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八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有
一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．
D
E
B． C．3 DC
2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ） A．2
B．23 D．4
C．2
3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．120° B．130° C．110° D．140°
B
N
4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合）， 且ED＝AE，则线段AE的取值范围是 ．
A
C
D
B
6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2BC2AB2）
7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．
OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．
8．已知A（2，4）、B（4，2）
．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为
此时 C、D两点的坐标分别为 ．
9．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
（2）P为x轴上一动点，求PA的值最大时P点的坐标；
（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；
10．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．
最新人教版数学八年级上册 最短路径问题
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
所以直线l是线段BB′的垂直平分线．
因为点C与C′在直线l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，【八年级下册数学最短路径】
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
【例1】 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．
解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′交直线l于点M.
(3)则点M即为所求的点．
点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
3．利用平移确定最短路径选址
选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．
【例2】 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．
(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．
解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，【八年级下册数学最短路径】
1则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两2
弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．
(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
初中数学《最短路径问题》典型题型
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧
例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）
二、 两点在一条直线同侧
例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
三、一点在两相交直线内部
例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小
例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,
则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。
M
E B
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为：
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。
例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。
作法：作点B关于直线 a 的对称点点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC
在△ACE中，AE+EC＞AC, 即 AE+EC＞AD+DB
所以抽水站应建在河边的点D处，
A
B
a
C
例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上
摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
作法：1.作点C关于直线 OA的对称点点D, 2. 作点C关于直线 OB的对称点点E, 3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N，
则CM+MN+CN最短
例：如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
作法：1.作点C关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D关于直线 OB的对称点点E, 3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
则CG+GH+DH最短
四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5或4）
四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程
将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程
例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（ ）
A．7
B．
C．
D．5
，BC=3，一只
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：将圆柱体展开，连接A、C， ∵
=
=•π•
=4，BC=3，
根据两点之间线段最短，AC=
=5． 故选D．
五、在长方体（正方体）中，求最短路程
1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程 2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程 3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了 然后进行比较大小，即可得到最短路程.
例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（ ）
A．5cm B．cm C．4cm D．3cm
分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得． 解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面、右面，由勾股定理得AB=（5+4）+3=90；
222
（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB=（3+4）+5=74；
222
（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB=（3+5）+4=80； 所以最短路径长为cm．
2
2
2
例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（ ）
A．4.8 B．
C．5
D．
分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 解：有两种展开方法：
①将长方体展开成如图所示，连接A、B，
根据两点之间线段最短，AB==；
=5＜
；
②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB=
所以最短距离 5
例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．
分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．
解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣1=3m，AB=9﹣4=5m， 在Rt△ABC中，AC=
=
=4．
例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）
分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．
于是最短路径为：
=2.60米．
例：如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。 分折：作D关于OC的对称点D’，于是有PA+PD’≥AD’,
（当且仅当P运动到Po处，等号成立，易求AD’
六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程
将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案
例：如图，一直圆锥的母线长为
QA=8，底面圆的半径
r=2
，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）
小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则， 则2×π×2= n×π×8 ，
由勾股定理求得它的弦长AA
180
解得：n=90°，
一、题中出现一个动点。
当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点， 且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。
分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上， 有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。
二、题中出现两个动点。
当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。
例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求 。
分折:因AB长为定值,四边形周长
最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B’, A关于x轴对称点A’,
DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号
2777m2
x
成立),易求直线A’B’解折式y= 3+3,C0(0,3),D0(-2,0),此时n=- 3
mn
三、题中出现三个动点时。
在求解时应注意两点：
(1)作定点关于动点所在直线的对称点,
(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.
例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．
【精品练习】
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有
一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．
D
E
B． C．3 DC
2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ） A．2
B．23 D．4
C．23【八年级下册数学最短路径】
3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．120° B．130° C．110° D．140°
B
N
4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合）， 且ED＝AE，则线段AE的取值范围是 ．
A
C
D
B
6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2BC2AB2）
7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．
OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．
8．已知A（2，4）、B（4，2）．
C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为
此时 C、D两点的坐标分别为 ．
9．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；
（2）P为x轴上一动点，求PA的值最大时P点的坐标；
（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；
10．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．
高效课堂自主学习型数学日导学稿
班级 80 姓名 编号 3013 学科长: 光敏 日期:
设计者：八年级·数学组制
旧知连接：作出△ABC关于直线l对称图形△A′B′C。
新知自研：课本第42探究
【学习目标】1、能初步将实际问题转化为几何模型； 2、会找作最短路径的方法，并能初步证明。
训练课（时段：晚自习 ， 时间：30分钟）
“日日清巩固达标训练题” 自评： 师评：
基础题：
如图，2010-2011年我国多个地区发生百年一遇的特大旱灾，为了缓解旱情，A，B两村计划合伙在河边MN建一座扬水站，要使所用管道最短，请你帮助确定扬水站的位置（画出图形不写作法，保留作图痕迹） 机
发展题：
如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马到河边饮水，再带马群到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线，并简要说明过程。
提高题：
如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA，OB上求点M、N，使PM+MN+NQ最短
培辅课（时段：大自习 附培辅单）
1、今晚你需要培辅吗？（需要，不需要）
2、效果描述：
反思课
2、精题入库：
1、病题诊所：
【教师寄语】新课堂，我展示，我快乐，我成功……今天你展示了吗！
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