平行线分线段成比例

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平行线分线段成比例(一)
平行线分线段成比例定理的_典型例题

平行线分线段成比例的一些学习技巧

平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。 例1（1）已知

，则

=

（2）如果

，那么

的值是（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

分析 本考题主要考查比与代数式比的互换. 第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：

再转化成比的形式，便有

，整理后

对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出

，即

，

其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果. 例2、已知：1、

、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .

分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、

、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，

也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从

可求出

，又能求出

，便有比例式

，也得到比例式

或

等等.

，从

例3 如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值

.

分析 应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线.

解 过D作DG∥CA交BF于G，

则

中点，DG∥AF，

例 4 如下图，AC∥BD，AD、BC相交 于E，EF∥BD，求证：

分析 待证式可变形为

.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式

与

化归为同一直线AB上的线段比而证得.

证明 AC∥EF∥BD，

.

说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.

例5 、已知a、b、c均为非零的实数，且满足

的值.

求

解 设

则

三式相加，得

当 时，

有

时，则

，这时

原式=

例6 如下图，

中，D是AB上一点，E是

内一点，DE∥BC，过AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥

AE.

证明 DE∥AC，

∥

，

.

.

BF∥AE.

D作

平行线分线段成比例(二)
平行线分线段成比例教案

23.1.2 平行线分线段成比例

（新授课

一、教学内容：

① 平行线等分线段定理； ② 平行线分线段成比例定理； ③ 平行线分线段成比例推论. 二、教学目标：

1、 知识与技能：掌握平行线分线段成比例的基本定理及推论，并能用其解题； 2、 过程与方法：掌握基本定理的推导过程并能以之解题；

3、 情感态度和价值观：培养认识事物从一般到特殊的认知过程，培养欣赏数学表达式

的对称美。 三、教学重、难点：

1、 重点：平行线分线段成比例定理、推论及应用； 2、 难点：定理的推导证明。

四、教具：普通教室/多媒体计算机/三角板 五、教法：讲练结合法 六、教学过程：

活动一：复习旧课 成比例线段：

a) 概念，强调顺序性：(比例式：a:b=c:d,等积式：ad=bc) b) 比例的性质：

基本性质：分比性质：等比性质：

ab

cabcdadbc 合比性质： dbd

1课时）

abcdabcd 合分比性质： bdabcd

a1a2a3b1b2b3



aka1a2a3

bkb1b2b3ak

(b1b2b3bk

bk0)

活动二：创设情境，引入新课

问题1：一组等距离的平行线截得直线m所得的线段相等，那么在直线n上所截得的线段有什么关系呢？

即：已知l1∥l2∥l3 mm'm AB=BC DA'A

DAl3l3求DE与EF的关系

BE(B')

BEl2（DE=EF） l2

F推导见右图 CC'FCl1l1

（平移m证全等）

（引导得）结论：一组等距离的平行线在直线m上所截得的线段相等，那么在直线n所截得的线段也相等（平行线等分线段定理）。

那如果所截得的线段不等呢?这就是我们今天要研究的内容；平行线分线段成比例定理. 活动三：分析探索，新知学习

问题2：已知l1∥l2∥l3∥l4 AB=BC=CD,可知EF=FG=GH，那么擦出其中1条如l3后有何结论？

1234

12

4

1、板书：

AB1EF1ABEF1

 , → BD2FH2BDFH2

2、仿上可得： 板书：

AB1EF1ABEF1

 ，→ AD3EH3ADEH3

（引导结论）：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。 ↓

平行线分线段成比例定理：两条线段被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”）

理解：①一组：3条及以上，通常为3条 ②对应：上对上，下对下，全对全

即：

上上上上下下

=，=，=（反比性质亦成立） 下下全全全全

例1（强化“对应”的记忆）

如图l1∥l2∥l3根据图形写出成比例线段

12

解：

ABDE

,BCEFABDE

,ACDFBCEF

,ACDF

BCEF

 ABDEACDF

 ABDEACDF

 BCEF

例2：（根据基本定理求线段的长）-新课堂11题

如图，已知直线a∥b∥c,直线m，n与直线a，b，c分别交与点A，C，E，B，D，F，AC=4,CE=6,BD=3，求BF的长。 解：∵a∥b∥c ACBD

∴ aAEBF

AEBD(ACCE)BD(46)315

b

∴BF= ACAC42

c

3

活动四：扩展升华，变式思考

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例（证明）。如图：

（1）【平行线分线段成比例】

例3（推论应用）-新课堂3

如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上ED//BC,已知AE=6,

AD3

,则EC的长是（ ） BD4

(2)

A．4.5 B.8 C.10.5 D.14 例4（综合应用）--新课堂7

如图，在△ABC中,已知MN//BC，DN//MC，小红同学由此得出了以下四个结论：

（1）（3）

ANAMADDN

 （2） CNABDMMCAMANDNMN

 （4） MBNCMCBC

其中正确的结论有（ ）

A．1个 B.2个 C.3个 D.4个

GEGB

 。

BFCD

例5（综合应用）

如图，在菱形ABCD中，BE=DF，DE和CB的延长线相交于点G.求证

C

思路：欲证结论，先证BF=DE，CD=CB 证BF=DE方法： 1） 证△ADE≌CBF

2） 证DEBF为平行四边形

A

活动五：知识反馈，课堂练习

完成新课堂剩余题目 活动六：课堂小结

本课学习的主要内容有：

1. 平行线等分线段定理 2. 平行线分线段成比例定理 3. 平行线分线段成比例定理推论 着重注意线段的对应关系。

七、板书设计：

八、作业：

九、反思：

平行线分线段成比例(三)
平行线分线段成比例练习

平行线分线段成比例

一、选择题（共8小题）

1、（2011•肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

2、（2011•泰安）如图，点F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（ ）

A、 B、 C、 D、

3、（2011•怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（ ）

A、9 B、6 C、3 D、4

4、（2010•北京）如图，在△ABC中，点D、E分AB、AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）

A、3 B、 C、6 D、

8

5、（2010•鞍山）如图，设M、N分别是直角梯形ABCD两腰AD、CB的中点，DE上AB于点E，将△ADE沿DE翻折，M与N恰好重合，则AE：BE等于（ ）

A、2：1 B、1： C、3：2 D、2：3

6、（2009•上海）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、

7、（2007•襄阳）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1、l2、l3于点A、B、C及点D、E、F，且AB=3，DE=4，EF=2，则（ ）

A、BC：DE=1：2 B、BC：DE=2：3 C、BC•DE=8 D、BC•DE=6

8、（2006•湘西州）如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则

A、 B、 C、 D、

的值是（ ）

二、填空题（共4小题）

9、（2011•湘潭）如图，已知：△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=

10、（2006•河北）如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边

每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 _________ 米．

11、如图，梯形ABCD中，EF∥BC，，则=．

12、如图所示：设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两点，且

则+= _________ ．

三、解答题（共3小题）

13、如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4 cm，BD=8 cm，DE=5 cm，求线段BF的长．

=m，=n，

14、如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，

求证：MN+PQ=2PN．

15、已知：平行四边形ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．

（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；

（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．

平行线分线段成比例(四)
初二数学平行线分线段成比例定理

初二数学

【教学进度】

几何第二册第五章 5.2 [教学内容]

平行线分线段成比例定理 [重点难点剖析]

一、主要知识点

1．平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于 三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 二、重点剖析

1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比

 ， 可以说成“上比下等于上比下” BCEFABDE

 ， 可以说成“上比全等于上比全” ACDFBCEF

 ， 可以说成“下比全等于下比全”等 ACDF

2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论） 基本图形

AE3AE3EG3

 ∴  ∴ 又∵

EC4AC7DC7

极 EG=3X ， DC=7X （X>0），则

BD22214

 ∴ DB=DC7xx DC3333

14x

BD14

∴

EG3x9

∵

例3

分析 BC//FE例4 E，DB 点评 （1（3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可

例5 如图9，A,B,C,分别在△ABC的三边BC、AC、AB或其延长线上，且AA//BB//CC

111求证： AABBCC

分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题， 一般情况下，要将其转化为线段比的形式。

CCBCCC证明：∵CC//AA ∴ ∵CC//BB ∴

AABABBCCCCBCACBCAC11 ∴1 ∴AABBBAABABAABB

点评 例6 EF//CD分析 在△例7 BF⊥交BC求证：分析 可延长证明：∴△

① 求证ME=NF【平行线分线段成比例】

② 当EF向上平移 图（2）各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。

[练习与测试参考解答或提示]

1552

1．；2．18cm； 3．,； 4．9：4； 5．9； 6．10，18； 7．9：1； 8．2； 9．6

235

平行线分线段成比例(五)
平行线分线段成比例定理的 典型例题

平行线分线段成比例的一些学习技巧

上海金山初级中学 庄士忠 201508

平行线分线段成比例是相似三角形学习的基础，但学习的策略是相同的，我认为需要掌握一定数量的基本图形，需要有学习者个单独的独特的解答策略。而很多同学往往都只是用原有的方法解决后来学习的内容，这对几何学习，尤其是相似三角形的学习是相当不利的。下面介绍一些平行线分线段成比例的基本习题。

例1（1）已知

，则

=

（2）如果

，那么

的值是（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10

分析 本考题主要考查比与代数式比的互换.

第（1）小题可将代数式比的形式转化成积的形式：

成比的形式，便有

，整理后再转化

对于第（2）小题，可连续运用两次等比定理，得出

，即【平行线分线段成比例】

，其比的比值为9，故选C，但这里需要注意的是：第一，等比定理本身隐含着一个约束条件——分母为零；第二，“比”与“比值”是两个不同的概念，比是一种运算，而比的比值是运算的结果.

例2、已知：1、

、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 .

分析 这是一道开放型试题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确告知求1、

、2的第四比例项，因此，所添的数可能是前三数的第四比例项，也可能不是前三数的第四比例项，这样本考题便有多种确定方法，如从

例式

例式

或

等等. ，从

可求出

，又能求出

，便有比，也得到比

例3 如下图，BD=5：3，E为AD的中点，求BE：EF的值

.

分析 应设法在已知比例式BD：DC与未知比例式BE：EF之间架设桥梁，即添平行线辅助线. 解 过D作DG∥CA交BF于G，

则

中点，DG∥AF，

例 4 如下图，AC∥BD，AD、BC相交 于E，EF∥BD，求证：

分析 待证式可变形为

.依AC∥EF∥BD，可将线段的比例式

与

化归为同一直线AB上的线段比而证得.

证明 AC∥EF∥BD，

.

说明 证明线段倒数和的关系的常见方法是先变形为证线段比的和为一定值，然后化归为同一直线上的线段比.

例5 、已知a、b、c均为非零的实数，且满足

求

的值.

解 设

则

三式相加，得

当

时，

有

时，则

，这时

原式=

例6 如下图，

中，D是AB上一点，E是

内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的处长线于F，CF与AB交于P，求证BF∥AE.

证明 DE∥AC，

∥

，

.

BF∥AE. .

本文来源：http://www.guakaob.com/lizhiwendang/524209.html