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第十七章 勾股定理 第一课时17.1 勾股定理(1)
学习目标:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 学习重点:勾股定理的内容及证明。 学习难点:勾股定理的证明。 学习过程: 一、自主学习
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。(勾3,股4,弦5)。 以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现3+4与5的关系,5+12和13的关系,即3+4_____5,5+12_____13,那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
勾股定理内容 文字表述: 几何表述: 二、交流展示
例1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为 a、b、c。求证:a2+b2=c2。
分析:⑴准备多个三角形模型,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正
即4×
1
× +﹝ ﹞2=c2,化简可证。 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老而精彩的证法,出自我国古代无名
数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
1
例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________ 右边S=_____________ 左边和右边面积相等,即
_________________________ 化简可得
_______________________ 三、合作探究
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则 ⑴c= 。(已知a、b,求c) ⑵a= 。(已知b、c,求a) ⑶b= 。(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
3.△ABC的三边a、b、c,
(1)若满足b2= a2+c2,则 =90°; (2)若满足b2>c2+a2,则∠B是 角; (3)若满足b2<c2+a2,则∠B
是 角。 四、达标测试
1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是 ( ) 2.斜边长为25 B.三角形的周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20
3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为( ) A.4 B.8 C.10 D.12
2
b
b
b
a
a
b
4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为( ) A.6 B.8 C.
8060 D. 1313
5、已知,如图1-1-5,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD使点D落在
BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求CF CE
第二 课时17.1 勾股定理(2)
教学目标:
1.会用勾股定理进行简单的计算。 2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重难点:
1.重点:勾股定理的简单计算。 2.难点:勾股定理的灵活运用。 一、自主学习
1.勾股定理的具体内容是: 。 2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示) ⑴两锐角之间的关系: ;【新人教版九年级数学第17章勾股定理导学案(全章)】
D
E
图1-1-5
⑵若D为斜边中点,则斜边中线与斜边的关系: ; ⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边的关系: ;
⑷三边之间的关系: 。 二、交流展示
例1、在Rt△ABC,∠C=90°
B
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
3
分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。 ⑴已知_________边,求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边,求__________边,用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
分析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计
算。让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
三、合作探究
例3、已知:如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高. ⑵求S△ABC。
A
D
B
分析:勾股定理的使用范围是在_________三角形中,因此注意要 创造_______三角形,作____是常用的创造______三角形的辅助线做法。 欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中。
4
四、达标测试 1.填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c= 。 ⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c= 。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:b=3:4,则a= ,b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为 ,面积为 。
2.已知:如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=4,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
3.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC, AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。
第三课时17.1 勾股定理(3)
学习目标:1.会用勾股定理解决简单的实际问题。2.树立数形结合的思想。 重点:勾股定理的应用。 难点:实际问题向数学问题的转化。 学习过程: 一、自主学习
填空: 在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴如果a=7,c=25,则b= 。 ⑵如果∠A=30°,a=4,则b= 。 ⑶如果∠A=45°,a=3,则c= 。 ⑷如果c=10,a-b=2,则b= 。
⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c= 。 ⑹如果b=8,a:c=3:5,则c= 。
5
B
B
A
17.1勾股定理(1)
【学习目标】
1.经历勾股定理的探索过程,掌握勾股定理的简单应用;
2.经历观察、猜想、归纳和验证的数学发现过程,体会形数结合、化归的思想. 【学习重点】探索和证明勾股定理,勾股定理的简单应用. 【学习难点】勾股定理的探索和证明.
【学习过程】
一.课前导学:学生自学课本22-24页内容,并完成下列问题: 1.【探究一】:观察图1,
(1)你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗?
(2)图中正方形A、B、C所围成的等腰直角三角形三边之
间有什么特殊关系?
2.【探究二】:如图2,每个小方格的边长均为1, 图1
(1)计算图中正方形A、B、C面积. 【讨论】如何求正方形C的面积?
(2)图中正方形A、B、C面积之间有何关系?
(3)图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有 什么特殊关系? 【猜想】:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 . 图2
二、合作、交流、展示:
1.【探究三】:如图3,如何证明上述猜想? 【温馨提示】:用两种方法表示出大正方形的面积.
图3
4.【探究四】:如图4,如何证明上述猜想? 图4
5.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 .
6.【探究五】:已知在Rt△ABC中,∠C=90, (1)若a5,b12,则c ; (2)若c10,b8,则a ; (3)若c25,a24,则b . (4)若ac35,b2则a ,c .
【勾股定理结论变形】: . 7.【探究六】:若一个直角三角形的三边长为8,15,x,则x= . 三、巩固与应用
1.如图5,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草.
图6
图5
图
7
2.如图6,分别以Rt△ABC的三边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,且S15,S212,则S3
3.根据图7及提示证明勾股定理.:【提示】:三个三角形的面积和 = 一个梯形的面积. 四、小结:(1)勾股定理及其简单应用;(2)面积法证题与数形结合思想. 五、作业:必做:P28习题T1、2、3;选做:《全效》第20-21页.
1
17.1勾股定理(2)
【学习目标】
能熟练运用勾股定理计算,会用勾股定理解决简单的实际问题. 【学习重点】运用勾股定理计算与推理. 【学习难点】将实际问题转化为数学问题解决.
【学习过程】
一.课前导学:学生自学课本25页内容,并完成下列问题:
1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,
那么:c2
(或 c )
变形:
a2 a)b2b)
2.填空题:在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴如果a=7,c=25,则b= ; ⑵如果∠A=30°,a=4,则b= ; ⑶如果∠A=45°,a=3,则c= ; (4)如果b=8,a:c=3:5,则c= . 3.【探究一】:一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么? 思考:①薄木板怎样好通过? ;
②在长方形ABCD中, 是斜着能通过的最大长度; ③薄模板能否通过,关键是比较 与 的大小. 解:在Rt△ABC中,根据勾股定理
AC2=( )2+( )2= 2+ 2= . 因此AC= ≈ .
因为AC (填“>”、“<”、或“=”)木板的宽2.2m, 所以木板 从门框内通过.(填:“能:或“不能:) 4.【探究二】:
如图,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5 m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5 m吗? 点拨: ① 梯子底端B随着梯子顶端A沿墙下滑而外移到D,那么
的长度就是梯子外移的距离. ②BD= - ,求BD,关键是要求出 和 的长. ③梯子在下滑的过程中,梯子的长度变了吗? ④在Rt△AOB中,已知 和 ,如何求OB?
在Rt△COD中,已知 和 ,如何求OD?你能将解答过程板书出来吗?
1.运用勾股定理解决实际问题的思路: 实际问题
数学问题 2.如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,问小鸟至少飞行多少米?
3.小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门,他先横着拿进不去,又竖起来拿,结果竿比城门高1米,当他把竿斜着时,两端正好顶着城门的对角,问竿长几米? 三、巩固与应用
1. 若直角三角形的两边长分别为3cm、4cm,则第三边长为. 2.已知:如图,等边△ABC的边长是6cm. ⑴求等边△ABC的高. ⑵求S△ABC.
.3.如图,分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆,其面积分别为S1、S2、S3,且S15,S212,
则S3
A D
4.如图,直线同侧有三个正方形a、b、c,若a、c的面积分别为5和12,
则b的面积为 .
5.如图,能否将一根的长方体盒子中?
70㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为40cm、30cm、50cm
四、小结:(1)勾股定理的应用;(2)分类、转化、方程思想.
五、作业:必做:P29习题T8、9、10;选做:《全效》第24-25页.
2
17.1勾股定理(3)
【学习目标】
1.会利用勾股定理在数轴上找到表示无理数的点. 2.灵活运用勾股定理计算与推理.
【学习重点】运用勾股定理在数轴上找点,灵活运用勾股定理解题. 【学习难点】灵活运用勾股定理解题.
【学习过程】
一.课前导学:学生自学课本26-27页内容,并完成下列问题: 1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,
那么:c2
(或 c
变形:
a2 a)b2b)
2.【探究一】:运用勾股定理证明全等判定方法:斜边直角边(HL)
A
已知:如图,在RtABC中和RtABC中,CC900
,
ABAB,ACAC.求证:RtABC≌RtABC.
C
B
3.【探究二】:如何在数轴上画出表
点拨:①:
,所以只需画出长为 的线段即可.
?
设c
a,b,根据勾股定理a2+b2=c2即a2+b2=13.若a,b为正整数,则13必须分解为两个正整数的平方和, 即13= 2+ 2
为 、 的直角三角形的斜边. 请在数轴上完成作图.
二、合作、交流、展示:
1.例1:已知:如图,△ABC中,AB=4,∠C=45°,∠B=60°,根据题设可求出什么? 【点拨
2.例2:已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求:四边形ABCD的面积. 【点拨】如何将四边形的问题转化为三角形问题求解,如何添加辅助线?
3.问题:根据勾股定理,你能做出哪些长为无理数的线段呢?
欣赏下图,你会得到什么启示?
三、巩固与应用
1. P29习题T14.
2.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积
分别为S
1、S2,则S1+S2的值为( )
A.16 B.17 C.18 D.19
3.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),
点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是等腰三角形时,点P的坐标为 . 四、小结:(1)勾股定理的应用;(2)分类、转化、方程思想.
五、作业:必做:P29习题T11、12、13;选做:《全效》第
26-27页
.
3
赣州一中2013—2014学年度第二学期初二数学导学案
17.2勾股定理的逆定理(1)
【学习目标】
1.掌握勾股定理的逆定理,会利用勾股定理的逆定理判断直角三角形; 2.能写出一个简单命题的逆命题,并能判断真假; 3.了解勾股数的意义,掌握常见的勾股数。
【学习重点】探索和证明勾股定理的逆定理,勾股定理的逆定理的简单应用. 【学习难点】勾股定理的逆定理的探索和证明,勾股定理的逆定理的简单应用. 【学习过程】
一.课前导学:学生自学课本31-33页内容,并完成下列问题:
1. 勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么 . 文字叙述: 2.【探究一】:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个最大的角便是什么角: .
理由是: .
3.【探究二】:用尺规画△ABC,使其三边长分别为2.5cm,6cm,6.5cm.
观察你画出的三角形是直角三角形吗?换成三边长分别为4cm,7.5cm,8.5cm,再试一试. 由此你能猜想到什么呢?
【结论】 如果一个三角形的三条边长a、b、c 满足 ,那么这个三角形是
直角三角形。 我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理
4、4、命题1 两条直线平行,内错角相等 此命题的题设是: ,结论是: 。 命题2 内错角相等,两条直线平行 此命题的题设是: ,结论是: 。 【结论】命题1和命题2的题设和结论相反,把这样的两个命题叫做 ,把其中一个叫做原命题,另一个叫做它的 。
请你再举出两个对类似的命题: . 【探究】原命题是真命题,它的逆命题一定是真命题吗?请举例说明.
5、判断由a、b、c组成的三角形是否是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17 (2)a=13,b=14,c=15 (3)a=41,b=4,c=5
(4)a=
54,b=1,c=34 (5)a=0.5,b=1.2,c=1.3 (6) a=1322,b=2,c=2
4
6、我们把像3、4、5这样,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,•称为勾股数 常见勾股数还有: ; ; ; ; 等 二、 合作、交流、展示:
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2 ,那么,这个三角形是直角三角形.
证明:
2、例题 如图,∠C=90°,AC=3,BC=4,AD=12,BD=13,试判断△ABD的形状,并说明理
由.
三、巩固与应用
1.说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?
(1)对顶角相等. (2)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等. (3)全等三角形的对应角相等. (4)在角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2. 分别以下列四组数为一个三角形的边长:
(1)3,4,5; (2)5,12,13; (3)8,15,17; (4)4,5,6. 其中能构成直角三角形的有( ) A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
3、已知ΔABC的三边分别a,b,c,其中a =m2n2,b =2mn,c =m2n2
(m>n,m,n是正整数),
ΔABC是直角三角形吗?说明理由.
4、如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且EC=1
4
BC,求证:AF⊥EF.
四、小结:(1)勾股定理的逆定理;(2)方法思想:用勾股定理的逆定理证明直角三解形. 五、作业:必做:P34习题T1、2、3、
4
;选做:
《点晴》相应内容.
赣州一中2013—2014学年度第二学期初二数学导学案
17.2勾股定理的逆定理(2)
【学习目标】
1.进一步熟练掌握勾股定理、勾股定理的逆定理, 2.能综合利用两个定理求解相关的问题。
【学习重点】勾股定理、勾股定理的逆定理简单应用.
【学习难点】分析题意,综合利用定理和逆定理进行证明和计算. 【学习过程】
一.课前导学:学生自学课本32-34页内容,并完成下列问题:
1、勾股定理: .
文字叙述: . 勾股定理的逆定理: . 文字叙述: . 2、 互逆命题: 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做 . 如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的 .原命题是真命题,它的逆命题不一定是 . 互逆定理: 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做 , 其中一个叫做另一个的 . 3、练习
(1)已知三角形的三边长为 9 ,12 ,15 ,则这个三角形的最大角是____度; (2)△ABC的三边长为 9 ,40 ,41 ,则△ABC的面积为____;
(3)若一个三角形的三边之比为5∶12∶13,且周长为60cm,则它的面积为 . (4)长度分别为 3 , 4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、如图,有一块地,已知,AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°, AB=13m,BC=12m。求这块地的面积。
二、 合作、交流、展示:
例1: “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里。
它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗?
例2、已知a、b、c为△ABC的三边,满足a2
c2
b2
c2
a4
b4
,试判断△ABC的形状.
三、 巩固、应用
1.如图,两个正方形的面积分别为64,49,则AC边上的高= 。 2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,且 c+a=2b, c – a=
1
2
b ,则三角形⊿ABC的形状是 . 3. 折叠矩形纸片,使点D落在BC的F处,折痕AE,若AB=8,BC=10,求CE的长。
4.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?
N
5.公路MN和公路PQ在P点处交汇,且∠QPN=30°,在A处
有一所中学,AP=160米,拖拉机在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行驶,假设拖拉机行驶时周围100米以内有噪音影响。 (1)学校是否会受到影响?(2)如果受到影响,则影响时间是多长
°M
A
Q
四、小结:(1)勾股定理与逆定理在解决问题中的应用;
(2)“化曲为直”的数学思想;方程思想与定理的综合应用。
五、作业:必做:P38习题7、8、9;选做:《点晴》相应内容.
5
17.1 勾股定理
学习目标:了解勾股定理的发现过程,会用面积法证明勾股定理并会计算 重点:勾股定理的内容及证明。 难点:勾股定理的证明
一、自学导航(阅读课本内容,完成下面内容) 1、知识回顾(用学过的知识完成下列填空)
①含有一个 的三角形叫做直角三角形。
②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b ,则S△ABC= 。 ③已知梯形上下两底分别为a和b,高为(a+b),则该梯形的面积为 。 ④在Rt△ABC中,已知∠A=30°,∠C=90°,直角边BC=1,则斜边AB= 。 二、互动冲浪 (一)、勾股定理的发现
1.在古代,人们将直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股, 斜边叫做弦.
2.(1
结论1: (2)观察下面两幅图:
(2)填表:
(3)你是怎样得到正方形C的面积的?与同伴交流. 3.猜想命题:如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么_______ 4、在Rt△ABC中,∠C=90°
①若a=6,b=8,则c=______;②若a=15,c=25,则b=______; ③若c=61,b=60,则a=_____。 (二)、勾股定理的验证 1.已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
222求证: abc
证明:4S△+S小正= S大正= 根据的等量关系: 由此我们得出:
2.归纳定理:直角三角形两条_______的平方和等于_____的平方. 如果直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边为c,那么
________
1
三、当堂检测
注意:在用勾股定理求第三边时,分不清直角三角形的斜边和直角边;另外不论是否是直角三角形就用勾股定理;为了避免这些错误的出现,在解题中,同学们一定要找准直角边和斜边,同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形.
1、下列说法正确的是( )
A.若a、b、c是△ABC的三边,则a2b2c2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2b2c2
C.若a、b、c是Rt△ABC的三边,A90, 则a2b2c2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边,C90 ,则a2b2c2 2、在Rt△ABC,∠C=90°
(1)已知a=b=5,求c (2)已知a=1,c=2, 求b (3)已知c=17,b=8, 求a
3、(1)若一个直角三角形的两直角边分别为3和4,则第三边的长为多少? (2)若一个直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边的长为多少?
四、课后练习【新人教版九年级数学第17章勾股定理导学案(全章)】
1、直角三角形的一直角边长6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为 。 2、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的为 。 3、已知,如图在ΔABC中,AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高. 求 ①AD的长;②ΔABC的面积.
4、如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,DB=9。 (1)求DC的长。(2)求AB的长。
A D B
5、已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
2
17.1 勾股定理(2)
学习目标:
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。 2.树立数形结合的思想。
3.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程,感受勾股定理的应用方法。 4.培养思维意识,发展数学理念,体会勾股定理的应用价值。 重点:勾股定理的应用。
难点:实际问题向数学问题的转化。 一.预习新知
1.①在解决问题时,每个直角三角形需知道几个条件?
②直角三角形中哪条边最长?
2.在长方形ABCD中,宽AB为1m,长BC为2m ,求AC长. 问题(1)在长方形ABCD中AB、BC、AC大小关系?
(2)一个门框的尺寸如图1所示.
①若有一块长3米,宽0.8米的薄木板,问怎样从门框通过? ②若薄木板长3米,宽1.5米呢?
③若薄木板长3米,宽2.2米呢?为什么?
图1
二.课堂展示
例:如图2,一个3米长的梯子AB,斜着靠在竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5米.
①求梯子的底端B距墙角O多少米? ②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C.
算一算,底端滑动的距离近似值(结果保留两位小数).
3
m
A
三.随堂练习
1.书上P26练习1、2
2.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是 米。 3
.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是则这两株树之间的垂直距离是 米,水平距离
是 米。
四.课堂检测
1.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点之间的距离是 。
2.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,则改建后可省工程费用是多少?
3.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点A,使AC垂直江岸,测得BC=50米, ∠B=60°,则江面的宽度为 。
4.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,则圆形盖半径至少为 米。
5.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16厘米,且RP⊥PQ,则RQ= 厘米。
6.如图3,分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形,
A
BC
PQ
其面积分别用S1、S2、S3表示,容易得出S1、S2、S3之间有的关系式 .
变式:如图4.
4
S2
S3
S1
图4
17.1勾股定理(3)
学习目标:
1、能利用勾股定理,根据已知直角三角形的两边长求第三条边长;并在数轴上表示无理数。
2、体会数与形的密切联系,增强应用意识,提高运用勾股定理解决问题的能力。 一、忆一忆
勾股定理的内容 二、互动冲浪 (一)、探究:我们知道数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,你能在数轴上画出表示的点吗?
分析:(1)如果能画出长为_______的线段,就能在数轴上画出表示的点。 (2)由勾股定理知,长为2的线段是两条直角边都为______的直角三角形的斜边。长为的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗?
由勾股定理,可以发现,长为的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。
作法:在数轴上找到点A,使OA=_____,作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB=_____,以原点O为圆心,以OB为半径作弧,弧与数轴的交点C即为表示
的点。
2.在数轴上画出表示的点?(尺规作图)
O 2 4
(二)、想一想
1.如图:螺旋状图形是由若干个直角
O
1
2
3
4 5【新人教版九年级数学第17章勾股定理导学案(全章)】
三角形所组成的,其中①是直角边长为1的 等腰直角三角形。那么OA1= ,OA2= , OA3= ,OA4= ,OA5= ,OA6= , OA7= ,„,OA14= , „,OAn= . 思考:利用课本上的方法能找出表 示6和280的点吗?
我的回答是: , 原因是
5
第十七章 勾股定理 课题:17.1 勾股定理(1)
学习目标:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 学习重点:勾股定理的内容及证明。 学习难点:勾股定理的证明。 学习过程: 一、自主学习
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。(勾3,股4,弦5)。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42_____52,52+122_____132,那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
勾股定理内容 文字表述: 几何表述: 二、交流展示
1
例1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为 a、b、c。求证:a2+b2=c2。
分析:⑴准备多个三角形模型,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正
1
即4×× +﹝ ﹞2=c2,化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老而精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________ 右边S=_____________ 左边和右边面积相等,即
_________________________ 化简可得
_______________________ 三、合作探究
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则 ⑴c= 。(已知a、b,求c) ⑵a= 。(已知b、c,求a) ⑶b= 。(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,
2
b
a
a
b
b
b
写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
3.△ABC的三边a、b、c,
(1)若满足b2= a2+c2,则 =90°; (2)若满足b2>c2+a2,则∠B是 角; (3)若满足b2<c2+a2,则∠B是 角。 四、达标测试
1.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是 ( ) 2.斜边长为25 B.三角形的周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20
3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为( ) A.4
B.8 C.10 D.12
4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为( ) A.6 B.8 C.
8060 D. 1313
5、已知,如图1-1-5,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求CF CE
3
D
E
图1-1-5
五、课后记
课题:17.1 勾股定理(2)
教学目标:
1.会用勾股定理进行简单的计算。 2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重难点:
1.重点:勾股定理的简单计算。 2.难点:勾股定理的灵活运用。 一、自主学习
1.勾股定理的具体内容是: 。 2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系: ;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线与斜边的关系: ;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边的关系: ; ⑷三边之间的关系: 。 二、交流展示
例1、在Rt△ABC,∠C=90°
4
B
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
分析:刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。 ⑴已知_________边,求________边,直接用_______定理。⑵⑶已知_____边和_______边,求__________边,用勾股定理的变形式。⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
分析:已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计
算。让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
5
第十七章 勾股定理 课题:17.1 勾股定理(1)
学习目标:1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。 2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。 学习重点:勾股定理的内容及证明。 学习难点:勾股定理的证明。 学习过程: 一、自主学习
画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。(勾3,股4,弦5)。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42_____52,52+122_____132,那么就有_____2+_____2=_____2。(用勾、股、弦填空) 对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
勾股定理内容 文字表述: 几何表述: 二、交流展示
例1、已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为
a、b、c。求证:a2+b2=c2。
分析:⑴准备多个三角形模型,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:4S△+S小正=S大正
1
即4×× +﹝ ﹞2=c2,化简可证。
2
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。这个古老而精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:a2+b2=c2。
分析:左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________ 右边S=_____________ 左边和右边面积相等,即
_________________________ 化简可得
_______________________ 三、合作探究
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则 ⑴c= 。(已知a、b,求c) ⑵a= 。(已知b、c,求a) ⑶b= 。(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
b
a
a
b
b
b
3.△ABC的三边a、b、c,
(1)若满足b2= a2+c2,则 =90°; (2)若满足b2>c2+a2,则∠B是 角; (3)若满足b2<c2+a2,则∠B是 角。 四、达标测试
1
.一个直角三角形,两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是 ( ) 2.斜边长为25 B.三角形的周长为25 C.斜边长为5 D.三角形面积为20
3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为( ) A.4 B.8 C.10 D.12
4.直角三角形的两直角边的长分别是5和12,则其斜边上的高的长为( ) A.6 B.8 C.
8060 D. 1313
5、已知,如图1-1-5,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD使点D落在
BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求CF CE
D
E
五、课后记
课题:17.1 勾股定理(2)
教学目标:
1.会用勾股定理进行简单的计算。 2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。 重难点:
1.重点:勾股定理的简单计算。 2.难点:勾股定理的灵活运用。 一、自主学习
1.勾股定理的具体内容是: 。 2.如图,直角△ABC的主要性质是:∠C=90°,(用几何语言表示)
A
⑴两锐角之间的关系: ;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线与斜边的关系: ;
B
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边的关系: ; ⑷三边之间的关系: 。 二、交流展示
例1、在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a:b=1:2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。