九年级上册数学华师大版

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九年级上册数学华师大版(一)
华东师大版初中数学九年级上册电子教材

第22章 二次根式 ................................................................................... 2

22.1 二次根式 ............................................................................. 3

阅读材料 ........................................................................................ 5

22.2 二次根式的乘除法 ................................................................ 5

1．二次根式的乘法 ...................................................................... 5

2．积的算术平方根 ...................................................................... 6

3．二次根式的除法 ...................................................................... 7

22.3 二次根式的加减法 ................................................................... 9

小结 ..................................................................................................... 12

复习题 ................................................................................................. 12

第22章 二次根式

人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发

射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙

速度．计算第一宇宙速度的公式是

gR，

其中g为重力加速度，R为地球半径．

22.1 二次根式

在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a．

回顾

当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．

当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a是负数时，a没有意义．

概括

a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有：

（1）a≥0（a≥0）；

（2）(a)2=a（a≥0）． 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意 在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

例

分析

解 x是怎样的实数时，二次根式x1有意义？ 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数． 被开方数x-1≥0，即x≥1．

所以，当x≥1时，二次根式x1有意义．

思考

a2等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，„„分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 22=4=2；

(2)2=4=2；

32=9=3；

(3)2==3；

„„

概括

当a≥0时，a2a；

当a＜0时，a2a．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

4x2(2x)2=2x（x≥0）；

x4(x2)2x2．

练习

1．计算：

（1）()2；（2）(9)2；（3）；（4）．

2．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

（1）x3；（2）2x5；（3）51；（4）． 1xx

3．(a)2与a2是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．

习题22.1

1．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？

（1）x1；（2）x2；（3）

2．计算：

（1）(7)2；（2）(31；（4）． 2x132x224（3）；（4）9a4． )；39

23．已知2＜x＜3，化简：(x2)x3．

4．边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为a的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可3

以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．

（第4题）

阅读材料

蚂蚁和大象一样重吗

同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！

我们这里谈论的话题是： 蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊： 蚂蚁和大象一样重！

设蚂蚁重量为x克，大象的重量为y克，它们的重量和为2a克，即

x+y=2a．

两边同乘以（x-y），得

(x+y)(x-y)=2a(x-y)．

即

2

x2y22ax2ay． x22axy22ay． (xa)2(ya)2． (xa)2(ya)2， 可变形为 两边都加上a，得 于是 可得 所以 xaya， xy．

这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？

22.2 二次根式的乘除法

1．二次根式的乘法

计算：

（1）425与425；

（2）9与9．

思考 对于2与23呢？

从计算的结果我们发现，

九年级上册数学华师大版(二)
华师大版九年级上册数学全册教案

第1课时

教学内容 二次根式的概念及其运用

教学目标

a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1

a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

a≥0）”解决具体问题．

教学方法：讲解

教学过程

一、回顾

当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．

当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a是负数时，a没有意义．

概括

a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)2=a（a≥0）． 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意 在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

例 x是怎样的实数时，二次根式x1有意义？

思考：a2等于什么？

概括:当a≥0时，a2a； 当a＜0时，a2a．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

42224x2(2x)2=2x（x≥0）； x(x)x．

练习

1.x取什么实数时，下列各式有意义.

(x3)234xx2（1）； （2）；（3）； （4）x443x

拓展

例 当x

1在实数范围内有意义？ x1

例 (1)已知

，求x的值．(答案:2) y

2) 5(2)

=0，求a2004+b2004的值．(答案:

归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：

1

a≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

布置作业 教材P41.2

教学后记：

第2课时

教学内容

1

a≥0）是一个非负数；

2．

=a（a≥0）． 2

教学目标

a≥0

=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简． 2

a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出

=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键

1

a≥0）是一个非负数；

=a（a≥0）及其运用． 22

2

a≥0）是一个非负数；•

教学方法

=a（a≥0）． 2【九年级上册数学华师大版】

教学过程

一、复习引入 （学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0

a<0

［老师点评（略）．］

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a≥0）是一个什么数呢？

做一做：根据算术平方根的意义填空：

=_______；

=_______；

=______；

=_______；

2222

222=______；=_______；=_______． 总结：

例1 计算

1．

222 2 2．（

3． 4．

解：略

三、巩固练习

计算下列各式的值：

22222

（22 四、应用拓展

例2 计算

1．

（x≥0） 2．

3．

4．

2222

解：略

例3在实数范围内分解下列因式:

242 （1）x-3 （2）x-4 (3) 2x-3

五、归纳小结

1

a≥0）是一个非负数；

2．

=a（a≥0）;反之:a=

（a≥0）． 22

六、布置作业

1．教材P4.3.4

教学后记：

第3课时

教学内容

a（a≥0）

教学目标

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．

教学重难点关键

1

a（a≥0）． 2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0

a才成立．

教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1

a≥0）的式子叫做二次根式；

2

a≥0）是一个非负数；

3．

＝a（a≥0）． 2

那么，我们猜想当a≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______

=______；

=________

．

（老师点评）

例1

化简

（1

（2 （3 （4解：略

三、巩固练习

教材P4.3.4．

四、应用拓展

例2 填空：当a≥0

；当a<0

，•并根据这一性质回答下列问题．

（1

，则a可以是什么数？ （2

，则a可以是什么数？

（3

，则a可以是什么数？

解：略

例3当x>2【九年级上册数学华师大版】

五、归纳小结【九年级上册数学华师大版】

（a≥0）及其运用，同时理解当a<0

a的应用拓展．

六、布置作业

1．先化简再求值：当a=9时，求

甲的解答为：原式

=a+（1-a）=1；

乙的解答为：原式

=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

2．若│1995-a│

，求a-1995的值． 2

（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）

3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│

教学后记：

第4课时

教学内容

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

教学重难点关键

a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及它们的运用．

a≥0，b≥0）．

a<0,b<0）=a

教学方法 探究 练习

教学过程

一、

1.（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空并比较左右两边式子的大小

（1

，

；

（2

，

．

（3

，

．

2．利用计算器计算填空

（1

，（2

（3

（4

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来

1. 计算

（1

（2

2 化简

（1（

2（3）（

4

（5（3

（4

二、质疑：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！

三、应用拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1



（2

=4

四、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评） ①

②

(2) 化简

五、归纳小结（师生共同归纳）

本节课应掌握：（

1

（a≥0，b≥0）

a≥0

，b≥0）及其运用．

六、作业设计 略

教后后记：

第5课时

教学内容

a≥0，b>0）

a≥

0，b>0）及利用它们进行计算和化简． 教学目标

a≥0，b>0

a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1

a≥0，b>0）a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．

教学方法 探究、练习

教学过程

一、

1.（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．填空并比较每一组的大小

九年级上册数学华师大版(三)
华师大版九年级上册数学知识点总结

华师大版九年级上册数学知识点总结

第21章 二次根式

1. 二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质：

___(a0)

（1）(a)2a≥0）；（2

；（3）a2_______(a0)

___(a0)

3. 二次根式的乘除：

___(a0,b0)

计算公式： ___(a0,b0)



4. 概念：

1.最简二次根式：(1) (2) (3)

2.同类二次根式：

5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 )

（1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式．

6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：

根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算：

（1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的．

（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

第22章 一元二次方程

1. 一元二次方程：

1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)．

它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零．

ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数

项．

2. 一元二次方程的解法：

1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法．

1

直接开平方法适用于解形如(xa)2b的一元二次方程．根据平方根的定义可知，

xa是b的平方根，当b0时，xab，xab，当b<0时，方程没有实数根．

2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2(ab)2，把公式中的a看

做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2(xb)2．

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

bb24ac2

一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：x(b4ac0)

2a

4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

2

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式．

3. 一元二次方程根的判别式：

b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)一元二次方程ax2bxc0(a0)中，

的根的判别式，通常用“”来表示，即b24ac． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 4. 韦达定理：

bc

如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1，x2，那么x1x2，x1x2．也

aa

就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 5. 一元二次方程的二次函数的关系：

其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点，也就是该方程的解了．

第23章 图形的相似

1． 比例线段的有关概念

ac

在比例式(a:bc:d)中，a、d叫外项，b、c叫内项，a、c叫前项，b、d叫后项，d叫第

bd

四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项． 2． 比例性质

①基本性质：

ac

adbc bd

2

②更比性质(交换比例的内项或外项)：

ab

cd(交换内项)

dc(交换外项)baac



bddb(同时交换内外项)

cabd

(同时交换比的前项和后项)ac

②合比性质：

aca±bc±d bdbdacmac„ma

③等比性质：„(bd„n≠0)

bdnbd„nb

ACBC

，即

ABAC

3． 黄金分割

在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果

AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中AC4． 平行线分线段成比例定理

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：

ABDEABDEBCEF

，，，„ l1∥l2∥l3．则

BCEFACDFACDF②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定

①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；

②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：

B

EC

B

EC

B

C1

AB≈0.618AB． 2

DE∥BC

∠B∠AED

3

∠B∠

ACD

D

A

B

C

C

A

D

B

B

C

AC∥BD

8． 射影定理

X型 ∠B∠C 母子型

AD是Rt△ABC斜边上的高

由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．

B

9． 中位线

1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的

1

长是对应中线长的．

3

2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．

梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10． 位似

①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这

样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．

C

第24章 解直角三角形

考点一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余．

可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°

2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．

A301

BCDAB 

C902

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

ACB901

CDABBDAD

D为AB的中点24. 勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2b2c2． 5. 摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．

4

CD2ADBD

ACB90 2

ACADAB

CDAB2

BCBDAB

6. 常用关系式

由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC 考点二、直角三角形的判定

1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．

2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3. 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°

①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦， 记为sinA，即sinA

A的对边a



斜边c

A的邻边b



斜边cA的对边a



A的邻边bA的邻边b



A的对边a

②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即cosA③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即tanA④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即cotA2. 锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系

（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)

tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)

（2）平方关系：sin2Acos2A1 （3）倒数关系：tanAcotA=1

sinAcosA

（4）弦切关系：tanA=；cotA=

cosAsinA

4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，

（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值

5

九年级上册数学华师大版(四)
华师大版九年级数学上册版

第25章 解直角三角形 ........................................................................... 2

25.1 测量........................................................................................... 3

25.2 锐角三角函数 .......................................................................... 4

1.锐角三角函数 ............................................................................ 4

2．用计算器求锐角三角函数值 .................................................. 7

25.3 解直角三角形 .......................................................................... 9

阅读材料 ...................................................................................... 13

小结 ..................................................................................................... 14

复习题 ................................................................................................. 15

课题学习............................................................................................. 18

第25章 解直角三角形

测量物体的高度是我们在工作和

生活中经常遇到的问题．

a2b2c2

tanBb a

25.1 测量

当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有

多高？

你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．

图25.1.1

如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．

如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．

试一试

如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的

实际高度．

你知道计算的方法吗？

图25.1.2

实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．

练习

1． 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．

2． 请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．

习题25．1

1． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0

．1米）

（第1题）

2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？

3． 如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到

A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．

（第3题）

25.2 锐角三角函数

1.锐角三角函数

在 25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即

△ABC∽△A′B′C′．

1的比例，就一定有 500BCAC1， BCAC500

1就是它们的相似比． 500BCBC当然也有． ACAC按

我们已经知道，直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、b表示（如图25．2．

1）．

图25.2.1

前面的结论告诉我们，在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．

思考

一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠

A的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？

图25.2.2

观察图25．2．2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知

Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________，

所以B1C1＝_________＝____________． AC1

可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．

因此这几个比值都是锐角A的函数，记作sinA、cosA、tanA、cotA，即

sinA＝A的对边A的邻边，cosA＝， 斜边斜边

A的对边A的邻边，cotA＝． A的邻边A的对边tanA＝

分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A的三角函数．

显然，锐角三角函数值都是正实数，并且

0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

九年级上册数学华师大版(五)
华东师大版九年级数学上全册教案

22．1. 二次根式（1）

教学内容： 二次根式的概念及其运用

教学目标：1

a≥0）的意义解答具体题目．

2、提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键：1

a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

a≥0）”解决具体问题．

教学过程：一、回顾

当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．

当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．

当a是负数时，a没有意义． 二、概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，它的平方

等于a．即有： （1）a≥0（a≥0）； （2）(a)2=a（a≥0）． 形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：在二次根式a中，字母a必须满足a≥0，即被开方数必须是非负数．

三、例题讲解

例题： x是怎样的实数时，二次根式x1有意义？

分析 要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．

解： 被开方数x-1≥0，即x≥1．

所以，当x≥1时，二次根式x1有意义． 思考：a2等于什么？

我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3，„„分别计算对应的a2的值，看看有什么规律：

概括: 当a≥0时，a2a； 当a＜0时，a2a．

这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：

4x2(2x)2=2x（x≥0）； x4(x2)2x2．

四、练习: x取什么实数时，下列各式有意义.

(x3)234x3x2（1）； （2）； （3）； （4）x443x

五、 拓展

例：当x

1在实数范围内有意义？ x1110和中的x+1≠0． x

1x1

解：依题意，得

由①得：x≥-2x30 x103 2

由②得：x≠-1

当x≥-31且x≠-1

+在实数范围内有意义． 2x1

例：(1)已知

，求

2004x的值．(答案:2) y(2)

=0，求a2+b2004的值．(答案:) 5

六、 归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1

a≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

七、布置作业：教材P4：1、2

八、反思及感想：

22.1 二次根式（2）

教学内容：1

a≥0）是一个非负数； 2．

2=a（a≥0）．

教学目标：1

a≥0

2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．

2、

a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平

2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．

教学重难点关键：1

a≥0）是一个非负数；

2=a（a≥0）及其运用．

2

a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出

2=a

（a≥0）．

教学过程： 一、复习引入（学生活动）口答

1．什么叫二次根式？

2．当a≥0

a<0

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空：

（2=_______；

2=_______；

2=______；

2=_______；

（22=______；

=_______；

2=_______．

4的算术平方根，根据算术平方根的意义，

4

2=4．

同理可得：

2=2，

2=9，

2=3，2127

=，=，

2=0，所以

32

三、例题讲解

例1 计算：

1．222 ，

2．（2 ，

3． ，

4．

2=a（a≥0）的结论解题．

解：1.

23 =，

2.（2 =32²2=32²5=45， 2

252

73.

=， 4.

）． 64 四、巩固练习

计算下列各式的值：

2

五、应用拓展

例2 计算

1．

2（x≥0），2．

2 ，3．

2 ，4．

分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；

（2）a2≥0；

（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；

（4）4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2≥0．

所以上面的4

2=a（a≥0）的重要结论解题．

解：（1）因为x≥0，所以x+1>0,

2=x+1

（2）∵a2≥0

2=a2

（3）∵a2+2a+1=（a+1）2 , 又∵（a+1）2≥0，

∴a2+2a+1≥0

2+2a+1

（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2²2x²3+32=（2x-3）2 , 又∵（2x-3）2≥0

∴4x2-12x+9≥0

2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式: 222

2 （

22 2

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

六、归纳小结：本节课应掌握：

1

a≥0）是一个非负数； 2．

2=a（a≥0）;反之:a=

2（a≥0）．

七、布置作业：教材P4：3、4

八、反思及感想：

22.1 二次根式（3）

教学内容

a（a≥0）

教学目标：1

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

2、

（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键：1

a（a≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a≥0

a才成立．

教学过程： 一、复习引入：（老师口述并板收上两节课的重要内容）

1

a≥0）的式子叫做二次根式；

2

a≥0）是一个非负数；

3．

2＝a（a≥0）．

那么，我们猜想当a≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．

二、探究新知：（学生活动）填空：

=_______

=_______

=______；

．

（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：

=2

=0.01

=123

10

3

=0

7．

三、例题讲解：

例

1 化简：（1

（2

（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（

3）25=52，（4）（-3）2=32，

（a

≥0）•去化简．

解：（1

（2

（3

（4

四、巩固练习：（见小黑板）

五、应用拓展

例2

填空：当a≥0；当

a<0，•并根据这一性质回答下列问题．

（1

，则a可以是什么数？ （2

，则a可以是什么数？

（3

，则a可以是什么数？

（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（

2”中的数 ）

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