初升高数学衔接课教案

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初升高数学衔接课教案(一)
初升高数学衔接教案1

第六讲 二次函数及二次不等式

一 复习巩固二次函数的最值求法

练习1求函数

yx22x3分别在以下区间上的最值：







（1）x2,0 （2）x2,4 （3）x0,2



2．求二次函数y2x23x5在2x2上的最大值和最小值，并求对应的x的值．

3 求函数

4 求函数

5 求函数

2

f(x)x14在区间2,a上的最小值。

2

f(x)x13在区间a,a2上的最小值。

2

f(x)xa3,x1,2的最小值。

二 一元二次不等式的解法

引例 二次函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： （1） 写出方程ax＋bx＋c =0的两个根； （2） 写出不等式ax＋bx＋c >0的解集； （3）写出不等式ax＋bx＋c《0的解集

知识点一：一元二次不等式的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：

.

2

222

任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式

：

.

知识点二：一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等

式

或

的图象，图象在

的解集，图象在

解集.

设一元二次方程

的不等式的解集的各种情况如下表：

的两根为

且

，

或

的解集可以联系二次函

数

轴上方部分对应的横坐标

值的集合为不等式

值的集合为不等

式

的

轴下方部分对应的横坐标

，则相应

例1 解下列一元二次不等式 （1）

； （2）

对应练习 解下列不等式 (1)

(4)

(7) 2x+3x+4<0； (8)

2

； （3）

（4）x23x10

； (2) (3) ；

. (5) 14-4x≥x； 6) x+x+1>0；

22

； (9) ；

(10)

； (11)

（5）解集为；

（6）解集为R； （7）解集为；（8）；

（9）课后作业

；（10）；（11）.

一、解下列一元二次不等式：

1、x25x60 2、x25x60 3、x27x120

4、x27x60 5、x2x120 6、x2x120

7、x22x30 8、6x2x20 9、x23x50

10、6x225x140 11、20x241x90 11、(x2)(x3)6

初升高数学衔接课教案(二)
初升高数学衔接教案一

授课教案

学员姓名：_______授课教师：___程小胜__ 所授科目：__数学________

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用

公式a0,b0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2

a

4.1．分式的意义形如a,a0, a,a0.AAA的式子，若B中含有字母，且B0，则称为分式．当M≠0时，分式具有下BBBAAMAAM列性质：； ．左述性质被称为分式的基本性质． BBMBBM

a

mnp 2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． cdnp

5. 分解因式：⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。

⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。

6.一元二次方程根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可因为a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不b2b24ac)以将其变形为(x． ① 22a4a

b相等的实数根 x1，2

＝； 2a

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(xb； 2ab2)一定大于或等于零，因此，原2a

方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根 x1，2

（2）当Δ＝0时，方程有两个b相等的实数根 x1＝x2＝－；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． 2a

若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

x1

，x2， 2

2

bb则有

x1x2；

2aa

bbb2(b24ac)4acc x1x22． 22a2a4a4aa

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝

bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦aa

达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

22 所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的

两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋

x2)x＋x1·x2＝0． 6一元一次方程：⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是

1，这样的方程叫一元一次方程⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合

并同类项，未知数系数化为1。⑶关于方程axb解的讨论

①当a0时，方程有唯一解xb

a；②当a0，b0时，方程无解③当

a0，b0时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。

7.二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的

a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 图2.2-1

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负

右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． （1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为

b4acb2

(bb2a,4a)，对称轴为直线x＝－2a；当x＜2a时，y随着x的增大而减小；当x＞b

2a时，y随着x的增大而增大；当x＝b

2a时，函数取最小值y＝4acb2

4a．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为

(b4acbb

2a,b2

4a)，对称轴为直线x＝－2a；当x＜2a时，y随着x的增大而增大；当x＞b

2a时，y随着x的增大而减小；当x＝b

2a时，图2.2-2

函数取最大值y＝4acb2

4a．

例题分析： 两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1 解不等式：x1x3＞4 （两种方法）

1．填空：（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.

（2）如果ab5，且a1，则b＝________；若c2，则c＝________.

2．选择题：下列叙述正确的是（ ）（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab

（C）若ab，则ab （D）若ab，则ab

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

例2计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)．

例2 -- 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值．

1．填空：（1）121211ab(ba)（ ）；（2）(4m )216m24m( 9423

)；

（3）(a2bc)2a24b2c2( )．

2．选择题（1）若x12121212mxk是一个完全平方式，则k等于（ ）（A）m（B）m（C）m（D）m 43162

22（2）不论a，b为何实数，ab2a4b8的值 （ ） 2

（A）总是正数（B）总是负数 （C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

例3.1.将下列式子化为最简二次根式：（1

（2

a0)；（3

x0)．

2.

(3 3.试比较下列各组数的大小：（1【初升高数学衔接课教案】

（2

和 4.

化简：20042005． 5.化简：（1

； （2

．5.

已知3x25xy3y2的值 x1)xy怜惜1．填空：（1

＝__ __；（2）

(x则x的取值范围是； （3

）__ ___； （4

）若x

2．选择题：

 成立的条件是（）（A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2 3

．若b，求ab的值．4．比较大小：2

4（填“＞”，或“＜”）． a1

1115x4AB例4 1.若，求常数A,B的值．2.（1）试证：（其中n(n1)nn1x(x2)xx2

111n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n， 有1223910

c1111 3.设e，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值． a2334n(n1)2

111)； nn2n(n2)5462xy2x，则＝（ ）2．选择题：若（A）１ （B） （C） （D） 545yxy3

1111xy22...3．正数x,y满足xy2xy，求的值．4．计算． 12233499100xy练习1．填空题：对任意的正整数n，

1．十字相乘法例5 1.分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）x2(ab)xyaby2

（4）2.分解因式：（1）x393x23x；（2）2x2xyy24x5y6．3.把下列关于x的二次

多项式分解因式：（1）x22x1；（2）x24xy4y2．

练习1．选择题：多项式2x2xy15y2的一个因式为（ ）（A）2x5y（B）x3y（C）x3y（D）x5y

2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）4(xy1)y(y2x)

例6. 1.判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．

2.已知方程5xkx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

3.已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

4.已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

5.若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根（1）求| x1－x2|的值（2求211的值3x13＋x23． 22x1x2

6.若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围

练习1．选择题：（1

）方程x3k0的根的情况是（ ）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 22

1111（B）m＞－ （C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0 4444

112．填空:（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则＝ x1x2（ ）（A）m＜

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3

|b1|0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．【初升高数学衔接课教案】

例7例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

2.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系

少元？此时每天的销售利润是多少？

223.把二次函数y＝x＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x的图像，

求b，c的值．

4. 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（ ）

（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1（D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2（ ）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．

（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝y轴上；当m＝

初升高数学衔接课教案(三)
初升高数学衔接教案3

第八讲 方程和方程组

例1 解方程 ① x-2x-4x＋8=0． ② (x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．③ 12x4-56x3+89x2-56x+12=0．

3

2

x1＝x2＝2，x3=-

2

例3、解方程组

例4.解方程组

例5、解方程组

对应练习 解方程组

1.

2.

例5、k为何值时，方程组

(1)有一个实数解，并求出此解；(2)有两个实数解；(3)没有实数解． 解：

将①代入②，整理得k2x2＋(2k－4)x＋1=0 ③

△=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

3x2y29x11x22对应练习 ①方程组的两组解是，不解方程组，

yy1212xy5

求1221的值。

分析：将y5x代入①得

x的一元二次方程，1、2是两根，可用根与系数的关

系，将151，252代入1221后，用根与系数的关系即可求值。

答案：

53

3

y24xxx1xx2

②已知方程组的两组解是和且x1x10，x1≠x2，设

yy1y2xnyy2

m

11

。 x1x2

（1）求n的取值范围；

（2）试用含n的代数式表示出m；

（3）是否存在这样的n值，使m的值等于1？若存在，求出所有这样的n值，若不存

在，请说明理由。

01

略解：（1）将②代入①化简，由n＜且n≠0

2x1x20

（2）利用根与系数的关系得：m

4(1n)1（＜且n≠0＝ n

2n2

4(1n)

1n2

（3）n222

n1且n02

课后作业练习 解方程 1. 2x22x3

2

x2x

经检验，x12,x21都是原方程的根. 2.

(x1)(x2)(x3)(x4)2 原方程的根是x1=2,x2=3

xy3,xy2;

3. 3x15x2x5x12 4.

2

2

x=1或 x=4

x10,x25

初升高数学衔接课教案(四)
初高中数学衔接课教案

第一讲 数与式

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a,a0,

|a|0,a0,

a,a0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：ab表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1 解不等式：xx3＞4．

解法一：由x10，得x1；由x30，得x3； ①若x1，不等式可变为(x1)(x3)4， 即2x4＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若1x2，不等式可变为(x1)(x3)4， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若x3，不等式可变为(x1)(x3)4， 即2x4＞4， 解得x＞4． 又x≥3， ∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

|x－3|

所以，不等式xx3＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

|x－1|

图1．1－1

练 习

1．填空：

（1）若x5，则x=_________；若x4，则x=_________.

（2）如果ab5，且a1，则b＝________；若c2，则c＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab （C）若ab，则ab （D）若ab，则ab 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 (ab)(ab)a2b2；

222

（2）完全平方公式 (ab)a2ab．b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

23

（1）立方和公式 (ab)(a ab2b)3a；b

23

（2）立方差公式 (ab)(a ab2b)3a；b

2222

（3）三数和平方公式 (abc c)abc2(abbc；)a

3323

（4）两数和立方公式 (ab) a3ab3a2b；b

332（5）两数差立方公式 (ab) a3ab3a2b．b对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：(x1)(x1)(x2x1)(x2x1)． 222

(x1)x解法一：原式=(x21)

=(x21)(x4x21)

=x61．

解法二：原式=(x1)(x2x1)(x1)(x2x1) =(x31)(x31) =x61．

例2 已知abc4，abbcac4，求a2b2c2的值． 解： a2b2c2(abc)22(abbcac)8． 练 习

1．填空：

121211

ab(ba)（ ）； 9423

22

（2）(4m )16m4m( )；

（1）

2222

(3 ) (a2bc)a4bc( )． 2．选择题：

1

mxk是一个完全平方式，则k等于 （ ） 2

1212122

（A）m （B）m （C）m （D）m

416322

（2）不论a，b为何实数，ab2a4b8的值 （ ）

（1）若x

2

（A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式【初升高数学衔接课教案】

a0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如

3a

2b

2

1，x2

y2 1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式

，例如

一般

地，

b与b互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

a0,b0)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a

a,a0,

a,a0.

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1

） （2

a0)； （3

x0)． 解： （1



（2

a0)； （3

2x2xx0)．

例2

(3． 解法一：

(3

3)

＝

3

931)

＝

61

＝．

2解法二：

(3

＝)

例3 试比较下列各组数的大小：

（1

）

（2

解： （1



.

， 

11

10



 又 4＞22，

6＋4＞6＋22，

例4

化简：20042005．

（2

）∵

解：20042005

＝20042004



＝

＝12004

2004



例 5 化简：（1

； （2

x1)． 解：（1

）原式





2

2．

（2）原式

=1

xx，

∵0x1， 1

x

1x， 所以，原式＝1

xx．

例 6

已知xy

3x25xy3y2的值 ． 解：

∵xy

2210，

xy

1， ∴3x25xy3y23(xy)211xy310211289．

练 习

1．填空： （1

__ ___；

（2

(xx的取值范围是；

（3

）__ ___； （4

）若x

2．选择题：



成立的条件是 （ （A）x2 （B）x0 （C）x2 （D）0x2

3

．若b

，求ab的值．

4．比较大小：24（填“＞”，或“＜”）．

）

初升高数学衔接课教案(五)
初升高衔接初中一元二次方程教案

一元二次方程教案

一、一元二次方程的概念：

问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？

如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．

整理，得：________．

归纳：

（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.

例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

练习:判断下列方程是否为一元二次方程？

(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5 =0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0 x

例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

练习: 一、选择题

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．

①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5=0 x

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（ ）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

二、填空题

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为

_________．

2．一元二次方程的一般形式是__________．

3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．

三、综合提高题

1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）

（x+1）是一元二次方程？

2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

4、当m为何值时,方程(m+1)x

／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程

二、一元二次方程的解：

复习：方程的解

一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）

例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．

例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值

练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值

例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0

三、一元二次方程的解法

（一）、直接开平方法

问题1．填空

（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．

问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有

什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？

方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？

例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1

例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．

解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=

之目的．若p＜0则方程无解

练习：一、选择题

1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）．

A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2

2．方程3x2+9=0的根为（ ）．

A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根

二、填空题

1．若8x2-16=0，则x的值是_________．

2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．

3．如果a、b

2-12b+36=0，那么ab的值是_______．

三、综合提高题

1．解关于x的方程（x+m）2=n．

（二）、配方法

1、解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7

上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得

x=

． mx+n=

p≥0）

如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?

2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m,场地的长和宽各是多少？ 转化： x2+6x-16=0移项→x2+6x=16

两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左边写成平方形式 → （x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5

解一次方程→x1=2，x2= -8

可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，2

常为8m.

像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程

配方法解一元二次方程的一般步骤：

(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根． 例1．用配方法解下列关于x的方程

（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-1=0 2

例2．解下列方程

（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0

例4、用配方法解方程 ：ax2+bx+c=0（a≠0）

练习： 一、选择题

1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）．

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）．

A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

4x-2=0应把它先变形为（ ）． 3

18218110 A．（x-）2= B．（x-）2=0 C．（x-）2= D．（x-）2= 39393394．配方法解方程2x2-

5．下列方程中，一定有实数解的是（ ）．

A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（

6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）．

A．1 B．2 C．-1 D．-2

二、填空题

1．方程x2+4x-5=0的解是________． 1x-a）2=a 2

x2x22．代数式的值为0，则x的值为________． x21

3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是________．

4．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为_______，•所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为______．

三、综合提高题

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0 （2）x2

2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求x2y的值． x2y2

3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．

4．如果x2-4x+y2

，求（xy）z的值．

5、求证：无论x、y取任何实数，多项式x2+y2-2x-4y+16的值总是正数

（三）公式法

由上例4可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•

b将a、b、c代入式子

x=就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了2a

所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)

（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

公式的理解

（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．

22A．x2-8x+（-4）=31 B．x2-8x+（-4）=1 C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2

例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）xm221=0 2+（m-2）x-1=0提出了下列问题． 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

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