八年级数学证明全等三角形

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八年级数学证明全等三角形篇一：八年级数学全等三角形证明题及答案

八年级数学证明全等三角形篇二：八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AEBF，ACBD。求证：

ACFBDE。

E手，全等条件只有思路：从结论ACFBD入

ACBD；由AEBF两边同时减去EF得到AFBE，又得到一个全等条件。还缺少一

个全等条件，可以是CFDE，也可以是AB。 

由条件ACCE，BDDF可得ACEBDF90，再加上AEBF，ACBD，可以证明ACEBDF，从而得到AB。

证明ACCE，BDDF

ACEBDF90 在RtACE与RtBDF中 AEBF



ACBD

∴RtACERtBDF(HL)

AB AEBF

AEEFBFEF，即AFBE 在ACF与BDE中 AFBE

AB ACBD

ACFBDE(SAS)

思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2.

如图，在ABC中，BE是∠ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：21C。

思路：直接证明21C比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 证明：延长AD交BC于F

在ABD与FBD中 ABDFBD

BDBD

ADBFDB90

ABDFBD(ASA 2DFB

又DFB1C 21C。

思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图，在ABC中，ABBC，ABC90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BEBF，连接AE,EF和CF。求证：AECF。

思路：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段

AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置，而线段CF正好是CBF的

边，故只要证明它们全等即可。

证明：ABC90，F为AB延长线上一点 ABCCBF90 在ABE与CBF中 ABBC

ABCCBF BEBF

ABECBF(SAS) AECF。

思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助

线构造全等三角形。

例4. 如图，AB//CD，AD//BC，求证：ABCD。

思路：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明：连接AC

AB//CD，AD//BC

12，34 在ABC与CDA中 12

ACCA 43ABCCDA(ASA) ABCD。

思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图，AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：

BP为MBN的平分线。

思路：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

证明：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F

AP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E

PDPE

CP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F PEPF

PDPE，PEPF

PDPF

PDPF，且PDBM于D，PFBN于F BP为MBN的平分线。

思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图，D是ABC的边BC上的点，且CDAB，ADBBAD，AE是ABD的中线。求证：AC2AE。

思路：要证明“AC2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EFAE。

证明：延长AE至点F，使EFAE，连接DF 在ABE与FDE中

AEFE

AEBFED BEDE

ABEFDE(SAS)

BEDF

ADFADBEDF，ADCBADB 又ADBBAD ADFADC

ABDF，ABCD DFDC

在ADF与ADC中 ADAD

ADFADC DFDC

ADFADC(SAS) AFAC 又AF2AE AC2AE。

思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图，在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点。求证：ABACPBPC。

原图 法一图 法二图

思路：欲证ABACPBPC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明：法一：

在AB上截取ANAC，连接PN 在APN与APC中 ANAC

12 APAP

APNAPC(SAS) PNPC

在BPN中，PBPNBN

PBPCABAC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AMAB，连接PM 在ABP与AMP中 ABAM

12 APAP

ABPAMP(SAS)

PBPM

在PCM中，CMPMPC ABACPBPC。

思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题：

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

八年级数学证明全等三角形篇三：初二数学全等三角形证明

初二数学全等三角形证明

班别_______姓名_______学号_______2007-5-15

1.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O，

(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为 . (添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知：如图，AB//DE，且AB=DE.

(l）请你只添加一个条件，使△ABC≌△DEF, 你添加的条件是 .

(2）添加条件后，证明△ABC≌△DEF.

3、如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明。

所添条件为 ， 你得到的一对全等三角形是  证明：

1

A

B

OC

D

(第12题)

4、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E， DF∥AC交AB于点F.

（1）证明：△BDF≌△DCE ； A FE

BC D

(第4 题图)

5．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = AC． 求证：BD = CD B DA

图 9

6．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：AC＝BD．

A

B

7、如图，在ABCD中，BEAC于点E，DFAC于点Ｆ．

求证：AECF； AD

BC

2

8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.

9．如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE=DE。求证：AB=CD

A

B E

第9题图

10、已知：如图10，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．

求证：AD=AE．

3

_ B

_ C

_ M

_ N

_ A

_ D

D

C

图10

C

12、如图（4），在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：○

1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2 ○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论， 写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）

4

八年级数学证明全等三角形篇四：海淀区初二数学全等三角形经典50题证明

海淀名校全等三角形证明经典50题（含答案）

1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD?

B

D

解析：延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,则AD=5

2. 已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

12

AB

3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

证明：连接BF和EF。

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