等差数列的性质

【www.guakaob.com--教案】

等差数列的性质(一)
等差数列的性质教案

2.2.2等差数列的性质

教学设计

教学目标

1．知识与技能：理解和掌握等差数列的性质，能选择更方便快捷的解题方

法，了解等差数列与一次函数的关系。

2．过程方法及能力：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中体会类比思

想，数形结合思想，特殊到一般的思想并加深认识。

3．情感态度价值观：通过师生，生生的合作学习，增强学生团队协作能力

的培养，并引导学生从不同角度看问题，解决问题

教学重点：理解等差中项的概念，等差数列的性质，并用性质解决一些相

关问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：加深对等差数列性质的理解，学生在以后的学习过程能从不同

角度看问题，解决问题，学会研究问题的方法。

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学方法：启发引导，讲练结合

学法：观察，分析，猜想，归纳

教具：多媒体

教学过程：

一、复习引入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d

2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d (anam(nm)d)

3．有几种方法可以计算公差d

① d=an－an1 ② d=ana1aam ③ d=n n1nm

二、讲解新课：

问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A-a=b-A ，即：A

反之，若Aab 2ab，则A-a=b-A 2

aba,b,由此可可得：A2

ab是a,A,b成等差数列的充要条件 2

定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b也就是说，A=

不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末如数列：1，3，5，7，9，11，13„中

5是3和7的等差中项，1和99是7和11的等差中项，5和13看来，a2a4a1a5,a4a6a3a7

性质1：在等差数列an中，若m+n=p+q，则，amanapaq 即 m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )

证明：amana1(m1)da1(n1)d2a1(nm)d2d,

apaqa1(p1)da1(q1)d2a1(pq)d2d,  aman apaq.

三．例题讲解。

例1在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手„„

解：∵ {an }是等差数列

∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9－a4=9－7=2 ∴ d=a4－a3=7－2=5 ∴ a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9=32

例2 等差数列{an}中，a1+a3+a5=－12, 且 a1·a3·a5=80. 求通项 an

解：a1+a5=2a3

a1a3a5123a312a34a1a520 a1a3a580aa851

a1=－10, a5=2 或 a1=2, a5=－10

∵ d=a5a1 ∴ d=3 或－3 51

∴ an=－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 an=2 －3 (n－1) = －3n+5 例3已知数列{an}的通项公式为anpnq，其中p,q为常数，那么这个

数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看anan1(n1)是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an1（n>1）,求差得，

anan1=(pn+q)-[p(n-1)+q]

=pn+q-(pn-p+q)

=p

它是一个与n无关的常数。所以{an}是等差数列。

思考

这个数列的首项和公差分别是多少？

探究

（1）在直角坐标系中，画出通项公式为an3n5的数列的图象，这个图象有什么特点？

（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列anpnq的图象与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系？

四、巩固练习： 1.若等差数列的前三项依次是m11,65,1，求m的值。 mm

2.已知等差数列 {an}中，a2a6a101,求a3a9。

五、小结 本节课学习了以下内容：

aba,b,成等差数列 1．A2

2．在等差数列中， m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )

3．若数列{an}的通项公式为anpnq的形式，p,q为常数，则此数列为等差数列。

六．布置作业

名师一号：8,9，11

探究：1.设 p, q 为常数，若数列 {an}，{bn}均为等差数列， 则数列{panqbn}，{akn},{kan}为等差数列 ，公差为多少？

2.若{an}是等差数列，公差为d.则ak,akm,ak2m,(k,mN)组成公差为md的等差数列。

等差数列的性质(二)
等差数列的性质总结

1.等差数列的定义式：anan1

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an

aam 推广： anam(nm)d． 从而dn； nm

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2,nN+)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

n(a1an)n(n1)d1Snna1dn2(a1d)nAn2Bn 2222

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项

S2n1ab或2Aab 2等差数列性质总结 （n2）； d（d为常数）2n1a1a2n122n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2． ⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

（4）数列an是等差数列SnAn2Bn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列

等差中项性质法：2anan-1an1(n2，nN)．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8.等差数列的性质：

（1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n1)dddn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 前n和Snna1222

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

注：a1ana2an1a3an2，

（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

。当项数为偶数2n时，

S奇a1a3a5a2n1na1a2n1nan 2

na2a2nS偶a2a4a6a2nnan1 2

S偶S奇nan1nannan1annd

S偶

S奇nan1an1 nanan

。当项数为奇数2n1时，则

S偶nS2n1S奇S偶(2n1)an+1S奇(n1)an+1 S奇S偶an+1S奇n1S偶nan+1

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则Anf(n)， nan(2n1)anA2n1f(2n1). nn2n1

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn anm,amn,则anm0

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN*。

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和

a0即当a10，d0， 由n可得Sn达到最大值时的n值． an10

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0即 当a10，d0， 由可得Sn达到最小值时的n值． a0n1

或求an中正负分界项

注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

等差数列的性质(三)
高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结

1.等差数列的定义：anan1d（d为常数）（n2）；【等差数列的性质】

2．等差数列通项公式：

ana1(n1)ddna1d(nN*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： anam(nm)d． 从而d

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A

ab2

anamnm

；

或2Aab

（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2

4．等差数列的前n项和公式：

Sn

n(a1an)

2

na1

n(n1)2

d

d2

n(a1

2

12

d)nAnBn

2

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n1时，an1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n1

2n1a1a2n1

2

2n1an1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

5．等差数列的判定方法

（1） 定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列． （2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1(n2)2an1anan2． ⑶数列an是等差数列anknb（其中k,b是常数）。

2

（4）数列an是等差数列SnAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法



定义法：若anan1d或an1and(常数nN) an是等差数列．

7.提醒：

（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）设项技巧：

①一般可设通项ana1(n1)d

②奇数个数成等差，可设为„，a2d,ad,a,ad,a2d„（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为„，a3d,ad,ad,a3d,„（注意；公差为2d）

8..等差数列的性质： （1）当公差d0时，

等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

前n和Snna1

n(n1)2

d

d2

n(a1

2

d2

)n是关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有aman2ap.

注：a1ana2an1a3an2，

（4）若an、bn为等差数列，则anb，1an2bn都为等差数列

(5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2nSn,S3nS2n ，„也成等差数列

（6）数列{an}为等差数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等差数列

（7）设数列an是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和

1.当项数为偶数2n时， S奇a1a3a5a2n1S偶a2a4a6a2n

na1a2n12

na2a2n

2【等差数列的性质】

nan

nan1

S偶S奇nan1nannan1an=nd

S奇S偶

nannan1

anan1

2、当项数为奇数2n1时，则

S奇(n1)an+1S奇n1S2n1S奇S偶(2n1)an+1

 

SSaSnaS偶nn+1n+1奇偶偶

（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．

（8）an、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

则

（9）等差数列{an}的前n项和Smn，前m项和Snm，则前m+n项和Smnmn

(10)求Sn的最值

法一：因等差数列前n项和是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

nN。

*

AnBn

f(n)，

anbn



(2n1)an(2n1)bn



A2n1B2n1

f(2n1).

法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和 an0即当a10，d0， 由可得Sn达到最大值时的n值．

an10

（2） “首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。 an0

即 当a10，d0， 由可得Sn达到最小值时的n值．

a0n1

或求an中正负分界项

法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，Sn取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：

①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d的方程；

②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

pq2

等差数列的性质(四)
等差数列的性质以及常见题型

等差数列的性质以及常见题型

上课时间： 上课教师： 上课重点：掌握等差数列的常见题型，准确的运用等差数列的性质 上课规划：掌握等差数列的解题技巧和方法 一 等差数列的定义及应用 1.已知数列a的通项公式为a

n

n

3n2

，试问该数列是否为等差数列。

2.已知：

思考题型;已知数列a的通项公式为a

n

n

1

11,xyz,

成等差数列，求证：

yzx

,

zxy

,

xyz

也成等差数列。

n

pn

2

qn（

p,qR,

且p,q为常数）。

（1)当p和q满足什么条件时，数列a是等差数列？ （2)求证：对于任意实数p和q，数列a

n1

an是等差数列。

二 等差数列的性质考察 （一）熟用a

n

a1(n1)dam(nm)d

，d



anamnm

问题

（注意：知道等差数列中的任意项和公差就可以求通项公式） 1、等差数列a中，a2、等差数列a中，a

nn

n

3

50

，a

5

30

2

3

a524

2

，a

，则a3，则a9

6

3

3、已知等差数列a中，a则a

n

与a6

的等差中项为5，a

与a7的等差中项为7

，



15

25

35

4、一个等差数列中a= 33，a= 66，则a=________________． 5、已知等差数列a中，a

n

p

q

，a

q

p

，则a

pq

____

．

（二)公差d的巧用 （注意：等差数列的项数）

1、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差等于_____ 2、等差数列a,a

1

2

,a3,,an

的公差为d，则数列5a,5a

1

2

,5a3,,5an

是（ ）

A．公差为d的等差数列 B．公差为5d的等差数列 C．非等差数列 D．以上都不对 3、等差数列{a}中，已知公差d

n



12

，且a

1

a3a9960

，则a【等差数列的性质】

1

a2a100

A．170 B．150 C．145 D．120

4.已知xy，且两个数列x,a,a,a,y与x,b,b,b,y各自都成等差数列，

1

2

m

1

2

n

则A

a2a1b2b1mn

等于 （ ）

m1n1

B C

nm

D

n1m1

5.一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差d为（ ）

A -2 B -3 C -4 D -5

（三）mn

stamanasat性质的应用

（注意：角标的数字） 1. 等差数列a中，若a

n

3

a4a5a6a7450

，则a

10

2

a8_____

。

2.等差数列a中，若a

n

4

a5a6a745020

，则S

_____

。

3.等差数列a中，若S

n

13

。则a，则S

7

_______

。 。

。

4.等差数列a中，若a

n

11

10

21

_______

5.在等差数列a中a

n

3

a1140

，则a

4

a5a6a7a8a9a10_______

6.等差数列a中, a

n

n

1

a2a324,a18a19a2078,则S20_____

a512

。

7.在等差数列a中，a

n

4

，那么它的前8项和S等于_______。

8

8.如果等差数列a中，a

n

3

a4a512

，那么a

1

a2a7_______

。

9.在等差数列a中，已知a

n

1

a2a3a4a520

，那么a等于_______。

3

10.等差数列a中,它的前5项和为34,最后5项和146,所有项和为234,则

a7_______

.

11.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n2+3n+1，则a1+a3+a5+…+a21=_______。 12.｛an｝为等差数列，a1+ a2+ a3=15，an+ an-1+ a n-2=78，Sn=155，则n= _______。 （四）方程思想的运用

（注意：联立方程解方程的思想）

1.已知等差数列{an}中，S3=21，S6=24，求数列{an}的前n项和S

n

2. 已知等差数列{an}中，a

3

a716

,a

4

a60

,求数列{an}的前n项和S

n

（五)S

n

,S2nSn,S3nS2n也成等差数列的应用

1、等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和_______。 2、等差数列{an}的前n项的和为40，前2n项的和为120，求它的前3n项的和为_______。 3.已知等差数列{an}中，S4.已知等差数列{an}中，a

3

4,S912, 求S15

的值.

的值

1

a2a32,a4a5a64,则a16a17a18

5.a1，a2 ， a3，…… a2n+1 为 等差数列，奇数项和为60，偶数项的和为45，求该数列的项数.

6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有_______。

7.在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝3，则a17＋a18＋a19＋a20的值是_______。 (六）a

n

n



S2n12n1

n

的运用

*

1.设S和T分别为两个等差数列a,b的前n项和，若对任意nN，都有

n

n

SnTn



7n14n27

，则

a11b11

= ________ 。

*

2.设S和T分别为两个等差数列a,b的前n项和，若对任意nN，都有

n

n

nn

snTn

=

3n14n3

，则

a7b7

= ________ 。

n

n

n

n

n

T，3.有两个等差数列a，其前n项和分别为S，若对nN有Sb，



Tn



7n22n3

成立，求

n

a5b5

=（ ）。

n

（七）a与S的关系问题; 1.数列a的前n项和S

n

n

＝3nn

2

2

，则a＝___________

n

2.数列a的前n项和S

nn

n

＝nn1，则an

2

＝___________

3.数列a的前n项和S＝n2n，则a＝___________

n

n

4.数列a的前n项和S＝3n

n

n

2

4n

，则a＝___________

n

5.数列a的前n项和S

n

n

＝21，则an

n

＝___________

6.数列{4n2}的前n项和S

n

＝______. ＝______.

2

7. 数列{4n8}的前n项和S

n

n

n

8. 数列{a}的前n项和S＝8n（八）巧设问题；

-10.则an______

一般情况,三个数成等差数列可设:ad,a,ad;四个数成等差数列可设:a3d,ad,ad,a3d.

1.三个数成等差数列,和为18,积为66,求这三个数.

2.三个数成等差数列,和为18,平方和为126,求这三个数.

3.四个数成等差数列,和为26,第二个数和第三个数的积为40,求这四个数.

4.四个数成等差数列,中间两个数的和为13,首末两个数的积为22,求这四个数.

等差数列的性质(五)
等差数列性质及习题

等差数列

1.定义：an1and(d为常数）或an1ananan1(n2) 2.等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d。

3.等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A4.等差数列的前n和：Sn5. 等差数列的性质：

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜 率为公差d；

ab

2

n(a1an)n(n1)

，Snna1d 22

n(n1)dd

dn2(a1)n是关于n的二次函数且常数项为0. 222

（2）若公差d0，则为递增等差数列， 若公差d0，则为递减等差数列， 若公差d0，则为常数列。 Snna1

（3）当mnpq2w时,则有amanapaq2aw

（4）若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn} (k、p是非零常数)、{apnq}(p,qN)、

*

Sn,S2nSn,S3nS2n ，„也成等差数列.

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇nd，S偶：S奇an1:an； 项数为奇数2n1时，S奇S偶an；S奇：S偶(n1):n。

（6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

An

f(n)， Bn

则

an(2n1)anA2n1

f(2n1). bn(2n1)bnB2n1

(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。

an0an0确定出前多少项为非负（或非正）法一：由不等式组； 或

an10

an10

法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

nN*。

专题1 等差数列的定义

1、已知数列an中，anan12(nN*,n2)，若a13,则此数列的第10项是

2、已知an1an30，则数列an是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列

3、在x和y之间插入n个实数，使它们与x，y组成等差数列，则此数列的公差为

4、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围

5、已知数列{an}中，a3=2，a7=1，又数列{

6、在等差数列an中，amn，anm (m,n∈N+),则amn

1

}为等差数列，则an=________ an1

专题2 等差数列的性质

1、在等差数列中，a1与a11是方程2x2x70的两根，则a6为

2、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=24， b1=75，且a2+b2=100，则数列{an+bn}的第100项为

3、设an是公差为正数的等差数列，若a1a2a315，a1a2a380，则a11a12a13

4、若an为等差数列，a2，a10是方程x23x50的两根，则a5a7_______

5、若lg2，lg(2x－1)，lg(2x+3)成等差数列，则x等于_______

6、等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10 A．24

（ ） D．-8

B．22

C．20

专题3 等差数列的前n项和

1、等差数列an的前n项和为sn，若a418a5，则s8等于

2、已知等差数列an中，前15项之和为S1590，则a8等于

3、 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S7=35，则a4=

（A）8

（B）7

（C）6

（D）5

专题4 等差数列的前n项和的性质

1、等差数列an共有2n1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 2、已知在数列{an}中，a1=－10，an+1=an+2，则|a1|+|a2|+|a3|+„+|a10|等于

3、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是

4、已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，Sn是等差数列an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）

A.21 B.20 C.19 D.18

5、

专题5 综合应用

1．在等差数列{an}中，如果a4+a7+a10=17，a4+a5+a6+„+a14=77， （1）求此数列的通项公式an； （2）若ak=13，求k的值。

2．三个实数a，b，c成等差数列，且a+b+c=81，又14－c，b+1，a+2也成等差数列，求a，b，c的值.

3、在等差数列an中，Sn为前n项和： （1）若a1a9a12a2020，求S20；

（2）若S41，S84，求a17a18a19a20的值；

（3）若已知首项a113，且S3S11，问此数列前多少项的和最大？

4、已知等差数列an的前三项为a1,4,2a,记前n项和为Sn． (Ⅰ)设Sk2550，求a和k的值；

(Ⅱ)设bn

Sn

，求b3b7b11b4n1的值． n

本文来源：http://www.guakaob.com/shiyongwendang/645302.html