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初中数学中概率与统计学习的难点及解决策略
俞京宁 北京教育学院丰台分院
一、统计与概率的研究对象、方法以及中、小学学习要求的差异
（一）明确统计与概率的研究对象
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据以及由数据分析结果作出决策的科学。现代社会是信息化的社会，人们常常需要收集数据，根据所获得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计可以为人们制定决策提供依据。概率是研究随机现象规律的科学，随机现象在日常生活中随处可见，概率为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。
（二）对初中、小学统计与概率教材的整体认识
由于统计与概率的内容从小学到初、高中，均有涉及， 遵循新教材逐级递进、螺旋上升的编写原则， 由浅入深、由感性到理性，要求学生逐步掌握统计与概率的相关内容并能应用他们解决一些实际问题。所以，作为初中阶段的教学，我们有必要了解新课程标准中初中和小学对这部分的教学要求。
小学阶段对统计与概率内容的学习要求：分1 - 3 ， 4 - 6两个学段，学生 经历简单的数据统计过程，学习收集、整理和描述数据的方法，并能够根据数据分析的结果作出简单的判断与预测；体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。
初中阶段对统计与概率内容的学习要求：体会抽样的必要性以及用样本估计总体的思想，进一步学习描述数据的方法，进一步体会概率的意义，能计算简单事件发生的概率。具体的对比分析如下表
初中、小学“统计与概率” 教学目标对比表
通过对比初中、小学的学习目标，我们可以感受到：初 中的部分学习内容是在小学基础上进一步加深与扩充，在教学时，对于学生已有知识不适宜作为新课讲解，要抓住中小学的区别，创设合适的情境，使学生在复习的基础上巩固深化，加深对知识的理解以及增强应用意识。
还有一些内容，是初中新增内容，重点体现在增加了数据表示的方法以及分析的方法，再有概率部分对随机性的理解要求加强了。其中的大部分概念，学生理解不是特别困难，但对于这两部分 蕴涵的统计思想和概率观点， 学生在学习的过程中会感到困难。
（三）统计与概率学习与以往数学学习的差异
为什么会产生难点？这是由于 统计与概率学研究的对象、研究的思路与方式、以及获得的研究结论的性质，都与过去学生所接触到的数学内容有根本的不同有关 ：
以往学的代数、几何属于“确定性” 数学，学习时主要依赖逻辑思维和演绎的方法，它们在培养学生的计算能力、逻辑思维能力和空间观念方面发挥着重要作用。而统计与概率属于“不确定性”数学，要寻找随机性中的规律性，学习时主要依靠辨证思维和归纳的方法，它在培养学生的实践能力和合作精神等方面更直接、更有效。具体从以下三个方面对比：
1 . 研究对象不同
由对确定性现象的研究变为对不确定性现象的研究。对于不确定性的现象本身来讲，又有两种情况： 抛掷一枚硬币，我们不能确定是国徽面还是币值面朝上，但可以确定 “非此即彼 ”，不存在 “亦此亦彼 ”的问题，即 这是一种结果出现的偶然性（又叫随机性）问题。偶然性是与必然性相对应的。偶然性刻画的是认知对象出现（内外）条件方面的不确定性，而关于认知对象本身在类属和性态方面的定义是完全确定的。 统计与概率研究的对象具有不确定性，但不确定性现象并不都是统计与概率研究的对象。例如 “两个人长得像 ”的现象也是不确定的，它是一种更复杂的不确定性，我们把它称为模糊性。不确定性的随机性与模糊性是有区别的：随机性的不确定，反映在某事件是否发生，判据是明确的；模糊性的不确定，反映在事件本身的涵义上，判据不分明。统计与概率研究的是前者；后者是模糊数学研究的内容。
2 . 研究的思路与方式不同
数学在研究确定性现象过程中所用的科学推理方式基本上属于演绎推理的方式，由一般到特殊；而统计学在研究不确定性现象时，由样本推断总体，使用的是归纳推理，而且很多时候是不完全归纳推理。因此，统计学研究所获得的结果不像以往学生学习的用演绎推理所获得的结果那样 “确定无疑 ”。
3 . 所获得的结果不同
统计学所得到并予以接受的结果主要是局部的、归纳性的；而以往在确定性数学的学习过程中，得到的经常是较为一般性的、演绎的结果。
这些差异的存在，都会造成学生在学习统计与概率过程中的困难。下面就具体分析一下这部分的难点及解决策略。
二、统计的难点分析及解决策略
真实的数据能提供科学信息，帮助我们了解世界，许多科学结论都是通过分析数据而得到的，借助数据提供的信息作出的判断才比较可信。因此， “运用数据进行推断 ”的思考方法已成为现代社会普遍应用而且高效的思维模式，而 “用样本推断总体 ”又是统计最核心的思想方法。
统计学已有2000多年的历史，按其发展的历史阶段和统计方法的构成看，统计学包括描述统计和推断统计。描述统计的内容包括统计数据收集的方法、数据的加工和整理方法、用图表表示数据的方法、数据分布特征的概括与分析方法等。推断统计研究如何依据样本数据推断总体的数量特征的方法，它以样本数据信息为依据，以概率论为理论基础，对总体未知的数量特征作出以概率形式表述的推断。
那么统计内容学习的难点在哪里呢？
（一） 形成“统计观念”
1. 难点
“观念”，不同于计算、画图等简单技能，是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉。有些人将统计观念称为“数据感”或“信息观念”，无论用什么词汇，它反映的都是由一组数据所引发的想法、所推测到的所有可能的结果、自觉的联想到运用统计的方法解决有关的问题等。具体地说，统计观念可以在以下几个方面得到体现：认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，作出合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。 学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。而在学生对统计有怎样的印象的调查中，获得的信息大致有以下几类：
（ 1 ）统计就是分类（ 2 ）统计是计算（ 3 ）统计就是做加法（ 4 ）统计就是填统计表（ 5 ）统计就是画统计图，或者是根据统计图回答问题……
说明什么？说明对统计知识的教学出现了偏差。我们的教学重视知识点的传授，对统计知识的考核也局限在知识点的考核。因此在教学过程中，重点放在有关数据的计算上，学生没有经历统计过程，难以形成正确的统计观念。
2 . 解决策略
学生的生活经验中，潜在地存在统计意识。比如每年的联欢会在采购前，生活委员一定会调查同学的喜好，然后结合大多数同学的爱好进行采购。我们教学的重点是帮助学生挖掘这种潜意识，注重培养学生有意识的从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。应该做好以下几点 （ 1 ）使学生经历统计活动的全过程
观念的建立需要人们亲身的经历。要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的全过程中去：提出问题，收集数据，整理数据，分析数据，做出决策，进行交流、评价与改进。 在参与活动中学会 统计方法，渗透统计思想。 从另一个角度看，数学的发展往往也经历了这样一个过程，首先是问题的提出，然后是收集与这个问题相关的信息并进行整理，再根据这些信息做出一些判断以解释或解决开始提出的问题。提出问题这点特别重要，没有目的的问题，比如老师让学生来数一数有几朵花、有几个人等，这样的统计活动在学生心里会留下什么？问题的提出，要考虑学生的兴趣，使他乐于参与，而且应该有利于教师的学科寓教。 例如，我们可以开展丰富多彩的问题调查活动，如调查初中生的最喜爱的课外活动、最爱看的书、最喜欢的人物、最喜欢的科目等等，也可以调查现阶段学生的理想等。此外，调查的问题还可以从报刊杂志、电视广播、网络等多方面寻找素材，但是要引导学生注意以上渠道提供的数据，其来源是否可靠、合理？利用合理的调查素材，使学生在运用统计知识的同时，将统计作为了解社会的一个重要手段，提高他们分析问题解决问题的能力，更好的认识现实社会，同时能理智的看待新闻媒介、广告等公布的数据，对现实世界中的许多事情形成自己的看法。
爱因斯坦说过：“纯逻辑的思维不可能告诉我们任何经验世界的知识，现实世界的一切知识是始于经验并终
于经验的。”经验性的观察积累了数据，然后从数据做出某种判断，这种活动将有利于发展学生的发现能力和创新精神。
总之，一定要注意让学生经历活动的全过程。不仅要收集数据、填写统计表，绘制统计图、计算数据，而且感受统计图表的作用，并从中得出相关的结论。
（ 2 ）使学生在现实情境中体会统计对决策的影响
要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在教学中结合生活实例展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决实际问题的过程中体会统计对决策的作用。
例如：统计商店一个月内几种商品的销售情况，并对这个商店的进货提出你的建议；全球水资源的匮乏的事实众所周知，请学生对自家或学校的用水情况进行统计，并提出节水的合理化建议等等，让学生对身边他们感兴趣的事情展开调查，并能够结合所得数据解释统计结果，根据结果进行简单的判断与预测，清晰的表达自己的观点，能够和同伴交流，在解决问题的过程中，认识统计的作用，逐步树立从统计的角度思考问题。
（二） 抽样的合理性
1 ．难点
统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。 不同的抽样将产生不同的结论。那么如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。
2 ．解决策略
学生通过学习，了解了普查与抽查的区别，明确了抽查的必要性。但是由于 我们希望得到的数据能正确反映实际的状况， 所以抽出的样本要能代表这个全体。样本抽得好还是不好，这是非常重要的问题。比如我想了解这个区学生的学习成绩，找了100个学生，但他们都是实验班的学生，我想了解北京市学生的每天的学习时间，找的都是重点校的学生，这样的样本就代表性差。 有没有代表性的问题，是样本的一个核心问题。那么， 怎么能做到有代表性呢？ 就是随机抽取。
为什么随机抽样具有代表性呢？比如说，要了解北京市初中生的视力情况。如果要随机抽取的话，假设视力为5 . 2的学生占百分之三，那么，抽到视力为5 . 2的可能性也就是百分之三。如果5 . 0的占40 % ，那么，抽到5 . 0的可能性也是40 % ，这样的随机抽样，就保证抽到的样本里，各个视力值的百分比与总体的百分比是一样的。另外，由于抽签与顺序无关，若抽取第一个学生，视力为5 . 2的概率是百分之三，那么抽取第二个学生、第三个学生等，其视力为5 . 2的概率也是百分之三。随机抽样能使得样本中不同视力的百分比和总体中的百分比近似相同。 换句话说，随机抽样的样本能很好地反映总体的状况。随机取样为什么具有代表性。这正好是我们前面所说的，概率统计学研究的对象，就是这个随机性，就是不确定性现象，所以从最开始接触总体和样本这两个基本概念的时候，我们老师就要意识到这个随机性，在抽样方法的学习过程中，应该讲到随机取样，随机性的作用，保证这个样本具有代表性，这样的话才能正确的理解这个概念，以及它和以往不同概念之间的差别，否则的话，我们方法介绍了，学生会操作方法，但不知道这方法为什么如此去用，也就谈不到在生活中灵活使用了。
那么如何随机取样呢 ?随机取样不是很容易做到的。比如说你随机抛一枚一元硬币，某个面向上的次数有可能多于二分之一。说是随机抛，但是由于出手的角度、高度等因素，其实抛出来的结果也是很不随机的，所以随机性这一点呢，问题看似简单，但做到也还是很困难的一件事，这一点是我们老师要注意的。像这样的问题，要让学生了解，在初中也没必要去深究。但是应该让学生在具体情境中了解由于所取的样本不同，将会导致统计结论的差异。
例如：某校要了解初中学生课余体育锻炼的时间，以便改进集中体育活动的时间，请学生做调查。首先要根据学校的学生总数，确定样本容量，容量太小，不具有代表性，容量太大，费时费力；其次，要选择调查的地点，应尽可能涉及到各类学生，比如图书馆、运动场等，仅在一个地方调查，很容易缺乏代表性，比如只选择运动场，一定会得出结论，学生的每天运动时间过长，反之，只在图书馆做调查，一定会得到锻炼时间严重不足的结论。此外，还要考虑到各年级的学业负担不同而导致业余时间不同，因此应分年级调查等，可见，在抽样的过程中，要考虑的因素非常多，也比较复杂。初中阶段让学生明确取样时要结合调查的目的，确定调查对
象以及调查方法，使之尽可能的具有代表性即可。
（三）统计量含义的理解
1 ．难点
初中生对统计量的计算不觉得困难，但是如果有较长的时间不使用，大部分学生就会出现遗忘的现象，更甭提灵活运用了，究其原因是对统计量的含义的理解不够到位。这其中表现最突出的就是方差了。例如，今年北京市中考题第7题： 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高 ( 单位： cm) 如下表所示：
题目要求比较二人的平均数及方差。对于平均数，由于学生小学就非常熟悉，而且这是一个生活中常用的概念，所以学生采用估值法或是直接计算等方法都很容易得到相等的结论，而对于方差的比较，有的学生想用方差公式计算，但忘了公式或代入公式后计算有误。实质上，只要明确方差的作用是刻画数据的波动状态，认真分析两组数据，就很容易得到乙队的数据波动较大，所以选B选项，根本不需要计算，省时、省力、还不容易出错。
2 ．解决策略
在统计的教学中，重点不是要求学生背公式，熟练计算，而是要 淡化统计量的计算技巧，突出统计量的特征和作用。避免将这部分内容的学习变成单纯的统计量的计算。注意让学生弄清每个统计量的含义及作用。 作为概念课的教学，“概念产生背景的合理性和应用性”是激发学生自主学习新概念的突破口。 所以要设置合理的问题情境，使每一个概念来源于生活，反之应用于生活，学生才能有比较深刻的体会。例如对于方差概念的教学，我是这样设计的：
首先，我出示了一组2008年我国奥运冠军在领奖台上的组图，用以吸引学生的注意力，同时由于本届奥运会我国成绩辉煌，这一引入也有利于激发学生的民族自豪感。在此基础上指出：冠军的背后还有杰出的教练，从而引入射击冠军杜丽及队友的预赛射击成绩：
让学生利用数据分析两人谁更具优势。 将 教学内容转化为具有潜在意义的问题。
由于学生已学过用平均数、众数、中位数分析数据，并且平均数在生活中较为常用，所以学生能够很快地想到利用平均数来比较两人成绩 。在此安排学生用计算器进行计算，可以提高课堂效率 。通过计算，学生发现两人的平均数相同，继而考察众数与中位数，结果仍然相同 。怎么办？ 让学生站到问题的前沿，使他们产生
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初中数学统计与概率教学体会【初中数学概率与统计课题引入ppt】
作者：陈立兵
来源：《学园》2014年第23期
【摘 要】相对于过去的教材，新课改中概率与统计内容增量较大，成为和数与代数、空间与图形并列的三个分支，地位比以前凸显，这部分内容充分体现了初中数学的基础性、层次性、综合性、新颖性、生活性。
【关键词】统计 频率 概率 抽样 等可能
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）23-0134-01
一 教材设计的层次性
在教学统计与概率时，首先要考虑教材设计的层次性。初中阶段的统计与概率的教学要求是：明确抽样必要性，用样本估计思想，学习描述信息数据的有效方法，体会概率的意义和应用价值，从而对简单事件的出现概率进行计算。教学时应按纲据本，有的放矢。
二 处理思辨、活动之间的关系
教学过程中，应当处理好思辨、活动之间的关系。部分教师对于统计部分的试验教学全部用语言带过，没有学生参与，没有教学载体，长期如此，学生的认知结构必会出现问题，教学课堂也枯燥无味，生硬呆板。当然，具体教学过程中教师可灵活掌握学生参与教学和学习的投入积极性，适当调整进度，对教材进行二次加工。这需要课前做好预案，备好功课。
三 激发学生的学习兴趣
统计首先要对多个数据进行整理和计算，学生一开始学习统计时，往往满足于会算而不愿意动手去练习，缺乏认真仔细、一丝不苟的态度，在计算中马虎出错。所以学习本章时，精选相关例题练习，用错误端正学生的学习习惯。其次，对于学生易犯的错误、例题讨论要深刻。为了提高学习兴趣，尽可能让学生用科学计算器处理复杂计算。大数据统计，课堂上让学生分组分担任务进行。还有多媒体辅助教学的运用可以极大地提高统计概率知识教学的课堂效率，增大课堂密度和容量。此知识点具有背景语言叙述多、图形种类多、答案简单、易叙述的特点，将该知识与电脑教学有机结合，效果明显。
四 关于难点的突破
1.抽样的合理性
统计与概率
一、 选择题
1、为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）
（A）7000名学生是总体 （B）每个学生是个体 （C）500名学生是所抽取的一个样本 （D）样本容量是500【初中数学概率与统计课题引入ppt】
2、某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为（ ）
（A）183 （B）182 （C）181 （D）180 3、数据90，91，92，93，94的方差是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）0
4、甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数 x＝8，方差S乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（ ） （A）甲的射击成绩较稳定 （B）乙的射击成绩较稳定 （C）甲、乙的射击成绩同样稳定 （D）甲、乙的射击成绩无法比较
5、第十中学教研组有25名教师，将他的年龄分成3组，在38～45岁组内有8名教师，那么这个小组的频率是（ ）
（A）0.12 （B）0.38 （C）0.32 （D）3.12 6、下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A、明天我市下雨 B、抛一枚硬币，正面朝上 C、我走出校门，看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数 D、一口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
7、数学老师布置10道选择题作为课堂练习，课代表将全班同学的答题情况绘制成条形统计图（如图），根据图表，全班每位同学答对的题数所组 成样本的中位数和众数分别为（ ） A、8, 8 B、8，9
C、9, 9 D、9, 8
8、一只不透明的布袋中有三种小球（除颜色以外没有任何区别），分别是2个红球，3个白球和5个黑球，每次只摸出一只小球，观察后均放回搅匀．在连续9次摸出的都是黑球的情况下，第10次摸出红球的概率是 ．
2
A、平均数 B、众数 C、最高分数 D、中位数
9、计算机上，为了让使用者清楚、直观地看出磁盘“已用空间”与“可用空间”占“整个磁盘空间”的百分比，使用的统计图是( ) A 条形统计图 B 折线统计图
C 扇形统计图 D 条形统计图或折线统计图
10、 小明把自己一周的支出情况，用右图所示的统计图来表示，下面说法正确的是 （ ） A．从图中可以直接看出具体消费数额
B．从图中可以直接看出总消费数额
C．从图中可以直接看出各项消费数额占总消费额的百分比 D．从图中可以直接看出各项消费数额在一周中的具体变化情况 11、下列事件是随机事件的是（ ）
（A）两个奇数之和为偶数， （B）三条线段围成一个三角形 （C）广州市在八月份下了雪， （D）太阳从东方升起。
12、下列事件：①检查生产流水线上的一个产品，是合格品.②两直线平行，内错角相等.③三条线段组成一个三角形.④一只口袋内装有4只红球6只黄球，从中摸出2只黑球.其中属于确定事件的为（ ） A、②③ B、②④ C、③④ D、①③
13、、从1,2,3,4,5的5个数中任取2个，它们的和是偶数的概率是（ ） 112
（A）（B）（C） （D）以上都不对
1055二、填空题
14、在一个班级50名学生中，30名男生的平均身高是1.60米，20名女生的平均身高是1.50米，那么这个班学生的平均身高是________米.
15、将一批数据分成五组，列出频数分布表，第一组频率为0.2，第四组与第二组的频率之和为 0.5，那么第三、五组频率之和为_________.
16、一个班的学生中，14岁的有16人，15岁的有14人，16岁的有8 人，17岁的有4人。 这个班学生的平均年龄是______岁。
17、布袋里有1个白球和2个红球，从布袋里取两次球，每次取一个，取出后放回， 则两次取出都是红球的概率是 。
18、从全市5 000份试卷中随机抽取400份试卷，其中有360份成绩合格，估计全市成绩合格的人数约为 人．
19
、有十五位同学参加智力竞赛，且他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人知道了自己的分数后，
还需知道这十五位同学的分数的 （平均数、众数、中位数），就能判断他能不能进入决赛 20、已知数据x1,x2,x3的平均数是m，那么数据3x1＋7，3x2＋7，3x3＋7的平均数等于_________.
21、有甲、乙两把不相同的锁，甲锁配有2把钥匙，乙锁配有1把钥匙，事件A为“从这3把钥匙中任选2把，打开甲、乙两把锁”，则P（A）＝
22、某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：【初中数学概率与统计课题引入ppt】
请填好最后一行的各个频率，由此表推断这个射手射击1次，击中靶心的概率的是 ；
23、某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：
(1)填写完成下表：
这20个家庭的年平均收入为______万元；
(2)样本中的中位数是______万元，众数是______万元； (3)在平均数、中位数两数中，______更能反映这个地区家庭 的年收入水平. 二、 解答题
24、画树状图或列表求下列的概率：袋中有红、黄、白色球各一个，它们除颜色外其余都相同，任取一个，放回后再任取一个．画树状图或列表求下列事件的概率． (1)都是红色 (2)颜色相同 (3)没有白色
25、小明与小刚做游戏，两人各扔一枚骰子.骰子上只有l、2、3三个数字．其中相对的面上的数字相同．规则规定．若两枚骰子扔得的点数之和为质数，则小明获胜，否则，若扔得的点数之和为合数，则小刚获胜，你认为这个游戏公平吗?对谁有利?怎样修改规则才能使游戏对双方都是公平的?
初中数学概率与统计教学的难点与有效解决策略
一、概率与统计教学难点分析
1、形成“统计观念”
学习统计的核心目标就是发展学生的统计观念。有人以为统计就是分类、计算、填统计表、画统计图，或者是根据统计图回答问题， 这些都说明对统计知识的教学出现了偏差。
2、抽样的合理性
统计是以样本数据为基础，通过对数据的整理、描述和分析，发现数据的特征或规律，从而对总体的特征作出推断。所以样本的抽取是否具有代表性，在统计中至关重要。不同的抽样将产生不同的结论。怎么能做到有代表性呢？如何抽样更合理，对此学生还存在很多困惑。
3、建立“随机观念”
随机现象是概率与统计部分重要的研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一个全新的观念。特别是如果学生缺乏随机现象的丰富体验，往往很难建立这一观念。造成概率学习中的困难。
4、概率的抽象性
跟过去的精确数学相比较，概率比较抽象，不像前面学的统计量那样，比如说算术平均数，标准差，方差，有对应的公式，代入计算即可。概率是随机事件发生的可能性的度量。像长度和面积这些度量都比较直观，对温度的高低在一定范围我们可以感知。而事件发生的可能性大小的度量，直观看不见，也无法感知。虽然学生具有一些生活经验，这些经验是学生学习概率的基础，但其中往往有一些是错误的。逐步消除错误的经验，建立正确的概率直觉是概率教学的一个重要目标。
所以，教师要注重创设情境，让学生在解决实际问题的过程中逐步理解概率。
5、概率的统计定义的理解
概率在初中阶段有三种定义：一种是古典概率，一种是几何概率，另一种是概率的统计定义。对于前两种定义，由于有小学知识的铺垫，学生很容易理解，但恰恰是教材中多为古典概型或几何概型的问题，所以容易造成学生解决概率问题时，默认他是等可能的。所以对于概率的统计定义，学生的理解比较困难。
6、 概率与频率的关系
频率和概率是两个不同概念，频率与实验的次数有关 ,而频率的稳定性又说明了概率是一个客观存在的数 ,是随机事件自身的一个属性 , 它与实验次数无关。 虽然在概率计算中 ,我们一般用事件发生的频率去代替概率 , 这与实际并不矛盾 ,就象测定一根木棒的长度一样 ,人人皆知木棒有其客观存在的“真实长度” ,但用量具去测量 ,总会有误差 ,测得的数值总是稳定在木棒“真实长度”的附近 ,而得不到木棒的“真实长度”值。事实上 ,人们一般就用测量所得的近似值去代替“真实长度”。只不过根据实际要求选择精度不同的量具罢了。这里木棒的“真实长度”与测得数值之间的关系完全同概率与频率之间的关系一样。
因此，频率既有随机性（每人每次实验都是变化的），又有规律性（也就是稳定性），即随机事件发生的频率的稳定值就是概率，人们也就把频率稳定的中心值作为事件发生的概率。于是我们可以说“频率是概率的估计”、“频率的稳
定值就是概率”，但不能说“频率的稳定值是概率估计值”。频率的稳定性是概率论的理论基础。
7、对等可能的理解
“等可能”是古典概率非常重要的一个特征，它是古典概率思想产生的前提。正是因为“等可能”，所以才会有了“比率”。因此，“等可能性”和“比率”是古典定义教学中的两个落脚点。而学生在处理较为复杂的概率问题中，有时会忽视古典概率的使用条件：等可能。
二、有效解决策略
1、强化核心思想，突出现实意义
这部分的教学应着重于对现实问题的探索，使学生认识到统计与概率的广泛应用以及对制定决策的重要作用．应当根据学生的特点提供丰富的、反映统计与概率思想方法的探索素材，可以从教材、报刊杂志、参考资料等许多方面寻找素材，也可以自己设计统计活动或从学生的实践中引出统计活动。如在统计的教学中可以引入以下的例子：对所喜爱的体育比赛的研究、讨论有奖销售等问题；收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析数据的来源及其可靠性等；统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出建议。
在揭示数学概念的本质、探索数学定理成立的条件时，反例具有重要的作用。同样，在统计与概率的教学中，一些极端的特例有时会发挥意想不到的作用。
2、充分了解学情，明确教学目标
由于对于这部分知识，学生具备一些基础，所以教学要针对学生的问题进行设计，而不能仅仅依据自己的主观臆断或凭经验。例如对于三种事件的教学，有的教师将时间均匀分配。这种课堂的效率比较低。关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。重要的应讲清什么是随机事件。一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。根据初中学生的能力水平，可以突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。教师要明白你想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。这是教学中应遵循的规律。特别是这些新增内容，教师要在前期对学生的掌握情况作充分的调查，以增强教学的针对性。
3、注重活动过程，体验概率意义
要使学生接受统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计的全过程中去，从提出问题到得出结果作出决策、评价改进。为此，教学中，要提供丰富的活动素材和足够的时间与空间，注重统计的全过程，最后能对统计结果作出合理的推断。
例如：学校委托我班调查，全校学生最喜爱的体育活动是什么。围绕这个问题，可以让学生讨论：“是否要调查学校每一个人？”“只调查本班的同学可以吗？”等问题。从中可以使学生体会抽样的必要性和样本的代表性。
学生得到数据后，提出：用什么方法来表示数据，需要计算哪些统计量，才能达到调查的目的？
当学生得出统计结果后，要求学生能对这些数据作出分析和解释，作出判断。最后为学校提出合理的建议。
使学生能够形成概率意识，并用这种意识理解现实世界，是教学的重点和难点。教学中要引导学生主动地参与对事件发生概率的感受和探索，积累大量的活动经验，体会概率的思想方法。
例如：设计一些游戏规则，让学生通过实验等活动，判断游戏是否公平，从而丰富对等可能性事件的体验。
例子：同桌两人事先分别选定“奇数”和“偶数”，然后掷出两个骰子，并依据骰子点数之和的奇偶来决定胜负。讨论这个游戏对双方是否公平。
4、鼓励学生动手，引进模拟实验
为了首先让学生通过具体的实验操作获得一定的活动经验，促进对概率意义的理解与掌握，教科书在25.1.2节给出概率定义之前，设置了一个投掷硬币的实验，为学生提供一个体验概率实验的机会。由于在这个实验中需要获得的投掷次数相对较多，所以这里就需要发动全体学生积极参与，动手实验，靠集体的力量快速地获得实验频率，圆满地完成实验。
在学习用频率估计概率这部分内容时，一方面要鼓励学生亲自动手，集体合作，这主要是针对一些比较简单的实验，比如说投币实验，投图钉实验以及像阅读与理解短文中的布丰投针实验等。另一方面也鼓励学生采用模拟方法进行实验，特别是利用计算机或计算器进行模拟实验。我们知道，为了使用频率估计的概率尽可能地准确就需要进行大量的重复实验，这样的实验是极其费时费力的，所以应该鼓励学生使用现代信息技术，比如教科书就给出了用计算器产生随机数的例子。在学生掌握模拟实验时，重要的不是获得最终的结果，而是针对一个现实问题，让学生提出一种切实可行的进行模拟实验的策略，教科书25.3节的问题3就是这样。
5、避免纯粹计算，淡化专业术语
确认一组数据的范围和平均数，制作统计图表，都是重要的活动，但是它们仅仅是统计过程中的一个环节．通过调查后的数据来计算平均数、方差，比在教材上呈现给学主一组数据去计算要生动而且有意义．
在教学中要尽量减少把有关数据作为已知条件列在例题或习题中，然后借助这些数据进行计算和制作图表．概率的教学既要计算事件发生的概率。又要重视以概率的观念去认识这个计算结果，培养学生统计的观念，如奖券的数学期望表示了获奖的可能性．即使对于记录数据、制作统计图表、计算统计量等处理数据的方法，也要避免学生死记公式和步骤，一招一式地进行模仿．我们应该鼓励学生根据不同的问题，选择适当的概念和方法把杂乱无章的数据整理得简洁、概括、美观和富有个性．
同时，这部分内容中出现了一些专业术语 (如样本、随机抽样、频数分布、方差、数学期望、正态分布等)，教学中不要试图给这些术语下严格的定义，应将重点放在感受和体会上．我们可以引导学生通过“两个比赛队伍射击球数的平均数和方差都一样，但环数的分布情况却有很大差别”这样的例子，引导学生体会方差和频数分布概念的必要性，学习求方差和做频数分布图的方法．
总之，这一学段统计与概率的教学，应重视问题的实际背景和意义，强调制定决策的过程以及统计与概率在社会生活和科学领域中的应用，注重学生的自主探索和在此基础上的合作交流，重视模拟和实验，不要把这部分内容处理成纯计算的内容，也不能灌输给学生过多的专业术语．
初中数学总复习（六）(统计与概率)
一.选择题（每题3分，共21分） 1.在频数分布表中，各小组的频数之和【 】 A．小于数据总数 B．等于数据总数 C．大于数据总数 D．不能确定 2.下列调查中，适合普查的是【 】 A．中学生最喜爱的电视节目 B．某张试卷上的印刷错误 C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D．中学生上网情况 3.数据21，21，21，25，26，27的众数、中位数分别是【 】 A．21，21 B．21，23 C．23，21 D．21，25 4.某市教育局对该市部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．下列说法与图中反映的信息相符的是【 】 A．C级的学生数为20人 B．图②中C级所占的圆心角的度数
50° C．此次抽样调查中，共调查了200名学生D．估计该市近20000名初中生中大约有200名学生对学习不感兴趣 5.下列成语所描述的事件是必然发生的事件是【 】 A．水中捞月 B．日落西山 C．黔驴技穷 D．一箭双雕 6.把-6表示成两个整数的积，共出现的可能性有【 】 A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
二.填空题（每题4分，共40分） 8.已知一组数据：3，3，4，5，5，6，6，6，这组数据的众数是 ． 9.“从超市货架上任意取一盒月饼进行检验，结果合格”这一事件是_______________．(填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”） 10.据统计，近几年全世界森林面积以每年约1700万公顷的速度消失，为了预测未来20年世界森林面积的变化趋势，可选用 统计图表示收集到的数据． 11.小明同学平时不用功学习，某次数学测验做选择题时，他有1道题不会做，于是随意选了一个答案(每小题4个项)，他选对的概率是 ． 12.一个样本为1、3、2、2、a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样
本的方差为________．
13.有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1只杯子，恰好是一等品的概率是__________．
14.七年二班50名同学的一次考试成绩频数分布直方图如图所示，则71～90分之间有______人．
15.如图，有6张牌，从中任意抽取一张，数字是奇数的概率是 ．
16.一个密闭的盒子里有白球若干，在不允许将球到出来的情况下，为估计白球的个数，小明向其中放入8个黑球，摇匀后，随机摸出一个并记下颜色，再放回，共摸球400次，其中88次摸到黑球，估计盒子中大约有白球 个.
17.我国著名田径运动员刘翔以12秒88创110米跨栏世界新记录后，专家组将刘翔历次比赛和训练时的图象与数据输入电脑后分析，显示出他跨过10栏（相邻两个栏间的距离相等）的每个“栏周期”（跨过相邻两个栏所用时间）都不超过一秒，最快的一个“栏周期”达到了惊人的0.96秒，从起跑线到第一个栏的距离为13.72米，刘翔此段的最好成绩是2.5秒，最后一个栏到终点线的距离为14.02米，刘翔在此段的最好成绩是1.4秒．根据上述数据计算：相邻两个栏间的距离是_____米，在理论上，刘翔110米跨栏的最好成绩可达到____秒．
三.解答题（共89分）
18.（9分）有一则广告声称：“有75%的人使用本公司的产品．”你看了这则广告后，认为这样宣传合适吗？并简要说明理由．
19.（9分）判断下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。
（1）两直线平行，内错角相等；（2）打靶命中靶心；（3）物体在重力的作用下自由下落；
（4）掷一次骰子，向上一面是0点.
20.（9分）某鱼塘捕到100条鱼，称得总重为150千克，这些鱼大小差不多，做好标记后放回鱼塘，在它们混入鱼群后又捕到102条大小差不多的同种鱼，称得总重仍为150千克，其中有2条带有标记的鱼．
（1）鱼塘中这种鱼大约有多少条；
（2）估计这个鱼塘可产这种鱼多少千克．
21.（9分）口袋装有编号是1、2、3、4、5的5只形状大小一样的球，其中1、2、3号球是红色，4、5号是白色。规定游戏者一次从口袋中摸出一个球，然后放回第二次再摸一个球，然后再放回。另规定甲再次摸到红球获胜，规定乙摸到一红一白或二白获胜，你认为游戏对双方公平吗？请说明理由.
22.（9分）为了了解市场上甲、乙两种手表日
走时误差的情况，从这两种手表中各随机抽取
10块进行测试，两种手表日走时误差的数据如
右（单位：秒）.
（1）计算甲、乙两种手表日走时误差的平均数；
（2）你认为甲、乙两种手表中哪种手表走时稳
定性好？说说你的理由.
23.（9分）有甲、乙两个不透明的口袋，甲袋中有3个球，分别标有数字0，2，5；乙袋中也有3个球，分别标有数字0，1，4；这6个球除所标数字外没有任何区别．
（1）随机地从甲袋中摸出1个球，求摸到数字2的概率；
（2）从甲、乙两袋中各随机摸出1个球，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个球上数字之和是6的概率．
24.（9分）为庆祝中国首个“东亚文化之都”花落泉州．某校举行全校学生参与的“爱我文都——泉州”知识竞赛，并对竞赛成绩 (成绩取整数，满分为100分)作了随机抽样统计分析，抽样统计结果绘制成如下频数、频率分布表和频数分布直方图．请你根据图表提供的信息解答下列问题：
（1）在频数、频率分布表中，a ，b ；
（2）请你把频数分布直方图补充完整；
（3）若该校共有学生600人，请你估计该校本次竞赛成绩不低于90分的学生共有多少人？ 25.（13分）小华和小丽两人玩数字游戏，先由小丽心中任意想一个数字记为x，再由小华猜小丽刚才想的数字，把小华猜的数字记为y，且他们想和猜的数字只能在1，2，3，4这四个数中.
（1）请用树状图或列表法表示了他们想和猜的所有情况；
（2）如果他们想和猜的数相同，则称他们“心灵相通”。求他们“心灵相通”的概率；
（3） 如果他们想和猜的数字满足|x-y|
≤1，则称他们“心有灵犀”。求他们“心有灵犀”的概率.
26.（13分）十一届全国人大常委会第二十次会议审议的个人所得税法修正案草案（简称“个税法草案”），拟将现行个人所得税的起征点由每月2000元提高到3000元，并将9级超额累进税率修改为7级，两种征税方法的1～5级税率情况见下表：