( x+ )2 4. 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6米，并且面积为16平方米，场地的长和宽应各是少？解：若设场地宽为x米，长为（x+6）米，根据面积为16平方米 得到方程 ，化简得到 . 5．探究：如何并解所得的方程，可以用直接开平方法求解吗？ 我们将一元二次方程 x2

6x160 作如下变形：

第一步，把常数项移到等号的右边，方程变形为：x2

6x第二步，等号两边同时加上一个常数，使等号左边成为一个完成平方形式：

x26x（ ）＝ （ 想一想：等号两边应同时几呢？依据是什么?）即( x + )2

＝

第三步，用直接开平方法解方程， x ＝ ，

∴方程的解是 x1x2.

在上题的问题中，由于场地的宽不能是负数，所以场地的宽为 米，长为 米。结论：像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配法方。

可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 二、合作、交流、展示：

1．用配方法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：把“常数项”移到等号的右边；

（2）配方：等号两边同时加上一个常数（一次项系数一半的平方），使等号左边成为一个完全

平方式；

（3）解方程：用直接开平方法解方程。 2．例题、解下列方程：

（1）x2

8x10； （2）x2

x20； （3）2x2

13x； （4）3x2

6x40.

【注意】用配方法解一元二次方程,当二次顶系数不是1时，为便于便配方，应先将系数化为1. 3．练习，解方程: ⑴x2

10x90； ⑵4x2

6x30； ⑶x(x4)8x12

4．用配方法证明：无论x取何值，代数式x2

16x65的值恒为正

三、巩固与应用：

1.填空：（1）x2

12x( x+ )2 ； （2）x2



2

3

x=( x- )2 2.解方程：（1）x2

x

7

4

0 ； （2）3x26x40. 3若方程2x2

8xa0可以化为2(x2)2

3，则a的值为

4.下列将方程x2+6x+7=0配方变形正确的是（ ）

A. (x+3)2=-2 B. (x+3)2=16 C. (x+3)2=2 D. (x+3)2=-16【一元二次方程导学案】

5.下列将方程2x2-4x-3=0配方变形正确的是（ ） A. (2x-1)2+1=0 B.(2x-1)2-4=0 C. (x-1)2=12 D.(x-1)2=5

2

6.用配方法解方程 4x2

-3x-1=3x+2

7．【拓展】用配方法证明：2x2

-8x+9的值恒为正。

四、小结： 配方法解一元二次方程的基本步骤：

（1） ，（2） ，（3） ，（4） 五、作业：必做：P42练习T3. 选做：《作业精编》相应练习.

3

21.2．2一元二次方程的解法——公式法

【学习目标】

1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，会熟练应用公式法解一元二次方程； 2、会利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况； 【学习重点】求根公式的推导、判别式△及求根公式的应用； 【学习难点】一元二次方程求根公式的推导。 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本第34—37页内容，并完成下列问题 1、用配方法解下列方程【一元二次方程导学案】

（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2

-3x=52

2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

二、合作、交流、展示：

1、【探究】一元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=0（a≠0），请用配方法的步骤求出它的两根： 【解】∵a≠0，方程两边都除以a，得

x2＋ x＋ ＝0

移项，得 x2

＋ x＝－

ca

配方，得 x2

＋2·xb2a＋( )2＝( )2－c2

b24aca ， 即(x＋ ) ＝4a2

；

∵a≠0，∴4a2＞0，当b2

－4ac≥0时，直接开平方，得

x＋ ＝±

b24ac

2a

∴ x＝-

bb24ac2

2a±2a,即 x＝bb4ac.（b2

－4ac≥0 2a）

【归纳】（1）一元二次方程ax2

＋bx＋c＝0的求根公式： x=

（2）确定一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解的方法叫做 .

通过解上面的方程你有什么发现？

【小结】一元二次方程根的判别式定理：

（1）当b2

－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

（2）当b2

－4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

（3）当b2

－4ac<0时，方程没有实数根.

把b2－4ac叫做一元二次方程ax2

+bx+c=0的根的判别式，用“△”表示。 注：（1）当△≥0时，方程的根的情况如何叙述？（2）上述的叙述，反过来也成立吗？ 3、不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2+3x－4 = 0； （2）1.6y2+0.9 = 2.4y； （3）5（x2

+1）－7x = 0.

4、解下列方程

(1) x2-22x+2=0； (2)4x2

＋4x＋10＝1－8x；

三、巩固与应用： 1、利用求根公式求5x2



1

2

6x的根时,a,b,c的值分别是( ) A.5, 12,6 B.5,6, 1112 C.5,-6, 2 D.5,-6,- 2

2、如果分式

x22x3

x3

的值为0,则x值为( )

A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-3

3、方程x2

—5x—1=0( )

A、有两个相等的实数根；B、有两个不相等的实数根；C、没有实数根；D、无法确定；4、关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2

+2m-3=0有一根为0，则m的值为___ __． 5、用适当的方法解下列方程：

(1) 4x2

－3x－1＝x－2 (2) 3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1) 6、求a的取值, 使关于x的方程ax2

4x10， （1）有两个实数根；（2）没有实数根；

四、小结： 1、求根公式；2、根的判别式；3、公式法。 五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.

4

21.2．3一元二次方程的解法——因式分解法

【学习目标】

1、学生会用因式分解法解一元二次方程；

2、能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。通过利用因式分解法将一元二次方程变形的过程，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法； 【学习重点】用因式分解法解一元二次方程； 【学习难点】用因式分解法解一元二次方程。 【学习过程】

一、课前导学：学生自学课本第 页内容，并完成下列问题 1、（1）因式分解的常用方法： 、 ； （2）平方差公式a2

b2

 ( )( );

完全平方公式a2

2abb2

 ( )2

2、分解因式： （1）5x24x ； （2）(x2)x(x2) ；

（3）x2

4 （4）(x1)2

25；

3、我们学习了解一元二次方程的三种方法是： 、 、 。 4、解下列方程：

（1）x2

40 （2）x2

3x10 （3）(x1)2

250 （4）20x2

23x70

二、合作、交流、展示： 1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？

解：设这个数为x，由题意，可得方程x2

3x 解法1：（配方法） 解法2：（公式法）

你还有其他的方法吗?

解法3: 当x2

3x时，则x(x3)0

=0或 =0

∴x1，x2【归纳】运用因式分解的方法求一元二次方程的方法叫 。

把一个一元二次方程转化为两个 方程来解，体现了一种“ ”的思想

（1）5x2

4x （2）x2x(x2) （3）(x1)(x3)12

【归纳】一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为 。 （2）将方程的左边进行因式分解。 （3）令每个因式为0，得两个一元二次方程。（4）解一元一次方程，得方程式的解。 3、练一练，用因式分解法解方程：

（1）x2

40 （2）(x2)2250

（3）4x(2x1)23(2x1) （4）4(x2)29(x2)2

0

三、巩固与应用： 1、解下列方程：

（1）7x2

21x （2）(2x1)2

360 （3）7x25x2x2x

（4）(3x1)

2

4(2x3)2 （5）1x2149

y20 (6) (x3)22(x3)150

2、已知(xy)(xy1)6，求xy.

3、当K取什么实数时，方程(k21)x2

6(3k1)x720有两个不相等的正数根.

4、一个直角三角形两条直角边相差7cm,面积是30cm2

，求斜边长.

四、小结： 1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？

2.解一元二次方程的方法有哪几种？

五、作业：必做：课本练习； 选做：《作业精编》练习.

5

一元二次方程导学案(二)
人教版初中数学一元二次方程导学案

一元二次方程复习学案

教学目标：

1．知识目标

（1）通过回顾与思考，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题；

（3）进一步了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程．

2．能力目标

（1）通过回顾与思考进一步体会一元二次方程也是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型；

（2）能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力；

（3）理解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程(数字系数)，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想；

（4）通过估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．

3．情感目标

通过师生共同的活动，使学生在交流和反思的过程中建立本章的知识体系，从而体验学习数学的成就感．

教学重点

1．一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法；

2．列一元二次方程解决实际生活中的问题．

教学难点：

1．列一元二次方程解决实际问题；

2．转化的思想方法．

教学过程

一、知识回顾

1.下列方程中，是一元二次方程的是

（1）x 2 -1 =（x+2）2；（2）（a-1)x 2+bx+c =0；

（3）3（x+1) 2=2x 2-5 ；

2. 将一元二次方程 (x-2)(2x+1)=3x 2-5化为一般

形式 .其中二次项系数 ，常数项

3.当m时，方程mx 2-3x=2x 2-mx+2 是一元二次方程. 当m时，方程(m 2-4)x 2-(m+2)x-3=0是一元一次方程.

4.一元二次方程3x 2=2x的解是

5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是

6.已知m是方程x 2-x-2=0的一个根，那么代数式m 2-m.

7.一元二次方程ax 2+bx+c=0有一根-2,则(4a+c)/b 的值为.

8. 方程x 2-4x+4=0根的情况是（ ）

(A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根

(C)只有一个实数根 (D)没有实数根

9.若关于X的一元二次方程kx2+4x+4=0有两个实数根，则k的取值是。

10. 解下列方程

（１） 5x 2-45=0 (2) x 2+2x-1=0 (配方法） （3）（x-2)(3x-5)=1

( 4 ) (x+3)(x-1)=x+3 （5） x 2 -10x+24=0

11.如图，在面积为144平方米的正方形花坛中开辟两条均宽

的小路（图中阴影部分），方便人通行和观赏， 若剩余

部分面积是100平方米，请问小路的宽是多少。

二、达标测试

1、下列等式是一元二次方程的是 .

A. ax2+b x + c = 0 B. x2120 x

C.2(x+1)2 = 2x2+ 2 D.(3x-1) 2=5

2. 若(m-1) xm21+ 3x – 1 =0是关于x的一元二次方程，则m = .

3、、一元二次方程(13x)(x3)2x21化为一般形式为：， 二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。

4、关于x的方程(m1)x2(m1)x3m20,当m为何值时为一元一次方程；当m为何值时为一元二次方程。

5、用适当的方法解下列方程

（1) (2x-1)2 =7 （2) (x-5)(x+2)=8

(3) (x+3) 2=(1-2x) 2 (4) (x-3) 2+2x(x-3)=0

6、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。求每年接受科技培训的人次的平均增长率。

7、.某农机厂四月份生零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，满足的方程是（ ）.

A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x) +50(1+x)2=182

C.50(1+2x)=182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182

8.某水果批发市场经销一种高档水果。如果每千克盈利10元，每天可出售500

千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量 奖减少20千克，现该市场保 证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠， 那么每千克应涨价多少元？

9、有一面积为150m2

的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35m，求鸡场的长与宽各为多少？

10、已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x29x200的一个根，求这个三角形的腰。

一元二次方程导学案(三)
一元二次方程全章导学案

22．1 一元二次方程（1）

问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以

下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？

分析：设雕像下部高x m，则上部高________,得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ①

问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一

个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制

作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为x ________________,宽为_____________.得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ②

问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间

都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，

比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为___________

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共

_________________场。列方程

____________________________

化简整理得 ____________________________ ③

请口答下面问题：

（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________

（2）它们最高次数分别是几次？___________

方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未

知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程.

1.一元二次方程:_____________________________________________

__________________________________________________________.

2. 一元二次方程的一般形式:____________________________

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是

____________，_____是二次项系数；bx是__________,

_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数

项都要包含它前面的符号。二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉。）

3. 例 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中

的二次项系数、一次项系数及常数项．

课堂训练

例1:判断下列方程是否为一元二次方程：【一元二次方程导学案】

(1)1　ｘ20　 (2)2(x2-1)=3y

122 (3)　2ｘ－3x－102－=0 xx (x3)2(x3)2 (6)9x2=5－4x (5)　

1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常

数项：

⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;

⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的

平方，求较短一段的长x。

3.求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是

一元二次方程．

活动4：课堂检测

1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．

5 ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0 x

22. 方程2x=3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是

（ ）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______，

常数项为_________．

5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常

数项：

⑴ 3x2+1=6x ⑵ 4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0

⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1)

活动5：拓展延伸

1．当a______时，关于x的方程a（x2+x）

2-（x+1）是一元二次方程.

2．若关于x的方程（m+3）xm27+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，

•并计算这个方程的各项系数之和．

3．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

22．1 一元二次方程（2）

活动1：

1：知识准备

一元二次方程的一般形式:____________________________

2：探究

问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是

多少？

分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．

根据题意，得___________________．

整理，得________________________．

1)下面哪些数是上述方程的根？

0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右

两边相等的_______________的值。

3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？

4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即

宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，

还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

练习：1.你能想出下列方程的根吗？

(1) x2 -36 = 0 (2) 4x2-9 = 0

2.下面哪些数是方程x2+x-12=0的根？

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

活动2：

例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

223x1 (3) 9x2160 x250(1) (2)

随堂训练

1.写出下列方程的根：

（1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2

23xx20的解的是（ ） 2. 下列各未知数的值是方程

A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2

3.根据表格确定方程x8x7.5=0的解的范围____________

4.已知方程3x9xm0的一个根是1，则m的值是______

5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？

活动3：归纳内化

1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一

元二次方程的________。

2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________

活动4：课堂检测

1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 222x2.一元二次方程x的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________

3.写出一个以x2为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：

_________________。

4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

22(a1)xxa10的一个根是0，a的值是5. 若关于X的一元二次方程

几？你能得出这个方程的其他根吗？

活动5：拓展延伸

22x2x22x4x3_____________。已知m是方程1. 若，则

x2x60的一个根，则代数式m2m________。

2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

3. 方程（x+1）2

（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

22x(x1)xx2化成一般形式是______________,二次项是____一次项4.把

系数是_______，常数项是_______。

5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0

（ ）． A．1 B．-1 C．0 D．2

6.方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2

7.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．

11A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2

aa

8. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。

⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0

9.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根

吗？

10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之

和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程

活动1、

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方

体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？

我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，

即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 计算：用直接开平方法解下列方程：

（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2

一元二次方程导学案(四)
一元二次方程全章导学案

22．1 一元二次方程（1）

学习目标：

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；•应用一元二次方程概念解决一些简单题目．

1．通过设置问题，建立数学模型，•模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目．

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点：

重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，•再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．

活动1 ：阅读教材第30至32页，并完成以下内容。

问题1 要设计一座2m高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 分析：设雕像下部高x m，则上部高________,得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ①

问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

x 分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长

为________________,宽为_____________.得方程

_____________________________

整理得

_____________________________ ②

问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为___________

设应邀请x个队参赛,每个队要与其他_________个队各赛1场，所以全部比赛共_________________场。列方程

____________________________

化简整理得 ____________________________ ③ 请口答下面问题：

（1）方程①②③中未知数的个数各是多少？___________ （2）它们最高次数分别是几次？___________

方程①②③的共同特点是： 这些方程的两边都是_________，只含有_______未知数（一元），并且未知数的最高次数是_____（二次）的方程. 1.一元二次方程:_____________________________________________ __________________________________________________________. 2. 一元二次方程的一般形式:____________________________

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是____________，_____是二次项系数；bx是__________,

_____是一次项系数；_____是常数项。（注意：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号。二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉。） 3. 例 将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

活动2 知识运用 课堂训练

例1:判断下列方程是否为一元二次方程：

1

(1)1　ｘ20　 (2)2(x2-1)=3y

122 (3)　2ｘ－3x－102－=0

xx

222

(5)　(x3)(x3) (6)9x=5－4x 1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项： ⑴ 5x2-1=4x ⑵ 4x2=81 ⑶ 4x(x+2)=25 ⑷ (3x-2)(x+1)=8x-3

2.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： ⑴4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;

⑵一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

⑶把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x。

3.求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

活动3 归纳内化

一元二次方程： 1. 概念 2.一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）

活动4：课堂检测

1．在下列方程中，一元二次方程有_____________．

5

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0

x

2

2. 方程2x=3（x-6）化为一般式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别是（ ）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

4．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_______，一次项系数为 ______， 常数项为_________．

5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、及常数项：

⑴ 3x2+1=6x ⑵ 4x2+5x=81 ⑶ x(x+5)=0

⑷ (2x-2)(x-1)=0 ⑸ x(x+5)=5x-10 ⑹ (3x-2)(x+1)=x(2x-1) 活动5：拓展延伸

1．当a______时，关于x的方程a（x2+x）

2-（x+1）是一元二次方程. 2．若关于x的方程（m+3）x

m27

+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，

•并计算这个方程的各项系数之和．

3．关于x的方程（m2-m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

22．1 一元二次方程（2）

学习目标：

1．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题．

2．提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题．

重点、难点

重点：判定一个数是否是方程的根；

2

难点：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际 问题的根． 活动1：阅读教材P32 — 33 , 完成课前预习 1：知识准备

例2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

一元二次方程的一般形式:____________________________

2223x1x2509x160 2：探究 (1) (2) (3)

问题: 一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，•苗圃的长和宽各是多

少？

分析：设苗圃的宽为xm，则长为_______m．

根据题意，得___________________．

整理，得________________________． 随堂训练 1)下面哪些数是上述方程的根？ 1.写出下列方程的根： 0，1，2，3，4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 （1）9x2 = 1 （2）25x2-4 = 0 （3）4x2 = 2

22)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的_____，即使一元二次方程等号左右3xx20的解的是（ ） 2. 下列各未知数的值是方程

两边相等的_______________的值。

A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D. x=-2 3)将x=-12代入上面的方程，x=-12是此方程的根吗？

2

4)虽然上面的方程有两个根（______和______）但是苗圃的宽只有一个答案，即3.根据表格确定方程x8x7.5=0的解的范围____________ 宽为_______.因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根， 还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

练习：1.你能想出下列方程的根吗？ 22

(1) x -36 = 0 (2) 4x-9 = 0

222.下面哪些数是方程x+x-12=0的根？

4.已知方程3x9xm0的一个根是1，则m的值是______

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。

5.试写出方程x2-x=0的根，你能写出几个？

活动3：归纳内化

活动2：知识运用 课堂训练 1.使一元二次方程成立的____________的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一 元二次方程的________。

2.由实际问题列出方程并得出解后，还要考虑这些解______________ 例1.下面哪些数是方程x2-x-6=0的根？

-4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4。 活动4：课堂检测

3

1.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 2.一元二次方程xx的根是__________；方程x（x-1）=2的两根为________ 3.写出一个以x

2

2为根的一元二次方程，且使一元二次方程的二次项系数为1：

_________________。

4.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．

22

(a1)xxa10的一个根是0，a的值是5. 若关于X的一元二次方程

几？你能得出这个方程的其他根吗？

活动5：拓展延伸

x3_____________。已知m是方程1. 若x2x2，则2x4

x2x60的一个根，则代数式m2m________。

2. 如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值．

3. 方程（x+1）2

（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．

2

2x(x1)xx2化成一般形式是______________,二次项是____一次项4.把

22

9.如果2是方程x2-c=0的一个根，那么常数c是几？你能得出这个方程的其他根吗？

10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根．

22.2.1 直接开平方法解一元一次方程

系数是_______，常数项是_______。

5.已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0

（ ）． 学习目标

A．1 B．-1 C．0 D．2 6.方程x（x-1）=2的两根为（ ）．

A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 7.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（ ）．

11

A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2= C．x1=a，x2= D．x1=a2，x2=b2

aa

8. 请用以前所学的知识求出下列方程的根。

⑴(x-2)=1 ⑵9(x-2) 2=1 ⑶x2+2x+1=4 ⑷x2-6x+9=0

4

1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．

2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．

重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的

数学思想．

难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．

归纳：如果方程能化成 的形式，那么可得 （x+m）2=n（n≥0）的方程．

活动2 知识运用 课堂训练 活动1、阅读教材第35页至第37页的部分，完成以下问题

一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方例1用直接开平方法解下列方程：

2体形状的盒子的全部表面，你能算出盒子的棱长吗？ （1）(3x+1)2=7 （2）y+2y+1=24

我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，

即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ 练习：

计算：用直接开平方法解下列方程：

（1）2x2-8=0 （2）9x2-5=3

（1）x2=8 （2）(2x-1)2=5 （3）x2+6x+9=2

（4）4m2-9=0 （5）x2+4x+4=1 （6）3(x-1)2

-9=108

（4）3(x-1)2-6=0 （5）x2-4x+4=5

解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次

5

3）9n2-24n+16=11 3）(x+6)2-9=0

（6）9x2+6x+1=4 （（

一元二次方程导学案(五)
精品一元二次方程复习教学案导学案

一元二次方程复习学案

复习目标：

1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。

2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。

3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。

教学过程：

一、知识回顾

1.一元二次方程的概念：形如.

2.一元二次方程的解法：

（1） （2） （3）

求根公式：

3.一元二次方程的根的判别式：

（1）当 时，方程有两个不相等的实数根； ．．．．．

（2）当 时，方程有两个相等的实数根； ．．．．

（3）当 时，方程没有实数根。 ．．．．．

如果x1，x2是一元二次方程ax2bxc0的两根，那么有x1x2

这是一元二次方程根与系数的关系

4、一元二次方程应用：

（1）一般步骤：

（2）验根： ba,x1x2ca.

二、基础训练

一元二次方程的概念

1.下列关于x的方程：

(1)2xx30,(2)x 223

x5,(3)x2x0,(4)xy23221

其中是一元二次方程的有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

2、关于x的方程（m+3)x|m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=

解下列方程

（1）(2x＋3)2－25＝0. （2）x23x2 2

（3）(3x1)2(2x5)20 （4） 2x27x20.

根的判别式

2（1）关于x的一元二次方程x-4x+2m=0无实数根，求m的取值范围

（2）关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有实数根，求m的取值范围.

解应用题

1、循环问题

（可分为单循环问题，双循环问题）

例1、参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

例2、参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

2、平均率问题

（最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系： M=a(1±x)n n为增长或降低次数 M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率 平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。）

例3、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？

3、数字问题：（位置值）

例4、一个三位数，十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字等于百位上的数字与十位上的数字的和。已知这个三位数比个位上的数字的平方的5倍大12，求这个三位数。

4、面积问题

例5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长a=18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由。

5、商品销售问题

常用关系式：（售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）

例6某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

本文来源：http://www.guakaob.com/lizhiwendang/523575.html