整式乘除与因式分解复习课件

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整式乘除与因式分解复习课件(一)
整式乘除与因式分解复习讲义

整式乘除与因式分解讲义

一、知识要点： 1.乘方公式：

① amn②aman③abamn⑤a0a0)

n

m

n

2.单项式与单项式相乘的法则： 。 3. 乘法公式：

①单多：m(abc) 反过来ambmcm 提公因式

计算22

化③平方差：(ab)(ab) 反过来：ab简

②多多：(xp)(xq)= 反过来x2(pq)xpq 十字相乘

因式分解

④完全平方：(ab)2= 反过来：a22abb2= (ab)2a22abb24.把一个多项式化为 的形式，这样的变形叫因式分解（或分解因式）。 5.因为(x)2x2所以(mn)2(nm)2；因为(x)3x3所以(mn)3； 6. 单项式单项式的法则： 。 7. 多项式单项式公式：(ambmcm)m 。 二、重点题型巩固练习：

1．幂的运算 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。amanamn（m、n为正整数）

2522

1）计算 ①aa5②(-1)(-1)=③-a(-a)=

1④





11333

m

436

⑤xyyxyx

2

3

2

（2）若52,5

n

3,求5

mn3

= .。若2n264，则n= . ②332010325

（3）用简便方法计算①42410（4）m-n4,

2

4

（5）aa



mn38，则mn 。





a

3

a5a

a

12

n

(2)幂的乘方:幂的乘方，底数不变，指数相乘。amamn（m、n为正整数） 1）计算①102②x5an2④ xy

3

2

3



34



（2）若a

2n1

5,求a

6n3

的值。（3）已知n为正整数，且x

2n

3,求9x



3n

2

的值。

3

（4）计算① 2

3

2

②2x3x4x4x5x7=

4

2

（5）如果28n16n2222，求n的值。（6）已知3m6，9n2，求32m4n1的值。

(3)积的乘方:积的乘方，等于把积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

abn

nn

ab（n为正整数）

121）计算① 

ab

2



4

1

 ② 2ab③ 

3

2009

2

2

2009



2008

2009

④0.125

20

4

20

2

20

6x



2

【整式乘除与因式分解复习课件】

2

3x

3

2

x⑥0.53

33

2

11

（2）若anbmba9b15,求2mn的值。

3

（3）比较375与2100的大小（4）已知P=ab3,那么P2= （5）33

2

2

615

(4)同底数幂的除法:同底数幂相除，底数不变，指数相减。

（m、n为正整数，m>n，a0） 1）计算①xx②xyxya10a68

3

4

2

③ababab④a3a4a2a38

4

333

（2）已知am6,an5,ap2,则amnp3x5,3y2,求32x3y 。 （3）计算（1）27m9m3 x2y

a

b

c



33

2yx

24

（4）已知2a-3b-4c=4,求48164的值。

2.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘 将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式。 例题：（1）计算①2xy练习：（1）

2

3xy5xy

22

3

xy③210

4

3

n



2

15106

2a

4ab

2x2

2



2

12xy

3

13（2）先化简，在求值ab2abc

2



3

11

abc，其中a=-1,b=1,c=-1 28

如果单项式3x2aby2与1

3x

3ab

y

5a8b

是同类项，那么这两个单项式的积为 。

（2）单项式与多项式相乘 将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。 1）计算①2xyxxyy

2

2

 ②a

3

2a3a4b5c

（2）已知3a2a52a13a26，则a= 。

（4）已知2x3x2ax63x3x2中不含有x的三次项，试确定a的值。

2

（5）当，x

16

求代数式xx6x8xx8x102x3x的值。

2

2



（7）解方程：2xx1x2x512

（8）解不等式：2x(x1)x(3x2)2x2x21

（3）多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 （a+b）(m+n)=am+bm+an+bn

1）计算 ①（2x-3y）(4x+5y)= ②2(2a-5)(3a22a1)= （2）化简a4a3a1a3，并计算当a

13

时的值。

（3）如果a2a1，那么（a-5）。

（4）如果x+q与x+0.2的积中不含有x项，则q的值为 。 （5）若使xx2a3x2bx35x4恒成立，则 （6）已知x=(a+3)(a-4)，y=(2a-5)(a+2)，比较x,y的大小。 3.乘法公式(1)平方差公式：

两数和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差。abab

a2b2

1）计算①(4x+5y)(4x-5y) ②(-4x-5y)(-4x+5y) ③(m+n+p)(m+n-p) ④ m+n-p)(m-n+p) ⑤a2b2a2b2 ⑥ababa2b2a4b4

23

13

（2）用简便方法计算①103×97 ②1415③

2008

2

200720091

④ 112×108

（3）计算① 1





11111

1111 22222

234910

y

x

（4）已知xy12，x+y=6,求xy的值。

(2)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）这两数积的2倍。

22

ab2a2abb aba2abb

2

2

2

2

2

2

2

2

1）计算① 3x2y ②3a2b ③abc ④abab （2）用简便方法计算① 299 ②101 （3）填空① abab

2

2

22

② ab2

2

ab

2

③ a

2

1a

2

1

a

a

2



1

a

a



112214 1）nmn_______mn________

9493

2

（2）如果4x2kx25是一个完全平方式，那么。 （3）已知a2b213,ab6，则ab _______,

2

2

2

ab2

_________

。

（4）已知ab7,ab4，则a2b2________,ab_________. （5）已知x

1x

3,则x

2

1x

2

___________.

2

（6）已知a,b,c为△ABC的三边，试确定a2b2c24a2b2的符号。

4．整式的除法（1）单项式除以单项式 把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5

1）计算①axyaxy

6

2

4

3

2

45

 ②32abc16ab



2

332ab 8

2

③21032103 ④abab

2

5

2

（2）化简x18x3



23



x

2

x3

x



2



2

（3）已知有四个单项式：2x2y,2x3y2,

4xy2,3xy，请你用加减乘除四种运算中的一种或几种，使它们的结果为x2，请你写出算式。

（2）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 1）计算①8x2y4x4y36x2y ②a22abb2ab

③xyxy

2



2

2xy



3

3

2

2

（2）化简求值xyxyxy2x，其中x=3,y=1.5。

2



（3）若多项式M与

xy2

的乘积为4xy3xy

2

xy2

，则M为

（4）长方形的面积为4x6xy2x，若它的一条边为2x，则它的周长是 。 （5）已知多项式3xaxbx1能被x1整除，且商式为3x+1，求a的值。

3

2

2

b

5．因式分解( )

① am+bm-1=m(a+b)-1 ②x25x4xx5



4

 x

2

2

③x4x4x16 ④a＋2ab＋b

22

＝(a+b) ⑤x2x6x2x3

（2）公因式：多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式。 3xy,2xy,5xyz的公因式。

2

3

2

3

2

（3）提取公因式法：把公因式提出来，多项式ma+mb+mc就可以分解成两个因式m和（a+b+c）的乘积，这种因式分解的方法，叫做提取公因式法。

1）用提取公因式法分解因式

①4a316a226②xmxymx③m2(a2b2)mn(a2b2)mp(a2b2) （2）用简便方法计算① 999（3）如果3x2mxy

2

2

999 ②13.7×9＋13.7×11－1.37×20 ③2

2

2009

2

2010

3xx4y13

，那么m的值为x

32

xyz3xyz

2

2

n2

3x

n1

（4）当x2y3z,xyz2，求

92

xyz

2

的值。

（4）公式法：将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法成为公式法。

1）用平方差公式分解因式①

49

a0.01b ② xy9y

2

2

2

2

（2）用简便方法计算① 535

2

465 ② 9.9×10.1 ③

2

1000252

2

2

2

248

2

（1）分解因式① xaxb ② 16xy9xy

2

2

2

1）用完全平方公式分解因式① xx（2）用简便方法计算：① 202

2

2

14

②x24x8x24x16

2

2

98202196 ② 99101

10001

1）分解因式① x2y26x9 ②x24y216x2y2

2

（2）已知a,b,c是△ABC的三条边，①判断acb2的值的正负。②若a,b,c满足

2

ac2bbac0，判断△ABC的形状。

2

2

（5）十字相乘法：x(ab)xab=(xa)(xb)（a、b是常数）

a1a2xa1c2a2c1c1c2a1xc1a2c2

2

2

6xx2 ②5x6xy8y ③2ab7ab3

2

222

整式乘除复习题

练习一：同底数幂的乘法

1、aa=___ ； 2、101010=___ ；3、mm=___ ；

2

3

2

6

5

4、a

2n

a

n1

5、822 6、xyyxxy=___ _

3【整式乘除与因式分解复习课件】

5

5

2

整式乘除与因式分解复习课件(二)
整式乘除与因式分解复习

整式的乘除与因式分解复习

一、选择题

1．计算2x(3x)的结果是( ) 23

A.6x5 B.6x5 C.2x6 D.2x6

2．若xy3m1xmny2n2x9y9,则m+n等于( )【整式乘除与因式分解复习课件】

A.4 B.5 C.6 D.8

3．若(x1)1,则x的取值范围是( )

A.x=1 B.x≠1 C.x>1 D.x≥1

4.a、b互为相反数，且ab≠0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) 0

A.an与bn B.2n与b2n C.a2n1与b2n1 D.(a)2n2与(b)2n2

5．下列运算中气正确的是( )

A.x3x4x12 B.(6x6)(2x2)3x3 C.(2a)24a2 D.(x2)2x24

6．如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是( )

A.2m+3 B.2m+6 C.m+3 D.m+6

7．若xab,yab,则xy的值为( )

A.2a B.2b C.ab D.ab

8．如图，用观察图形来推导下列哪个式子成立( )

A.(ab)2a22abb2 B.(ab)2a22abb2

C.(ab)(ab)a2b2 D.(ab)2a2abb2

9．规定一种运算:a*babab,则a*(b)a*b计算结果为( )

A.O B.2a C.2b D.2ab

10.若m=7-n，则2m4mn2n6的值为( )

A.92 B.86 C.93 D.90

1122(1)x2(5)2(x5)(x5);(2)x2y2(xy)2;(3)(ab)2(ab)2;

(4)(3ab)(b2a)3ab2abab中，其中计算正确的个数有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

12.山东省各地区学校与美国康州中小学建立友好姊妹学校关系，双方互通学校资讯，加强教学学术研究及交流，不断增进友好往来．青岛一中全校校团支部组织学校将自制的“2008年奥运帆船”纪念品寄给美国法明顿中学学生，这些纪念品可以平均分给法明顿中学的(n+3)名同学，也可以平均分给法明顿中学的(n-2)名同学（n为大于3的正整数）．用代数式表示这些纪念品的数量不可能的是( )

A.n2n6 B.2n22n12 C.n2n6 D.n3n26n

二、填空题

x2y21513.方程组的解为_____________.

xy5

14.若n为正整数，且a2n3,则(3a3n)2(27a4n)的值为_____________.

215.当a1时，则(a1)a(a1)的值为_____________.

16.如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a+2b)、宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片_____________张，

三、解答题

17.已知a2,a3,求amnm2b的值．

18.解下列方程或不等式：

(1)（x+2）（x-3）-（x-6）（x-1）=0： (2)（-x+3）（2x-2）≤（x-4）(l-2x)

19.计算： (1)(2ab+6c)(ab-3c); (2)(ab

2347.1261ab)(ab3)2. 93

1a3,b20.先化简，再求值：(ab)(ab)(ab)2a,其中 322

21.用简便方法计算：

; (3)2012200202(1)2002219982; (2)9991001;

(4)220015220006219995000.

22.分解因式：

(1)4x29; (2)x24x4;

(3)(ab)22(ab)1; (4)(2nm)26(2nm)(mn)9(mn)2

23．如图，有A.B、C三种不同型号的卡片若干，其中A型是边长为a的正方形，B型是长为b，宽为a的矩形.C型是边长为b的正方形．

(1)请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式的图形（要求三种型号的卡片都用上），这个乘法公式是＿＿＿

(2)现有A型卡片1个，B型卡片6个，C型卡片10个，从这17个卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都有哪些情况？请你通过运算说明理由，

24.仔细阅读下面例题，解答问题：

例题：已知二次三项式x2 -4x +m有一个因式是(x+3)，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得

2 x-4x +m = (x +3) (x +n)

22则x－4x+m=x+(n+3)x+3n

∵ m=3n

n= -7，m=-21

∴另一个因式为（x-7），m的值为- 21

问题：仿照以上方法解答下面问题：

2已知二次三项式2x +3x -k有一个因式是（2x -5），求另一个因式以及k的值.

25.已知x2xy10y260,求x+2y的值

26.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平分差，那么称这个正整数为“神秘数”．如2242024,422212,624220,因此4，12，20都是“神秘数”？

(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？

(2)设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

(3)两个连续奇数的平方数（取正数）是神秘数吗？为什么？

27.代数式(2x1)5的运算可以转化为五个多项式(2x1)(2x1)(2x1)(2x1)(2x1)相乘，按多项式乘法法则，展开合并同类项后其乘积为：a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0,其中a5、a4、a3、a2、a1、a0.为乘积展开式各项的系数，因此，(2x1)5a5x5a4x4a3x3t2a1xa0

(1)其中a0与a5的值；

(2)求a0a1a2.a4a5的值；

(3)求(a0a2a4)2(a1a3a5)2的值：

整式乘除与因式分解复习课件(三)
整式的乘法与因式分解专题复习

整式的乘法与因式分解专题复习

一、 知识点总结：

1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母

也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：2a2bc的 系数为2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项

的次数叫多项式的次数。 如：a22abx1，项有a2、2ab、x、1，二次项为a2、2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、 整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、 同底数幂的乘法法则：amanamn（m,n都是正整数）

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。

(ab)(ab) 如：(ab)

5、 幂的乘方法则：(a)a

mn

mn

235

（m,n都是正整数）

52

10

幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(3)3 幂的乘方法则可以逆用：即a如：4(4)(4)

6、 积的乘方法则：(ab)ab（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：（2xyz)=(2)(x)(y)z32xyz

7、 同底数幂的除法法则：amanamn（a0,m,n都是正整数，且mn) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)(ab)(ab)ab 8、 零指数和负指数；

4

3

3

3

3

2

5

5

35

25

5

15

10

5

n

n

n

6

23

32

mn

(am)n(an)m

a01，即任何不等于零的数的零次方等于1。

ap

1

（a0,p是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的ap

倒数。

如：23()3

121 8

9、 单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只

在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：

①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：2xyz3xy 10、

单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

2

3

即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)

注意：

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：2x(2x3y)3y(xy)

11、 多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 如：

(3a2b)(a3b)(x5)(x6)

2

2

12、

平方差公式：(ab)(ab)ab注意平方差公式展开只有两项

公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。 如：(xyz)(xyz) 13、

完全平方公式：(ab)a2abb

2

2

2

公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意：

a2b2(ab)22ab(ab)22ab (ab)2(ab)24ab

(ab)2[(ab)]2(ab)2 (ab)2[(ab)]2(ab)2

完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

14、 三项式的完全平方公式：

(abc)2a2b2c22ab2ac2bc

15、 单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如：7a2b4m49a2b

16、 多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。 即：(ambmcm)mammbmmcmmabc 17、 因式分解：

常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……

二、知识点分析：

1. 同底数幂、幂的运算： am·an=am+n(m，n都是正整数). (am)n=amn(m，n都是正整数).

1、 若2a264，则a= ；若273(3)，则n= . 2、 计算x2y

n

8



3n

2yx

2m

3、 若a2n3，则a6n

2.积的乘方

(ab)n=anbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 1、 计算：nm3.乘法公式

平方差公式：ababab

2

2

22

完全平方和公式：aba2abb

2

22

完全平方差公式：aba2abb

2



3p

mnnm

p4

1)

利用平方差公式计算：2009×2007－20082 2) （a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）

三，变式练习

1．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？．

2. 已知x1x2, 求x21

x

2的值

3、已知(xy)2

16, (xy)2

＝4 ，求xy的值

4.如果a2

＋b2－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值

5一个正方形的边长增加4cm ，面积就增加56cm ，求原来正方形的边长

4.单项式、多项式的乘除运算

1) （a－1b）（2a＋1b）（3a2＋1

b26312

）；

2） [（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．

3）已知2xy13

，xy2，求 2x4y3x3y4

的值。

4）若x、y互为相反数，且(x2)2

(y1)2

4，求x、y的值

四，提高练习

1．（2x2－4x－10xy）÷（ ）＝

12x－1－52

y． 2．若x＋y＝8，x2y2＝4，则x2＋y2＝_________．

3．代数式4x2＋3mx＋9是完全平方式则m＝___________． 4．（－a＋1）（a＋1）（a2＋1）等于（ ）

（A）a4－1 （B）a4＋1 （C）a4＋2a2＋1 （D）1－a4

5．已知a＋b＝10，ab＝24，则a2＋b2的值是（ ）

（A）148 （B）76 （C）58 （D）52 6．（1）（x4＋3y）2－（x

4

－3y）2； （2）（x2－2x－1）（x2＋2x－1）；

7．（1－122）（1－132）（1－142）…（1－192

）（1－1102）的值．

8．已知x＋1＝2，求x211

x＋x2，x4＋x

4的值．

．已知（a－1）（b－2）－a（b－3）＝3，求代数式a2b2

92

－ab的值．

10．若（x2＋px＋q）（x2－2x－3）展开后不含x2，x3项，求p、q的值．

本文来源：http://www.guakaob.com/shiyongwendang/647923.html