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初一数学（上）应知应会的知识点
代数初步知识
1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ „„ ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式（字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式）
2.列代数式的几个注意事项：
（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a； 13
（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a×1应写成a；
22
3
（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式；
a
（6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做
a-b和b-a .
3.几个重要的代数式：（m、n表示整数）
（1）a与b的平方差是： a-b ； a与b差的平方是：（a-b） ；
（2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c；
（3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数
是： n-1、n、n+1 ；
（4）若b＞0，则正数是:a+b ，负数是： -a-b ，非负数是： a，非正数是：-a. 有理数 1.有理数： (1)凡能写成
q
(p,q为整数且p0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数p
2
2
2
2
2
2
2
统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正
- 1 -
数；不是有理数；
正整数正整数正有理数整数零正分数
(2)有理数的分类: ① 有理数零 ② 有理数负整数 负整数正分数
负有理数分数负分数
负分数
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4)自然数 0和正整数；a＞0 a是正数；a＜0 a是负数；
a≥0 a是正数或0 a是非负数；a≤ 0 a是负数或0 a是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3．相反数：
(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； (3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数. 4.绝对值：
(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
a(a0)
(a0)a
(2) 绝对值可表示为：a0(a0)或a ；绝对值的问题经常分类讨论；
a(a0)a(a0)
(3)
aa
1a0 ；
aa
1a0；
aba
. b
(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|,
5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数
大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.
- 2 -
1
6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是；倒数是本身的
a
数是±1；若ab=1 a、b互为倒数；若ab=-1 a、b互为负倒数. 7. 有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）一个数与0相加，仍得这个数. 8．有理数加法的运算律：
（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）. 9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：
（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘； （2）任何数同零相乘都得零；
（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：
（1）乘法的交换律：ab=ba；（2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac .
12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义. 13．有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)=-a或(a -b)=-(b-a) , 当
n为正偶数时: (-a) =a或 (a-b)=(b-a) . 14．乘方的定义：
（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；
- 3 -
n
n
n
n
n
n
n
n
a
（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； （3）a是重要的非负数，即a≥0；若a+|b|=0 a=0,b=0；
0.120.01
2
11（4）据规律 2底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.
10100
2
2
2
15．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫
科学记数法.
16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.
17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.
19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 整式的加减
1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.
2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数. 3．多项式：几个单项式的和叫多项式.
4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若a、b、c、p、q是常数）ax+bx+c和x+px+q是常见的两个二次三项式.
5．整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式.
- 4 -
2
2
n
整式分类为：整式
单项式多项式
.
6．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项. 7．合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
8．去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
9．整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并.
10.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列. 一元一次方程
1．等式与等量：用“=”号连接而成的式子叫等式.注意：“等量就能代入”！ 2．等式的性质：
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式. 3．方程：含未知数的等式，叫方程.
4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！ 5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1.
6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.
7．一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）. 8．一元一次方程的最简形式： ax=b（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）.
9．一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 „„ 去分母 „„ 去括号 „„ 移项 „„ 合并同类项 „„ 系数化为1 „„ （检验方程的解）. 10．列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法:„„„„ 多用于“和，差，倍，分问题”
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1.1 生活 数学
一、 教学目标及教材重难点分析 （一） 教学目标
1． 通过对生活中常见的图形、数字的观察和思考，感受生活中处处有数学。
2． 乐于接触社会环境中的数字、图形信息，了解数学是我们表达和交流的工具。 （二） 教学重难点
应注意引导学生通过观察、操作、实验、交流等活动，感受生活中处处有数学，感受数学的学习还可以通过“做数学”的过程与方式进行，学会用数学的眼光观察现实世界。 二、 教学过程 （一）、课前预习与准备 1.通过预习了解身边某些数据（如身份证、学籍号等）所包含信息，收集生活中数学知识（数据、图形等）应用的实例。 2.练习：
（1）收集家庭成员的身份证号码,说说从中你得到了哪些信息. （2）“生活中处处有数学”，你能举一个例子吗？ （二）探究活动 1.创设情境引入
（出示投影）广阔的田野，喧嚣的股市，繁荣的市场，美丽的城市。以上一组画面与我们今天的数学课有什么关系呢？请问你看到的内容哪些与数学有关？（同桌讨论后回答） 2.探索新知识
1）. 从观察P5 “车票中提供的信息”再到“身份证号码“，感受数字与生活的联系及其发挥的作用
2）. 让学生自己设计学号，并解释它的意义
3）. 展示一些其他的与数字有关的生活情境，如股市信息、邮政编码、电话号码、手机号码、汽车牌照号码、条形码等，这里可让学生自己举例
4）. 展示四幅富有美感的图片：天安门、金字塔、南京长江二桥、上海东方明珠电视塔，从中寻找熟悉的图形（立体的或平面的），感受丰富的图形世界
5）. 结合教室、学习用品，让学生举例生活中常见的物体可以看成什么样的几何图形，加强对几何图形的感性认识
6）. 展示四幅生活中常见的图标：
注意信号灯的标记 停车场 禁止吸烟 运输包装收发货标志
从中寻找熟悉的图形，感受丰富的图形世界 3.课堂练习：
P7页 试一试
（三） 归纳小结及知识的链接与拓展 1、归纳小结
2、知识的链接与拓展
（1）.某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg，（25±0.3）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差（ ）
A、0.8kg B、0.6kg C、0.5kg D、0.4kg
（2）.小华每天起床后要做的事情有穿衣（4分钟）、整理床（3分钟）、洗脸梳头（5分钟）、上厕所（5分钟）、烧饭（20分钟）、吃早饭（12分钟），完成这些工作共需49分钟，你认为最合理的安排应是多少分钟？ （3）.趣味数学
猜谜语：（1）、数字虽小却在百万之上（打一数字） （一） （2）、2、4、6、8、10（打一成语） （无独有偶） （3）从严判刑（打一数字名词） （加法） 三．自我检测
1、某中学举行校园歌手大赛，7位评委给某选手的评分如下表。计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分，则该选手的最后得分为
A、9.59 B、9.58 C、9.57 D、9.56
2、用扑克牌算24点（J、Q、K当作1点）是一种益智游戏：四人进行，每人分得13张（剔除大小王），然后随机各发出一张，谁先算得24点，此四张牌归谁，发完后，以得到扑克牌张数多者为胜。算24点时，可用加、减、乘、除四种运算（不一定四种运算都用）。请根据下列发牌情况，写出24点的算式（每张牌点数只能用一次，列式时可用括号）： （1）1,4，8，K__________（2）2,3，4，6___________ （3）1,5，
5,5_______________
3.某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表：
已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的最多奖励有多少项？
4、某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示： （1）该风景区认为：调整前后这5个景点门票的平均收费不变，因此平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？
（2）游客认为：调整前后风景区的平均日总收入相对于调价前增加了9.4%，问游客是怎样计算的？
1.2 活动 思考
一、教学目标及教材重难点分析 （一）教学目标
1、经历观察、实验、操作、猜想和归纳等数学活动，引发学生的思考。 2、尝试从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题。 3、能收集、选择、处理数字信息，做出合理的推断或大胆的猜测。 （二）教学重难点
应注意通过观察、操作、想象、推理、交流等数学活动，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，增进对数学的理解，感受到动手操作、调查研究等也是学习数学的一种重要且有效的方法与途径。 二、教学过程
（一）课前预习与准备
1.通过预习收集、选择、处理一些数字信息，尝试做出合理的推断或大胆的猜测；经历折叠、裁剪设计一个图形 2.练习：
(1）、观察下列数据找规律,在( )内填数，并简述你所发现的规律 (1) 1,2,3,4,5,6,( ) (2)1,4,9,16,25,( )
(2).把一张纸对折，则厚度加一倍，第二次对折，厚度是原来一张纸的四倍，依次类推，如果把一张足够大的纸对折30次，将有多厚？（假设一张纸的厚度为1dmm） （3）.小明一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20，小明几号回家？ （二）探究活动 1.创设情境引入
（谁听说过高斯（Gass，德国数学家）的速算故事，来跟大家说一说。 高斯十岁时，教师出了一道题： 1＋2＋3＋4＋……＋100＝？
其他同学逐一的进行加法运算，高斯提出：1＋100＝101,2＋99＝101，……，则有：1＋2＋3＋4＋……＋100＝101×50＝5050
这个故事说明，遇到问题时我们应该开动脑筋，仔细观察，总结规律，会有意想不到的收获。 2.探索新知识
1）.动手操作
把一个长方形纸片，如图折叠，裁剪、展开三个步骤，就能得到一个正方形。 试一试：将一个长方形纸条打一个结，看一看你得到了什么图形？ 2）活动二 按图示的方式，用火柴棒搭三角形
搭1个三角形需要火柴棒_________根； 搭2个三角形需要火柴棒_________根； 搭3个三角形需要火柴棒_________根； 搭10个三角形需要火柴棒_________根； 搭100个三角形需要火柴棒_________根；
通过观察搭1个、2个、3个三角形所需火柴棒的根数，结合图形，归纳火柴棒根数与三角形个数之间的关系，从而得出三角形个数更多的情形所需火柴棒的根数，井学会说明理由 3）.活动三 观察月历：
它是由一些数按照一定的规律排列而成的，这些数字的排列有什么规律？（可以从行、列、对角线进行观察）
（1）图中蓝色方框内的4个数之间有什么关系？
（2）图中的黄色方框内有9个数，你知道它们之间有什么关系吗？ （3）小明一家外出旅游5天，这5天的日期之和是20，小明几号回家？ （三）归纳小结及知识的链接与拓展 1、归纳小结
2、知识的链接与拓展
（1）.计算：1＋2＋1＝＿＿＿＿1＋2＋3＋2＋1＝＿＿＿＿ 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝＿＿1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝＿＿＿
根据上面四式的计算规律求：1＋2＋3＋4＋…＋2004＋2005＋2004＋…＋4＋3＋2＋1＝＿＿＿＿＿
（2）.一张长方形桌子可坐6人，按下图方式将桌子拼在一起： ①两张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？10张桌子呢？
②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按上图方式每5张拼成一张大桌子，则一共可坐多少人？
③在（2）中若改成每8张桌子拼成一张大桌子，共可坐多少人?
课 题：2．1比0小的数（1） 同步练习
姓名
一、学以致用：
1、将下列各数分别填入相应的集合中：+3、3、0、3.14、-8.17、0.12 4
正数集合：{ „}
负数集合：{ „}：
-18、223、3．1415、0、2010、-、-0.1428、95% 75
3、若飞机的高度为80m，潜水艇的高度是－50m，则飞机比潜水艇高
___________米。
4、观察下列数，找出规律，并填空。1111、 261220
请写出第10个数是___________，第15个数是___________
5、课堂上老师要求就数“0”发表自己的意见，四位同学共说了下列四句话：
①0是整数，但不是自然数；②0既不是正数，也不是负数；
③0不是整数，是自然数；④0没有实际意义．其中正确的个数是 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1 二、巩固练习：
3.2、1、在3、8
73、6.7中，负数有（ ） 100
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、一次知识竞赛，规定每答对一题加10分，答错一题倒扣5分，结果某
同学答对1题，答错3题，那么他的实际得分应是（ ）
A．25 B．5 C．5 D．25
5、我们经常看到食品包装袋上标有“250.3kg”，其实际意义是（ ）
A．它的实际重量是25.3kg B．它的实际重量是24.7kgC．它的实
际重量不可能是25kg D．它的实际重量至多是25.3kg，至少是24.7kg
6、（1）盈利100元记作+100元，那么盈利50元的意义是 .
（2）向北走－100m的实际意义是 。
7、地图上标有甲、乙、丙三地的海拔高度分别为1886 米、300米、200米，
其中最低处是 地，最高处是 地，它们相差 .
8、0一般表示没有，请问0℃表示没有温度吗？
9、一个物体沿着东、西两个相反方向运动时，可以用正负数表示它们的运
动。
（1）如果向东运动4米记作4米，那么向西运动5米应记作什么？
（2）如果－7米表示向东运动7米，那么6米表示物体怎样运动？
课 题：2．1比0小的数（2）同步练习
一、学以致用：
1判断：
（1）一个整数不是正数就是负数。（ ）（2）最小的整数是0。 （）
（3）负数中没有最大的数。（ ）（4）自然数一定是正整数。（ ）
（5）有理数包括正有理数、0和负有理数。（ ）（6）整数就是正整数和
负整数。（ ）（7）0是整数但不是正数。（ ）（8）正数、负数统称
为有理数。（ ）（9）非负有理数是指正有理数和0。（ ）
（10）非正整数是指不是正整数的其他有理数。（ ）
2、把下列各数填入相应的集合中：
+7，-9，1921，-4.5，998，，0，-6，，8.7，2002，，-4.2. 35310
正数集合：﹛ „﹜负数集合：﹛ „﹜
整数集合：﹛ „﹜分数集合：﹛ „﹜
非正数集合：﹛ „﹜非负整数集合：﹛ „﹜
3、请至少用两种方法将7,8,0,0.5,分成不同的两类。
方法一： 方法二：
二、巩固练习：
1、整数和分数合起来叫做______，正分数和负分数合起来叫做______．
2、-100不是（ ）A.有理数 B．自然数 C．整数 D．负有理数
3、在以下说法中，正确的是（ ）
A．非负有理数就是正有理数 B．零表示没有，不是有理数
C．正整数和负整数统称为整数 D．整数和分数统称为有理数
4、把下列各数填入相应的大括号里： 13
2, 1215， 5.2， 0， ， 1， ，2005，π 2363
整数集合：﹛ „﹜ 正数集合：﹛ „﹜
正整数集合：﹛ „﹜负分数集合：﹛ „﹜
非负有理数集合：﹛ „﹜无理数集合：﹛ „﹜
*6、观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面
的3个数，你能说出第2010个数吗？
⑴1,0,1,1,0,1,1,0,1,1, ， ， ，„第2010个数是 ；
课 题：2．2数轴（1）同步练习
一、学以致用：
2．数轴上原点及其左边的点表示的数是（ ）
A．负整数 B．正整数 C．负数 D．负数和0
3．数轴的三要素是 、 和 ．
4. 在数轴上与原点距离2个单位长度的点表示的数有___个，为___.
5. 表示－2的点在表示－3的点的_____侧，他们距离____个单位长度。表
示数-8的点在原点的______侧，到原点的距离是________个单位长度．表
示数6的点到表示数-8的点的距离是_______个单位长度．数轴上与表示数
2的点距离3个单位长度的点所表示的数是__________.
7．不画数轴，请你指出在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的那一边2.4，3.21，2.5 和与原点相距多少个单位长度？1，
8．画一条数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： 1313
31103,0,1,,1.5,5,6, 223
1．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数
2．在数轴上表示3的点与表示2的点的距离是（ ）
A．3个单位长度 B．2个单位长度 C．5个单位长度 D．1个单位长度
3．不小于-4的非正整数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．在数轴上有一点A，它所对应表示的数是3，若将点A在数轴上先向左移
动8个单位长度，再向右移动4个单位长度得点B，此时点B所对应表示
的数（ ）
A．3 B．1 C．5 D．4
5．数轴上一点A，一只蚂蚁从A 出发爬了4个单位长度到了原点，则点A
所表示的数是 （ ）
A．4 B．4 C．4 D．8
6．在数轴上表示5的点与表示1的点的距离是 ，表示5的点
与表示1的点的距离是 ，原点与表示 点的距离是2.5.
7．请你观察一条数轴，填写下列结论：
⑴最大的负整数是 ，最小的正整数是 ；【苏教版七年级上册数学】
⑵ 最大的正整数， 最小的负整数.（填“存在”或“不存在”）
8．某人从A地向东跑了100米，然后掉头向西跑了80米，又折回向东跑
了60米．你能利用今天所学的知识求出此人最终位于A地哪个方向吗？有
多远？
课 题：2．2数轴（2）同步练习
一、学以致用：
1．下列式子正确的是 （ ）
A．10 B．12 C．113 D．3 232．如图所示，是数a，b在数轴上的位置，下列判断正确的是（ ） A．a<0 B．a>1 C．b>-1 D．b<-1 2．比较大小：（填“＞”“＜”或“＝”） ⑴11⑵ 34 ⑶ 2 ⑷2 32
100 3．在下面的横线上填入适当的数，使得式子成立： ＜ ＜ ＜ ＜ ＜ 4．借助数轴回答：比0小1的数是 ；比3小2的数是 ；比2大12
的数是 ；3比6大 ．
6．如图1，在数轴上有点A、B、C、D分别表示有理数，a、b、c、d试用“＞”或“＜”号填空： a 0， b 0， c 0， d 0，
a d， c b， c d， b d，
图1
7．画一条数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点，再将它们按从小到大
的顺序用“＜”连接起来.5,0,2,
二、巩固提高：
1．所有大于4.5的负整数且小于1有（ ） 13,0.5,22 1
3
3、2 A．4 B．3 C．2 D．4、
2．肯德基、联华超市和公园依次坐落在一条东西走向的大街上，肯德基在
联华超市西20米处，公园在联华超市东100米处，小彬从联华超市沿街
向东走了40米，接着又向东走了60米，则小彬位置在 （ ）
A．肯德基 B．公园 C．公园西边40米 D．公园东边60米
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
5．如果数轴上的点M表示3，那么在同一数轴上与点M相距5个单位长
度的点表示的数是 ．
课 题：2．3绝对值与相反数（1）同步练习
一、学以致用：
2.-5的绝对值是 ；1的绝对值是______； -8的绝对值是___． 2
3.│-9│-5=_________．
4．想一想：
（1）绝对值是7的数有几个？各是什么？有没有绝对值是－2的数。
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？
（3）绝对值小于10的整数一共有多少个
5.绝对值小于5的整数有__ _个,分别是________
绝对值小于3的整数有 ；
绝对值小于3非负整数有 。
7.走进生活：某交警骑着摩托车在东西方向的公路上来回巡视车辆情况，如果规定向东为正，他这一天行进的情况如下（单位：千米） +20，+4，—25，—12，—3，+16
（1）问该交警实际走了多少千米？
（2）如果摩托车每千米耗油0.2升，则他这一天共耗油多少升？
二、巩固提高 1、求下列各数的绝对值：-5， 4.5，-0.5, +1， 0；
2、填空：
（1）-3的符号是 ，绝对值是 ；（2）10.5的符号是 ，绝对值是 ；
（3）-31的绝对值是 ； （4）符号是“+”号，绝对值是7的数是 ； 3
（5）绝对值是5.1，符号是“-”号的是 。（6）绝对值等于4的数是 。
5、（1）若x=5，则x= ；（2）若x=3，则x= ；
7、绝对值小于3的正整数是 ； 绝对值小于5的负整数是 ； 绝对值在2和5之间的整数是 。
8、若x=-x，则x一定是（ ）A．零 B.负数 C.正数D.负数或
9、已知x=99，y=98，并且x＞y,求x、y的值；若x＜y，那么x、y的值又如何呢？
10、某电信线路维护员骑着自行车在对一条靠近公路的东西走向的线路维护，他骑过的路程记录如下（向东为正，单位：米）：1023，1200，1156，987，876，1203
请问该线路维护员共跑了多少米？
《有理数》知识点总结归纳
正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义
⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数
整数正有理数正分数
有理数有理数（0不能忽视） 负整数
分数负有理数负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不
可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4.数轴上特殊的最大（小）数
⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。） ②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a
⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。
在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算） =-2.2 （得出结论）
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） 313217-+-+- 524528
321137原式=(--)+(-+)+(+-) 552248
1=-1+0- 8
1=-1 8-
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） 312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
13121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) 84834
13121=+3-3+10-1 84834
31112=(3-1)+(-3)+10 44883
12=2-3+10 23
1=-3+13 6
1=10 6 (+0.125)-(-3
Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） -31617+10-12+4 5112215
第一章 我们与数学同行（略）
第二章 有理数
一、正数和负数
⒈正数和负数的概念
负数：比0小的数 正数：比0大的数 0既不是正数，也不是负数
注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断）
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：
零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃
3.0表示的意义 ⑴0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；
⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如：
二、有理数
1.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）
⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。【苏教版七年级上册数学】
注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8„也是偶数，-1,-3,-5„也是奇数。
2.有理数的分类
⑴按有理数的意义分类 ⑵按正、负来分 正整数
整数正有理数正分数
有理数有理数（0不能忽视）
负整数
分数负有理数负分数
总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
三、数轴
⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。【苏教版七年级上册数学】
4.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；
⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数
5.a可以表示什么数 ⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0
6.数轴上点的移动规律
根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。
四、相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；
⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。
2.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数，且只有一个；
⑵0的相反数是0；
⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0
3.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点；原点表示0的相反数。
说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
4.相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）；
⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b的相反数是-（5a+b）。化简得-5a-b）；
⑶求前面带“-”的单个数，也应先加括号再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5)
5.相反数的表示方法
⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。
当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）
6.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。
五、绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。
2.绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0的绝对值是0.
可用字母表示为：
①如果a>0，那么|a|=a； ②如果a<0，那么|a|=-a； ③如果a=0，那么|a|=0。
可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）
3.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。即⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：|a|≥a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若|x|=a（a>0），则x=±a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b或a=-b；
⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）
4.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；
⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5.绝对值的化简
①当a≥0时， |a|=a ； ②当a≤0时， |a|=-a
6.已知一个数的绝对值，求这个数
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。
六、有理数的加减法
1.有理数的加法法则
⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。
2.有理数加法的运算律
⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：
①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。
3.加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加0后的和等于原数。即：
⑴当b>0时，a+b>a ⑵当b<0时，a+b<a ⑶当b=0时，a+b=a
4.有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。
5.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：
(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”
②按运算意义读作“负8减7减6加5”
6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：
Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）
(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）
=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号）
=(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合）
=-49+41 （运用加法法则一进行运算）
=-8 （运用加法法则二进行运算）
Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法）
(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）
=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）
=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）
=-2.2 （得出结论）
Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） 313217-+-+- 524528
32113711原式=(--)+(-+)+(+-) =-1+0- =-1 55224888-
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合） 312)+(-3)-(-10)-(+1.25) 483
1312113121原式=(+)+(+3)+(-3)+(+10)+(-1) =+3-3+10-1 8483484834
311121211=(3-1)+(-3)+10 =2-3+10 =-3+13 =10 448832366 (+0.125)-(-3
Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合） 1617+10-12+4 5112215
17614118157原式=(-3+10-12+4)+(-+)+(-) =-1++ =-1++- 51511221522303030-3
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9„+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+„+(66-67-68+69) =0
Ⅶ.先拆项后结合
（1+3+5+7„+99）-（2+4+6+8„+100）
七、有理数的乘除法
1.有理数的乘法法则
法则一：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）
法则二：任何数同0相乘，都得0；
法则三：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数； 法则四：几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.
2.倒数
乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a²1=1（a≠0），就是说a和a
111互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。 aaa
注意：①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
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