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第十三章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第一节 不等式
1.经历从具体问题情景中建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感. 2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示同类量之间关系的重要数学模型.
3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要.
1.用等号或不等号填空： ⑴0_____-32；⑵ 3.3_____
310
； ⑶ a2
_____0；⑷﹙3-x﹚2
_____﹙x-3﹚2
．
2.某种零件的长度表明为L=50±0.3,则此 零件长度L的范围是________________. 1.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． 2.不等号的读法；例如：“＞”读作大于． 3.不等号的意义：例如：“＞”表明左边的 量大于右边的量.
1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子 叫做不等式. 2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相 应的不等式的过程叫做列不等式. 3.判断使不等式成立的值的方法：
将数值代入不等式的左、右两边，如果合 不等号所表示的不等关系，则数值就为所 . 例1.在下列表达式中： (1)-2＜0, (2)x-3y
≥1, (3)5a+1=0, (4)7x+3≠y,(5)a2+2ab-b2
是不等式的________________________(只填序号).
点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是要看式子中是否含有不等号，因此答案是（1）（2）（4）. 例2.列不等式： （1）x的3倍与x的
1
2
的差是非正数. （2）a的2倍与b的差不小于4.
（3）x与y两数的平方和不可能小于5. （4）小红家有3口人，人均住房面积不足
20平方米，则她家的住房面积x平方米可表示为. 点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关
系，解决这类问题的重点是抓住关键词，弄清不等关系. 解：（1）3x-
1
2
x≤0；(2)2a-b≥4； （3）x2+y2
≥5； （4）x3
＜20.
例3.用A、B两种原料配置成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
现配制成此饮料12千克，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x(千克)应满足的不等式为___________；若购买A、B两种原料D的费用不超过70元，则x(千克)应满足的另一个不等式为____________.
点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读
图表提供的信息，结合题中的已知条件即可得到关系式. 解：500x+200(12-x)≥4000,
7x+3(12-x)≤70.
1.下列各式(1)a＋3,(2)
P=
2a1
的大小关系是__________. 3
2
,(3)5a－x4
2b=7,(4)m≥0,(5)y≠3,(6)＜3,属于
5a
不等式的有 （ ） 10.某市化工厂现有甲种原料290千克、乙种原料212千克，计划利用这两种原料生产产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克、乙种原料1.5千克，生产一件B产品需要甲种原料2.5千克、乙种原料3.5千克，若该化工厂现有的A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.当x取2时，下列不等式成立的是（ ） A.x＋2＞0 B.x＋2＜0 C.x－2＞0 D.x－5＞0 3.用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是_________________．
4.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都1g，则物体A的质量 mg 的取值范围为_______．
5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表：
按这样的规定，一个年龄为70岁的人，他的“老人系数”为_____________. 6.请你写出一个整数x,使不等式
1
2
x74成立，这个数是____________.
7.用“＜”号表示-(-3)2
,
23
4
,(2)3的大小关系：_________________________. 8.若a+b＜0,且︱a︱＞︱b︱,a,-a,b,-b的大小关系是_______________________. 9.若实数a＞1,则实数 M=a, N=
a2
3
,
原料能保证生产，试写出满足生产A产品x件的关系式.
比较下面两列算式结果的大小： 52+42
______2³5³4, (-2)2
+(
2223)_________2³(-2)³3
, 32
+32__________2³3³3,„.
通过观察，归纳比较
20092+20102_________2³2009³2010,写出能反映这种规律的一般结论，并证明你结论的正确性.
第二节 不等式的基本性质
1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不 等式变形和等式变形的区别和联系． 2.掌握不等式的基本性质． 3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻 研精神，同时加强同学间的合作与交流．
(3)若a＜b,则-1+5a________-1+5b, (4)若a≥b,则
ab
_________, 33
2
2
(5)若a＞b,则-ac__________-bc. 点拨：解此类题的关键是先观察不等号的
左、右两边是由原不等式进行了怎样的变形得到的，然后依据不等式的三1.设a＜b,请用“＞”或“＜”填空. (1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3, (3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b． 2．将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式： ≤2． 等式的基本性质：
1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立．2.等式两边同时除以同一个数（除数不能为1.不等式的三条基本性质：
基本性质1：如果a＞b,那么a＋c＞b＋c,a－c＞b－c.
基本性质2：如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc.
基本性质3：如果a＞b,并且c＜0,那么ac＜bc.
2.对基本性质的理解：
(1)对于性质1，须注意的是“c既可以代表数，也可以代表整式”．
(2)对于性质2、3，须注意的是“c的正负性”,如果c为正数，不等号的方向不改变；反之，变号.如果c为0时，不等式两边都乘0时，变为等式；若除以0，例1.用不等号填空：
(1)若a＜b,则a-3_________b-3, (2)若a＞b,则2a__________a+b,
条基本性质决定不等号是否要变向.注意c可能为0的情形.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＜
(4)≤ (5)≤
例2.依据不等式的基本性质，把下列不等式
化为x＞a或x＜a的形式：
(1)-3x+1≤2x, (2)2(y+3)≥10． 点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照
不等式的基本性质进行变形，应先观察不等式的特点，再根据其特点选用相应的不等式的基本性质进行变形. 解：（1）-3x+1≤2x
-3x+1-1≤2x-1(不等式基本性质1) -3x≤2x-1
-3x-2x≤2x-1-2x(不等式基本性质1) -5x≤-1
5x5≥1
5(不等式基本性质3) x≥1
5
(2) 2(y+3)≥10
2(y+3)÷2≥10÷2(不等式基本性质2) y+3≥5
y+3-3≥5-3(不等式基本性质1) y≥2
例3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问题，小明说：当每个梨的大小一样时，5个梨的质量大于4个梨的质量，设每个梨的质量为x，则有5x＞4x, 小刚说：这肯定正确. 小明又说：那如果a为有理数，则5a一定大于4a,这对吗？小刚说：这与5x＞4x不是一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？试说明理由.
点拨：要判断5a与4a的大小关系，与前面5x＞4x是不同的，因为题中很明确x＞0,而
a的取值情况不能确定，因此必须分情况讨论.
解：小刚回答不正确，5a不一定大于4a，因为a的取值不确定，应分三种情况讨论.当a＞0时，由不等式基本性质2，得5a＞4a；当a＜0时，由不等式基本性质3，得5a＜4a；当a=0时，5a=4a=0.
1.若m＜n，比较下列各式的大小： (1)m-3__________n-3； (2)-5m__________-5n； (3)
m3__________n3
； (4)3-m__________2-n； (5)0____________m-n； (6)
32m34_____2n
4
. 2.x＜y得到ax＞ay的条件应是
__________.
3.满足－2x＞－12的非负整数有________________________.
4.如果m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ） A．m－9＜n－9 B．－m＞－n C．
1n1m D．m
n
1 5．若a－b＜0，则下列各式中一定正确（ ） A．a＞b B．ab＞0 C．
a
b
0 D．－a＞－b 6.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如 图所示，则下列式子正确的是 （ ）
A．cb＞ab B．ac＞ab C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
7.2a与3a的大小关系 （ ） A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定
8.a为有理数，下列给出的结论正确的是
A.a2
＞0 ( )
B.若a＜0,则a2
＞0
C.若a＜1,则a2
＜1
D.若a＞0,则a2
＞a
9.已知x≥4,化简：2x362x
⑴ 2＞1＞0，4＞3＞0，2³4____3³1； ⑵8＞
54＞0,3＞73＞0,8³3____5743
；你从中发现的数学规律是什么？请试举几例验证一下.【冀教版chuzhong数学上册教案】
第三节 一元一次不等式 第一课时 一元一次不等式的解法
1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法． 2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一元一次方程的过程进行类比，发现异同． 3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法.
1.下列说法正确的是 ( ) A.不等式x＜5的整数解有无数多个 B.不等式x＜5的正整数解有无数多个 C.不等式-2x＞8的解集为x＞-4 D.-40是不等式2x＜8的一个解．
2.下列不等式是一元一次不等式的是( ) A.x(2-x)≥1 B.
x23
x
6 C.2x-5y+2＜0 D.3(1-y)>4y+2 3.解下列不等式：
≥x+6． 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
1.明确几个基本概念： (1)不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
判断某个未知数是不是不等式的解，可以直接将其代入到不等式中，然后看不等式是否成立，如果成立则是不等式的解；反之，则不是不等式的解． (2) 不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合.简称为这个不等
式的解集．
不等式一般有无限多个解． (3) 解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 2.解集在数轴上的表示方法： 理解“两定”：一是定边界点，二是定方向；
口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号的画实心，无等号的画圆圈. 3.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式. 例1.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x－2.5≥15；（2）5x+3y＞240； （3）x＜－4；（4）
1x
＞1.(5)x2
-2x-1≤0；(6)2(1-y)+y＞4y+2． 思路分析：要判断一个不等式是否是一元一次不等式，不能只看形式，要看化简以后的结果，而且含有未知数的式子都是整式.答案是(1)(3) (6).
例2.解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不等式的基本性质解次不等式. 解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得3＜3x+6
两边都加上－6,得3－6＜3x+6－6 合并同类项，得－3＜3x 两边都除以3，得－1＜x 即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例3.解不等式(k+2)x＞5. 点拨：当未知数的系数不确定正、负时，需对其进行讨论.
第十三章 一元一次不等式和一元一次不等式组
第一节 不等式
1.经历从具体问题情景中建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感. 2.了解不等式的意义，认识到不等式是表示同类量之间关系的重要数学模型.
3.体会现实生活中存在着大量的不等关系，学习不等式的有关知识是生活和工作的需要.
点拨：要看一个表达式是否是不等式，就是要看式子中是否含有不等号，因此答案是（1）（2）（4）. 例2.列不等式： （1）x的3倍与x的
1
的差是非正数. 2
1.用等号或不等号填空： ⑴0_____-32；⑵ 3.3_____
2
2
3； 10
2
（2）a的2倍与b的差不小于4.
（3）x与y两数的平方和不可能小于5. （4）小红家有3口人，人均住房面积不足
20平方米，则她家的住房面积x平方米可表示为. 点拨：不等式反映的是代数式之间的不等关
系，解决这类问题的重点是抓住关键词，弄清不等关系. 解：（1）3x-
⑶ a_____0；⑷﹙3-x﹚_____﹙x-3﹚．
2.某种零件的长度表明为L=50±0.3,则此 零件长度L的范围是________________. 1.不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． 2.不等号的读法；例如：“＞”读作大于． 3.不等号的意义：例如：“＞”表明左边的 量大于右边的量.
1
x≤0；(2)2a-b≥4； 2
x22
（3）x+y≥5； （4）＜20.
3
例3.用A、B两种原料配置成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
1.不等式的定义：用不等号连接而成的式子 叫做不等式. 2.列不等式：依据题目中的不等关系列出相 应的不等式的过程叫做列不等式. 3.判断使不等式成立的值的方法：
将数值代入不等式的左、右两边，如果合 不等号所表示的不等关系，则数值就为所 . 例1.在下列表达式中： (1)-2＜0, (2)x-3y
22
≥1, (3)5a+1=0, (4)7x+3≠y,(5)a+2ab-b是不等式的________________________(只填序号).
现配制成此饮料12千克，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x(千克)应满足的不等式为___________；若购买A、B两种原料D的费用不超过70元，则x(千克)应满足的另一个不等式为____________.
点拨：此题为图表信息的应用题，仔细阅读
图表提供的信息，结合题中的已知条件即可得到关系式. 解：500x+200(12-x)≥4000,
7x+3(12-x)≤70.
P=
2a1
的大小关系是__________. 3
10.某市化工厂现有甲种原料290千克、乙1.下列各式(1)a＋3,(2)
2
x,(3)5a－2b=7,(4)m≥0,(5)y≠3,(6)4
5a
＜3,属于
不等式的有 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.当x取2时，下列不等式成立的是（ ） A.x＋2＞0 B.x＋2＜0 C.x－2＞0 D.x－5＞0 3.用不等式表示“7与m的3倍的和是正数”就是_________________．
4.如图，天平右盘中的每个砝码的质量都1g，则物体A的质量 mg 的取值范围为_______．
5.(09.舟山)日常生活中，“老人”是一个模糊概念，有人想用“老人系数”来表示一个人的老年程度，其中一个人的“老人系数”计算方法如下表：
按这样的规定，一个年龄为70岁的人，他的“老人系数”为_____________. 6.请你写出一个整数x,使不等式
1
2
x74成立，这个数是____________.
7.用“＜”号表示-(-3)2
,
23
,(2)34
的大小关系：_________________________. 8.若a+b＜0,且︱a︱＞︱b︱,a,-a,b,-b的大小关系是_______________________. 9.若实数a＞1,则实数 M=a, N=
a2
3
, 种原料212千克，计划利用这两种原料生产产品共80件，生产一件A产品需要甲种原料5千克、乙种原料1.5千克，生产一件B产品需要甲种原料2.5千克、乙种原料3.5千克，若该化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产A产品x件的关系式.
比较下面两列算式结果的大小： 52+42
______2³5³4, (-2)2
+(
23)2_________2³(-2)³23
, 32
+32__________2³3³3,„.
通过观察，归纳比较
20092+20102_________2³2009³2010,写出能反映这种规律的一般结论，并证明你结论的正确性.
第二节 不等式的基本性质
1.经历不等式基本性质的探究过程，体会不 等式变形和等式变形的区别和联系． 2.掌握不等式的基本性质． 3.通过对不等式性质的探索，培养大家的钻 研精神，同时加强同学间的合作与交流．
(3)若a＜b,则-1+5a________-1+5b, (4)若a≥b,则
ab
_________, 33
2
2
1.设a＜b,请用“＞”或“＜”填空. (1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3, (3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b． 2．将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式： ≤2． 等式的基本性质：
1.等式两边同时乘同一个数，等式仍成立． 2.等式两边同时除以同一个数（除数不能为1.不等式的三条基本性质：
基本性质1：如果a＞b,那么a＋c＞b＋c,a－c＞b－c.
基本性质2：如果a＞b,并且c＞0,那么ac＞bc.
基本性质3：如果a＞b,并且c＜0,那么ac＜bc.
2.对基本性质的理解：
(1)对于性质1，须注意的是“c既可以代表数，也可以代表整式”．
(2)对于性质2、3，须注意的是“c的正负性”,如果c为正数，不等号的方向不改变；反之，变号.如果c为0时，不等式两边都乘0时，变为等式；若除以0，例1.用不等号填空：
(1)若a＜b,则a-3_________b-3, (2)若a＞b,则2a__________a+b,
(5)若a＞b,则-ac__________-bc. 点拨：解此类题的关键是先观察不等号的
左、右两边是由原不等式进行了怎样的变形得到的，然后依据不等式的三条基本性质决定不等号是否要变向.注意c可能为0的情形.
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＜
(4)≤ (5)≤
例2.依据不等式的基本性质，把下列不等式
化为x＞a或x＜a的形式：
(1)-3x+1≤2x, (2)2(y+3)≥10． 点拨：在不等式变形的过程中，要严格按照
不等式的基本性质进行变形，应先观察不等式的特点，再根据其特点选用相应的不等式的基本性质进行变形. 解：（1）-3x+1≤2x
-3x+1-1≤2x-1(不等式基本性质1) -3x≤2x-1
-3x-2x≤2x-1-2x(不等式基本性质1) -5x≤-1
5x1
≥(不等式基本性质3) 551
x≥
5
(2) 2(y+3)≥10
2(y+3)÷2≥10÷2(不等式基本性质2) y+3≥5
y+3-3≥5-3(不等式基本性质1) y≥2
例3.小明与小刚讨论一个关于不等式的问题，小明说：当每个梨的大小一样时，5个梨的质量大于4个梨的质量，设每个梨的质量为x，则有5x＞4x, 小刚说：这肯定正确. 小明又说：那如果a为有理数，则5a一定大于4a,这对吗？小刚说：这与5x＞4x不是一回事吗？自然对.请问：小刚说的对吗？试说明理由.
点拨：要判断5a与4a的大小关系，与前面5x＞4x是不同的，因为题中很明确x＞0,而
a的取值情况不能确定，因此必须分情况讨论.
解：小刚回答不正确，5a不一定大于4a，因为a的取值不确定，应分三种情况讨论.当a＞0时，由不等式基本性质2，得5a＞4a；当a＜0时，由不等式基本性质3，得5a＜4a；当a=0时，5a=4a=0.
C.若a＜1,则a＜1
2
D.若a＞0,则a＞a
9.已知x≥4,化简：2x362x
⑴ 2＞1＞0，4＞3＞0，2³4____3³1； ⑵8＞
2
1.若m＜n，比较下列各式的大小： (1)m-3__________n-3； (2)-5m__________-5n； (3)
mn__________； 33
(4)3-m__________2-n； (5)0____________m-n； (6)
32m32n
_____. 44
5757＞0,3＞＞0,8³3____； 4343
2.x＜y得到ax＞ay的条件应是
__________.
3.满足－2x＞－12的非负整数有________________________.
4.如果m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ） A．m－9＜n－9 B．－m＞－n C．
你从中发现的数学规律是什么？请试举几例验证一下.
11m
D．1 nmn
5．若a－b＜0，则下列各式中一定正确（ ） A．a＞b B．ab＞0 C．
a
0 D．－a＞－b b
6.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如 图所示，则下列式子正确的是 （ ）
A．cb＞ab B．ac＞ab C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b
7.2a与3a的大小关系 （ ） A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定
8.a为有理数，下列给出的结论正确的是
2
A.a＞0 ( )
2
B.若a＜0,则a＞0
第三节 一元一次不等式 第一课时 一元一次不等式的解法
1.使学生正确理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在数轴上表示不等式的解的集合的方法． 2.会解简单的一元一次不等式，并能和解一元一次方程的过程进行类比，发现异同． 3.培养学生观察、分析、比较的能力，并初步掌握对比的思想方法.
式的解集．
不等式一般有无限多个解． (3) 解不等式
求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 2.解集在数轴上的表示方法： 理解“两定”：一是定边界点，二是定方向；
口诀记忆：大于向右，小于向左，有等号的画实心，无等号的画圆圈. 3.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式. 例1.下列不等式是一元一次不等式吗？ （1）2x－2.5≥15；（2）5x+3y＞240； （3）x＜－4；（4）
1.下列说法正确的是 ( ) A.不等式x＜5的整数解有无数多个 B.不等式x＜5的正整数解有无数多个 C.不等式-2x＞8的解集为x＞-4 D.-40是不等式2x＜8的一个解．
2.下列不等式是一元一次不等式的是( ) A.x(2-x)≥1 B.
12
＞1.(5)x-2x-1≤0； x
x3
6 2x
C.2x-5y+2＜0 D.3(1-y)>4y+2 3.解下列不等式：
≥x+6． 一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
1.明确几个基本概念： (1)不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
判断某个未知数是不是不等式的解，可以直接将其代入到不等式中，然后看不等式是否成立，如果成立则是不等式的解；反之，则不是不等式的解． (2) 不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合.简称为这个不等
(6)2(1-y)+y＞4y+2． 思路分析：要判断一个不等式是否是一元一次不等式，不能只看形式，要看化简以后的结果，而且含有未知数的式子都是整式.答案是(1)(3) (6).
例2.解不等式3－x＜2x+6，并把它的解集表示在数轴上.
点拨：类比解一元一次方程的过程，运用不等式的基本性质解次不等式. 解：两边都加上x，得
3－x+x＜2x+6+x
合并同类项，得3＜3x+6
两边都加上－6,得3－6＜3x+6－6 合并同类项，得－3＜3x 两边都除以3，得－1＜x 即x＞－1.
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
例3.解不等式(k+2)x＞5. 点拨：当未知数的系数不确定正、负时，需对其进行讨论.
冀教版轴对称教学设计
教学设计思想：
学生生活在图形世界中，许多美丽的事物往往与图形的对称联系在一起，教材提供了飞机、脸谱、蝴蝶、奖杯等图片，目的是使学生从这些图形中抽象出它们的共同特征，教材在安排上通过学生观察图片，鼓励学生探索轴对称现象的共同特征，又给学生的自主探索留有很大的空间。轴对称现象是学生新接触的一个教学内容。学生需具备初步的几何识别能力，观察能力和分析问题的能力，教学中充分利用这部分内容的特点，要求学生体会所学内容与现实世界的广泛联系，体会轴对称的数学内涵和文化价值。
教学目标：
知识与技能：
1．通过生活中的具体实例认识轴对称，能说出轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念。
2．能识别简单的轴对称图形，画出其对称轴，找到对称点
3．探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质．
过程与方法：
在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念。
情感态度价值观：
欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应泛运用和它的丰富文化价值。
教学重点：
掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质，轴对称的性质。
教学难点：
轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。
教具准备：
多媒体或关于轴对称的图片
学生课前准备：
每人准备一张纸和一把剪刀
课时安排
1课时
教学过程：
一、情景创设
在生活中，许多事物与图形紧密联系在一起。现在老师给大家准备了一些生活中的常见的事物图案和标志，请大家观赏。（投影显示）
[教学说明：创设情景将生活中的对称图案和标志展示出来，引导学生将生活中的对称美牵引到数学中来]
二、探索研讨
（一）轴对称图形和轴对称
1．看一看，想一想
细心观察一些日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？（投影显示）
请同学们细心观察动画后，总结出轴对称图形的概念（投影显示）
定义：
如果一个图形沿着某条直线对折，对折后的两面部分能够完全重合，就称这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。
在我们的现实生活中有很多物体的平面图形是轴对称图形，你能举例说说吗？
2．做一做（活动）
将同学们准备好的一张纸对折后，用笔沿着折线画一条直线，然后从折叠处剪出一个你喜欢的图形，想一想,展开后会是一个什么样的图形？
试着画出它的对称轴
[教学说明：让同学们从动手实践中总结出结论：剪出来的图形关于折线对称]
3．谈一谈
观察下列两组图片：
你发现这些图片由什么共同特征？
总结：每组图片中都有两个图形，并且沿着一条直线对称后，这两个图形完全重合，我们就说这两个图形成轴对称，这两条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点（即对折后两图形中互相重合的点）叫做对称点。
4．练一练
（1）游戏：三位同学起立，中间的同学作为对称轴，左边的同学做一个姿势，右边的同学也做一个姿势，使得左右两边成对称关系。
（2）抢答：生活中不仅有些物体的形状是轴对称图形，我们所学的数字、字母和汉字中也有一些可以看成轴对称图形。例如：0，1，A ，口，工等，请举例。看谁举的例子最多。（让学生到黑板上写）
（二）轴对称性质
如图将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“三角形”，将纸打开后铺平．你做的轴对称的图形有什么性质吗？
大家来仔细观察你所做的轴对称的图形，然后分组讨论下列问题
1．上图中两个“三角形”有什么关系？
2．在上面扎字的过程中，点A与点A′重合，点B与点B′重合．设折痕所在直线为l，连接点A与点A′的线段与l有什么关系？点B与点B′呢？
3．线段AB与线段A′B′有什么关系？
4．∠A与∠A′有什么关系？∠B与∠B′呢？说说你的理由．
［师生共研］
轴对称或轴对称图形的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等，对称点的连线被对称轴垂直平分. 两个对称点到对称轴的距离相等.
根据此性质，可帮助我们画出轴对称图形的对称轴.
方法为：先找出图形中的任意一组B B’
对称点，连结对称点，再画对称点所连线段的垂直平分线即可.
（2）两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上. 试一试 仿照例题作图，作△ABC关于直线l的对称图形.
三、反思与回顾
（1）本节课你学会了些什么？你有哪些收获？还有什么疑问？
（3）本节课我们共同欣赏了生活中的轴对称图案，通过图形理解了轴对称图形和关于直线成轴对称两个概念，请大家回忆一下，它们有什么区别和联系？
[教学说明：让学生谈谈对这两个概念的理解，以及存在的疑问。]
区别: 轴对称是说两个图形的位置关系,轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形。 联系：
都能沿着某条直线折叠重合。这条直线都对称轴。
四、练习 课本110页练习
作业 课本 110-111习题AB（做在书上）
《平方根》教案
教学设计思想：
平方根及算术平方根是两个重要的概念，是全章的教学重点.学生对平方根及算术平方根的概念常常混淆，因此，在教学中引导学生真正理解这两个概念的本质是什么，并能分清它们的区别与联系，这是两节课的主要教学目标.在教学设计中，力求在以下两方面突出特点：
1．引导学生建立清晰的概念系统，首先在第1课进要求学生正确理解平方根的概念的意义和平方根的表示法；其次在第2课时专门讨论算术平方根的概念及其表示.对于a表示a的算术平方根的条件是，被开方数a表示非负数，而a本身也表示非负数，因此在教学中不能要求学生死记硬背，要向学生说明规定的合理性.为此，提出算术平方根的一种几何解释，即面积为a的正方形(a为正数)，它的边长为a(a也是正数)，从而直观、形象地说明了算术平方根约定的合理性.
2．编选了有针对性的、有梯度的、形式多样的课堂练习题，让学生在练习中巩固和加深知识的理解和掌握，促使学生尽快地把新知识纳入到自己原有的认知结构中. 教学目标：【冀教版chuzhong数学上册教案】
知识与技能：
1．能说出平方根和算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根。
2．知道开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根。
3
a的平方根。
过程与方法：
1．通过对比体会平方根、算术平方根的联系和区别；
2．在学习开平方运算求一个数的平方根、算术平方根的过程中，体会开平方运算与平方运算之间的互逆关系．
情感态度价值观：
进一步感受到所学数学知识之间的内在联系．
教学重难点：
重点：平方根和算术平方根的概念和求法.
难点：弄清平方根与算术平方根的意义
教学方法：
探究学习
课时安排
1课时
第十六章 勾股定理 第一节 勾股定理
例.如图,将矩形ABCD（AB＜AD）沿BD折叠后,点C落在点E处,且BE交AD于F,若AB=4,BC=8,求DF的长.（03年泰州）
F
A D B C
分析:折叠问题是学生感兴趣的问题,如何用数学知识解决折叠中的计算问题,也是我们必须思考的问题.
由折叠知:△BDE≌△BDC 故∠1＝∠2 又ABCD是矩形 所以AD∥BC 所以∠1＝∠3 即∠2＝∠3 故FD＝FB
设FD=FB=x,则AF=8-x
在Rt△ABF中,x2428x
2
图1
正方形的面积. 图2
解得x5 即DF的长为5.
1.在Rt△ABC中,∠Ｃ=90°
⑴已知:a=6,ｂ=8,则c= . ⑵已知:a=40,c=41则b= .
1
⑶已知:c=13,b=5,则a= .
2.如图
,直线上有三个正方形a、b、c,若a、c 的面积分别为5和11,则b的面积为（ ） A.4 B.6 C.16 D.55
,一棵高6米,另一棵高3米,两3.有两棵树
树相距4米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米． 4.人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只,正以24海里/小时的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向,以26海里/小时的速度追赶,在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下,问需要几小时才能追上？（2003年青岛）
如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
B
L
第二节 由边的数量关系识别直角三角形 1.掌握直角三角形的判别条件. 2.熟记一些勾股数．
这个问题意味着,如果围成的三角形的三边
222
分别为3、4、5,有下面的关系“3＋4＝5”,那么围成的三角形是直角三角形.
画画看:如果三角形的三边分别为
22
2.5cm,6cm,6.5cm,有下面的关系,“2.5＋6
2
＝6.5,画出的三角形是直角三角形吗?换成
问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:把一根长蝇打上等距离的13个结,然后以3个结,4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角.
38
三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试． 按照特殊到一般思路,你能归纳猜想出“如
222
果三角形三边a,b,c满足a＋b＝c,那么这
个三角形就为直角三角形的结论吗？
直角三角形有如下性质:⑴有一个角是直角⑵两个锐角互余⑶两直角边的平方和等于斜边的平方⑷在含30°角的直角三角形中,30°的角所对的直角边是斜边的一半.
1.以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是（ ）
A. 8,15,17 B. 4,5,6 C. 5,8,10 D. 8,39,40
2.△ABC中,如果(ab)(ab)c2,则△ABC是 三角形,且∠ =90°. 11
3.如图,ABCD是正方形,AE=AB,BF=BC,
24
求证：DE⊥EF
222
如果三角形的三边长a,b,c满足a＋b＝c那么这个三角形是直角三角形.
,∠B=90°,AB=3,BC=4, CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积. C 解:
连结AC
∵∠B=90°,AB=3,BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5
∵AC2+CD2=169,AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理） S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
A
D
B
3题图
如图,三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1,S2,S3,且S1+S2=S3,试判定这个三角形是什么三角形．
1AB²BC+1AC²CD=36 2
第三节 勾股定理的应用
1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.
2.培养从“形”到“数”和从“数”到“形”39
一道有趣的问题,这个问题的意思是：有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
2.两只小鼹鼠在地下打洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A.50cm B.100cm C.140cm D.80cm 3.如图,下列三角形中是直角三角形的是( )【冀教版chuzhong数学上册教案】
线段中垂线定理;利用轴对称确定最短距离
A
1.△ABC为Rt△且∠C=90°c2a2b2 2.利用勾股定理的逆定理,可以判定一个角为直角,从而判定直角三角形,也可以用.
AD,点D落在BC边的点F处,BC＝10cm,AB＝8cm,求:⑴FC的长.⑵EF的长．
解:(1)在Rt△ABC中
222
由勾股定理得AF＝AB+BF
222
∴ 10＝8+BF ∴BF＝6
FC＝BC-BF=4(cm) (2)在Rt△ABC中
222
由勾股定理得EF＝FC+(8－EF)
222
∴EF＝4+(8－EF) 1.在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,东南方向24m处有一建筑工地B,在AB间建一条直水管,则水管的长为( ） A.45cm B.40cm C.50cm D.56cm
40
C
3题图
4.如图,小李准备建一个蔬菜大棚,棚宽4m, 高3m,长20m,棚的斜面用塑料薄膜遮盖, 不计墙的厚度
,请计算阳光透过的最大面 积为 .
4题图
5.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB＝25km,CA＝15km,DB＝10km,试问：图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
5题图
如图,A城气象台测得台风中心在A城正西 方向320km的B处,以每小时40km的速度 向北偏东60°的BF方向移动,距离台风中 心200km的范围内是受台风影响的区域. ⑴A城是否受到这次台风的影响?为什么? ⑵若A城受到这次台风影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?
B
7
13 D
E B
F A
东
第十七章 实数 第一节 平方根 第一课时 平方根的认识
1.了解数的平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根．
2.了解开平方与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根．
3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维．
个平方根可记为
(3) 平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 2.开平方运算：
(1)开平方的定义：求一个数的平方根的运算．
（2）与平方运算的关系：互为逆运算．可以用平方运算来检验开平方的结果是否正 例1.求下列各数的平方根： (1)144 (2)
1.25的平方根的是_________；
4
的平方根9
是________；0的平方根是________．
167 (3)0 (4)1 259
2.___________．
1.平方根：
(1)平方根的定义：一般地，如果一个数x
2
的平方等于a，即x=a，那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． (2)平方根的表示方法：一个正数a的正的平方根，记做，读作“根号a”,其中a叫做被开方数，正数a的负的平方根，记做，读作“负根号a”．这两
点拨：求一个数的平方根，可通过平方运算
来解答，如果求一个带分数的平方根，要先化为假分数，再求其平方根．
2
解：(1)∵(±12)=144, ∴144的平方根是±12；
416(2)∵,
525
∴
2
164的平方根是；
525
2
(3)∵0=0,
∴0的平方根是0；
716416(4)∵1=，，
9993
∴1
40
2
74的平方根是．
39