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用天平找次品的规律和公式大总结 用天平找次品时，所测物品与测试的次数有以下关系（只含一个次品，已知次品比正品轻或重）
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要的次数
2-3 1
4-9 2
10-27 3
28-81 4
82-243 5
…… ……
从上表你发现什么规律？为什么？
规律应该就是3的n次方吧，n为需要的次数。
称n次，最多可以分辨3的n次方个零件！
-------------------------------------------------数学广角------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------数学广角-----------------------------------------------
52（001）找次品问题
（四年级下册数学广角例1）
52（001-2）找次品规律
--------------------------------------找次品问题（五年级下册）-----------------------------------------------------------------------------------------找次品问题（五年级下册）--------------------------------------
《数学广角》说课稿
尊敬的各位评委老师，大家好！我是„„选手。今天我说课的内容是：
人教版 义务教育课程标准 实验教科书 小学数学 五年级下册第七单元《数学广
角中的找次品》。本节课的教学内容是134—137页例一、例二，处理练习题。
根据本节教材内容，我将从教材分析、教学目标、教学重难点、教法学法、
教学过程、板书设计这六个方面展开我的说课。
一、教材分析
本单元旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常
生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，在教学中把这种思想方法采
用学生可以理解的简单形式，通过生动有趣的事例呈现出来，能有效地分析和解
决问题。本节课以“找次品”这一操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试
验等方式感受解决问题策略的多样性，在此基础上，通过归纳、推理的方法体会
运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力。
二、教学目标
根据《数学课程标准》的三个维度—知识与技能、过程与方法、情感态度
与价值观的要求以及五年级学生的认知特点，在本节课的教学中，我制定了如
下教学目标：
1、通过观察、猜测、验证、推理等活动，体会解题策略的多样性及优化方
法的有效性。
2、感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用所学方法来解决实际生活中
的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
3、培养学生团结协作的精神及动手操作的能力。
三、教学重难点
教学重点：体会解题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性。
教学难点：用优化的数学思想方法解决实际问题。
四、教法学法
教学方法是否得当，不仅影响学生对基础知识的掌握，同时也影响学生智力
的开发和能力的培养，因此，我依据本节教材的特点和学生的认知规律，为了更
好地突出重点、突破难点，主要采用了以下教学策略：
我以问题情境为载体，以数学活动为形式，主要采用让学生动手实践、小组
讨论、合作探究的方式教学，给学生充分的时间进行操作、试验、讨论、探究，
找到解决问题的多种策略。同时，引导学生逐步脱离具体的实际操作，转向列表、
画图等进行较为抽象的分析，实现从具体到抽象的过渡，培养学生猜测、推理的
能力及探索的精神。
五、教学过程
根据新课标理念、教材内容及学生心理的特点，本节课我分为四个教学板块：
第一板块：创设情境，激发兴趣
第二板块：自主合作，感悟新知
第三板块：探究新知，寻找最优策略
第四板块：灵活应用，拓展提高
（一）创设情境，激发兴趣
《数学课程标准》指出：教师要善于发现和挖掘学生身边的数学，体现学习
数学的现实意义，让学生感受到数学的应用价值。同时激发学生的学习兴趣。
有3瓶钙片，其中一个瓶里少了几片，可以用什么方法把它找出来呢?
生活中常有这样一些情况，在一些看似完全相同的物品中，混着一个重量
不同，或者轻一些，或者重一些即质量次品，需要我们把它找出来，我们把这类
问题叫找次品。（板书：找次品）
今天我们就一起来当小小质检员，用我们的智慧找出不合格的产品。
（二）自主合作，感悟新知
都能用什么方法把它找出来呢?
你来说一说，嗯，倒出来数一数，是个方法
你也说一说，用手掂一掂
用称来称一称？用跷跷板?
大家的方法可真多，那到底哪一种最准确，又最方便呢？
让小组讨论，最后得出结论：数的办法数量多很浪费时间，掂的办法在质量
差异很小时不够准确，甚至找不出来，只有用天平“称”的方法又快又准。
在此，让学生借助已有的生活经验，去寻找“找次品”的方法，最后总结
出用天平最为合适。这样的设计既顺应了学生的思维，又调动了学生主动参与
的积极性。
让学生回顾天平使用方法（学习方程时已经知道了天平的使用方法），并说
一说在今天的使用中与以前有什么不同，让学生清楚不用砝码也可以找出次品。
接着让学生动手实践，用学具代替钙片，并用天平称一称。把3瓶钙片中的
两瓶放在天平的两端，如果平衡，说明剩下的那瓶是次品；把其中的两瓶放在天
平的两端，如果不平衡，说明翘起来的那端就是次品。（板书）
这样设计贴近学生的实际生活，为学生喜闻乐见，充分激发了学生的求知
欲和表现欲。
从3瓶钙片中找次品的问题我们已经解决了，那个5瓶钙片中该怎么找
呢？（出示课件）有5瓶钙片，其中一瓶少了3片，怎样才能称出来呢？需要
称几次？小组合作，用学具代替称一称。【小学数学找次品的公式】
小组动手操作后，请学生进行汇报，并根据学生的回答同步用列表和图示法
展示操作步骤：
5（1,1,1,1,1） 3次
5（1，1，1，1，1） 2次
平衡：1 1次
5（2，2，1不平衡：2（1，1） 2次
„„
在天平的一端放一瓶，另四瓶分别放在天平的另一端，这样至少需要称3次
才保证能找到次品；
也可以在天平的两端各放两瓶，如果平衡，说明剩下一瓶是次品，如果
不平衡，说明次品在翘起的一端，至少需要2次才能保证找到次品；
还可以把5瓶钙片分成两个一组分别称量，如果两组都平衡，说明剩下
一瓶是次品，如果有一组不平衡，说明翘起的一端是次品，这样也至少需要两次
才能保证找到次品。
从这儿我们可以看出，用天平找次品的方法是多种多样的。
在这里，让学生动手动脑，亲身经历分、称、想的全过程，从不同的方法
中体验解决问题策略的多样性。根据学生的回答同步展示分析过程，便于学生
理解每项数据、每种符号的含义，为后面的学习打下一定的基础。
同样引导学生用列表法展示分析过程。
（三）探究新知，寻找最优策略
出示例二：现在有9个零件，其中有一个次品，而且次品是稍重一些的，你
能找出来吗？你想怎么称？分成几份？
小组分工合作：用学具摆一摆并尝试用列表法表示摆的过程。
这一环节是本节课的重点也是难点，必须进行小组活动，让学生摆学具而
不再使用天平，并尝试用图示法记录操作过程，是完成由具体到抽象过渡中的
重要一步。
2、引导学生分析填表，并仔细观察表格：用哪一种方法保证能找出次品需
要称的次数最少？
学生会说出第二种，也就是平均分成3份的情况：（边说边写板书）
平衡3（1，1，1）
9（3，3，3次
不平衡3（1，1，1） 学生很容易发现但不一定能准确说出平均分成3份就保证能找出次品且所
需的次数最少，这时需要引导学生观察分的份数和每份的数量以及对应的次数，
最后总结出：9个零件平均分成3份能保证找出次品且称的次数最少，其它任何
分法都比它多，这样便于学生发现规律。
9个零件可以平均分成3份，不能平均分成3份的应该怎样分呢？
如果零件是10个，11个，该怎样称呢？
全班合作：从10个和11个零件中找出一个次品。根据发现的规律，先在小
组内先共同讨论出几种不同的分法，再用图示法分析。
引导学生分析、观察、求证，最后总结出规律：利用天平找次品的时候，把
待测的物品分成3 份，能够平均分的，就平均分成3 份；不能平均分的，也尽
量使多的与少 的一份只差1 。
在此，让学生完全脱离具体的实物操作，实现从具体形象思维到抽象逻辑
思维的过渡，经历由特殊到一般的分析过程。
（四）灵活运用，拓展提高
这种规律在待测物品的数量更大时是否也适用呢？请同学们通过下面这道
题来验证一下：
有若干瓶水，有1瓶略重一些，其他几瓶水质量相同。问至少称几次能保证
找出这瓶盐水？
请你选择一个合适的数来解这道题，独立分析，验证规律是否正确。
这道题是根据“做一做”改编的，较为开放，既能满足不同层次学生的需
求，又可以用更多的数据对总结的规律进行验证。如果课堂时间不允许，这一
环节也可以作为课堂的延伸让学生课后完成。
六、板书设计
板书是课堂教学不可缺少的部分，是教师精心设计的结晶，是课堂教学的精
髓。我采用这样的板书设计，简单明了，使学生们一目了然。
用天平找次品时，所测物品与测试的次数有以下关系（只含一个次品，已知次品比正品轻或重）
要辨别的物品数目 保证能找出次品需要的次数
2-3 1
4-9 2
10-27 3
28-81 4
82-243 5【小学数学找次品的公式】
…… ……
从上表你发现什么规律？为什么？
规律应该就是3的n次方吧，n为需要的次数。
称n次，最多可以分辨3的n次方个零件！
五年级下册数学（找次品）（年龄和）（计算）练习
一、填空
1．在10个零件里有1个是次品（次品重一些），用天平称，至少称（ ）次就一定能找出次品。
答案：3。
2．灰太狼用1瓶变形药水（质量比纯净水要稍重一点）偷换了羊村的15瓶纯净水中的1瓶，聪明的喜羊羊至少要称（ ）次才能保证找出这瓶变形药水。
考查目的：对找次品的方法的掌握。 答案：3。
解析:可以把15瓶平均分成三份（5，5，5），把其中的2份分别放在天平上，如果平衡，则剩下的一份就是含有变形药水的；如果不平衡，重的一份就是含有变形药水的一份。再把重的这份分成（2，2，1），用天平来判断找出重的一瓶即为变形药水。
3．为了用尽可能少的次数找出次品，你会对待测物品进行分组吗？
考查目的：找次品中进行合理分组的能力。 答案： 解析: 在找次品的过程中，为了用最少的次数找出次品，应尽可能把待测物品平均分成3份，故6个待测物品可分为（2，2，2）三组；当待测物品为15个时，至少需要称量3次，可分为（5，5，5）三组；当待测物品为19个时，至少需要称量3次，可分为（7，7，5）三组；当待测物品为25个时，至少需要称量3次，可分为（9，9，7）三组。在分组过程中，可以进行比较，找到解决问题的多种策略及最佳策略。
4．有5个零件，其中有一个是次品，重量稍重，根据如图所示可以推断出（ ）号零件一定是正品。
考查目的：对找次品的逻辑推理过程的掌握。 答案：③④⑤。 解析:根据找次品的方法，由于只有一个是次品且其质量稍重，可以肯定这个次品在天平的左边，其他的3个零件都是正品，从而进行正确解答。
5．一个偶然的机会，阿凡提从他的朋友那里得到了8枚外表一模一样的金币，但是其中有1枚是假的，重量较轻，于是他找来一架天平，想用它找出那枚假的硬币。想一想，他至少需要用天平称（ ）次才能找出假的硬币。
考查目的：利用找次品的方法解决实际问题。 答案：2。 解析:根据题意，把8枚金币分成三组（3，3，2），把3个一组的分别放在天平的两端。若天平平衡，则次品在2个的一组里，把这2个分成两组（1，1），放在天平两端，轻的就是次品；若天平不平衡，就把轻的一组分成（1，1，1），任选两个放在天平上，若天平平衡，则没称的是次品；若天平不平衡，则轻的是次品。由此可知至少称两次才能找出假的硬币。
二、选择
1．有三袋食盐，其中2袋每袋500克，另一袋不是500克，但不知道比500克轻还是比500克重。用天平至少称（ ）次能保证称出这袋食盐比500克重或轻。
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B。 解析:可先把其中2袋放在天平两端称量，若天平平衡，把未取的那袋与天平上任一袋分别放在天平两端，如果未取的那一袋在低端，那这袋食盐比500克重，反之比500克轻；若第一次称量时天平不平衡，就用同上方法逐步分析进行判断，从而得出结论。
2．在一批外表相同的零件里混入了一个次品（次品轻一些），如果能用天平称量的方法找这个次品，最好的方法是先把这批零件平均分成（ ）份，然后再称。
A.2 B.4 C.3 D.5
考查目的：主要考查对找次品的合理分组方法的掌握。
答案：C。 解析:如果分成2份，每份的零件数量多，相对来说需要称的次数就会变多；分成4份最少要称2次才能保证找出次品在哪一份当中；故最好分成3份，这样称的次数相对较少，且一次就能找出次品在哪一份当中。
3．在15瓶口香糖中，14瓶的质量相同，只有1瓶比其他瓶少4片。如果要确保找出轻的那一瓶口香糖，至少需要用天平称（ ）次。
A.2 B.3 C.4 D.1
考查目的：对找次品的方法的掌握。 答案：B。 解析:可把15瓶口香糖分成三组（5，5，5），任选其中两组放在天平两端。若天平平衡，则次品在剩下的一组里，把这组分成三组（2，2，1），称量两组（2，2），从而找出次品；若天平不平衡，找出轻的一组分成三组（2，2，1），称量两组（2，2），找出次品。由上述分析可知，至少需要用天平称3次。
4．有12箱桃子，其中11箱质量相同，有1箱质量不足，至少称（ ）次保证一定能找出质量不足的这箱。
A.3 B.2 C.4 D.5
考查目的：对找次品的方法的掌握。 答案：A。 解析:把12箱桃子分成三组（4，4，4），任选其中两组放在天平两端，从而找出质量不足的那箱在哪一组内。再把含有次品的一组分成两组（2，2）放在天平两端，找出其中轻的一组继续分成两组（1，1）进行称量，从而找出次品。由上述分析可知，至少需要用天平称3次。
5．有27个零件，其中有一个零件是次品（次品轻一些），用天平称，至少称（ ）次能保证找出次品零件。
A.2 B.4 C.5 D.3
考查目的：主要考查学生依据天平平衡原理找次品的能力。 答案：D。 解析:把27个零件分成三组（9，9，9），第一次把其中两份分别放在天平两端，若平衡，则次品在未取的一份里；若不平衡，则次品在轻的一端的一份里。把含有次品的一份分成三组（3，3，3），其中两份放在天平两端，若平衡，则次品在未取的一份里；若不平衡，则次品在轻的一端的一份里。从含有次品的3个零件中取两个放在天平两端，若平衡，则未取的那个是次品；若不平衡，轻的一端的就是次品。由此可知至少称3次能保证找出次品零件。
三、解答 1．根据图示信息回答问题。
（1）如果用天平称，至少称几次可以保证找出被吃掉5个的那一筐？请写出主要过程。
（2）如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来吗？
考查目的：对找次品的方法的掌握。
答案：（1）根据题意，可把11个苹果分成（4，4，3）三组，先称量（4，4）两组。若天平平衡，则次品在未取的那份中，在未取的3筐中找出轻的就是次品；若天平不平衡，把轻的一组分成（2，2）两组称量，找出较轻的一组继续分成（1，1）称量，从而找出次品。 答：如果用天平称，至少称3次可以保证找出被吃掉5个的那一筐。【小学数学找次品的公式】
（2）答：如果天平两边各放5筐，称一次有可能称出来。 解析:根据题意可知，被吃掉5个的那筐苹果一定比其他筐的重量要轻。教师应引导学生进行合理分组，从而用尽可能少的次数找出次品。
2．爸爸买了5个冰淇淋，其中4个都是150克，另外1个有155克。用天平称，至少称几次一定能找出重155克的那个冰淇淋？
考查目的：主要考查依据天平平衡原理解决找次品问题的能力。
答案：首先从5个冰淇淋里任选4个，平均分成2份，分别放在天平的两端，若天平平衡，则未取的冰淇淋就是155克的；若天平不平衡，把在天平重的一端的两个冰淇淋分别放在天平两端，比较重的冰淇淋就是155克的。 答：至少称2次一定能找出重155克的冰淇淋。
解析:根据题意，可把其中4个分成两组（2，2）分别放在天平两端，若平衡，则未取的就是质量稍重的；若不平衡，可以再进行合理分组，从而判断出次品。
3．一箱糖果里有10袋，其中9袋质量相同，另有一袋质量不足，要轻一些，完成下图并分析，如果用天平至少称几次能保证找出质量不足的那袋糖果？
考查目的：用天平平衡的原理解决找次品的问题的能力。 答案：如下图所示。 答：用天平至少称3次能保证找出质量不足的那袋糖果。 解析:解答时把10分成两组（5，5），分别放在天平两端，找出轻的一组，再把轻的一组分成三组（2，2，1），把2袋一组的分别放在天平两端称量。若天平平衡，则剩下的一袋就是质量不足的糖果；若天平不平衡，可用图示方法继续给轻的一组分组，并用天平判断出哪一袋是质量不足的糖果。
二．年龄问题： 1、有4个孩子，恰好一个比一个大一岁，他们的年龄相乘等于3024．那么，这四个孩子的年龄分别是多少？
解：把3024分解质因数：
3024=2×2×2×2×3×3×3×7
再把这些质数凑成四个连续的自然数的乘积：
3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9；
答：这四名学生的年龄分别是6岁、7岁、8岁、9岁．
2、小刚说：去年爸爸比妈妈大4岁，我比妈妈小26岁。请你算一算，今年小刚的爸爸比小刚大几岁？
3、老张、阿明和小红三人共91岁，已知阿明22岁，是小红年龄的2倍。问老张几岁？
14、儿子的年龄是爸爸的 ，三年前父子年龄之和是49岁。求父子现在年龄各是几岁？ 4
5.小明今年8岁，他与爸爸、妈妈的年龄和是81岁，多少年后他们的平均年龄是34岁？这时小明几岁？
6、一家三口人，三人的年龄和是72岁。妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？
7、、妈妈今年35岁，恰好是女儿年龄的7倍。多少年后，妈妈的年龄恰好是女儿的3倍？
四、计算。
1.直接写得数。
854233+= += -= 11119988
594311-= -= 1--= 12131388
2.计算。 733153 + - - 152042618
2313251132-+ +（+） 7-（-） 2814764345
3.用简便方法计算。 13555734 5 () 776889612
115113817714＋＋＋ －（＋） 1288129
4.解方程。
x5
62
15
3920x23143 1520 x2799
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