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长春市普通高中2016届高三质量监测(二) 数学理科(试卷类型C)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有..
一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) ..
1. 复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线yx对称,且z132i,则z1z2
A. 1213i B. 1312i C. 13i D. 13i
2. 设集合A{x|x23x0},B{x|x2},则AB
A. x|2x3 B. x|2x0 C. x|0x2 D. x|2x3
3. 运行如图所示的程序框图,则输出的S值为
A. 21212101210
29 B. 29 C. 210 D. 2101
4. 若实数a,bR且ab,则下列不等式恒成立的是
A. a2b2 B. aab
b1 C. 22 D. lg(ab)0
5. 几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. 322
3 B. 163 C. 408
3 D. 163
4),下列概率与P(X≤0)相等的是 6. 已知变量X服从正态分布N(2,
A. P(X≥2) B. P(X≥4) C. P(0≤X≤4) D. 1P(X≥4)
7. 已知AB为圆O:(x1)2y21的直径,点P为直线xy10上任意一点,则PAPB的最小值为
A. 1
C. 2
D. 8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a10且a69,当Sn取最大值时,n的值为 a511
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤
酒,那么小明取出啤酒的方式共有 种.
A. 18 B. 27 C. 37 D. 212
2)的图象关于直线xa对称,则a可能是 33
11A. B. C. D. 2412248
11. 已知函数f(x)满足f(x)f(2x)2,当x(当x(
1,0]时,01,]时,f(x)x2,
,若定义在(1,3)上的函数g(x)f(x)t(x1)有三个不同的零f(x)210. 函数ysin(2x)与ycos(2x
点,则实数t的取值范围是 A. (0,] B. [,
) C. (0,6
21212D. (0,6 y2
1的右支上一点P,分别向圆C1:(x4)2y24和圆C2: 12.过双曲线x15
(x4)2y21作切线,切点分别为M,N,则|PM|2|PN|2的最小值为
A. 10 B. 13 C. 16 D. 19
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
xy2≤0
13. 已知实数x,y满足xy4≤0,则y2x的最小值为___________.
x2y4≥0
(0,t1)14.
已知向量a,b
,则当t[时,|at___________.
15. 已知a0,
2b|的取值范围是|b|x)6展开式的常数项为15
,则*aa(x2xdx___________. 16. 已知数列{an}中,对任意的nN若满足anan1an2an3s(s为常数),则
称该数列为4阶等和数列,其中s为4阶公和;若满足anan1an2t(t为常数),则称
该数列为3阶等积数列,其中t为3阶公积.已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列,且满p4p3p22;数列{qn}为公积为1的3阶等积数列,且q1q21,设Sn为数p3p2p1
列{pnqn}的前n项和,则S2016 ___________. 足
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinxcosx2x(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2) 已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a7,若锐角A满
足f(A)
sinBsinC,求ABC的面积. 2618. (本小题满分12分)
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示);
②求X的数学期望和方差.
P(K≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
n(adbc)2
(K,其中nabcd) (ab)(cd)(ac)(bd)2
19. (本小题满分12分)
在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于A1,B1,C1,BAD60.
(1)证明:B1为PB的中点;
BD的交点为O,AC、(2)若AB2,且二面角A1ABC的大小为60,连接B1O.
求三棱锥B1ABO外接球的体积.
20. (本小题满分12分) 1x2y2
椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F,,且离心率为,点P为椭圆上一动F122ab
点,F1PF2内切圆面积的最大值为
(1)求椭圆的方程; . 3
A,B两点,连结A1A, A1B(2) 设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于
并延长交直线x4分别于P,Q两点,以PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)a2lnx在点(1,f(1))处的切线与直线y4x1平行. 2x
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)若对任意x1,x2(0,],有|1
ef(x1)f(x2)k,求实数k的取值范围; |>2222x1x2x1x2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.
如图,过圆O外一点P的作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N的直线交圆O于A、B两点,连接PA并延长交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MCBC.
(1)求证:APM∽ABP;
(2) 求证:四边形PMCD是平行四边形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程.
x2tcos在直角坐标系xOy中,曲线C
1的参数方程为(t是参数),以原点Oytsin
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为8cos(
(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲.
设函数f(x)|x+2||xa|3). (aR).
(1)若不等式f(x)a≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 若不等式f(x)x恒成立,求实数a的取值范围. 3
2
长春市普通高中2016届高三质量监测(二)
数学(理科)参考答案及评分参考
A、B卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分)
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C
7. B 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D
简答与提示:
1. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知A{x|0x3},则B{x|2x2},所以AB{x|0x2}. 故选C.
2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题.
【试题解析】D 复数z1在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数z223i,所以z1z2(32i)(23i)13i. 故选D.
3. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图
像的认识.
【试题解析】C
选项,故选C. ab根据函数的图像与不等式的性质可知:当ab时,22为正确
长春市普通高中2016届高三质量监测(二)
数学理科(试卷类型C)
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有..
一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) ..
1. 复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线yx对称,且z132i,则z1z2
A. 1213i B. 1312i C. 13i D. 13i
2. 设集合A{x|x23x0},B{x|x2},则AB
A. x|2x3 B. x|2x0 C. x|0x2 D.
3. 运行如图所示的程序框图,则输出的S值为
2912912101210
A. 29 B. 29 C. 210 D. 2101
4. 若实数a,bR且ab,则下列不等式恒成立的是
A. a2b2 B. aab
b1 C. 22 D. lg(ab)0
5. 几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为
x|2x3
A. 322408 B. 16 C. D. 16 3333 4),下列概率与P(X≤0)相等的是 6. 已知变量X服从正态分布N(2,
A. P(X≥2) B. P(X≥4) C. P(0≤X≤4) D. 1P(X≥4)
7. 已知AB为圆O:(x1)2y21的直径,点P为直线xy10上任意一点,则PAPB的最小值为
A. 1
C. 2
D. 8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,a10且a69,当Sn取最大值时,n的值为 a511
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
9. 小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤
酒,那么小明取出啤酒的方式共有 种.
A. 18 B. 27 C. 37 D. 212
2)的图象关于直线xa对称,则a可能是 33
11A. B. C. D. 2412248
01,]时,f(x)x2,11. 已知函数f(x)满足f(x)f(2x)2,当x(当x(
1,0]时,
,若定义在(1,3)上的函数g(x)f(x)t(x1)有三个不同的零f(x)210. 函数ysin(2x)与ycos(2x
点,则实数t的取值范围是 A. (0,] B. [,
) C. (0,6
21212D. (0,6 y2
1的右支上一点P,分别向圆C1:(x4)2y24和圆C2: 12.过双曲线x15
(x4)2y21作切线,切点分别为M,N,则|PM|2|PN|2的最小值为
A. 10 B. 13 C. 16 D. 19
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题—24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
xy2≤0
13. 已知实数x,y满足xy4≤0,则y2x的最小值为___________.
x2y4≥0
(0,t1)14.
已知向量a,b
,则当t[时,|at___________.
15. 已知a0,
2b|的取值范围是|b|x)6展开式的常数项为15
,则*aa(x2xdx___________. 16. 已知数列{an}中,对任意的nN若满足anan1an2an3s(s为常数),则
称该数列为4阶等和数列,其中s为4阶公和;若满足anan1an2t(t为常数),则称该数列为3阶等积数列,其中t为3阶公积.已知数列{pn}为首项为1的4阶等和数列,且满p4p3p22;数列{qn}为公积为1的3阶等积数列,且q1q21,设Sn为数p3p2p1
列{pnqn}的前n项和,则S2016 ___________. 足
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinxcosx2x(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2) 已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a7,若锐角A满
足f(A)
sinBsinC,求ABC的面积. 2618. (本小题满分12分)
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X:
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列(概率用组合数算式表示);
②求X的数学期望和方差.
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
n(adbc)2
(K,其中nabcd) (ab)(cd)(ac)(bd)2
19. (本小题满分12分)
在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于A1,B1,C1,BAD60
.
(1)证明:B1为PB的中点;
BD的交点为O,AC、(2)若AB2,且二面角A1ABC的大小为60,连接B1O.
求三棱锥B1ABO外接球的体积.
20. (本小题满分12分) 1x2y2
椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F,,且离心率为,点P为椭圆上一动F122ab
点,F1PF2内切圆面积的最大值为
(1)求椭圆的方程; . 3
A,B两点,连结A1A, A1B(2) 设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于
并延长交直线x4分别于P,Q两点,以PQ为直径的圆是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.
21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)a2lnx在点(1,f(1))处的切线与直线y4x1平行. 2x
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)若对任意x1,x2(0,],有|1
ef(x1)f(x2)k|>,求实数k的取值范围; 2222x1x2x1x2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.
如图,过圆O外一点P的作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N的直线交圆O于A、B两点,连接PA并延长交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若MC
BC.
(1)求证:APM∽ABP;
(2) 求证:四边形PMCD是平行四边形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程.
x2tcos在直角坐标系xOy中,曲线C
1的参数方程为(t是参数),以原点Oytsin
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为8cos(
(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲.
设函数f(x)|x+2||xa|3). (aR).
(1)若不等式f(x)a≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 若不等式f(x)x恒成立,求实数a的取值范围. 3
2
长春市普通高中2016届高三质量监测(二)
数学(理科)参考答案及评分参考
A、B卷客观题答案
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分)
1. C 2. D 3. C 4. A 5. B 6. C
7. B 8. A 9. A 10. C 11. B 12. D
简答与提示:
1. 【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知A{x|0x3},则B{x|2x2},所以AB{x|0x2}. 故选C.
2. 【命题意图】本题考查复数的乘法运算,以及复平面上的点与复数的关系,属于基础题.
【试题解析】D 复数z1在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数z223i,所以z1z2(32i)(23i)13i. 故选D.
3. 【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图
2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)
数学(理)试题
一、选择题
1.复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线yx对称,且z132i,则z1z2( ) A.1213i B.1312i C.13i D.13i 【答案】D.
【解析】试题分析:复数z1在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数z223i, ∴z1z2(32i)(23i)13i,故选D.
【考点】复数的运算.
2.若实数a,bR且ab,则下列不等式恒成立的是( )
22
A.ab B.
a
1 C.2a2b D.lg(ab)0 b
【答案】C.
ab
【解析】试题分析:根据函数的图象与不等式的性质可知:当ab时,22为正确
选项,故选C.
【考点】不等式的性质.
3.设集合A{x|x3x0},B{x||x|2},则AB( ) A.x|2x3 B.x|2x0 C.x|0x2 D.x|2x3 【答案】C.
【解析】试题分析:由题意可知A{x|0x3},则B{x|2x2},∴
2
AB{x|0x2},故选C.
【考点】集合的关系.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a10且( )
A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B.
【解析】试题分析:由题意,不妨设a69t,a511t,则公差d2t,其中t0,
a69
,当Sn取最大值时,n的值为a511
因此a10t,a11t,即当n10时,Sn取得最大值,故选B. 【考点】等差数列的通项公式及其前n项和.
5.几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
322840 B.16 C. D.16 3333
【答案】C.
【解析】试题分析:该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,∴其体积为
140
224222,故选C.
33
【考点】空间几何体体积计算.
6.已知变量X服从正态分布N(2,4),下列概率与P(X0)相等的是( ) A.P(X2) B.P(X4) C.P(0X4) D.1P(X4) 【答案】B.
【解析】试题分析: 由变量X服从正态分布N(2,4)可知,x2为其密度曲线的对称轴,因此P(X0)P(X4),故选B. 【考点】正态分布的性质. 7.函数ysin(2x( ) A.
3
)与ycos(2x
2
)的图象关于直线xa对称,则a可能是3
11 B. C. D. 2412824
【答案】A.
【解析】试题分析:由题意,设两个函数关于xa对称,则函数ysin(2x
3
)关于
xa的对称函数为ysin(2(2ax)),利用诱导公式将其化为余弦表达式为
3
5
ycos[(2(2ax))]cos(2x4a)
236
25
ycos(2x)cos(2x4a),则a,故选A.
3624
,
令
【考点】三角函数的图象和性质.
8.已知AB为圆O:(x1)2y21的直径,点P为直线xy10上任意一点,则
PAPB的最小值为( )
A.1 B
.2 D
. 【答案】A.
【解析】试题分析:由题意得,设A(1cos B(1cos,s,in
,si,nP(x,x1),则
∴PA(1cosx,sinx1),PB(1cosx,sinx1),
∴PAPB(1cosx)(1cosx)(sinx1)(sinx1)
(1x)2cos2(x1)2sin22x211,当且仅当x0时,等号成立,故选
A.
【考点】1.圆的标准方程;2.平面向量数量积及其运用. 9.已知函数f(x)满足f(x)f(2x)2,当x(0,1]时,f(x)2
时,f(x)x,当x(
1,0]
2
,若定义在(1,3)上的函数g(x)f(x)t(x1)有三个不
12
同的零点,则实数t的取值范围是( ) A.(0,] B.[,) C
.(0,6 D【吉林省长春市2016中二十五中刘佳琪成绩】
.(0,6 【答案】D.
【解析】试题分析:当
12
x(1,0]时,x1(0,
∴
f(x)
2x2
,即f(x)在x(1,1]上的解析式为
x1x12x
x(1,0]
,又∵f(x)f(2x)2,∴f(x)的图象关于(1,1)点对f(x)x1
x2x(0,1]
称,可将函数f(x)在x(1,3)上的大致图象如下图所示,令
g(x)0f(x)t(x1),而yt(x1)表示过定点(1,0)斜率为t的直线,由图
yt(x1)
可知为其临界位置,当x[1,2)时,f(x)(x2)2,联立,2
y(x2)2
2
并令
0,可求得t6,因此直线的斜率t
的取值范围是(0,6,故选D.
【考点】1函数与方程;2.数形结合的数学思想.
10.小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出,每次小明在取出啤酒时只能取出三瓶或四瓶啤酒,那么小明取出啤酒的方式共有( )种.
A.18 B.27 C.37 D.212 【答案】C.
【解析】试题分析:由题可知,取出酒瓶的方式有3类,第一类:取6次,每次取出4瓶,只有1种方式;第二类:取8次,每次取出3瓶,只有1种方式;第三类:取7次,
3
3次4瓶和4次3瓶,取法为C7,为35种;共计37种取法,故选C.
【考点】排列组合.
y2
1的右支上一点P,分别向圆C1:(x4)2y24和圆11.过双曲线x15
2
22
切点分别为M,N,则|PM||PN|的最小值为( ) C2:(x4)2y21作切线,
A.10 B.13 C.16 D.19
【答案】B.
【解析】试题分析:由题可知,|PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21), 因此|PM|2|PN|2|PC1|2|PC2|23(|PC1||PC2|)(|PC1||PC2|)3
2(|PC1||PC2|)32|C1C2|313,故选B.
【考点】圆锥曲线综合题.
二、填空题
xy20
12.已知实数x,y满足xy40,则y2x的最小值为___________.
x2y40【吉林省长春市2016中二十五中刘佳琪成绩】
【答案】1.
【解析】试题分析:根据不等式组获得可行域如下图,令zy2x,可化为y2xz,因此当直线过点(1,3)时,z取得最小值为1,故填:1.
【考点】线性规划.
b
13
.已知向量a,b(0,t21),则当t[时,|at|的取值范围
|b|
是_________.
【答案】.
bbb
【解析】试题分析:为(0,1),根据向量的差的几何意义,|at|表示t|b||b||b|
向量终点到a终点的距离,当t时,该距离取得最小值为1
,当t时,根据
b
|at
|的取值范围是,故
|b|
填:.
【考点】平面向量的线性运算. 14.已知a
0,a
x)6展开式的常数项为15,
则
a
(x2xdx___________.
22
33
【答案】
x)644
Ca15,可得a
1,因此原式为6【解析】试题分析:由的常数项为
1
1
2
(x2xdx2(x2)dx2(xdx
11dx)
12212222
2(1
33312233
2016届吉林省长春市普通高中高三质量监测(二)
数学(文)试题
一、选择题
1.复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线yx对称,且z132i,则z2( ) A.32i B.23i C.32i D.23i 【答案】D.
【解析】试题分析:复数z1在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数z223i,故选D.
【考点】复数的运算.
2.若实数a,bR且ab,则下列不等式恒成立的是( )
22
A.ab B.
a
1 C.2a2b D.lg(ab)0 b
【答案】C.
ab
【解析】试题分析:根据函数的图象与不等式的性质可知:当ab时,22为正确
选项,故选C.
【考点】不等式的性质.
3.设集合A{x|x3x0},B{x||x|2},则AB( ) A.x|2x3 B.x|2x0 C.x|0x2 D.x|2x3 【答案】C.
【解析】试题分析:由题意可知A{x|0x3},则B{x|2x2},∴,故选C. AB{x|0x2}【考点】集合的关系.
4.已知AB为圆xy1的一条直径,点P为直线xy20上任意一点,则
2
22
PAPB的最小值为( )
A.1 B
.2 D
.【答案】A.
【解析】试题分析:由题意得,设A(cos,sin),P(x,x2),则B(c os,sin),∴PA(cosx,sinx2),PB(cosx,sinx2),
∴PAPB(cosx)(cosx)(sinx2)(sinx2)
(x)2cos2(x2)2sin22x24x32(x1)211,当且仅当
x1时,等号成立,故选A.
【考点】1.圆的标准方程;2.平面向量数量积及其运用. 5.几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
322840 B.16 C. D.16 3333
【答案】C.
【解析】试题分析:该几何体可视为长方体挖去一个四棱锥,∴其体积为
140
224222,故选C.
33
【考点】空间几何体体积计算.
6.以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为( )
A.1 B
.2 【答案】A.
【解析】试题分析:以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆的离心率
为e1
,双曲线的离心率
为e2,
∴
e1e2
1,故选A. 【考点】椭圆,双曲线的标准方程及其性质.
x2y2
1上的点,点M为圆C1:(x3)2y21上的动点,点N7.已知P为椭圆
2516
为圆C2:(x3)y1上的动点,则|PM||PN|的最大值为( ) A.8 B.12 C.16 D.20 【答案】B.
【解析】试题分析:由题可知,(|PM||PN|)max|PC1||PC2|212,故选B. 【考点】椭圆性质的综合运用.
2
2【吉林省长春市2016中二十五中刘佳琪成绩】
8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a10且( )
A.9 B.10 C.11 D.12 【答案】B.
a69
,当Sn取最大值时,n的值为a511
【解析】试题分析:由题意,不妨设a69t,a511t,则公差d2t,其中t0,因此a10t,a11t,即当n10时,Sn取得最大值,故选B. 【考点】等差数列的通项公式及其前n项和. 9
.已知函数f(x)2
x(0,1]时,f(x)x2,若在区间(1,1]内,
g(x)f(x)t(x1)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是( )
A.[,) B.[,] C.[,0) D.(0,] 【答案】D.
【解析】试题分析:当
1211221212
x(1,0]时,x1(0,
∴
f(x)
2x2
,即f(x)在x(1,1]上的解析式为
x1x12x
x(1,0]
,可将函数f(x)在x(1,1]上的大致图象如下图所示,令f(x)x1
x2x(0,1]g(x)0f(x)t(x1),而yt(x1)表示过定点(1,0)斜率为t的直线,由图
可知为其临界位置,此时t
11
,因此直线的斜率t的取值范围是(0,],故选D.
22
【考点】1函数与方程;2.数形结合的数学思想. 10.函数y
11
lnxx2的零点所在的区间是( ) 2x
A.(,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 【答案】C.
1
e
【解析】试题分析:函数的定义域是(0,),显然y单调递增,
11
lnx与yx在(0,)上2x
11
lnxx2在(0,)上单调递增,当x2时,2x1112ylnln0,
222e
1113
当xe时,ye2e0,根据零点存在定理可知函数
2ee2
11
ylnxx2的零点在(2,e)内,故选C.
2x
∴
y
【考点】1.函数的性质;2.函数的零点.
11.已知直线y2x1与圆x2y24相交于A,B两点,设,分别是以OA,
OB为终边的角,则sin()( )
A.
3344 B. C. D. 5555
【答案】D.
【解析】试题分析:作直线AB的中垂线,交圆于C,D两点,再将x轴关于直线CD
OE,对称,交圆于点E,则B如图所示,sin()sin(22)sin2,
而tan
14
,故sin()sin2,故选D.
25
【考点】1.直线与圆的位置关系;2.三角恒等变形.
二、填空题
2
12.命题“xR,xx10”的否定是___________.
2
【答案】x0R,x0x010.
2xR,【解析】试题分析:由题意可知,命题“xR,xx10”的否定是:0
22x0x010,故填:x0R,x0x010.
【考点】全称命题的否定.
xy20
13.已知实数x,y满足xy40,则y2x的最小值为___________.
x2y40
【答案】1.
【解析】试题分析:根据不等式组获得可行域如下图,令zy2x,可化为y2xz,因此当直线过点(1,3)时,z取得最小值为1,故填:1.
【考点】线性规划.
14
.已知向量a,b(0,1),则当t[2]时,|atb|的取值范围是___________.
【答案】.
【解析】试题分析:根据向量的差的几何意义,|atb|表示tb向量终点到a终点的距
离,当t1
,当t时,根据余弦定理,可算得该距
,即|atb|的取值范围是
,故填:.
【考点】平面向量的线性运算.
15.已知数列{an}中,对任意的nN,若满足anan1an2s(s为常数),则称该数列为3阶等和数列,其中s为3阶公和;若满足anan1t(t为常数),则称该数列为2阶等积数列,其中t为2阶公积,已知数列{pn}为首项为1的3阶等和数列,且满足
*
p3p2
2;数列{qn}为首项为1,公积为2的2阶等积数列,设Sn为数列p2p1
{pnqn}的前n项和,则S2016___________.
【答案】7056.
【解析】试题分析:由题意可知,p11,p22,p34,p41,p52,p64,
p71,„„,又∵{pn}是3阶等和数列,因此该数列将会照此规律循环下去,同理,
q11,q22,q31,q42,q51,q62,q71,„„,又∵{qn}
是2阶等积数列,因此该数列将会照此规律循环下去,由此可知对于数列{pnqn},每
长春市普通高中2016届高三质量监测(二)
数学文科
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有..
一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) ..
1. 复数z1,z2在复平面内对应的点关于直线yx对称,且z132i,则z2
A. 32i B. 23i C. 32i D. 23i
2. 若实数a,bR且ab,则下列不等式恒成立的是
a1 C. 2a2b D. lg(ab)0 b
3. 设集合A{x|x23x0},B{x|x2},则AB A. ab B. 22
A. x|2x3 B. x|2x0 C. x|0x2 D. x|2x3
4. 运行如图所示的程序框图,则输出的S值为
21212101210
A. 9 B. 9 C. 10 D. 10 22221225. 已知AB为圆xy1的一条直径,点P为直线xy20上任意一点,则PAPB的最小值为
A. 1 C. 2 D. 6. 几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. 322408 B. 16 C. D. 16 3333 7. 以正方形的一条边的两个端点为焦点,且过另外两个顶点的椭圆与双曲线的离心率之积为
C.
D. 2 2
x2y2
1上的点,点M为圆C1:(x3)2y21上的动点,点N为8. 已知P为椭圆2516
圆C2: A. 1
B.
(x3)2y21上 的动点,则|PM||PN|的最大值为
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a10且
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 a69,当Sn取最大值时,n的值为 a511
2,当x(0,1]时,f(x)x,若在区间(1,1]内,g(x)f(x)t(x1)有两个不同的零点,则实数t的取值范围是 11111A. [,) B. [,] C. [,0) D. (0,] 22222
1111. 函数ylnxx2的零点所在的区间是 2x
1A. (,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (e,3) e10.
已知函数f(x)2
12. 已知直线y2x1与圆xy4相交于A、B两点,设、分别是以OA,OB为终边的角,则sin() A. 223 5 B. 34 C. 55 D. 4 5
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题—21题为必考题,每个试题考生都必须作答,
第22题—24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).
13. 命题“xR,xx10”的否定是___________. 2
xy2≤0
14. 已知实数x,y满足xy4≤0,则y2x的最小值为___________.
x2y4≥0
(0,1)15.
已知向量a,b
,则当t[时,|atb|的取值范围是___________.
16. 已知数列{an}中,对任意的nN,若满足anan1an2s(s为常数),则称该数列为3阶等和数列,其中s为3阶公和;若满足anan1t(t为常数),则称该数列为2阶等积数列,其中t为2阶公积.已知数列{pn}为首项为1的3阶等和数列,且满足*p3p22;数列{qn}为首项为1,公积为2的2阶等积数列,设Sn为数列{pnqn}的p2p1
前n项和,则S2016 ___________.
三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)2sinxcosx2x(1)求函数f(x)的最小正周期和单调减区间;
(2) 已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a7,若锐角A满
足f(A)
sinBsinC,求bc的值. 2614
18. (本小题满分12分)
近年来我国电子商务行业迎来篷布发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功的交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为对服务的好评率为3,53,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次. 4
(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关?
(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率.
P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
n(adbc)2
(K,其中nabcd) (ab)(cd)(ac)(bd)2
19. (本小题满分12分)
在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,点D1为棱PD的中点,过D1作与平面ABCD平行的平面与棱PA,PB,PC相交于A1,B1,C1,BAD60
.
(1)证明:B1为PB的中点;
(2)已知棱锥的高为3,且AB2, AC、BD的交点为O,连接B1O.求三棱锥B1ABO外接球的体积.
20. (本小题满分12分) 1x2y2
椭圆221(ab0)的左右焦点分别为F,,且离心率为,点P为椭圆上一动F122ab
点,
F1PF2(1)求椭圆的方程;
A,B两点,连结A1A, A1B(2) 设椭圆的左顶点为A1,过右焦点F2的直线l与椭圆相交于
并延长分别交直线x4于P,Q两点,问PF2QF2是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
21. (本小题满分12分) 已知函数f(x)alnx在点(1,f(1))处的切线与x轴平行. x
(1)求实数a的值及f(x)的极值;
(2)若对任意x1,x2[e,),有|2f(x1)f(x2)k|>,求实数k的取值范围; x1x2x1x2
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. (本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.
如图,过圆O外一点P的作圆O的切线PM,M为切点,过PM的中点N的直线交圆O于A、B两点,连接PA并延长交圆O于点C,连接PB交圆O于点D,若
MC
BC.
(1)求证:APM∽ABP;
(2) 求证:四边形PMCD是平行四边形.
23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程.
x2tcos在直角坐标系xOy中,曲线C
1的参数方程为(t是参数),以原点Oytsin
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为8cos(
(1)求曲线C2的直角坐标方程,并指出其表示何种曲线;
(2)若曲线C1与曲线C2交于A,B两点,求|AB|的最大值和最小值.
24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲.
设函数f(x)|x+2||xa|3). (aR).
(1)若不等式f(x)a≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(2) 若不等式f(x)x恒成立,求实数a的取值范围. 3
2
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数学(文科)参考答案及评分参考
一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分)
1. D 【命题意图】本题考查复平面上的点与复数的关系,属于基础题.
【试题解析】D 复数z1在复平面内关于直线yx对称的点表示的复数z223i,故选D.
2. C【命题意图】本题主要考查不等式的运算性质,是书中的原题改编,考查学生对函数图像的认识.
【试题解析】C 根据函数的图像与不等式的性质可知:当ab时,22为正确选项,故选C.
3. C【命题意图】本题主要考查集合的化简与交运算,属于基础题.
【试题解析】C 由题意可知A{x|0x3},则B{x|2x2},所以abAB{x|0x2}. 故选C.
4. A【命题意图】本题考查程序流程图中循环结构的认识,是一道基本题.
【试题解析】A 由算法流程图可知,输出结果是首项为11,公比也为的等比数列22