华师版八年级下册数学

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华师版八年级下册数学(一)
华师大版八年级数学下册全册教案

华东师大版八年级数学下册全册教案

第17章 分式

17.1.1 分式的概念

教学目标：

1、经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式

3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。

教学重点：

探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 教学难点：

能通过回忆分数的意义，探索分式的意义。 教学过程： 一、做一做

（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米； （2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米； （3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是___元； 二、概括：

A

形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.其中 A

B

叫做分式的分子,B叫做分式的分母.

整式，

整式和分式统称有理式, 即有理式分式.三、例题：

例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

2xy1x3xy

； （2）； （3）； （4）.

xy3x2

解：属于整式的有：（2）、（4）；属于分式的有：（1）、（3）.

注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.

S9

例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n.

mna

例2 当x取什么值时，下列分式有意义？

1x2

（1）； （2）.

x－12x3

分析 要使分式有意义，必须且只须分母不等于零. 解 （1）分母x－1≠0，即x≠1.

1

所以，当x≠1时，分式有意义.

x－1

3. 2

3x2

所以，当x≠-时，分式有意义.

22x3

四、练习：

P5习题17.1第3题（1）（3）

（2）分母2x3≠0，即x≠-

1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, 7 , 9y, m4, 8y3，1

xx9205y22. 当x取何值时，下列分式有意义？ （1）（2）（3）x432xx2

3. 当x为何值时，分式的值为0？

3

x5

2x5

x21x77x（1）（2）xx5x213x

五、小结：

什么是分式？什么是有理式？ 六、作业：

P5习题17.1第1、2题，第3题（2）（4） 七、教学反思：

17.1.2 分式的基本性质

教学目标：

1、掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。

2、使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤。 教学重点：

让学生知道约分、通分的依据和作用，学会分式约分与通分的方法。 教学难点：

1、分子、分母是多项式的分式约分； 2、几个分式最简公分母的确定。 教学过程： 1、分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 用式子表示是：

AAMAAM

 （ 其中M是不等于零的整式）。 ,

BBMBBM

与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分. 2、例3 约分

16x2y3x24（1）； （2）2

20xy4x4x4

分析 分式的约分，即要求把分子与分母的公因式约去.为此，首先要找出

分子与分母的公因式.

16x2y34xy34x4xx24(x2)(x2)x2

解（1＝－＝－. （2＝＝.

4xy35y20xy45yx24x4(x2)2x2

约分后，分子与分母不再有公因式. 分子与分母没有公因式称为最简分式. ．．．．3、练习：P5 练习 第1题：约分（1）（3） 4、例4 通分

（1）

111111

，； （2），； （3），

x2y2xyxyx2xyab2a2b

解 （1）

11

与的最简公分母为a2b2，所以 22

abab

1a11bb1a

＝＝， ＝＝.【华师版八年级下册数学】

ab2aab2a2ba2bba2b2a2b2

（2）

11

与的最简公分母为（x-y）(x+y)，即x2－y2，所以 xyxy

11（xy）xy1(xy)xy1＝＝2， ＝＝. 222

xy(xy)(xy)(xy)(xy)xyxyxy

请同学们根据这两小题的解法，完成第（3）小题。 5、练习P5 练习 第2题：通分新 课 标第 一 网

6、小结：（1）请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质；

（2）分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：①因式分解；②分式基本性质；③分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。

（3）把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的

最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 7、作业：

P5练习 1约分：第（2）（4）题，习题17.1第4题 8、教学反思：

17.2 分式的运算 17.2.1 分式的乘除法

教学目标：

1、让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。 2、使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算

3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力 教学重点：

分式的乘除法、乘方运算 教学难点：

分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。 教学过程：

一、复习与情境导入

1、(1) ：什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？新 课 标 第 一 网 (2)：下列各式是否正确？为什么？

2、尝试探究：计算：

5953

回忆：如何计算、？222

61064a2baa

（1）3； （2）3.

从中可以得到什么启示。 b2bb3a概括：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，

分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置

后，与被除式相乘.（用式子表示如右图所示） 二、例题：

例1计算：

a2xay2a2xya2yz（1）22； （2）2222.

bybxbzbx

a2xay2a2xay2a3a2xya2yza2xyb2x2x3【华师版八年级下册数学】

解 （1）22=22=3. （2）2222=222=3.

bybxbybxbbzayzzbzbx

x2x29

例2计算：. 

x3x24

解 原式＝

x2(x3)(x3)x3

＝. 

x3(x2)(x2)x2

三、练习：P7 第1题

四、思考

怎样进行分式的乘方呢？试计算：

nn

（1）（）3 （2）（）k （k是正整数）

mm

（1）（（2）（

nnn＝________； n3nnn） =＝

mmmmmmm

nnn＝___________. nnknn

） =＝mmmmmmm

k个

仔细观察所得的结果，试总结出分式乘方的法则.

五、小结：

1、怎样进行分式的乘除法？ 2、怎样进行分式的乘方？ 六、作业：

P9习题19.2第1题 P7练习：第2题：计算 七、教学反思：

华师版八年级下册数学(二)
华师大版八年级下册数学知识点总结

八年级华师大版数学（下）

第16章 分式

16.1分式及基本性质

一、分式的概念

1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：

（1）分式是两个整式相除的商。其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件

（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：

当分式的分子等于0，而分母不等于0时，分式的值为0。即，使=0的条件是：A=0，B≠0。

5、有理式

整式和分式统称为有理式。整式分为单项式和多项式。

单项式整式分类：有理式 多项项

分式 ABAB

单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；

多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质

1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零

的整式，分式的值不变。

A·MAA÷M用式子表示为：B= = B÷M ，其中M（M≠0）为整式。 B·M

2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。确定最简公分母的一般方法是：

（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、所有不同字母及指数的积。（2）如果各分母中有多项式，就先把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂；（2）如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再约分；（3）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：

－aa-aa-aaa（1）b = =－b；（2） =b ；（3）－ =b -b-b-b

16.2分式的运算

一、分式的乘除法

1、法则：

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 acacb用式子表示：dbd

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。

acadad用式子表示： bdbcbc

2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方

1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。

ana用式子表示：nbbn（其中n为正整数，a≠0）

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。

三、分式的加减法

（一）同分母分式的加减法

1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

acac用式子表示：   b bb

2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法

1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用

acadbcadbcbdbdbdbd。 式子表示：

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算

1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；

（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

16.3 可化为一元一次方程的分式方程

一、分式方程基本概念

1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知数。

分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。

二、分式方程的解法

1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。途径：“去分母”。

转分分式方程去分母整式方程

方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求

解。

2、解分式方程的一般步骤：

（1）去分母。即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原

分式方程化为整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根。验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。

3、分式方程的增根。意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用

1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。

2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：

（1）审题。理解题意，弄清已知条件和未知量；

（2）设未知数。合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；

（3）找出题目中的等量关系，写出等式；

（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；

（5）解方程。求出未知数的值；

（6）检验。不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。“双重验根”。

16.4 零指数幂与负整数指数幂

一、零指数幂

1、定义：任何不等于零的实数的零次幂都等于1，即a0=1（a≠0）。

华师版八年级下册数学(三)
八年级数学下册华师大版

17.3 可化为一元一次方程的分式方程(2)

●教学目标 （一）知识目标：

1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

2.用分式方程来解决现实情境中的问题， 通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。

（二）能力目标：

1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型. （三）情感与价值观目标：

1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值， 2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验. ●教学重点

1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型. 2.根据实际意义检验解的合理性. ●教学难点

寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法. ●教学过程

（一）复习并问题导入 1复习练习 解下列方程：（1）

2、列方程解应用题的一般步骤？

[概括]这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。

（二）探索实践： 出示问题：

例1、某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.

（1）你能找出这一情境的等量关系吗？ （2）根据这一情境，你能提出哪些问题？

［师］这一情境中的等量关系是 ？. ［答］第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元.

（1）

还有一个等量关系：第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数.（2）

［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要.同学们尽管提出符合情境的问题.

［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？ ［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？

［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？ ［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为房屋的租金为

3x4x237

2 （2） x1x1x322x6

96000

x

元，第二年每间

102000x

元，

根据题意，得

10200096000

=xx

+500

解这个方程，得x=12

经检验x=12是原方程的解，也符合题意. 所以每年各有12间房屋出租.

［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？ ［生］根据第一问的答案可计算，得：

96000

=8000（元）， 12102000

第二年每间房屋的租金为=8500（元）.

12

第一年每间房屋的租金为

［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？

［生］解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租出的房间为

96000x96000x

间，第二年租出的房间为=

102000x500

间，根据题意，得

102000x500

解，得x=8000

x+500=8500（元）

经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意. 所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.

［师］我们利用分式方程解决了实际问题.现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情.

出示问题：

某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）

你们找到题中的等量关系了吗？

［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的

23

.

［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？

［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m的水费与超出5 m部分的水费.

［师］下面我们就来用等量关系列出方程.

［师生共析］设超出5 m部分的水，每立方米收费设为x元，则1月份， 张家超出5 m的部分水费为（17.5－1.5×5）元，超出5 m的用水量为为5+

3

3

3

3

3

17.51.55

m，总用水量

x

3

17.51.55

；

x

李家超出5 m部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m的用水量为为（5+

33

27.51.55

m，总用水量

x

3

27.51.55

） m

x

3

根据等量关系，得

17.51.5527.51.552

+5=（+5）×

xx3

解这个方程，得x=2. 经检验x=2是所列方程的根.

所以超出5 m部分的水，每立方米收费2元. 三、课内达标：

3

1、带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？

［师］我们先来找到题中的等量关系. 题中的等量关系有两个：

①5元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本. ②皮本的价格=软皮本的价格×（1+

1

2

）

解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为（1+本

12

）x元，那么15元钱可买软皮本

15

本，硬皮x

15

本.根据题意，得， (1)x

21515= +1

x

(1)x

2

解，得x=5

经检验x=5是原方程的根，也符合题意，所以（1+故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元

.

12

）x=

32

×5=7.5（元）

2、明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？

分析题目中的等量关系：

王老师骑车速度=王老师步行速度×3;

王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟. 设王老师步行速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h. 依题意，得解得x=5

经检验x=5是原方程的根，这时3x=15

答：王老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h.

四、课内小结：

1、式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程； （4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意； （5）写出答案（要有单位）。

2、程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.

五、课后作业

作业：P14 习题17.3第2第3题P21复习题11 12题 六、书设计 教学反思：

18、1 变量与函数 第一课时 变量与函数

教学目标 知识目标：

1.通过直观感知,领悟常量、变量、因变量、自变量与函数的意义. 2、了解函数的三种表示方法.

3 、能应用方程思想列出实例中的等量关系，并能够列出简单问题的函数解析式.

230.50.520

=+

3xx60

能力目标：

经历对熟悉的具体事例数量关系的探索过程,•体验函数是刻画事物变化规律的常用方法,初步形成用函数描述事物变化规律的习惯.

教学重点、难点：

重点:在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式. 难点:对函数概念和对应思想的理解.

教学思路:问题情境━━概念归纳━━解决问题. 教学过程

一、创设情境导入新课：

问题l、右图(一)是某日的气温的变化图看图回答 ：

1．这天的6时、10时和14时的气温分别是多少?

任意给出这天

中的某一时刻，你能否说出这一时刻的气温是多少吗?

2．这一天中，最高气温是多少?最低气温是多少?

3．这一天中，什么时段的气温在逐渐升高?什么时段的气温在逐渐降低? 从图中我们可以看出，随着时间t(时)的变化，相应的气温T(℃)也随之变化。

问题2：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.

┌─────┬────┬───┬────┬───┬────┬────┐ │ 存期x │ 三月 │ 六月 │ 一年 │ 二年 │ 三年 │五年 │ ├─────┼────┼───┼────┼───┼────┼────┤ │年利率y(%)│ 1.7100 │1.8900│ 1.9800 │2.2500│ 2.5200 │2.7900 │ └─────┴────┴───┴────┴───┴────┴────┘ 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.

问题3 收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数：

同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢?

问题4 设圆柱的底面直径与高h相等，求圆柱体积V的底面半径R的关系．

如何利用数学知识定量刻画事物的运动变化规律呢?•数学家们经过很长时间的探索和研究,发现引入了函数的知识来表示这个动态过程.从本节课开始我们将学习这一部分知识.

二、讲解新课 （一）合作探究 互动1

师:利用幻灯片1演示问题1. 如图17-1-1是所示某地一天内的气温变化图. 温度T(℃) 时间t(时) 看图回答:

(1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少? (2)这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少?

(3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升?什么时段气温在逐渐降低? 生:首先独立思考,再小组交流、讨论,然后举手回答.

师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T•有几个值和这个时刻相对应? 生:独立思考后和同桌交流,举手回答.

师生共同归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度T都有唯一的一个值和该时刻t相对应.

互动2

师:利用幻灯片2演示问题2.

银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.

华师版八年级下册数学(四)
华师大版八年级数学下册各章知识点精编

华师大版八年级数学下册

各章知识汇总精编

第17章 分式复习要点

1、形如AB（A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式。整式和分式统称有理式。

2、分母≠0时，分式有意义。分母＝0时，分式无意义。

3、分式的值为0，要同时满足两个条件：分子＝0，而分母≠0。

4、分式基本性质：分式的分子、分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

5、分式、分子、分母的符号，任意改变其中两个的符号，分式的值不变。

6、分式四则运算

1）分式加减的关键是通分，把异分母的分式，转化为同分母分式，再运算．

2）分式乘除时先把分子分母都因式分解，然后再约去相同的因式。

3）分式的混合运算，注意运算顺序及符号的变化，

4）分式运算的最后结果应化为最简分式或整式．

7、分式方程

1）分式化简与解分式方程不能混淆．分式化简是恒等变形，不能随意去分母．

2）解分式方程的步骤：第一、化分式方程为整式方程；第二，解这个整式方程；第三，验根，通过检验去掉增根。

3）解有关应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤是一样的：设、列、解、验、答。

第18章 函数及图象的复习要点

1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上的点与实数一一对应。数轴上的点A、B的坐标为x1、x2, 则AB＝ 。

2、具有公共原点且互相垂直的两条数轴就构成平面直角坐标系。坐标平面内的点与有序实数对一一对应。

3、坐标轴上的点不属于任何象限。x轴上的点纵坐标y＝0；y轴上的点横坐标x＝0。 第一象限内的点x>0,y>0；第二象限内的点x<0,y>0；第三象限内的点x<0,y<0；第四象限内的点x>0,y<0；

由此可知，x轴上方的点，纵坐标y＞0；x轴下方的点，纵坐标y＜0；y轴左边的点，横坐标x＜0；y轴右边的点，横坐标x＞0.

4、关于某坐标轴对称的点，这个轴的坐标不变，另一个轴的坐标互为相反数。关于原点对称的点，纵、横坐标都互为相反数。关于第一、三象限角平分线对称的点，横纵坐标交换位置；关于第二、四象限角平分线上对称的点，不但横纵坐标交换位置，而且还要变成相反数。

5、第一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数。

6、在一个变化过程中，存在两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一的一个值与之对应，我们就说y是x的函数。x是自变量，y是因变量。 函数的表示方法有：解析式法、图象法、列表法。

7、函数自变量的取值范围：①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式是分式时，自变量的取值应使分母≠0；③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值

应使被开方数≥0．④函数的解析式是负整指数和零指数时，底数≠0；⑤对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．

8、如果y＝kx ＋ b ( k、b是常数，k≠0),那么，y叫x的一次函数。如果y＝kx (k是常数，k 0),那么，y叫x的正比例函数。

9、点在函数的图象上的代数意义是：这一点的坐标满足函数的解析式。两个函数有交点的代数意义是：两个函数的解析式组成的方程组的解就是交点的坐标。

10、一次函数y＝kx＋b的性质：

（1）一次函数图象是过 两点的一条直线，|k|的值越大，图象越靠近于y轴。

（2）当k>0时，图象过一、三象限，y随x的增大而增大；从左至右图象是上升的（左低右高）；

（3）当k<0时，图象过二、四象限，y随x的增大而减小。从左至右图象是下降的（左高右低）；

（4）当b>0时，与y轴的交点（0，b）在正半轴；当b<0时，与y轴的交点(0,b)在负半轴。当b＝0时，一次函数就是正比例函数，图象是过原点的一条直线

（5）几条直线互相平行时 ，k值相等而b不相等。

11、如果y＝kx ( k是常数，k≠0),那么，y叫x的反比例函数。

12、反比例函数y＝kx的性质：

（1）反比例函数的图象是双曲线，图象无限的靠近于x、y轴。

（2）当k>0时，图象的两个分支位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，从左至右图象是下降的（左低右高）；

（3）当k<0时，图象的两个分支位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，从左至右图象是上升的（左高右低）。

（4）反比例函数y＝kx与正比例函数y＝k x的交点关于原点对称。

第19章 全等三角形

1、判断正确或错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．

2、命题是由题设、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．常可写成“如果……，那么……”的形式．用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论．

3、直角三角形的两个锐角互余．

4、三角形全等的判定：

方法1：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

方法2：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为

A.S.A.（或角边角）

方法3：如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

方法4：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.S.S（或边边边）.

方法5（只能用于直角三角形）：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为H.L.（或斜边、直角边）．

5、一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

6、如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．

7、如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

8、如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.（勾股定理的逆定理）

9、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

10、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

第20章 平行四边形的判定

1、四边形的内角和定理：四边形内角和等于360°；

2、多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)×180°；

3、多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°；

4、n边形对角线条数公式：n(n－3)2(n≥3)；

5、中心对称：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称。

6、中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果它能够和原来的图形互相重合，那么就说这个图形叫做中心对称图形。

7、中心对称的性质：关于中心对称的两个图形是全等形；关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

8、平行四边形的性质和判定

类别 性质 判定

边 角 对角线 对称性 边 角 对角线

平行四边形 ①对边平行②对边相等 ①对角相等

②邻角互补 对角线互相平分 中心对称 ①两组对边分别分别平行的四边形是平行四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形

矩形 ①对边平行②对边相等 四个角都是直角 ①对角线互相平分

②对角线相等 中心对称，轴对称 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形

②有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形是矩形

菱形 ①对边平行②四边相等 ①对角相等②邻角互补 ①对角线互相垂直平分

②对角线平分每一组对角 中心对称，轴对称 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

正方形 ①对边平行

②四边相等 四个角都是直角 ①对角线互相垂直平分

②对角线平分每一组对角 中心对称，轴对称 一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

等腰梯形 ①两底平行②两腰相等 同一底上的两个角相等 对角线相等 轴对称 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形

第21章 数据的整理与初步处理

1、平均数＝总量÷总份数。数据的平均数只有一个。

一般说来，n个数 、 、…、 的平均数为 ＝1n(x1+x2+…xn)

一般说来，如果n个数据中，x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次，且f1＋f2＋… ＋fk＝n则这n个数的平均数可表示为x＝x1f1+x2f2+…xkfkn。其中fin是xi的权重（i＝1，2…k）。

加权平均数是分析数据的又一工具。当考虑不同权重时，决策者的结论就有可能随之改变。

2、将一组数据按由小到大（或由大到小）的顺序排列（即使有相等的数据也要全部参加排列），如果数据的个数是奇数，那么中位数就是中间的那个数据。如果数据的个数是偶数，那么中位数就是中间的两个数据的平均数。一组数据的中位数只有一个，它可能是这组数据中的一个数据，也可能不是这组数据中的数据．

3、一组数据中出现的次数最多的数据就是众数。一组数据可以有不止一个众数，也可以没有众数（当某一组数据中所有数据出现的次数都相同时，这组数据就没有众数）．

4、一组数据中的最大值减去最小值就是极差：极差＝最大值－最小值

5、我们通常用 表示一组数据的方差，用 表示一组数据的平均数， 、 、…、 表示各个原始数据．则

( 平方单位)

求方差的方法：先求平均数，再求偏差，然后求偏差的平方和，最后再平均数

6、求出的方差再开平方，这就是标准差。

7、平均数、极差、方差、标准差的变化规律

一组数据同时加上或减去一个数,极差不变，平均数加上或减去这个数,方差不变,标准差不变 一组数据同时乘以或除以一个数,极差和平均数都乘以或除以这个数,方差乘以或除以该数的平方,标准差乘以或除以这个数。

一组数据同时乘以一个数a，然后在加上一个数b，极差乘以或除以这个数a，平均数乘以或除以这个数a，再加上b,方差乘以a的平方，标准差乘以|a|. (加减的数都不为0)

华师版八年级下册数学(五)
华师版八年级数学下册知识点

第17章 分式

1．分式 形如A（A、B是整式，且B中含有字母，B0）的式子，叫做分式。其中A叫做B

分式的分子，B叫做分式的分母。

【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。

2．有理式

整式和分式统称为有理式。

（1）下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？

11x2x4x9y,xy,,,, x23mxx313

（2）当x取何值时，下列分式有意义？

①1x2x24x,

② ③ ④ xx24x13x5

（1） 一件工作,甲独做a小时完成,乙独做b小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时。 1111ab B. C.

D. abababab

a1（2）当a 时，分式有意义。 2a3A.

把下列有理式中是分式的代号填在横线上

2213m25x2

1m212①－3x；②；③xy7xy；④－x；⑤；⑥；⑦－；⑧. 0.538x1y3y

3．分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

4．最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

5．最简公分母

各分母所有因式的最高次幂的积

（1）约分 x

2a(ab)x24

2ax2yax① ② ③ ④ 233b(ab)xy2y3axyxa2

（2）通分

①115,, ②22xx12xy3x1 2xx

5y（1）不改变分式的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) 2xy32x

A.2x15y4x5y6x15y12x15y B. C. D. 4xy4x2y4x6y2x3y

a2ab14a, ②, ③, ④中,最简分式有( ) 222x2a3ab12ab（2）分式:①

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6．分式的运算【华师版八年级下册数学】

（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相除。

（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。

（4）分式的符号法则：

aaaaaaabb；（1）b（2）bb；（3）bb

（1）计算

a2xya2yzax2ay2

①22 ②2222 bzbxbybx

y2a③ ④ 2xc

（2）水果店有两种苹果，甲种苹果每箱净重m千克。售a元，乙种苹果每箱净重n千克，售b元，请问，甲种苹果的单价是乙种苹果的多少倍？

23

x24（1）若分式2的值为零,则x的值是( ) xx2

A.2或-2 B.2 C.-2 D.4

12x14y2

2（2）计算 8xy37y3x

（4）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

（1）计算

①2b233242 ②2 ③ abx4x16aaa

（2）琳琳家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟。若有一天她从家出发迟到了c分钟，则她每分钟应多骑多少千米，才能使到达时间和往常一样？

（1）化简ab等于( ) abab

a2b2(ab)2a2b2(ab)2

A.2 B.2 C.2 D.2 ab2ab2ab2ab2（2）计算 11132x 3xxx

（3）某农场原计划用m天完成a公顷的播种任务,如果要提前b天结束,那么平均每天比原计划要多播种_________公顷.

计算

xy2x4yx2x2y2

① ②(x+y)·2 42422xyxyxyxyxyyx

7．分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。

（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分式方程必须进行检验。

（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零，若为零，则为增根。

（1）解方程

① 1003012122 ② xx1x33xx9

（2）列方程解应用题

2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2个小时输完。问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？

（1）当m=______时,方程xm2会产生增根。 x3x3

（2）若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是( )

A.a<3 B.a>3 C.a≥3 D.a≤3

（3）解分式方程2362,分以下四步,其中,错误的一步是( ) x1x1x1

A.方程两边分式的最简公分母是(x-1)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6

C.解这个整式方程,得x=1

D.原方程的解为x=1

（1）当x 时，分式3x的值为负数。 2x

（2）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天, 再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:2,求甲、 乙两队单独完成此项工程各需多少天?

8．零指数幂与负整指数幂

（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1。

【注】0的零次幂没有意义。

（2）任何不等于零的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

an

（1）计算 1(a0,n 是正整数）

an

12① 3 ②101 3

（2）计算下列各式，并把结果化成只含有正整指数幂的形式

①a30ab2

423 ②x3yz2 2（3）用小数表示下列各数 ①10 ②2.110

5

1（1）计算(1)5(2004)0的结果是_________。 

221

（2）若则x+x=__________.

-1

计算

1① 525 ② ③2m2n3

41042mn322

n9．利用10的负整指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a10

的形式，其中n是正整数，1a10。

（1）用科学记数法表示

① 0.00003 ②-0.0000064 ③201000000

（2）一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？

（1）用10的负整指数幂填空

①1毫克= 千克 ②1平方厘米= 平方米

③1纳米= 微米= 毫米= 厘米= 分米= 米

（2）把下列各数用科学记数法表示

①1000000 ②0.0000001 ③-11200000 ④-0.00000112

自然界隐含着许多规律，一定质量的理想气体，当温度保持不变时，它的压强p与体积V的乘积也保持不变。现在它的压强p11.01105帕时，体积V1=2立方米，若这些气体加压到p23.03105帕时，求这些气体的体积V2。（已知p1,V1,p2,V2满足

p1p2） V2V1

第18章 函数及其图像

1．变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量。此时也称y是x函数。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

3表示函数关系的方法

1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。

2）列表法

3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量。

写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。

①圆的周长C与半径r的函数关系式。

②火车以60㎞／时的速度行驶，它驶过的路程s与所用时间的函数关系式。

③n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。

（5）求函数自变量的取值范围

1．实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2．用数学式子表示的函数的自变量取值范围

(1)解析式为整式的，x取全体实数；(2)解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；

(3)解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3．函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学

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