04年考研数一真题

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04年考研数一真题篇一：2004年考研数学一真题(含解析)

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为__________ . （2）已知f(ex)xex，且f(1)=0, 则f(x)=__________ . （3）设L为正向圆周x2y22在第一象限中的部分，则曲线积分



L

xdy2ydx的值为__________.

d2ydy

4x2y0(x0)的通解为. __________ . （4）欧拉方程x

dxdx2

2

210

***

（5）设矩阵A120，矩阵B满足ABA2BAE，其中A为A的伴随矩阵，E是单位

001

矩阵，则B __________ .

（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X

DX}= __________ .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x0时的无穷小量



cost

x

2

dt,tandt,sint3dt，使排在后面的是前

x2

x

一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) ,,. (B) ,,. (C) ,,. (D) ,,. [ ] （8）设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得

(A) f(x)在（0，)内单调增加. （B）f(x)在(,0)内单调减少. (C) 对任意的x(0,)有f(x)>f(0) .

(D) 对任意的x(,0)有f(x)>f(0) . [ ]

（9）设

a

n1n



n

为正项级数，下列结论中正确的是



(A) 若limnan=0，则级数

a

n1

n

收敛.



（B） 若存在非零常数，使得limnan，则级数

n

a

n1

n

发散.

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- 1 -

(C) 若级数

a

n1



n

收敛，则limnan0.

n

2

(D) 若级数

a

n1

n

发散, 则存在非零常数，使得limnan. [ ]

n

（10）设f(x)为连续函数，F(t)

dy

1

tt

y

f(x)dx，则F(2)等于

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ ]

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

010(A) 100. (B) 101010

101. (C) 001010

100. (D) 011011

100. 001

[ ]

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ ]

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的(01)，数u满足P{Xu}，若

P{Xx}，则x等于

(A) u. (B) u

2

1



2

. (C) u1 . (D) u1 . [ ]

2

2

1n

（14）设随机变量X1,X2,,Xn(n1)独立同分布，且其方差为0. 令YXi，则

ni1

(A) Cov(X1,Y)(C) D(X1Y)

2

n

. (B) Cov(X1,Y)2.

n22n12

. (D) D(X1Y). [ ] nn

2

2

（15）（本题满分12分）

2

设eabe, 证明lnblna

4

(ba). 2e

（16）（本题满分11分）

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为k6.010). 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？

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- 2 -

6

注kg表示千克，km/h表示千米/小时. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 I

3322xdydz2ydzdx3(z1)dxdy, 

其中是曲面z1x2y2(z0)的上侧.

（18）（本题满分11分）

n

设有方程xnx10，其中n为正整数. 证明此方程存在惟一正实根xn，并证明当1时，级

数

x收敛.

nn1



（19）（本题满分12分）

设z=z(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求zz(x,y)的极值点和极值. （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组

(1a)x1x2xn0,2x(2a)x2x0,12n



nx1nx2(na)xn0,

(n2)

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. （21）（本题满分9分）

123

 设矩阵A143的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可相似对角化. 1a5

(22)（本题满分9分） 设A,B为随机事件，且P(A)

111

,P(BA),P(AB)，令 432

X

,1,A发生1,B发生, Y ;.0,A不发生0,B不发生

求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数XY.

（23）（本题满分9分）

设总体X的分布函数为

1

1,x1,

F(x,) x

x1,0,

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- 3 -

n为来自总体X的简单随机样本，求：

.

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- 4 -

其中未知参数1,X1,X2,,X（I） 的矩估计量； （II） 的最大似然估计量

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为yx1.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标. 【详解】 由y(lnx)

1

1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x

y01(x1)， 即 yx1.

【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为y由此可知所求切线方程为y01(x1)， 即 yx1.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知f(e)xe，且f(1)=0, 则f(x)=

x

x

xx0



1

得x01，1，

x0

1

(lnx)2 . 2

【分析】 先求出f(x)的表达式，再积分即可.

x

【详解】 令et，则xlnt，于是有

lntlnx

. ， 即 f(x)

txlnx1

(lnx)2C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 积分得 f(x)x2

f(t)

1

(lnx)2. 2

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分，则曲线积分

2

2



L

xdy2ydx的值为

3 . 2

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周xy2在第一象限中的部分，可表示为 

2

2

x2cos,y2sin,

20

:0



2

.

于是

xdy2ydx

L

[2cos2cos22sin2sin]d



=



20

2sin2d

3. 2

【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参

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- 5 -

04年考研数一真题篇二：2004年考研数学(一)试题及答案解析

2004年数学一试题分析、详解和评注

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）曲线y=lnx上与直线xy1垂直的切线方程为 yx1.

【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由y(lnx)

1

1，得x=1, 可见切点为(1,0)，于是所求的切线方程为 x

y01(x1)， 即 yx1.

【评注】 本题也可先设切点为(x0,lnx0)，曲线y=lnx过此切点的导数为y由此可知所求切线方程为y01(x1)， 即 yx1.

本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知f(ex)xex，且f(1)=0, 则f(x)=

xx0



1

1，得x01，x0

1

(lnx)2 . 2

【分析】 先求出f(x)的表达式，再积分即可。

x

【详解】 令et，则xlnt，于是有

lntlnx

. ， 即 f(x)

tx

1lnx12

(lnx)2C. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0， 积分得 f(x)故所求函数为f(x)= (lnx).

2x2

f(t)

【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。

完全类似的例题见《数学复习指南》P89第8题, P90第11题.

（3）设L为正向圆周xy2在第一象限中的部分，则曲线积分

2

2



L

xdy2ydx的值为

3 . 2

【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正向圆周xy2在第一象限中的部分，可表示为 

2

2

x2cos,y2sin,

20

:0



2

.

于是

xdy2ydx

L

[2cos2cos2sin2sin]d



=



20

2sin2d

3. 2

【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.

完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P143例10.11，《考研数学大串讲》P122例5、例7 .

c1c2d2ydy

y4x2y0(x0)（4）欧拉方程x的通解为 .

xx2dxdx2

2

【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换xe化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令xe，则

t

t

dydydtdy1dy

et， dxdtdxdtxdt

d2y1dy1d2ydt1d2ydy

22[2]， 22

dtdxxdtxdtdxxdt

代入原方程，整理得

d2ydy

32y0， 2

dtdt

解此方程，得通解为 yc1e

t

c2e2t

c1c2

. xx2

t

【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令xe，则欧拉方程

d2ydy

bxcyf(x)， ax2

dxdx

2

d2ydydy

]bcyf(et). 可化为 a[2dtdtdt

完全类似的例题见《数学复习指南》P171例6.19, 《数学题型集粹与练习题集》P342第六题.，《考研数

学大串讲》P75例12.

210***

（5）设矩阵A120，矩阵B满足ABA2BAE，其中A为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，

001

则B

1

. 9

*

【分析】 可先用公式AAAE进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得

ABA*A2BA*AA， 而A3，于是有 3AB6BA， 即 (3A6E)BA，

再两边取行列式，有

3A6EBA3，

而 3A6E27，故所求行列式为B

1. 9

*

【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵A，一般均应先利用公式

A*AAA*E进行化简。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P107例2，P118例9 （6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则P{X

DX}=

1 . e

【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知DX P{X

1



2

，于是

DX}=P{X

1

1



1exdx





=ex



1. e

【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 完全类似例题见《数学一临考演习》P35第5题.

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）把x0时的无穷小量的高阶无穷小，则正确的排列次序是

(A) ,,. (B) ,,. (C) ,,. (D) ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.





x

costdt,tandt,sint3dt，使排在后面的是前一个

2

x2



【详解】 limlim

x0x0











x2x

tandtcost2dt

2

lim

x0

tanx2x

0，可排除(C),(D)选项，

cosx2



又 limlim

x0x0







0x

sintdt

3

sinxlim

x0

3

2

1

tandt

2x 2xtanx

=

1xlim，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B). 2x04x

n

【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将,,分别与x进行比较，再确定相互的高低次序. 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第9题.

（8）设函数f(x)连续，且f(0)0,则存在0，使得

(A) f(x)在（0，)内单调增加. （B）f(x)在(,0)内单调减少. (C) 对任意的x(0,)有

f(x)>f(0) . (D) 对任意的x(,0)有

f(x)>f(0) .

[ C ]

【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。

【详解】 由导数的定义，知

f(0)lix0

f(x)f(0)

0，

x

根据保号性，知存在0，当x(,0)(0,)时，有

f(x)f(0)

0

x

即当x(,0)时，f(x)<f(0); 而当x(0,)时，有f(x)>f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 完全类似例题见《数学一临考演习》P28第10题. （9）设

a

n1n



n

为正项级数，下列结论中正确的是



(A) 若limnan=0，则级数

a

n1

n

收敛.



（B） 若存在非零常数，使得limnan，则级数

n

a

n1

n

发散.

(C) 若级数

a

n1



n

收敛，则limnan0.

n

2

(D) 若级数

a

n1

n

发散, 则存在非零常数，使得limnan. [ B ]

n

【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.



11

【详解】 取an，则limnan=0，但an发散，排除(A)，(D)；

nnlnnnlnnn1n1

又取an

1nn

，则级数

a

n1



n

收敛，但limnan，排除(C), 故应选(B).

n

2

【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，



an1

nanli0，而级数发散，因此级数an也发散，故应选(B). limnn1n1nn1

n

完全类似的例题见《数学复习指南》P213例8.13.

（10）设f(x)为连续函数，F(t)

dy

1

tt

y

f(x)dx，则F(2)等于

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ]

【分析】 先求导，再代入t=2求F(2)即可。关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.

【详解】 交换积分次序，得

F(t)

dy

1

tt

y

f(x)dx=[f(x)dy]dxf(x)(x1)dx

1

1

1

txt

于是，F(t)f(t)(t1)，从而有 F(2)f(2)，故应选(B).

【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: [



b(x)

a(x)

f(t)dt]f[b(x)]b(x)f[a(x)]a(x)

否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上。

完全类似例题见《数学最后冲刺》P184例12，先交换积分次序再求导.

（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

010(A) 100. (B) 101010

101. (C) 001010

100. (D) 011011

100. 001

[ D ]

【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积。

【详解】由题设，有

010100 A100B， B011C， 001001010100于是， A100011001001

011

C.

A100001

可见，应选(D).

【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系。 完全类似例题见《数学题型集粹与练习题集》P196例2.2

（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关.

(D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. [ A ]

04年考研数一真题篇三：2004年考研数学一真题及参考答案(点击查看)

2004年全国硕士研究生入学统一考试

理工数学一试题详解及评析

一、

填空题

（1）曲线y=lnx与直线x+y=1垂直的切线方程为 . 【答】 y=x−1. 【详解】 由y=(lnx)=

'

'

1

=1,得x=1,可见切点为(1,0)，于是所求得切线方程为， x

y−0=1⋅(x−1),即y=x−1

x−x

（2）已知f′(e)=xe，且f(1)=0，则f(x)=【答】

1

(lnx)2. 2

【详解】

令e=t，则x=lnt，于是有

x

lntlnx， 即 f′(x)=. tx

lnx1

积分得 f(x)=∫=(lnx)2+C. 利用初始条件f(1)=0， 得C=0,

x212

故所求函数为 f(x)=(lnx).

2f′(t)=

（3）设L为正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，则曲线积分【答】

2

2

∫

L

xdy−2ydx的值为

3π. 2

2

2

【详解】正向圆周x+y=2在第一象限中的部分，可表示为

⎧x=2cosθ,

⎨

⎩y=2sinθ,

π

θ:0→

π

2

.

于是

∫xdy−2ydx=∫

L

20

[2cosθ⋅2cosθ+22sinθ⋅2sinθ]dθ

π

=π+

∫

20

2sin2θdθ=

3π. 2

d2ydy

x（4）欧拉方程x+4+2y=0(x>0)的通解为2

dxdx

2

【答】 y=

c1c2

+2. xx

t

【详解】 令x=e，则

dydydtdy1dy

=⋅=e−t=

dxdtdxdtxdt

1dy1d2ydt1d2ydyd2y

=−2+⋅=2[2−] 22

dtdxxdtxdtdxxdt

代入原方程，整理得

d2ydy

+3+2y=0 2

dtdt

解此方程，得通解为 y=c1e

−t

+c2e−2t=

c1c2

+2. xx

⎡210⎤⎢⎥***

（5）设矩阵A=120，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A为A的伴随矩阵，E⎢⎥

⎢⎣001⎥⎦

是单位矩阵，则B= . 【答】

1. 9

ABA*A=2BA*A+A

【详解】已知等式两边同时右乘A，得

而A=3，于是有

3AB=6B+A，

即 (3A−6E)B=A， 再两边取行列式，有

3A−6EB=A=3，

而 3A−6E=27，故所求行列式为B=

1. 9

DX}＝ .

（6）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X>【答】

1. e

1

【详解】 由题设，知DX=

λ2

1

，于是

+∞

P{X>DX}=P{X>=1

λ

−λx

λedx =−e

−λx

+∞1

λ

λ

1=. e

二、选择题

（7）把x→0时的无穷小量α=

+

∫

x

costdt,β=∫tandt,γ=∫sint3dt，使排在后面

2

x2

x

的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A)

α,β,γ. (B) α,γ,β. (C) β,α,γ. (D) β,γ,α.

【 】

【答】 应选（B）. 【详解】

β

lim=limx→0αx→0

+

+

∫

∫

x2x

tantdtcost2dt

=lim+

x→0

tanx⋅2x

=0，可排除(C),(D)选项， 2

cosx

sinx⋅=lim+

x→0

3

2

γ

又 lim=lim

x→0βx→0

+

+

∫

∫

0x2

sintdt

3

1

tandt

x2x1

=lim=∞， 4x→0+x22xtanx

可见，γ是比β低阶无穷小量，故应选(B).

（8）设函数f(x)连续，且f′(0)>0,则存在δ>0，使得

(A) f(x)在（0，δ)内单调增加. （B）f(x)在(−δ,0)内单调减少. (C) 对任意的x∈(0,δ)有f(x)>f(0). (D) 对任意的x∈(−δ,0)有f(x)>f(0).

【 】

【答】 应选（C）.

【详解】 由导数的定义，知

f′(0)=lim

x→0

f(x)−f(0)

>0

x

根据保号性，知存在δ>0，当x∈(−δ,0)∪(0,δ)时，有

f(x)−f(0)

>0

x

即当x∈(−δ,0)时，f(x)<f(0).; 而当x∈(0,δ)时，有f(x)>f(0).. 故应选(C).

（9）设

∑a

n=1

∞

n

为正项级数，下列结论中正确的是

(A) 若limnan=0，则级数

n→∞

∑a

n=1

∞

n

收敛.

(B) 若存在非零常数λ，使得limnan=λ，则级数

n→∞

∑a

n=1

∞

n

发散.

（C）若级数

∑a

n=1∞

∞

n

收敛，则limnan=0.

n→∞

2

（D）若级数

∑a

n=1

n

发散, 则存在非零常数λ，使得limnan=λ.

n→∞

【 】

【答】应选（B）.

∞∞

11

，则limnan=0，但∑an=∑发散，排除(A)，(D)； 【详解】 取an=

n→∞nlnnnlnnn=1n=1

又取an=

1

nn

，则级数

∑a

n=1

∞

n

收敛，但limnan=∞，排除(C), 故应选(B).

n→∞

2

（10）设f(x)为连续函数，F(t)=

∫

t

1

dy∫f(x)dx，则F′(2)等于

y

t

(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0.

【 】

【答】 应选（B）. 【详解】交换积分次序，得

F(t)=∫dy∫f(x)dx=∫[∫f(x)dy]dx=∫f(x)(x−1)dx

1

y

1

1

1

tttxt

于是，F′(t)=f(t)(t−1)， 从而有 F′(2)=f(2)，故应选(B).

将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则（11）设A是3阶方阵，满足AQ=C的可逆矩阵Q为

⎡0

(A) ⎢

⎢1⎢⎣1

100

⎡00⎤

. (B) ⎢10⎥⎢⎥

⎢1⎥⎣0⎦

100

0⎤⎡0

⎥. (C) ⎢11⎥

⎢⎢1⎥⎦⎣0

101

0⎤⎡0

. (D) ⎢⎥0⎥⎢1

⎢1⎥⎦⎣0

100

1⎤

0⎥⎥1⎥⎦

【 】

【答】 应选（D）. 【详解】 由题设，有

⎡010⎤⎡100⎤

⎢ ⎢⎥A⎢100⎥=B,B⎢011⎥=C⎥⎢⎥⎢⎥001001⎣⎦⎣⎦

于是，

⎡011⎤⎡010⎤⎡100⎤

⎥⎢011⎥=A⎢100⎥=C. A⎢100⎥⎢⎥⎥⎢⎢

⎢⎢⎦⎣001⎥⎦⎣001⎥⎦⎢⎣001⎥

可见，应选(D).

（12）设A,B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有： （A）A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. （D）A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关.

【 】

【答】 应选（A）.

【详解1】设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则由AB=0知，

r(A)+r(B)<n

又A,B为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0.可见r(A)<n,r(B)<n,即A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关，故应选(A).

【详解2】由AB=0知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。

同理，由AB=0知，BA=O，于是有B的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).

（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的α(0<α<1)，数uα满足

T

T

T

P{X>uα}=α，若P{X<x}=α，则x等于

(A) uα. (B) u

2

1−

α

2

. (C) u1−α . (D) u1−α .

2

【 】

【答】 应选（C）.

【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X<−uα}=α，于是

1−α=1−P{X<x}=P{X≥x}=P{X≥x}+P{X≤−x}=2P{X≥x}

即有 P{X≥x}=

1−α

，可见根据定义有x=u1−α，故应选(C).

22

2

1n

（14）设随机变量X1,X2,

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