二次函数顶点坐标公式怎么推导

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二次函数顶点坐标公式怎么推导(一)
二次函数顶点坐标公式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k

[抛物线的顶点P（h，k）]

对于二次函数y=ax^2+bx+c

其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁ ，0）和 B（x₂，0）的抛物线]

其中x1，2= -b±√b^2－4ac

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

______

h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函数顶点坐标公式怎么推导(二)
二次函数的顶点坐标公式教学设1

二次函数的顶点坐标公式教学设计

教学目标：

1.知识：(1)自主探索y= ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标公式、对称轴方程、最值公式.(2)体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.

2.能力:（1）会应用配方法把二次函数的一般式化为顶点式.

（2）会熟练运用配方法和公式法解决有关二次函数的实际问题.

3.情感与价值观: (1)进一步体会从简单到复杂，从一般到特殊的数学思想方法.(2)体会数学与生活的密切联系，激发学生学习的兴趣，发展学以致用的精神.

教学重点:

运用二次函数的顶点坐标公式和对称轴方程解决有关实际问题. 教学难点:

把实际问题转化为数学问题的过程

教学方法:引导探索发现法

教学过程:

一、 创设情境，引入新课

在前几节课，我们学习了二次函数y=a（x-h）+k（a≠0）的图象及性质，而我们第4节的课题是：y= ax+bx+c（a≠0），（北师大版九年级数学下册），它们之间又是什么关系？你能解决下列问题吗？

1．你能把y=a（x-h）2+k（a≠0）化成y= ax2+bx+c（a≠0）的形式吗？（去括号，合并同类项）反之你能把y= ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x-h）222+k（a≠0）的形式吗？

2．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是什么？是如何得到的？（复习配方法）

二、引导探索，学习新课

1．用配方法把y= ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式. y= ax2+bx+c

=a（x2+ x）+c（化二次项系数为1，最好不要把常数项括到括号里） = a[x2+ x+（ ）2-（ ）2]+c.（配方）

=a（x+ ）2- +c=a（x+ ）2+ .（合并同类项）

2.顶点坐标公式

22比较y=a（x+ ）+ 与y=a（x-h）+k发现,此时h=- ，k= ；故y= ax2+bx+c

（a≠0）的顶点坐标公式是（- ， ），对称轴方程：x=- ，最值公式：y= ；当且仅当x=- 时，函数有最大或最小值y= .

三、议一议

3．你能把y=2x+4x+3化成顶点式吗？ y=2（x+1）+1的顶点到x轴的距离是多少？到y轴的距离是多少？把y=2（x+1）2+1的图象向右平行移动2个单位长度，得到新抛物线的解析式是什么？这两条抛物线的位置有什么关系？原抛物线与新抛物线的最低点之间的距离是多少？

设计说明:议一议的自主学习，旨在为学习教材中的例题（下面的做一做）做铺垫，该议一议具有抛砖引玉的启发引导作用，相信必能收到水到渠成的过渡效应。

四、做一做:

如图1所示为桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照力中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用

y=0.0225x2+0.9x+10表示,而且两条抛物线关于y轴对称.

(1) 钢缆的最低点到桥面的距离是多少?

(2) 两条钢缆是低点之间的距离是多少?

(3) 你能写出图示中,右面钢缆的表达式吗?

(4) 你是怎样计算的?与同伴进行交流.

五.拓展延伸 22

1．你能分别写出抛物线y=2（x+1）+1关于y轴和x轴对称的抛物线的表达式吗?

一般结论：关于y轴对称，开口方向不变(二次项系数不变)，只是顶点改变为关于y轴对称即可；关于x轴对称，开口方向相反(二次项系数改变为原二次项系数的相反数)，顶点改变为关于x轴对称.

2．将y=-x2+2x+5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，平移后的解析式是什么？

∵y=-x2+2x+5=-（x2-2x+1-1）+5=-（x-1）2+6

∴该抛物线的顶点坐标为（1，6）

∴把点（1，6）先向下平移1个单位，再向左平移4个单位长度后得到点（-3，5），又由于是平行移动，所以二次项系数不变，即a=-1，故所得抛物线的解析式为y=-（x+3）2+5；亦即新抛物线的解析式为：y=-（x-1+4）2+6-1=-（x+3）2+5.

一般地，把y=a（x-h）2+k的图象先向下平移k1个单位，再向左平移

h1个单位，得到新抛物线的解析式为：y=a（x-h+h1）2+（k-k1）；把y=a

（x-h）2+k的图象先向上平移k1个单位，再向右平移h1个单位，得到新抛

物线的解析式为：y=a（x-h-h1）2+（k+k1），即如果是上移k1个单位，则

给顶点纵坐标加k1，如果是下移k1个单位，则给顶点纵坐标减k1，如果是2

左移h1个单位，则给顶点横坐标加h1个单位，如果是右移h1个单位，则给顶点横坐标减h1个单位.

二次函数顶点坐标公式怎么推导(三)
二次函数一般式与顶点坐标公式练习

1、二次函数ya(xh)2k的图像和yax2的图像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k 的性质：

问题一：将一般式转化为顶点式

1、填空： 例：2x2

8x3

2(x24x)32(x24x44)32(x2)2832(x2)211

（1）2x24x5 (x )2 （2） 4x24x3 (x )2 （3）12x22x1x2 （4）222【二次函数顶点坐标公式怎么推导】

3

x2x4x2、你能根据上述经验回答下列问题吗？已知函数y2x212x13： （1）请把这个函数解析式转化为顶点式

（2）根据顶点式，说出该函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性

随堂练习：

试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。

（1）yx26x2 （2）y122

4

xx2 （3）y9x6x1

问题二：顶点坐标公式

将yax2bxc转化为顶点式：

yax2bxca



x2baxca

因此，二次函数yax2bxc的图像是

ab22

b2 一条抛物线，它的对称轴是直线x,x22ab2abc2aa2a

2顶点是ab4acb2b2a,4acb2

4a

x2a

4a问题三：利用配方法或顶点坐标公式确定二次三项式的最值

例1（2012•新疆）当x= 时，二次函数y=x2+2x-2有最小值．

例2、若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3，则

16、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b的值为17、已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是

试一试：

1、函数y2x6x

2

1

的顶点坐标为，当时，y取最. 2

2、当x为实数时，代数式x2-2x-3的最小值是

五、课后练习：

1、抛物线y=2x2-4x+3的顶点坐标是2、二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴是直线 3、抛物线y=-3x2+1的顶点坐标是

4、二次函数y=-（x+1）2-2的图象开口向 ，对称轴为，顶点坐标为 5、y=2（x-2）（x+3）二次函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向

6、抛物线y=-2x2-4x+1的顶点关于x轴对称的点的坐标为

7、二次函数y=ax2-2x+1的图象经过点（1，2），则其图象的开口方向8、函数y=-x2+2x-3的对称轴是，有最值，且最值为 9、已知二次函数y=-x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为 10、抛物线y=2x2-bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 11、二次函数y=x2-2x+3的最小值是12、二次函数y=mx2-4x+1有最小值-3，则m等于

13、将抛物线y=x2-2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为14、在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+2的图象向左平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为

15、将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是

二次函数顶点坐标公式怎么推导(四)
二次函数顶点坐标公式

函数在数学中占有很大的比例，但是函数的学习却很复杂。其考察的内容有很多方面，开口方向、对称轴及坐标公式都是考察的重点。下面小编为大家整理了二次函数顶点坐标的相关公式，希望能帮到大家。

一、基本简介

一般地，我们把形如y=ax²+bx+c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。

主要特点

变量不同于未知数，不能说二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。未知数只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，变量可在一定范围内任意取值。 在方程中适用未知数的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数关系。

二次函数图像与X轴交点的情况

当△=b²-4ac;0时，函数图像与x轴有两个交点。

当△=b²-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。

当△=b&sup2;-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

二、二次函数图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。

轴对称

二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴(即直线x=0)。

a,b同号，对称轴在y轴左侧.

a,b异号，对称轴在y轴右侧.

顶点

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )即(-b/2a, (4ac-b&sup2;/4a).

当h=0时，P在y轴上;当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)&sup2;+k。

h=-b/2a， k=(4ac-b&sup2;)/4a。

开口方向和大小

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a;0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素 折叠

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a;0,与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左; 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号

当a;0,与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a;0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab;0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0 )，对称轴在y轴右。【二次函数顶点坐标公式怎么推导】

事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定与y轴交点的因素

常数项c决定二次函数图像与y轴交点。

二次函数图像与y轴交于(0,C)

注意：顶点坐标为(h,k)， 与y轴交于(0,C)。

与x轴交点个数

a<0;k;0或a;0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。

k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。

a<0;k<0或a;0,k;0时，二次函数图像与X轴无交点。

当a;0时，函数在x=h处取得最小值ymin=k，在x

当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x

当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

三、二次函数公式汇总：交点式、两根式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a&ne;0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)

(2)顶点式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a，h，k为常数，a&ne;0)。

(3)交点式(与x轴)：y=a(x-x1)(x-x2)

(4)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，a&ne;0.

说明：

(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上;当k=0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上;当h=0且k=0时，抛物线y=ax2的顶点在原点。

(2)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。

二次函数顶点坐标公式怎么推导(五)
2.5二次函数一般式与顶点坐标公式

一般式y＝ax2＋bx＋c与顶点式y=a(x-h)2+k导学案

一、学习目标： 1、会利用配方法将一般式y＝ax2＋bx＋c转化为顶点式y=a(x-h)2

+k 2、用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 二、知识回顾：

1、二次函数ya(xh)2k的图像和yax2

的图像之间的关系。 2.二次函数y=a(x-h)2+k 的性质：

三、沙场点兵：

问题一：如何将一般式转化为顶点式 1、填空： 例：2x2

8x3

2(x24x)32(x24x44)32(x2)2832(x2)211

（1）2x2

4x5x2

 （2） 4x2

4x3x2

（3）12x22x1x2 （4）222

3

x2x4x2、你能根据上述经验回答下列问题吗？已知函数y2x2

12x13： （1）请把这个函数解析式转化为顶点式

（2）根据顶点式，说出该函数图像的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性

随堂练习：

试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。 （1）yx2

6x2 （2）y14

x2

x2 （3）y9x26x1

问题二：顶点坐标公式

将yax2【二次函数顶点坐标公式怎么推导】

bxc转化为顶点式：

yax2bxca

b

x2caxa

因此，二次函数yax2bxc的图像是

abb2b2

c 一条抛物线，它的对称轴是直线xb2,x22a2a2aa2a

b4acb2ab24acb2顶点是2a,



x2a4a

4a随堂练习：

问题三：利用配方法或顶点坐标公式确定二次三项式的最值

例1（2012•新疆）当x= 时，二次函数y=x2+2x-2有最小值．

例2、若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3，则

试一试：

1、函数y2x2

6x12

的顶点坐标为，当时，y取最.

2、当x为实数时，代数式x2-2x-3的最小值是 四、小结

1、函数yax2

bxc的图像与函数yax2

的图像之间的关系。 2、函数yax2bxc的图像在对称轴、顶点坐标等方面的特征。 3、函数的解析式类型：

一般式：yax2

bxc 顶点式：ya(xh)2

k

五、课后练习：

1、抛物线y=2x2-4x+3的顶点坐标是2、二次函数y=x2+2x-3的图象的对称轴是直线

3、抛物线y=-3x2+1的顶点坐标是4、二次函数y=-（x+1）2-2的图象开口向，对称轴为 ，顶点坐标为 5、y=2（x-2）（x+3）二次函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向

6、抛物线y=-2x2-4x+1的顶点关于x轴对称的点的坐标为

7、二次函数y=ax2-2x+1的图象经过点（1，2），则其图象的开口方向 8、函数y=-x2+2x-3的对称轴是9、已知二次函数y=-x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为 10、抛物线y=2x2-bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为 11、二次函数y=x2-2x+3的最小值是

12、二次函数y=mx2-4x+1有最小值-3，则m等于

13、将抛物线y=x2-2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为14、在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+2的图象向左平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为

15、将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是16、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x+3，则b的值为17、已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是 .

二次函数顶点坐标公式怎么推导(六)
二次函数顶点坐标公式推导

二次函数顶点坐标公式推导一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)推导：y=ax^2+bx+c y=a(x^2+bx/a+c/a) y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2) y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a 对称轴x=-b/2a 顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

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