八年级数学证明全等三角形

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八年级数学证明全等三角形篇一:八年级数学全等三角形证明题及答案

八年级数学证明全等三角形篇二:八年级上册数学全等三角形证明辅助线分析实例及复习题答案

初二数学第十一章全等三角形综合复习

切记:“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。

例1. 如图,A,F,E,B四点共线,ACCE,BDDF,AEBF,ACBD。求证:

ACFBDE。

E手,全等条件只有思路:从结论ACFBD入

ACBD;由AEBF两边同时减去EF得到AFBE,又得到一个全等条件。还缺少一

个全等条件,可以是CFDE,也可以是AB。 

由条件ACCE,BDDF可得ACEBDF90,再加上AEBF,ACBD,可以证明ACEBDF,从而得到AB。

证明ACCE,BDDF

ACEBDF90 在RtACE与RtBDF中 AEBF



ACBD

∴RtACERtBDF(HL)

AB AEBF

AEEFBFEF,即AFBE 在ACF与BDE中 AFBE

AB ACBD

ACFBDE(SAS)

思考:本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法:一方面从问题或结论入手,看还需要什么条件;另一方面从条件入手,看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系,从而得出解题思路。

小结:本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件,而且告诉我们如何去分析一个题目,得出解题思路。 例2.

如图,在ABC中,BE是∠ABC的平分线,ADBE,垂足为D。求证:21C。

思路:直接证明21C比较困难,我们可以间接证明,即找到,证明2且1C。也可以看成将2“转移”到。

那么在哪里呢?角的对称性提示我们将AD延长交BC于F,则构造了△FBD,可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。 证明:延长AD交BC于F

在ABD与FBD中 ABDFBD

BDBD

ADBFDB90

ABDFBD(ASA 2DFB

又DFB1C 21C。

思考:由于角是轴对称图形,所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3. 如图,在ABC中,ABBC,ABC90。F为AB延长线上一点,点E在BC上,BEBF,连接AE,EF和CF。求证:AECF。

思路:可以利用全等三角形来证明这两条线段相等,关键是要找到这两个三角形。以线段

AE为边的ABE绕点B顺时针旋转90到CBF的位置,而线段CF正好是CBF的

边,故只要证明它们全等即可。

证明:ABC90,F为AB延长线上一点 ABCCBF90 在ABE与CBF中 ABBC

ABCCBF BEBF

ABECBF(SAS) AECF。

思考:利用旋转的观点,不但有利于寻找全等三角形,而且有利于找对应边和对应角。 小结:利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法,但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助

线构造全等三角形。

例4. 如图,AB//CD,AD//BC,求证:ABCD。

思路:关于四边形我们知之甚少,通过连接四边形的对角线,可以把原问题转化为全等三角形的问题。

证明:连接AC

AB//CD,AD//BC

12,34 在ABC与CDA中 12

ACCA 43ABCCDA(ASA) ABCD。

思考:连接四边形的对角线,是构造全等三角形的常用方法。

例5. 如图,AP,CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线,它们交于点P。求证:

BP为MBN的平分线。

思路:要证明“BP为MBN的平分线”,可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明,故应过点P向BM,BN作垂线;另一方面,为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”,也需要作出点P到两外角两边的距离。

证明:过P作PDBM于D,PEAC于E,PFBN于F

AP平分MAC,PDBM于D,PEAC于E

PDPE

CP平分NCA,PEAC于E,PFBN于F PEPF

PDPE,PEPF

PDPF

PDPF,且PDBM于D,PFBN于F BP为MBN的平分线。

思考:题目已知中有角平分线的条件,或者有要证明角平分线的结论时,常过角平分线上的一点向角的两边作垂线,利用角平分线的性质或判定来解答问题。

例6. 如图,D是ABC的边BC上的点,且CDAB,ADBBAD,AE是ABD的中线。求证:AC2AE。

思路:要证明“AC2AE”,不妨构造出一条等于2AE的线段,然后证其等于AC。因此,延长AE至F,使EFAE。

证明:延长AE至点F,使EFAE,连接DF 在ABE与FDE中

AEFE

AEBFED BEDE

ABEFDE(SAS)

BEDF

ADFADBEDF,ADCBADB 又ADBBAD ADFADC

ABDF,ABCD DFDC

在ADF与ADC中 ADAD

ADFADC DFDC

ADFADC(SAS) AFAC 又AF2AE AC2AE。

思考:三角形中倍长中线,可以构造全等三角形,继而得出一些线段和角相等,甚至可以证明两条直线平行。

例7. 如图,在ABC中,ABAC,12,P为AD上任意一点。求证:ABACPBPC。

原图 法一图 法二图

思路:欲证ABACPBPC,不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差,故用两边之差小于第三边来证明,从而想到构造线段ABAC。而构造ABAC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

证明:法一:

在AB上截取ANAC,连接PN 在APN与APC中 ANAC

12 APAP

APNAPC(SAS) PNPC

在BPN中,PBPNBN

PBPCABAC,即AB-AC>PB-PC。

法二:

延长AC至M,使AMAB,连接PM 在ABP与AMP中 ABAM

12 APAP

ABPAMP(SAS)

PBPM

在PCM中,CMPMPC ABACPBPC。

思考:当已知或求证中涉及线段的和或差时,一般采用“截长补短”法。具体作法是:在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为“截长”;或者将一条较短线段延长,使其等于另外的较短线段,然后证明这两条线段之和等于较长线段,称为“补短”。

小结:本题组总结了本章中常用辅助线的作法,以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法,还要知道辅助线为什么要这样作,这样作有什么用处。

同步练习

一、选择题:

1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )

八年级数学证明全等三角形篇三:初二数学全等三角形证明

初二数学全等三角形证明

班别_______姓名_______学号_______2007-5-15

1.如图,AB=CD,AD、BC相交于点O,

(1)要使△ABO≌△DCO,应添加的条件为 . (添加一个条件即可)

(2)添加条件后,证明△

ABO≌△DCO

2.已知:如图,AB//DE,且AB=DE.

(l)请你只添加一个条件,使△ABC≌△DEF, 你添加的条件是 .

(2)添加条件后,证明△ABC≌△DEF.

3、如图,点E在AB上,AC=AD,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形,并给予证明。

所添条件为 , 你得到的一对全等三角形是  证明:

1

A

B

OC

D

(第12题)

4、如图,在△ABC中,D为BC边的中点,过D点分别作DE∥AB交AC于点E, DF∥AC交AB于点F.

(1)证明:△BDF≌△DCE ; A FE

BC D

(第4 题图)

5.如图9,已知∠1 = ∠2,AB = AC. 求证:BD = CD B DA

图 9

6.如图,已知∠1=∠2,∠C=∠D,求证:AC=BD.

A

B

7、如图,在ABCD中,BEAC于点E,DFAC于点F.

求证:AECF; AD

BC

2

8、如图,已知点M、N分别是平行四边形ABCD的边AB、、DC的中点,求证: ∠DAN=∠BCM.

9.如图,AC和BD相交于点E,AB∥CD,BE=DE。求证:AB=CD

A

B E

第9题图

10、已知:如图10,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.

求证:AD=AE.

3

_ B

_ C

_ M

_ N

_ A

_ D

D

C

图10

C

12、如图(4),在△ABD和△ACE中,有下列四个等式:○

1AB=AC ○2AD=AE ○31=∠2 ○4BD=CE. 请你以其中三个等式作为题设,余下的作为结论, 写出一个真命题(要求写出已知,求证及证明过程)

4

八年级数学证明全等三角形篇四:海淀区初二数学全等三角形经典50题证明

海淀名校全等三角形证明经典50题(含答案)

1. 已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD?

B

D

解析:延长AD到E,使DE=AD,

则三角形ADC全等于三角形EBD

即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,则AD=5

2. 已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:CD

12

AB

3. 已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2

证明:连接BF和EF。

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