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数学趣题巧解篇一：趣题巧解
第十一讲 趣题巧解
1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？
2 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？
3(1)右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6
枚硬币。
(2)用12根火柴拼出6个边长为1根火柴的正方形。
4、(1)小丽家里的闹钟每天早晨6点半准时响铃，提醒小丽起床，准备上学。有一次，小丽第二天要6点钟起床到学校去大扫除，她在头天晚上9点时把闹钟钟面时间调到8点半还是调到9点半，才能使闹钟第二天早晨6点钟响铃？
(2)小明和小强约定10点钟在学校门口碰面，小明的表慢5分钟，而他却以为慢10分钟；小强的表慢10分钟，而他却以为快5分钟。他俩会面时，谁迟到了？先到者等了多少时间才见到迟到者？
5、(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个小朋友几分钟削六支铅笔？
(2)三只猫三天吃三只老鼠，照此效率，六只猫六天吃几只老鼠？
练习15
1.画三条线段，能构成几个角？
2.用6根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三角形(即三边相等的三角形)，如何拼？
3.一只挂钟，1点整敲1下，2点整敲2下……12点整敲12下，每半点整敲1下。一昼夜(24时)一共要敲多少下？
4.打靶时，小林和小峰各打了三枪，环数为1，2，4，5，7，9环。已知小林的总环数比小峰的总环数多6环。哪几环是小峰打的？
5.球场休息时，保管员慌忙中把甲、乙、丙三个运动员先前交给他的水瓶都递送错了，结果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是谁的？
6.有一个台称，只能称40千克以上的重量，甲、乙、丙三个小朋友的体重都在20～39千克之间，他们都想知道自己的体重。用这台称怎样才能知道他们各自的体重？
7.(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，九个小朋友六分钟削几支铅笔？
(2)三只猫三天吃三只老鼠，六只猫几天吃18只老鼠？
数学趣题巧解篇二：趣题巧解
趣题巧解生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜数游戏。甲心中想一个 32 以内的 数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多 5 次必可猜中。比如甲想的 是 23，下面是 5 次提问与回答：（1）“比 16 大吗？”，“是”；（2）“比 24 大吗？”，“不”；（3）“比 20 大吗？”，“是”；（4）“比 22 大吗？”，“是”；（5）“比 23 大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的 23。这里乙用的是对分法。32 的一半是 16，第 1 次问话后，乙知道甲想的数在 17～32 之 间； 17～32 中间的数是 24，第二次问话后，乙知道甲想的数在 17～24 之间。依此类推， 因为 32=25，经 5 次对分，必猜中。对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。例 1 有 1000 箱外形完全相同的产品，其中 999 箱重量相同，有 1 箱次品重量较轻。现 有一个称（一次可称量 500 箱），怎样才能尽快找出这箱次品？分析与解：因为称量一次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重量，所以可用对分 法。先取 500 箱称，若等于规定重量，则次品在另 500 箱中；若轻于规定重量，则次品在 这 500 箱中。 然后对有次品的 500 箱再对分， 取其中的 250 箱称……因为 1000＜1024=210， 所以经过 10 次称必可查出次品。若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。 例 2 现有 80 粒重量、外形完全相同的珍珠和 1 粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎 样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？分析与解：因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③右边重，所以可以 用三分法。先将 81 粒珍珠三等分， 在天平两边各放 27 粒珍珠， 天平下还有 27 粒。 若两边一样重， 则假珍珠在天平下的 27 粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的 27 粒中；若右边重，则 假珍珠在天平左边的 27 粒中。然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为 81=34，所以只需要称 4 次 就可将假珍珠挑出来。我们再看看“空瓶换酒问题”。例 3 某商店出售啤酒，规定每 5 个空啤酒瓶能换 1 瓶啤酒。张叔叔家买了 80 瓶啤酒， 喝完后再按规定用空啤酒瓶去换啤酒，那么他们家前后共能喝到多少瓶啤酒？分析与解：我们按照实际换酒过程分析：喝掉 80 瓶啤酒，用 80 个空瓶换回 16 瓶啤酒；喝掉 16 瓶啤酒，用 16 个空瓶换回 3 瓶啤酒余 1 个空瓶；喝掉 3 瓶啤酒，连上次余下的 1 个空瓶还剩 4 个空瓶。此时，再借 1 个空瓶，与剩下 的 4 个空瓶一起又可换回 1 瓶啤酒，喝完后将空瓶还了。所以，他们家前后共喝到啤酒 80+16+3+1=100（瓶）。 解例
3 的关键是：正确运用“5 个空瓶可换 1 瓶啤酒”这个条件，特别是最后一次换瓶的 技巧，你不充分利用可就“吃亏了”！但如果一开始酒的瓶数很多，那么这个换酒的过程就会 很长。有没有简便的算法呢？注意到“每 5 个空瓶可换一瓶啤酒”（连酒带瓶）这个条件，可 知每 4 个空瓶就能换到一瓶啤酒（不带瓶），那么喝剩的 80 个空瓶共能换到 20 瓶啤酒， 所以张叔叔家前后共能喝到 80+20=100（瓶）啤酒。综合式是 80+80÷（5-1）=100（瓶）。有了上面的简捷思路，求解类似的问题就简单多了。例 4 一块钢锭可以铸成 25 个机器零件的毛坯，每加工 5 个机器零件的毛坯所剩的脚料 又可以铸成一个机器零件的毛坯。现在有这种钢锭 10 块，最多可以加工多少个机器零件？分析与解：这类“铸坯加工零件”问题显然也属于“空瓶换酒”问题。由“每加工 5 个机器零 件的毛坯所剩的脚料又可铸成一个机器零件的毛坯”可知，实际每加工 5 个机器零件只需要 4 个机器零件的毛坯（没有脚料），即每（个）机器零件。注意，此处不能使用四舍五入，只能使用去尾法。综合式是 也可以这样想：因为每加工 5 个机器零件只需要 4 个机器零件毛坯（没有10≈312（个）机器零件。综合式是例 5 5 个空瓶可以换一瓶汽水，某班同学喝了 189 瓶汽水，其中有一些是用喝剩下来 的空瓶换的，那么他们至少要买多少瓶？分析与解： 本题告诉了按空瓶换汽水的原则和共能喝到的汽水， 反过来求原先至少要买 的汽水瓶数。根据“5 个空瓶可以换 1 瓶汽水”（连汽水带瓶）能喝到 189 瓶汽水呢？显然至少应买汽水注意，此处不能使用四舍五入，只能使用收尾法。 综合式是下面，我们讲讲如何利用对称的思想来分析解决问题。例 6 甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币。规则是：每人每次只能放一 枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜。如果甲先放， 那么他怎样放才能取胜？分析与解：这道题初看太抽象，既不知道圆桌的大小，又不知道硬币的大小，谁知道该 怎样放呀！我们用对称的思想来分析一下。圆是关于圆心对称的图形，若 A 是圆内除圆心 外的任意一点，则圆内一定有一点 B 与 A 关于圆心对称（见右图，其中 AO=OB）。所以， 圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点。由此可以想到，只要甲把第一枚 硬币放在圆桌面的圆心处， 以后无论乙将硬币放在何处， 甲一定能找到与之对称的点放置硬 币。也就是说，只要乙能放，甲就一定能放。最后无处可放硬币的必是乙。甲的获胜策略
是： 把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处， 以后总在乙上次放的硬币的对称 点放置硬币。这种利用对称思想的获胜策略体现出了一种机智， 而这种机智来源于数学思想。 同学们 经常进行这种锻炼，就会变得越来越聪明。比如，有两堆火柴，第一堆 20 根，第二堆 25 根，甲、乙二人轮流从中取火柴，每次可以从任一堆中取走任意数量的火柴，取走最后一根 火柴者胜。甲先取，怎样才能保证获胜？利用对称的思想分析，只要甲先从第二堆中取走 5 根，此时两堆火柴的数量相等（也是一种对称），以后无论乙从哪一堆取多少根火柴，甲都 对称地从另一堆取相同数量的火柴，只要乙能取，甲就能取，所以最后一根必被甲取走，甲 胜。 例 7 十个相同的圆摆成左下图所示的形状，过其中两个圆的圆心 A 和 B 作直线，求直 线右上方圆内总面积与直线左下方圆内总面积的比。分析与解： 我们把直线 AB 以及 AB 经过的四个圆单独画成右上图， 此图关于 C 点对称， 所以这四个圆正好被平均分成两部分，即直线两侧的面积各为 2 个圆面积。所以在左上图 中，直线右上侧圆内面积总和是 4 个圆面积，直线左下侧圆内面积总和是 6 个是圆面积， 两者的面积比是 4/6=2/3。练习 301.甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个 1000 以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲 只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？2.现有 700 粒相同的珍珠和 1 粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少称几 次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？3.某校开运动会，学校给同学们买来 50 箱汽水，每箱 24 瓶。由于商店规定每 6 个空 瓶可换到一瓶汽水，所以同学们每喝完 6 瓶汽水就去换一瓶，这样他们共能多喝多少瓶汽 水？4.一块铝锭可铸成 20 个机器零件毛坯，每 4 个毛坯车成零件后的铝屑又能铸成一个毛 坯。那么 7 块这样的铝锭最多能车成多少个机器零件？ 5.某校开运动会，打算发给 1000 位学生每人一瓶汽水，由于商店规定每 6 个空瓶可换 到一瓶汽水，所以学校不必买 1000 瓶汽水，那么最少要买多少瓶汽水？6.有一艘轮船停在港口里，轮船的外舷有一软梯，软梯的第一级正好挨着海面，往上每 隔 20 厘米有一级。这时海水正在涨潮，每小时上涨 30 厘米。问：经过多长时间，海水涨 到软梯的第四级？7.红、蓝墨水各一瓶，用一根滴管从红墨水中吸一滴滴到蓝墨水中，搅拌后，再从蓝墨 水中吸一滴同样体积的墨水滴到红墨水中。 这时红墨水中的蓝墨水多， 还是蓝墨水中的红墨 水多？
数学趣题巧解篇三：小学数学六年级趣题巧解
小学数学六年级趣题巧解
1.小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟？
小明家离火车站很近，他每天都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟，每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下。
假如从第一下钟声响起，小明就醒了，那么到小明确切判断出已是清晨 6点，前后共经过了几秒钟？
分析与解题:从第一下钟声响起，到敲响第6下共有5个"延时"、5个"间隔"，共计（3+1）×5=20秒。当第6下敲响后，小明要判断是否清晨6点，他一定要等到"延时3秒"和"间隔1秒"都结束后而没有第7下敲响，才能判断出确是清晨6点。因此，答案应是： （3＋1）×6=24（秒）。
2.一个三位数，写在一张纸上，倒过来看是正着看的 1.5 倍，正着看是倒过来看的 2/ 3 。这个三位数是几？
分析与解 这个三位数是 666。其实，只要你稍加思索，就可以想出来了。这道题如果要求找一个一位数，那就是 6；找一个两位数，则是 66；找一个 四位数，则是 6666，⋯⋯，依此类推。
3.如果整数 a 能被 b 整除，那么 b 就叫做 a 的一个因数。例如，1、2、3、4、6 都是 12 的因数。有一种数，它恰好等于除去它本身以外的一切因数的和，这种数叫做完全数。例如，6 就是最小的一个完全数，因为除 6 以外的 6 的因数是 1、2、3，而 6=1+2＋3。
你能在 20 至 30 之间找出第二个完全数吗？
分析与解 20 至 30 之间的完全数是 28。因为除 28 以外的 28 的因数是 1、2、4、7、14，而 28=1＋2＋4＋7＋14。 寻找完全数并不是容易的事。经过不少数学家研究，到目前为止，一共找到了 23 个完全数。第三、四个完全数是： 496=1+2+4+8＋16+31+62＋124+248
8128=1＋2＋4+8＋16＋32+64＋127+254＋508+1016＋2032+4064 奇怪的是，已发现的 23 个完全数是偶数，会不会有奇完全数存在呢？至今无人能回答。完全数问题还是一个没有解决的问题。
4.入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时，发现这筐苹果 2 个、2 个地数， 余 1 个；3 个、3 个地数，余 2 个；4 个、4 个地数，余 3 个；5 个、5 个地数， 余 4 个；6 个、6 个地数，余 5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
分析与解 根据题目条件，可以知道，这筐苹果的个数加 1，就恰好是2、3、4、5、6 的公倍数。而题目要求“至少有多少个”，所以，苹果的个 数应该是 2、3、4、5、6 的最小公倍数减去 1。
[2，3，4，5，6]=60
60-1=59 即这筐苹果至
少有 59 个。
5.新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目。王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条，发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学，所以你们脑 子里的数也听我的话。不信，你们每人独立地在纸条上写上任意4个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中，找出两个数，它们的差能被3整除。” 王老师的话音一落，同学们就活跃起来。
有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话。”不一会儿，同学们都把数写好了，但是当同学们一个个念起自己写的 4 个数时，奇怪的事果真发生了。同学们写的数还真 听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外，都让王老师找出了差能被 3 整除的两个数。
同学们，你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？
分析与解 其实，同学们写在纸条上的数字并不是听王老师的话，而是 听数学规律的话。
因为任意一个自然数被3除，余数只能有3种可能，即余 0、余 1、余 2。 如果把自然数按被 3 除后的余数分类，只能分为3类，而王老师让同学们在纸条上写的却是4个数，那么必有两个数的余数相同。余数相同的两个数相减（以大减小）所得的差，当然能被3整除。
王老师是根据数学基本性质设计小魔术的。所以，只要我们刻苦学习数 学，掌握规律，也会在数学王国中创造出魔术般的奇迹。
数学趣题巧解篇四：趣题巧解
挑战趣题
1、警察拦住一辆摩托车，问骑车人：“坐在后面的是谁?”骑车人回答说：“是我的儿子．"警察又问坐车的人：“骑车的人是你的爸爸吗?”坐车人回答：“不是。”骑车人与坐车人究竟是什么关系?你知道吗?
2、一家冷饮店规，喝完汽水后，用2个空瓶可以换1瓶汽水．飞飞买了4瓶汽水．他最多能喝到几瓶汽水?
3、河里有一行鸭子，2只前面有2只，2只后面有2只，2只中间还有2只．至少有几只鸭子?
4、小军跟爸爸去外地旅游．爸爸买了一张火车票花了5元，小军买半票．他们来回一共要付多少元?
5、1 3个孩子在一起玩捉迷藏的游戏，已经捉到了其中的3个人。最多还有几个孩子藏起来没有被捉到?
6、小红家的金鱼缸里养着10条金鱼，早晨起来发现死了2条，这时，金鱼缸里还有几条金鱼?
7、爸爸买了一箱啤酒共12瓶，喝完后再用空瓶去换啤酒喝，每4个空瓶可以换1瓶啤酒．爸爸一共可以喝多少瓶啤酒?
8、一口5米深的井内，一只蜗牛从井底向井口爬，白天向上爬2米．晚上向下退1米．它几天可以爬到井口?
9、5只猫在5天里能捉5只老鼠．要在100天里捉到100只老鼠，需要几只猫?
10、幼儿园小班有20个小朋友，老师拿着装有20只苹果的篮子走进教室分苹果，每位小朋友都分到1只，篮子里还有1只，怎么回事?
11、一根电线，对折，再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有几段?
12、一杯牛奶，小明先喝了半杯．然后加满水，又喝了半杯，再加满水，最后全部喝完。小明是牛奶喝得多还是水喝得多?小明一共喝了多少杯牛奶和多少杯水?
13、有37名战士要过河，河边只有一条渡船，船上每次只能坐5人．至少要几次才能渡完?
14、小红妈妈用平底锅烙饼，这只锅每次只能放4个饼，烙熟1个饼要2分钟。烙6个饼要用几分钟?
数学趣题巧解篇五：数学趣题
趣题巧解：乘船到对岸去
从前，有一位农民，带着一条狗、一只兔子和一棵大白菜，来到河边，想要乘船到对岸去。他的小船太破旧，如果把狗、兔子和菜一次全部带上船，就超重了，可能沉船。每次只能带这三件东西里的一件上船。可是，如果离开了农民的照料，狗要咬兔子，兔子要啃白菜。这位农民能不能利用他的小船，把狗、兔子和菜一件一件地运过河去，并且保持平安无事呢？
解决办法的要点是：先把兔子送过河；回来后，再把狗送过河，把兔子随船带回来；然后再把白菜送过河；再回来一趟，最后把兔子带过河去。
在这个过河问题的条件中，只说到狗和兔不能留在一起，兔和菜不能留在一起，说的都是消极因素。通过分析，发现狗和菜可以留在一起，找出了隐含的积极因素，从而使问题得到解决。
趣题巧解：平行四边形的高
求平行四边形的高
平行四边形ABCD的边AD长10厘米，直角三角形AGD的直角边AG长8厘米，已知阴影部分的面积比三角形EFG的面积大10平方厘米，求AE长多少厘米？
S ABCD＝阴影部分面积＋S四边形AEFD
＝S EFG + 10平方厘米＋S四边形AEFD
＝S AGD+10厘米
＝40平方厘米＋10平方厘米
＝50平方厘米
数学趣题：哪一万个数相加？
小红的姐姐给她出了一道很有趣的题。姐姐说：“如果有一万个自然数连乘，乘积等于10000 ，那么这一万个数相加，要想得到最大的和，是哪一万个数相加？”小红稍加思考就答对了。同学们，你知道是哪一万个数相加吗？最大的和是多少？
只要找到几个数相乘得到10000，再与若干个1相乘，积一定是10000。
答：是9999个1和10000相加，得到最大的和是19999。
交叉公路
有两条公路成十字交叉，甲从十字路口南1350 米处往北直行；乙从十字路口处向东直行。二人同时出发，10 分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原速继续直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。
甲从十字路口南 1350 米处往北直行，乙从十字路口处向东直行，同时出发，10 分钟后二人离十字路口距离相等，说明甲、乙二人10分钟共行了1350米，于是可以求出二人每分钟的速度和。
又知道，二人继续行走分钟，即从出发各行90 分钟，二人离十字路口距离又相等，说明甲、乙二人90分钟行走的路程之差是1350米。于是又可以求出二人每分钟的速度差。
进而求出甲、乙各自的速度：1350/10=135（米）1350/(10+80)=15甲的速度是：(135+15)/2=-75（米）乙的速度是：(135-15)/2=60（米）即甲的速度是每分钟75米，乙的速度是每分钟60米。
流水行船
一只小船，第一次顺水航行20千米，又逆水航行3千米，共用了4小时； 第二次顺水航行了17.6千米，又逆水航行了3.6千米，也用了4小时。求 船在静水中的速度和水流速度。
比较两次航行的航程可知：在相同的时间内，顺水可航行20-17.6=2.4千米，逆水可航行3.6-3=0.6千米。于是求出在相同时间内顺水航程是逆水航2.4/0.6=4倍。那么顺水行的航速也就是逆水行的航速的4倍，进而求出顺水与逆水的航速。 顺水航速为每小时：(20+3*4)/4=8（千米）
逆水航速为每小时：(20/4+3)/4=2（千米）
船在静水中的速度为每小时
(8+2)/2=5（千米）
水流速度为每小时
(8-2)/2=3（千米）
即船在静水中的速度为每小时 5千米，水流速度为每小时 3 千米。
数学趣题巧解篇六：趣题巧解
趣题巧解（十一）
姓名
1、一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？
2 、37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？
3、右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6
枚硬币。
4、有一个村子里有6个小矮人，他们总是为了不能平分土地吵架。现在，聪明的小朋友，你能帮助他们解决这个问题吗？六个小矮人的要求是把空白部分分成大小相等、形状相同的6块。
5、一把钥匙只能开一把锁，现在有10把钥匙和10把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
6、小A、小B、小C、小D、小E五名同学参加了跳绳比赛的决赛，比赛前每两个小选手都要握一次手表示友好。当小A握了4次手，小B握了3次手、小C握了2次手、小D握了1次手的时候，小E握了几次手？最后这五名小选手一共要握多少次手？
7、用6根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三角形(即三边相等的三角形)，如何拼？
数学趣题巧解篇七：数学题巧解思路
数学题巧解思路
一、因式分解（1）因式分解用于求解整式，分式，学
习一元二次方程解法，解决二次函数图像交点问题 （2）步
骤，一提（提公因式），二套（套公式，平方差，完全平方）
（3）利用因式分解，可以简化运算，减少失误，达到运算
快而准的效果。
二、等量关系列方程 1.解应用问题五字决，审，设，列，
解，答 2.方法，选择一个量，用两种方式表达，并用等号连
接，即可得到方程 3.一个问题用多种不同的方程列法，解决
问题要注意选择 4.一般直接设未知数，其次，找明显关系。
三、解一元二次方程 1.解法，配方，公式，因式分解，
以达到降次的目的，要根据不同的方程选择合适的方法 2.
方法，①要根据方程的结构和特点选择方法②把二次项系数
化为一且其一次项系数为偶数时，使用配方法简单③方程能
化为（X-M）(X-N)=0的形式，选择因式分解法④配方法一
般用于推导公式，不用于解方程⑤基本方法：换元，配方，
待定系数
四、化动为静解含参不等式 1.利用数轴画图像1.解法：
利用二次函数，一元二次方程，一元二次不等式进行相互转
化，以解决题目 2.方法：二次函数与X 轴相交为一元二次
方程，一元二次方程的根为与其对应的二次函数图像与X轴
的交点横坐标，二次函数的片段（X轴上（下）方）为一元
二次不等式 ①一元二次方程与二次函数图像的关系： b²
-4ac＞0:有两个不同交点 b²-4ac=0:只有一个交点 b²
-4ac＜0:无交点
五、证明边相等的方法：全等三角形，等腰三角形，垂
直平分线，角平分线，特殊四边形，圆的相关性质，等量代
换，比例线段，计算线段具体长度
六、证明角相等的方法：平行线的性质，三角形全等，
三角形相似，等腰三角形，角平分线，圆的有关角
七、借三角解四边形：1.方法将四边形化归为三角形，
就是化陌生为熟悉，化繁杂为简约。 可将四边形，平行四
边形，特殊的平行四边形转化为三角形，将梯形转化为三角
形或四边形，灵活的构造辅助线是转化的桥梁，他可以帮助
我们将已知条件集中或构造基本图形，便于解题 2.辅助线做
法：有中线：倍长，构造平行四边形矩形，菱形，正方形：
连接对角线梯形：作高，平移一腰，平移对角线，延长两腰，
过一腰中点做另一腰平行线
八、图形变换 ：1.平面图形变换包括平移，旋转，对称，
相似（四种变换必考） 2、要熟练掌握四种变换的性质，
理清变化的量和不变的量
九、辅助线解决圆：1.圆是初中数学知识的大集合，无
论几何代数，圆能体现所有知识 ；2方法：①弦问题，做垂
直于弦的半径，利用垂径定理；或弦的两个端点同圆心，构
造等腰三角形②直径：添加直径所对圆周角，得直角三角形 ③90°圆周角，连接圆周角两边与圆的交点，得直径 ④切线，添加过切点的半径，证垂直，即一切就垂⑤证明切
线，过交点连半径，证垂直⑥三角形内切圆，连接内心与三
角形各顶点，利用内心性质⑦三角形外接圆，连接外心和三
角形各顶点，利用外心性质⑧两圆，作连心线，公共线 。
十、会审题 ：1．一咬：咬文嚼字，看清数字，符号，
每一句话，图形中的线段，角间的关系，要清条件，结论和
全部题意 2.二抓：在咬文嚼字的前提下，抓住关键词，制定
解题思路 3.三挖：挖掘隐含条件，仔细分析，推敲，挖掘题
目中的隐含条件。
十一、会做题： 1.中考题的难易程度分为容易题，中档
题，难题，其比例为4：5：1或3：5：2，容易题和中档题
占80%，这些题目叫基础题目，也是中考的重点。要做到前
80%志在必得，细大不捐；后20%多多益善，失不足惜。 2.
一般难题为选择，填空的后两道题； 3.方法：对于基础题 ①
审题慢而全，慢：宁停三分，不争一秒，全：不漏看题，不
错看题，审准题，看全题目的条件和结论。提防陷阱，注意
疏漏，从概念、公式、法则、图形中去考察，考察是否有特
例，结论是否符合题意 ②解题方法要优化，选择最佳方法
解题 选择：一筛二代三特（特殊化，特殊值，
特殊点，特殊点等）四直接填空：特殊化，图解法，直接法
③遇到易题，格外小心。易题使人轻视，不注意题目的细微
变化，不费思索顺手写下来，可能铸成大错 ④书写要规范，
不仅要求解题步骤，而且演算步骤也要规范要养成有步骤的
表达所有信息的习惯，以备检查之需，平时心算不够，尽量
不用心算 ⑤书写过程要仔细，在演算，解题过程中，常常
会因笔误而出现错误，其主要原因是思维、书写不同步，或
是思维超前，书写滞后，或者反之 ⑥结果要规范，分式化
最简（分子分母不含公因式，分母不含根号）：单项式或二
次根式前的系数不要写成假分数；根号里不含分母 ⑦解题
要慢，准，稳，确保准确率，力求一遍成，在容易产生错误
的地方要特别小心，避免出现错误解不等式符号的变化，分
式方程结果检验，应用题结果检验 ⑧注意别丢，别错单位。
⑨卷面整洁，做到卷面不失分 解题时，力求文字书写工整，
简洁；尽量避免龙飞凤舞或涂抹等现象； 在绘制图形、表
格时，不可随手而画，要使用绘图工具 ⑩几何题目要标出
符号及辅助线在图上标出；作图题要按照考试要求画 ⑪要
在规定范围内作答，不要超出答题区域 。
十二、整体思维求值 ：1.整体思维方式是一种大气的思
维方式，他抓住了数学问题的本质，他是直觉思维和逻辑思
维的和谐统一。 2.方法：数学问题解决过程中，按照常规方
法运算较繁，而且易错，从整体角度观察，分析问题的整体
形式，整体结构，整体与局部的关系，联想相关知识，就能
寻求捷径，化繁为简，从而准确，迅速，合理地解题求代数
式的值：先化简已知条件，然后把指定的字母代入求解，使
用基本方法解题，思路简单，但运算繁琐易错求解图形中阴
影面积：求差法，分割法，割补法，等积法，方程法，整体
法，直接法，特殊法 。
十三、识别陷阱： 1.为了考察学生思维的严谨性，科学
性，逻辑性，中考试题常常在数学概念，运算法则（定律），
公式，定理，性质的应用，解题步骤等方面设置陷阱，要识
别陷阱，就要熟练准确，全面细致的掌握概念，法则，定理
的基础知识，然后才能小心应付，细心解答 。
十四、转化与化归-------数学上的变身法 。1.转化与化
归思想是中学数学最基本的思想方法，也是最基本的思想策
略，是解决数学问题的出发点 2.方法：化难为易，化生为熟，
化繁为简，化抽象为直观，尽量是等价转化 3.常见的转化情
况：高次转化为低次，多元转化为一元，式子转化为方程，
分式转化为整式，三角形与四边形的转化，空间与平面的相
互转化（几何体的展开与折叠），次元转化为主元，正面转
化为反面，分散转化为集中，未知转化为已知，动化为静，
部分转化为整体，一般与特殊，数与形，相等于不等，实际
问题与数学问题。
十五、运算 。1.运算要快而准：准，是指计算的准确
性，这是运算的基本要求快，是指计算的合理，简捷，迅速，
需要一定的技巧性，要写关键步骤 2.方法：实数运算，①先
化简再求值是一切代数式求值问题的通性通法 ②实数的混合运算一定运用好运算率，平方差公式，完全平
方公式在简化运算中也有一定的应用 ③熟记一些结论可以提高运算效率，特别是不需要出示运算
过程的选择题，填空题。可以记忆平方数，立方数，勾股数，
特殊角的三角函数。
十六、检验------把丢失得分找回来 。1.通过合理，科
学的检验方法，自动纠误，才能把失去的分数找回来 题目检查考试时不可或缺的一个环节，是保证解题质量，抢
得高分的重要手段，立足于一次成功，提高解题成功率，虽
然检验的方法很多，但我们首先提供实时检验，即每步自问：
各步推理，运算得知否准确？有依据吗？变形是否符合运算
率？书写是否有误？文字，符号使用是否恰当？力求把出现
的问题消灭在萌芽状态。
十七、分步得分。 1.通过对具有一定难度的问题多个问
号之间存在的联系的分析，制定科学，合理，理智的解题方
案，从而使我们尽可能多的得分。 2.解题过程中，遇到复杂
的数学问题，要想直接全面地解答所求问题有困难时，我们
要仔细观察问号之间的关系是相关还是无关。相关，后问的
解答要用到前问，前问解答，务必求精，求准，否则前后皆
错；无关，答会答的内容，尽量抢分。
十八不会也得分。 1.方法：选择，填空即使不会也要猜答案填上，但要做好标记，有时间，思路再回头作答，防止出现错漏，导致不必要失分。选择题即使不会，得分几率也有25%压轴题：可能算不出完整答案，找不到详细思路，可能不会做，但依然能够得分，遇到有关最值问题时，不会做，可以猜测结论；问满足条件的点和图形是否存在时，可以猜测是否存在；需要作图时，可以准确作图；把题目中的条件翻译成数学表达式；设应用题的未知数。
十九、阅读题 。1.阅读理解性问题所用的知识一般来说不复杂，先要解决由于阅读理解性问题文字叙述较长，信息量较大导致的心理急躁，畏难情绪，解题信心丧失的心理问题。 一个数学问题文字越多，他露出的解题信息就越多，题目越长就越容易 2.解法：关键是要认真仔细地阅读给出的材料，弄清材料中隐含的数学新知识，结论，或揭示的数学规律，或暗示的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息，新知识，新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题 3.方法：①耐心阅读，找关键词句②汇总信息，建立数学模型 ③回顾检查，解决数学模型。
二十、选择题 。1.方法：一筛，二代，三特，四直。 一筛：筛选法（排除法）；二代：代入验证法；三特：特殊化（包括特殊值，特殊点，特殊角等）；四直：直接计算法，图示法，操作法。
二十一、设参数 。1.参数是一种辅助变量，它在代求变量之间起到纽带和桥梁的作用，在解决函数，方程，不等式，代数式求值和平面几何问题时，如果有很多变量参与，不要畏难，大胆设参，而且不惧参数多少待求的问题必定能柳暗花明。
二十二、目标定向 。1.在解题过程中，面对已知条件，往往不知道解题的方向，这是由于缺乏目标的定向作用所致。目标定向作用在解题中相当重要，解题过程中，确定并紧盯解题目标，注重目标的定向作用，会使解题活动有的放矢。
二十三、几何问题求最值 。1.大同小异法：巧妙地揭示
数学趣题巧解篇八：小学数学趣题巧算+五年级
本丛书的目的是培养和发展小学生的数学思维能力，使小学生在学懂数学知识的同时学会思考，掌握思考方法，提高思维水平。
本丛书按照学生的程度分册出版。全书分为六个分册，即一、二年级分册，三年级分册，四年级分册，五年级分册，六年级分册和综合分册。各册均选编了大量能启发思维的饶有趣味的例题和练习题，并通过对这些例题的详细讲解，介绍给学生各种思考方法和计算技巧，以期能引导学生举一反三，灵活运用已学过的数学知识。
本丛书供小学生自学使用，也可作为教师开展课外数学小组活动以及家长辅导孩子学习数学的参考书。
一位教育家说过：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”学习数学的本身，就是要在学懂数学知识的同时，学会思考，掌握思考的方法，培养和发展思维能力，提高思维水平。
我们几位从事小学数学教学工作的老师，就是以教会学生思考为出发点，结合学生学习的知识内容，编写《趣题巧算——百题 百讲 百练》这套书的。全书分为一、二年级分册，三年级分册，四年级分册，五年级分册，六年级分册和综合分册。书中列举百例，讲解这百题，同时又设计了百道练习题供学生练习用。通过小学生的自学，使他们学会思考。另外，这本书也是教师开展课外数学小组活动及家长指导孩子学习数学的资料。
在编写这本小册子的过程中，我们选用了一些竞赛试题或一些他人设计的趣题，在此向这些作者致谢！
编者水平有限，经验不足，书中如有不当之处，敬请读者提出批评指正。
编者
李树德 １９４１年生。北京市东城区地坛小学副校长，北京市和东城区数学奥林匹克学校骨干教师，特级教师，中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员，第四届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛主试委员会委员，第八届“北京市迎春杯数学竞赛”命题组成员。长期从事小学数学教学工作，有扎实的专业知识和理论基础，他撰写的论文多次获优秀成果奖，多次在省市级刊物上发表有关数学教学文章。
热心于小学数学奥林匹克教学工作，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一。他培养的学生多次在区、市、全国数学竞赛中获奖。为历届“迎春杯”赛主教练，为东城区在北京市迎春杯数学竞赛中夺得三连冠做出了贡献。
近年来参加编写了《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析》、《小学数学标准化题型研究与练习》、《小学数学百问》、《数学奥林匹克电视讲座》等十余本书。
张玉山 １９４０年生。北京市东城区和平里第二小学副校长，中学高级教师，中国数学奥林匹克一级教练员。多年从事小学数学教学工作，有扎实的专业知识和理论基础。撰写多篇论文，多次获优秀成果奖，多次应省市级刊物的邀请撰写有关数学的专栏文章及专题讲座。
近些年来，积极投身于数学奥林匹克学校的教学工作，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一，北京市和东城区数学奥林匹克学校的骨干教师，为历届“华罗１庚金杯”少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”的东城区集训队主教练之一，为东城区连续三年在北京市迎春杯数学竞赛中夺冠，为发现和培养数学人才做出了贡献。
近年来，曾编写和参加编写了《小学数学学习指导》、《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析》、《小学数学标准化题型研究与练习》、《趣题巧解》以及北京市城近郊区小学奥林匹克教材《小学数学奥林匹克讲义》、《小学数学奥林匹克辅导与练习》、《数学奥林匹克电视讲座》等十余本书。
张德勤 １９４３年生。１９６３年参加工作，现任北京市东城区地坛小学副校长，分管教学工作，中学高级教师。
长期从事小学数学教学工作，取得了较好的成绩。曾获北京市小学教学案例评选一等奖，连续三年获得区优秀教学成果奖，连续三次获得市、区优秀教学论文奖，两次被评为区优秀教育工作者和局级优秀园丁。
热心于小学数学奥林匹克事业，是东城区数学奥林匹克学校创始人之一，是北京市和东城区数学奥林匹克学校骨干教师，中国数学奥林匹克一级教练员。他培养的学生多次在区、市、全国各种数学竞赛中获奖，为东城区连续三年在北京市迎春杯小学数学竞赛中夺冠做出了贡献。
近年来，参加过《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题分析》一书的编写工作，参加了北京市城近郊区小学奥林匹克教材的编写和审订工作。与人合作编写了《小学数学标准化题型研究与练习》、《小学数学百问》、《数学奥林匹克电视讲座》等十余本书。配合教材，多次在省市级的刊物上发表数学教学文章。
李异芳 １９４６年生。１９６５年毕业于北京第一师范学校，多年从事小学数学教学工作，后进入北京教育学院数学系进修，获大专学历。现任北京东城区黑芝麻胡同小学教导主任，获中学高级教师职称。兼任北京市数学奥林匹克学校东城分校教练员、东城区数学奥林匹克学校教练员及“华罗庚金杯”少年数学邀请赛、“北京市小学迎春杯数学竞赛”东城区集训队主教练。
曾参加编写《启蒙数学》、《小学数学重点难点疑点问答》、《小学数学百问》、
《小学数学奥林匹克讲义》、《数学奥林匹克辅导与练习》等书。
数学趣题巧解篇九：小学三年级奥数 15趣题巧解
小学三年级奥数 15趣题巧解
本教程共30讲
第15讲 趣题巧解
为了考考同学们的智力和灵气，先提几个问题：
一张长方形的纸，用剪刀剪掉一个角，还剩几个角？
把一根毛线对折两次后剪一刀，毛线被剪成了几段？
一树枝上有10只鸟，用汽枪打中了一只，树枝上还剩几只鸟？
这类智力问题很有趣，但回答时要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是要全面考虑各种情况，二是要充分运用学过的数学知识，再就是还需要些思考问题的灵气和非常规的思考方法。
例1一张长方形纸片有四个角，用剪刀沿直线剪掉一个角后，还剩几个角？
分析：由于已知“剪掉一个角”，但没有限制如何剪，所以必须对这个已知条件中的“剪法”有一个全面的考虑。否则，不加思索地顺口答出“还剩3个角”，答案就不全面了。当我们仔细考虑“剪法”的各种可能性后，再根据角的定义，就会得到全面而正确的答案。
解：由于剪掉长方形纸片的一个角有下页图所示的三种不同剪法(图中阴影部分为剪掉的角)，所以，可能还有5个角、4个角或3个角。
答：还剩5个角、4个角或3个角。
例2 37个同学要坐船过河，渡口处只有一只能载5人的小船(无船工)。他们要全部渡过河去，至少要使用这只小船渡河多少次？
分析：如果由37÷5=7„„2，得出7+1=8次，那么就错了。因为忽视了至少要有1个人将小船划回来这个特定的要求。实际情况是：小船前面的每一个来回至多只能渡4个人过河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5个人过河。
解：因为除最后一次可以渡5个人外，前面若干个来回每个来回只能渡过4个人，每个来回是2次渡河，所以至少渡河
[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。
答：至少要渡河17次。
例3(1)右图是10枚硬币，移动其中1枚硬币，使每一行上都有6枚硬币。
(2)用12根火柴拼出6个边长为1根火柴的正方形。
分析与解：(1)10枚硬币摆两行，一般来说每行有10÷2=5(枚)。图中的两行却是一行5枚一行6枚，原因是中间有1枚在两行的交叉点上，所以出现了5+6＞10。由于题中并没有规定每个位置上只准放一枚，所以，只要使其中1枚硬币在两直行的交叉点上再“重复”一下，即在两行的交叉点上重叠地放2枚硬币(见右上图)，就可达到目的。
(2)一个正方形需要4根火柴才能拼出，12根火柴只能拼出3个正方形，即使如左下图所示，也只能拼出4个正方形。如果我们放弃“在平面上拼”这种平常的思路，而改为在“立体空间中去拼”的新思路，那么就可能“柳暗花明”。
当思路转向立体空间后，自然会联想到正方体图形。因为它有六个正方形表面，而且正方体的棱恰好是12条，所以完全符合题意。
拼法如右上图所示。
例3的解法说明，“换一个角度”或“换一个方向”去思考问题，往往能收到“奇效”！本题(2)如果把思路始终局限在平面上那么就绝无出路。事实上，题目中并没有这样的限制，而是习惯的思维方式把我们限制了。一旦转到立体空间去思考，问题就迎刃而解了。
例4一群动物在一起玩叠罗汉游戏。每只动物的重量都是整千克数，其中，最轻的重1千克，最重的重60千克。叠罗汉规定每只动物上面的总重量不能超过自己的重量。在重1～60千克的动物都有的情况下，它们最多能叠几层？(叠一个动物算一层)
分析与解：由于要求叠的层数尽量多，所以应该想到：①最上一层应是最轻的动物；②每只动物上面的总重量尽量等于自己的重量(也满足“不超过”自己的重量要求)。按这两条原则叠罗汉，能很容易找出各层的动物重量，从上到下，它们依次为：
第1层 第2层
1 第3层 第4层 第5层 第6层 第7层 第8层 2 3 6 12 24 48 96
因为96＞60，所以这群动物最多只能叠七层罗汉。(叠法不唯一) 如果只有重1，3，5，7，9，11，21千克的七个动物，按例4中的要求叠罗汉，那么最多能叠几层？它是由哪些重量的动物叠出来的？(答案： 5层；由重1， 3， 5， 9， 21千克的动物叠出)
例5(1)小丽家里的闹钟每天早晨6点半准时响铃，提醒小丽起床，准备上学。有一次，小丽第二天要6点钟起床到学校去大扫除，她在头天晚上9点时把闹钟钟面时间调到8点半还是调到9点半，才能使闹钟第二天早晨6点钟响铃？
(2)小明和小强约定10点钟在学校门口碰面，小明的表慢5分钟，而他却以为慢10分钟；小强的表慢10分钟，而他却以为快5分钟。他俩会面时，谁迟到了？先到者等了多少时间才见到迟到者？
分析与解：解决这两个问题的关键是弄清“正确时间”和“钟面时间”的含意。
(1)要使闹铃6点钟响，即比平常提前半小时响，此时的钟面时间是6点半，它比正确时间多半小时。所以，在头天晚上9点调时针时，必须使钟面时间比正确时间多半小时，即应调到9点半。
(2)以正确时间为准。小明以为他的表慢10分，所以，他比钟面时间提早10分到达，实际上他的钟面时间只比正确时间慢5分，所以小明提前了
10-5=5(分)；小强以为他的表快5分，所以，他比钟面时间晚到5分，实际上他的钟面时间比正确时间慢10分，小强迟到了10+5=15(分)。会面时，小强迟到了，小明等了小强
5+15=20(分)。
例6(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，照此效率，六个小朋友几分钟削六支铅笔？
(2)三只猫三天吃三只老鼠，照此效率，六只猫六天吃几只老鼠？ 分析与解：这两个问题用来训练对倍数关系的准确理解。
(1)中小朋友个数变成2倍，削的铅笔也变成2倍，所以，完成的时间应不变，即3分钟。
如果具体分析，那么由已知条件推知，一个小朋友削一支铅笔需3分钟，所以，六个小朋友削六支铅笔还是需3分钟。
(2)中猫的只数变成2倍，天数也变成2倍，所以，吃的老鼠只数就变成了2×2=4(倍)，即吃了
3×4=12(只)。
具体分析，由已知条件推知，一只猫三天吃一只老鼠，所以，当猫变成6倍(六只)，而天数不变时，就有六只猫三天吃1×6=6(只)老鼠。进而，当猫不变(六只)，而天数变为2倍(六天)时，就有六只猫六天吃老鼠
6×2=12(只)。
练习15
1.画三条线段，能构成几个角？
2.用6根长短、粗细一样的火柴棍拼出四个等边三角形(即三边相等的三角形)，如何拼？
3.一只挂钟，1点整敲1下，2点整敲2下„„12点整敲12下，每半点整敲1下。一昼夜(24时)一共要敲多少下？
4.打靶时，小林和小峰各打了三枪，环数为1，2，4，5，7，9环。已知小林的总环数比小峰的总环数多6环。哪几环是小峰打的？
5.五个小朋友围坐在一个大圆桌边，按顺时针方向依次编为1，2，3，4，5号。老师给1，2，3，4，5号小朋友分别发1，2，3，4，5个苹果。从5号小朋友开始，依次按顺时针方向看，若邻坐的苹果比自己少，则送给对方一个；若邻坐的苹果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈为止，他们每人手中各有多少个苹果？
6.球场休息时，保管员慌忙中把甲、乙、丙三个运动员先前交给他的水瓶都递送错了，结果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是谁的？
7.有一个台称，只能称40千克以上的重量，甲、乙、丙三个小朋友的体重都在20～39千克之间，他们都想知道自己的体重。用这台称怎样才能知道他们各自的体重？
8.(1)三个小朋友三分钟削三支铅笔，九个小朋友六分钟削几支铅笔？
(2)三只猫三天吃三只老鼠，六只猫几天吃18只老鼠？
答案与提示 练习15
1.能构成0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12个角。
2.如右图的立体图形。
3.180下。
4.2，4，5环。
提示：［(1＋2＋4＋5＋7＋9)-6］÷2=11，
只有2＋4＋5=11。
5.每人都是3个。
数学趣题巧解篇十：趣题巧解 (1)