绝对值的非负性

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绝对值的非负性(一)
第1章 有理数 专题分类训练二 绝对值的非负性及其应用

专题分类训练二绝对值的非负性及其应用

教材题源(教材17页作业题A组3题)

例题：下面的说法对吗？如果不对，应如何改正？ (1)一个数的绝对值一定是正数； (2)一个数的绝对值不可能是负数；

(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数． 解：(1)不对，一个数的绝对值是正数或0； (2)对； (3)对．

【方法总结】理解绝对值的定义是解题关键．

【知识链接】①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．③有理数的绝对值都是非负数．

变式训练 1任何一个有理数的绝对值一定 A．大于0

B．小于0

( D ) D．不小于0

C．不大于0

【解析】由绝对值的定义可知，任何一个有理数的绝对值一定大于等于0.题中选项只有D项符合题意．故选D项．

变式训练 2已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是

( C )

A．a B．－a C．|－a | D．－|－a |

【解析】根据绝对值的性质，为非负有理数的是|－a |.故选C. 变式训练 3若|x|－|y|＝0，则 A．x＝y

( D )

B．x＝－y D．x＝y或x＝－y

C．x＝y＝0

【解析】∵| x |－| y |＝0，∴| x |＝| y |，∴x＝±y，故选D. 变式训练 4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是

( C )

A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |

【解析】A、当a＜0时，a＜| a |，故本选项错误； B、当a＜0时，a＜|－a |，故本选项错误； C、不论a为何有理数，a≥－| a |均成立，故本选项正确；D、当a≥0时，a＝| a |，故本选项错误．故选C.

变式训练 5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是 A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数 C．a与b异号 D．a与b不相等

【解析】∵|a|＋| b |＝0，| a |≥0，| b |≥0，∴| a |＝0，| b |＝0，∴a＝0，b＝0.故选A.

【方法点拨】当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．

变式训练 6若x是有理数，则|x|＋1一定 A．等于1

B．大于1

( C )

( A )

C．不小于1 D．不大于1

【解析】∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.故选C.

变式训练 7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是

( B )

A．负数

B．负数或零

C．正数或零

D．正数

【解析】设这个有理数是a，则根据题意有：|a|＝－a，因此a≤0，即这个有理数是非正数．故选B.

变式训练 8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是

( B )

A．x＜y C．x＝y

B．x＞y

D．与x，y的取值有关，无法比较

【解析】∵|2 x－3|＋| y＋2|＝0，∴|2 x－3|＝0，| y＋2|＝0，∴x＝1.5，y＝－2，∴x＞y，故选B.

变式训练 9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于 A．0

B．1

C．2

( B )

D．3

【解析】∵| x－1|≥0，∴当| x－1|＝0时，| x－1|＋2取最小值，∴x－1＝0，【绝对值的非负性】

解得x＝1.故选B.

变式训练 10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝ __±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．

【解析】∵| a |＝4，∴a＝±4.∵| x |＝|－2.5|，∴x＝±2.5，根据题意得a－2＝0，b＋5＝0，解得a＝2，b＝－5，∴a－b＝2－(－5)＝2＋5＝7.

变式训练 11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝ __4__．

【解析】由|a－1|＝－| b＋1|得|a－1|＋| b＋1|＝0，∴a－1＝0，b＋1＝0，解得a＝1，b＝－1，∴－4a b＝－4×1×(－1)＝4.

变式训练 12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：

(1)| a|＋1有最__值； (2)5－|a|有最__值；

(3)当a的值为时，|a－1|＋2有最____值； (4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__．

变式训练 13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是

( D ) D．|a|＋1

A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a|

【解析】当a＝1或－1时，|a|＝1，则1－|a|＝0；当a＝－1时，a＋1＝0，则aa＋1|＝0；当a＝0时，|－a|＝|a|＝0，则|－a|＋|a|＝0；对于任意数a，都有|a|≥0，则|a|＋1≥1，值不能为0.故选D.

变式训练 14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是 A．1

B．2

C．3

( C )

D．4

【解析】∵|a－b |≥0，∴－|a－b |≤0，∴1－|a－b |≤1，∴a b≤1，∵a，b是非负整数，∴存在(1，1)(1，0)(0，1)3种情况．故选C.

变式训练 15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是 A．正数

B．负数

C．非负数

( B )

D．不能确定

【解析】∵|a|≥0，∴－|a|－2≤－2，∴代数式－|a|－2的值总是负数．故选B. 【方法点拨】任意一个数的绝对值都是非负数．

变式训练 16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__． 【解析】∵| m－n|≥0，∴－| m－n |≤0，∴当m－n＝0时取最大值，∴m＝n.故m与n的关系是m＝n.

变式训练 17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于

A．999

( A )

B．998 C．1997 D．0

【解析】由已知条件可知，| x－a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到1997的距离时，式子取得最小值．∴当x＝最小值．故选A.

【方法总结】观察已知条件可以发现，|x－a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．

变式训练 18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值． 解：根据题意得，a＋3＝0，b－2＝0， 解得a＝－3，b＝2， ∴a＋b＝－3＋2＝－1.

【方法点拨】根据绝对值的非负性列式求解即可得到a，b的值，然后再代入代数式进行计算即可求解．【绝对值的非负性】

变式训练 19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值． 解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0， ∴2 x－4＝0，y－3＝0， 解得x＝2，y＝3，

∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.

【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

变式训练 20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|

1＋1 997

999时，式子取得2

＋c的值．

解：∵|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0， ∴|a－1|＝0，|b＋2|＝0，|c－4|＝0， ∴a＝1，b＝－2，c＝4， ∴a＋|b|＋c＝1＋2＋4＝7.

变式训练 21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数． (1)求a，b的值； (2)求a－b，ab的值．

解：(1)∵|2a－6|与|b＋2|互为相反数，

∴|2a－6|＋|b＋2|＝0，∴2a－6＝0，且b＋2＝0， ∴a＝3，b＝－2；

(2)∵a＝3，b＝－2，∴a－b＝3－(－2)＝5，ab＝3×(－2)＝－6.

【方法点拨】考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解答此题的关键．

变式训练 22 (1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值？最小值是多少？

(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值？最大值是多少？ 解：(1)式子|x|＋13，当x等于0时，有最小值，最小值是13； (2)式子2－|x|，当x等于0时，有最大值，最大值是2.

【方法总结】任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性．利用此性质解决问题即可．

绝对值的非负性(二)
绝对值非负性

绝对值非负性：非负数之和为零、则绝对值内每一个式子都为零。即│A│+│B│=0则A=0，B=0

例：1、│ｘ+3│+│y-2│＝0求x，y 2、 250│ｘ+3│+360│y-2│＝0求x，y

解：x30x3x30x3 解得： 解： 解得： y20y2y20y2

3、│2ｘ+5│+│3y-6│＝0求x，y 4、若│2ｘ+5│与│3y-6│互为相反数，求x，y

解：2x502x50x2.5x2.5 解得： 解： 解得： 3y603y60y2y2

练习：

1、│3ｘ+2│+│2y-3│＝0求x，y 2、102×│3ｘ+2│+205×│2y-3│＝0求x，y

3、│3ｘ-5│+│2y+8│＝0求x，y 4、123×│3ｘ-5│+301×│2y+8│＝0求x，y

5、│a+2b-3│+│2b-2│＝0求a，b 6、13×│a+2b-3│+2008×│2b-2│＝0求a，b

7、│a+2b-6│+│a+2│＝0求a，b 8、2010×│a+2b-6│+2009×│a+2│＝0求a，b

9、若│2ｘ-7│与│2y-8│互为相反数，求x，y 10、若205×│2ｘ-7│与30×│2y-8│互为相反数，求x，y

绝对值的非负性(三)
1[1].3.2绝对值方程及非负性.题库学生版

绝对值方程及非负性

中考要求【绝对值的非负性】

例题精讲

板块一： 绝对值非负性

b的值 【例1】 a1b20，分别求a，2

【例2】 若3x2y30，则y的值是多少？ x

b 【例3】 求出所有满足条件abab1的非负整数对a，

【例4】 若m3n

【例5】 若722p10，则p＋2n3m_______. 2a4b2，则ab_______.

1.3.2绝对值方程及非负性 题库·学生版 page 1 of 3

【例6】 已知2a4b53c10，求a、b、c的值.

【例7】 已知a、b、c都是负数，并且xaybzc0，则xyz 0．

【例8】 已知非零实数a、b、c满足

abc4ab2c0，那么2ab bc

【例9】

已知a为实数，且满足200aa，求a2002的值

【例10】 设a、b同时满足

①(a2b)2|b1|b1；②|ab3|0．那么ab．

2b的具体取值 【例11】 已知a1b20，求a，

【例12】 已知(ab)2b5b5，且2ab10，那么ab_______

1995【例13】 若a、b、c为整数，且abca1，求caabbc的值．

b，c为整数，且abca1，求caabbc的值 【例14】 设a，

b 【例15】 求满足abab1的所有整数对a，

1.3.2绝对值方程及非负性 题库·学生版 page 2 of 3

【例16】 已知m，n，p都是整数，且mnpm1,则pmmn2np

【例17】 若x,y,z为整数，且|xy|2003|zx|20031，则 |zx||xy||yz|的值是多少?

【例18】 设a、b是有理数，则ab9有最小值还是最大值？其值是多少？

【例19】 代数式4(ab)2最大值为 ，取最大值时，a与b的

关系是____________

111...【例20】 已知ab2a10，求的值 a1b1a2b2a1994b1994

x2y【例21】 若xy3与xy1999互为相反数，求的值 xy

35

1.3.2绝对值方程及非负性 题库·学生版 page 3 of 3

绝对值的非负性(四)
绝对值的非负性专项练习

绝对值的非负性专项练习

一、知识回顾

1、 绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．

2、绝对值是非负数

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

任何一个实数的绝对值是非负数

二 典型例题分析:

第一部分：绝对值的化简

例1、 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？请写在题后的横线上。

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； ；

(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜； ；

(3)｜a-b｜=｜b-a｜；

(4)若｜a｜=b，则a=b；；

（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； ；

(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。 例2 实数a、b、c

在数轴上的位置如图所示，则代数式

的值等于（ ）．

（A）

（B） （C） （D）

思路分析

由数轴上容易看出

，这就为去掉绝对值符号扫清了障

碍．

解 原式

∴ 应选（C）．

归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：

1．零点的左边都是负数，右边都是正数．

2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．

3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

练习： 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．

绝对值的非负性(五)
绝对值的非负性有关练习题

绝对值的非负性有关练习题

１、.若xy+y3=0 ，求2x+y的值.

２、已知|X—4|+|Y+2|=0，求2X—|Y|的值。

３、│a－2│+│b－3│+│c－4│=0,则a+2b+3c= ４、若a2b3c40，求2abc的值．

5、若|x－2|+|y+3|+|z－5|=0计算:（1）x,y,z的值.（2）求|x|+|y|+|z|的值. ６、若xy3与xy互为相反数，求

７、ab20xy的值。 xy0，求ab2+01ab2000+…ab2+ab

８、ab20，求ab20+01ab2000+…ab2+ab ９、已知ab2与b互为相反数，设法求代数式

1111的值. ab(a1)(b1)(a2)(b2)(a1999)(b1999)

１0、已知a是最小的正整数，b、c是有理数，并且有|2+b|+(3a+2c)2=0. 求式子

4abc的值. a2c24

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