2007年考研数一答案

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2007年考研数一答案篇一：07年考研数学一真题及答案

2007年考研数学一真题

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当x

0 ( )

A. 1

B.

C. 1

D.1

(2) 曲线y=

1

ln(1ex), 渐近线的条数为 ( ) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=结论正确的是 ( ) A. F(3)=



x

f(t)dt .则下列

3535

F(2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=F(2) D. F(3)= F(2) 4444

(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )

f(x)f(x)f(x)

存在，则f（0）=0 B. 若lim 存在，则f（0）=0

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)''

C. 若lim 存在，则f(0)=0 D. 若lim 存在，则f(0)=0

x0x0xx

A. 若lim

(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且f"(x)o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )

A.若u1u2，则{un}必收敛 B. 若u1u2，则{un}必发散 C. 若u1u2，则{un}必收敛 D. 若u1u2，则{un}必发散

(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.

(x,y)dx B. 

r

r

f(x,y)dy C.



r

f(x,y)ds D.



r

f'x(x,y)dxf'y(x,y)dy

（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A）

12,23,31 （B） 12,23,31

（C） 122,223,321 （D）122,223,321

211100

（8）设矩阵A=121，B=010，则A于B ( )

112000

(A) 合同，且相似

(C) 不合同，但相似

(B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似

（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p0p1，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A）3p(1p)2 (C) 3p2(1p)2

(B)6p(1p)2 (D) 6p2(1p)2

(10) 设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y＝y的条件下，X的条件概率密度fX（A）fX(x)

(B) fY(y)

|Y

(x|y)为 ( )

(C) fX(x)fY(y)

(D)

fX(x)

fY(y)

二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）



2

1

11

xdx＝_______. 3x

z

＝______. x

yx

（12）设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则

(13)二阶常系数非齐次线性方程y''4y'3y2e2x的通解为y＝____________. (14)设曲面



：|x||y||z|1，则





(x|y|)ds＝_____________.

0

0

(15)设矩阵A＝

00

10000100

003

，则A的秩为________. 10

1

的概率为________. 2

（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于

三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)（本题满分11分）求函数f(x,y)x22y2x2y2在区域D{(x,y)x2y24,y0}上的最大值和最小值。

(18)(本题满分10分)计算曲面积分

Ixzdydz2xydzdx3xydxdy,



2

y2

其中为曲面z1x(0z1)的上侧.

4

(19)(本题是11分)

设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶导数且存在相等的最大值， f(a)g(a),f(b)g(b)证明：存在(a,b)，使得f''()g''().

(20)(本题满分10分)

设幂级数anxn在(,)内收敛，其和函数y(x)满足

n0

y''2xy'4y0,y(0)0,y'(0)12

an,n1,2,;n1

(2)求y(x)的表达式.(1)证明an2

(21)(本题满分11分)

x1x2x30

设线性方程组x12x2ax30

2x4xax3021与方程x12x2x3a1

(2)

有公共解，求a的值及所有公共解.

(22)设3阶对称矩阵A的特征向量值11,22,32,1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量,记BA4AE其中E为3阶单位矩阵

5

3

(1)

(I)验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量； (II)求矩阵B.

(23)设二维变量(x,y)的概率密度为 f(x,y)

0x1,0y12xy

其他0

(I)求P{X2Y}； (II)求zXY的概率密度.

(24)设总体X的概率密度为

1

0x2

1

x1 f(x,)

2(1)0其他

X1,X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值

(I)求参数的矩估计量；

(II)判断42是否为2的无偏估计量,并说明理由.

2007年考研数学一真题解析

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）

（2） 当x

0 (B)

A. 1

B.

C. 1

D.1

(2) 曲线y=

1

ln(1ex), 渐近线的条数为 (D) x

A.0 B.1 C.2 D.3

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=结论正确的是 (C) A. F(3)=



x

f(t)dt .则下列

3535

F(2) B. F(3)=F(2) C. F(3)=F(2) D. F(3)= F(2) 4444

(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)

f(x)f(x)f(x)

存在，则f（0）=0 B. 若lim 存在，则f（0）=0

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)''

C. 若lim 存在，则f(0)=0 D. 若lim 存在，则f(0)=0

x0x0xx

A. 若lim

(5)设函数f（x）在（0, +）上具有二阶导数，且f"(x)o, 令un=f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)

A.若u1u2，则{un}必收敛 B. 若u1u2，则{un}必发散 C. 若u1u2，则{un}必收敛 D. 若u1u2，则{un}必发散

(6)设曲线L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,T为L上从点M到N的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.

(x,y)dx B. 

r

r

f(x,y)dy C.



r

f(x,y)ds D.



r

f'x(x,y)dxf'y(x,y)dy

（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A）

12,23,31 （B） 12,23,31

（C） 122,223,321 （D）122,223,321

211100

（8）设矩阵A=121，B=010,则A于B， (B)

112000

(A) 合同，且相似

(C) 不合同，但相似

(B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似

2007年考研数一答案篇二：2007考研数学(一)试题及详细答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 当x

0

(A) 1

(B) ln

(C) 1.

(D) 1 [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当x



0时，有1

(1)~

1~

；

1~

(2) 曲线y

11

2x. 利用排除法知应选(B). 22

1

ln(1ex)，渐近线的条数为 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；

x0

1x

x

又 lim[ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；

x

1x

x

y1ln(1ex)ln(1ex)ex

]lim进一步，limlim[2=lim1， xxxxxxxxx1e

lim[y1x]lim[ln(1e)x]=lim[ln(1e)x]

x

xx

1

x

xx

x

=lim[lne(1e)x]limln(1e)0，

x

x

xx

于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)则下列结论正确的是



x

f(t)dt.

35

F(2). (B) F(3)F(2). 4435

(C) F(3)F(2). (D) F(3)F(2). [ C ]

44

(A) F(3)

【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)

1

， 2

F(3)是两个半圆面积之差：F(3)

1133

[12()2]=F(2)， 2284

3

3

F(3)

30

f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(3)

因此应选(C).

(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是

f(x)f(x)f(x)

存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)

(C) 若lim存在，则f(0)存在. (D) 若lim存在，则f(0)存在

x0x0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若lim

x0

f(x)f(x)f(0)f(x)

存在，则f(0)0,f(0)limlim0，可见(C)也正确，

x0x0xx0x

故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)x在x=0处连续，且

lim

x0

xxf(x)f(x)

=lim0存在，但f(x)x在x=0处不可导。 x0xx

(5) 设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0. 令unf(n)(n1,2,,), 则下列结论正确的是

(A) 若u1u2，则{un}必收敛. (B) 若u1u2，则{un}必发散.

(C) 若u1u2，则{un}必收敛. (D) 若u1u2，则{un}必发散. [ D ]

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但

2

{un}{n2}发散，排除(C); 设f(x)=

1

, 则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且x

1

f(x)0,u1u2，但{un}{收敛，排除(B); 又若设f(x)lnx，则f(x)在(0,)上

n

具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但{un}{lnn}发散，排除(A). 故应选(D).

(6) 设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是

(A) (C)



T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)



T

f(x,y)dy.

fx(x,y)dxfy(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,y1y2. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：



T

f(x,y)dxdxx2x10;

T

T

f(x,y)dydyy2y10;

T

T

T

f(x,y)dsdss0;

T

T

fx(x,y)dxfy(x,y)dydf(x,y)0.

故正确选项为(B).

(7) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A)

12,23,31. (B) 12,23,31.

(C) 122,223,321. (D)

【详解】用定义进行判定:令

122,223,321. [ A ]

x1(12)x2(23)x3(31)0，

得 (x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30.

x30,x1　　　　



0, 因1,2,3线性无关，所以 x1x2　　　

　　　x2x30.

1

又 1

011

00， 1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即12,23,31线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

211100

(8) 设矩阵A121, B010, 则A与B

112000

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【详解】 由|EA|0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A) 3p(1p)． (B) 6p(1p).

2

2

(C) 3p2(1p)2． (D) 6p2(1p)2． [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：C3p(1p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x)fY(y)分别表示Ｘ，

1

2

2

Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A) fX(x)． (B) fY(y)． (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

． [ A ] fY(y)

【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)



2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

tx

【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】



2

1

1

dxx3

1x



1

23t1

te(

t

11t

)dtte122dt t

=

tde

1

2

1

te

t112

11

1edte2.

22

1

ty

x

(12) 设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则【详解】 利用复合函数求偏导公式，有

zy1x

=f1yxf2ylny. x

zy1x

=f1yxf2ylny. x

2x

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e

的通解为

yC1exC2e3x2e2x. 其中C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为

2430，解得11,23. 可见对应齐次线性微分方

x

3x

程y4y3y0的通解为 yC1eC2e.

设非齐次线性微分方程y4y3y2e的特解为yke，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为yC1eC2e2e.

(14) 设曲面:xyz1，则

x

3x

2x

2x

*2x

(x|

y|)dS=



【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此有轮换对称性，于是

xdS=0. 又曲面:xyz1具



(x|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=









1

(|x||y||z|)dS 3

=

113dS 

8332

100



0103

, 则A的秩为1.

001



000

00

(15) 设矩阵A

00

003

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A

00

001



0003

, 故r()=1. A000

000

13

(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为．

24

【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间

{(x,y)|0x,y1}, 记A{(x,y)|(x,y),|xy|.

SAS

1

2

故 P(A)

3

3

，其中SA,S分别表示A与 的面积. 14

三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)

求函数f(x,y)x2yxy在区域D{(x,y)xy4,y0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

2

2

2

2

2

2

fx(x,y)2x2xy，fy(x,y)4y2x2y，解方程：

2

fx2x2xy0,

 得开区域内的可能极值点为(

. 2

f4y2xy0

y

其对应函数值为f(2.

又当y=0 时，f(x,y)x在2x2上的最大值为4，最小值为0.

2

2007年考研数一答案篇三：2007年数学一考研试题和答案

北京文登学校 咨询电话：010-62155566、62289409

2007年研究生入学考试数学一试题

一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x

0时，与 （A

）1

（2

（B

）ln

（C

1 （D

）1cos [ ]

（A） ] （3圆周，t，

（A）（C） ]

（4）设函数f(x)在x0处连续，下列命题错误的是： （A）若lim

f(x)xf(x)x

x0

存在，则f(0)0 （B）若lim

f(x)f(x)

xf(x)f(x)

x

x0

存在，则f(0)0 . 存在，则f(0)0.

（C）若lim

x0

存在，则f(0)0 （D）若lim

x0

[ ]

（5）设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0，令unf(n)，则下列结论正确的是：

北京文登学校 咨询电话：010-62155566、62289409

(A) 若u1u2 ，则un必收敛. (B) 若u1u2 ，则un必发散

(C) 若u1u2 ，则un必收敛. (D) 若u1u2 ，则un必发散. [ ]

（6）设曲线L:f(x,y)1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ

象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）f(x,y)dx. （B）f(x,y)dy

T

T

（C）f(x,y)ds. （D）fx(x,y)dxfy(x,y)dy. [ ]

T

T

（7）设向量组1,2,3

(A) 12,23,31

(B) 12,23,31

(D) 2223,321 [ ] 10

A (C) 122,223,321.

121

11

1,B002

2



（8）设矩阵A1

1

(A) 合同且相似 .

(C) 不合同，但相似. 既不合同也不相似 [ ] （9）p(0p1)，则此人第4次射击恰好第2 （A）p). （B）6p(1p).

（C）3p （D）6p(1p) [ ] （10）设随机变量,Y服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示

X,Y的概率密度，则在Yy的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

2

2

2

2

2

(A) fX(x). (B) fY(y). (C) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)fY(y)

. [ ]

二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）



2

1x

2

1

1

xdx =__________.

北京文登学校 咨询电话：010-62155566、62289409

（12） 设f(u,v)是二元可微函数，zf(xy,yx)，则

zx

 __________.

（13） 二阶常系数非齐次微分方程y4y3y2e2x的通解为y________. （14） 设曲面:|x||y||z|1，则x|y|dS



0

0

（15）设矩阵A

00

1000

0100

00

，则A3的秩为. 10

（16）

率

（17） （18） 其中（19）

f(a)（20） y2xy4y0,y(0)0,y(0)1.

（Ⅰ）证明：an2

2n1

an,n1,2；

（II）求y(x)的表达式.

（21） (本题满分11分)

北京文登学校 咨询电话：010-62155566、62289409

x1x2x30

设线性方程组x12x2ax30与方程x12x2x3a1有公共解，求a的值及

2

x14x2ax30

所有公共解.

（22） (本题满分11分)

设三阶对称矩阵A的特征向量值11,22,32，1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量，记BA54A3E，其中E为3阶单位矩阵.

（I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （II）求矩阵B. （23） (本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2xy,

0,

0x

,0y

1

f(x,y)（I）求PX2Y；

.

(II) 求ZXY

北京文登学校 咨询电话：010-62155566、62289409

1. 【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.

1【详解】当x

0时，



1

，1cos

1

2

2



12

x，

故用排除法可得正确选项为（B）.

0

lim

lim

x0

事实上，lim

x0



1，

.

【评注 2. 【判断.

【详解】 x x b

【评注.

注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e当

x,x时的极限不同.

x

类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）第一篇【例6.30】，【例6.31】.

3. 【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得 11

F(3)1

222

2

1

2

38

，F(2)

12

2

2

12

，

2007年考研数一答案篇四：2007考研数一真题及答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1) 当x

0

等价的无穷小量是 (A) 1

(B) ln

.

(C) 1.

(D) 1. [ B ]

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】 当x



0时，有1

(1)~

1~

；

1~

(2) 曲线y

11

2x. 利用排除法知应选(B). 22

1

ln(1ex)，渐近线的条数为 x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；

x0

1x

x

又 lim[ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；

x

1x

x

y1ln(1ex)ln(1ex)ex

]lim进一步，limlim[2=lim1， xxxxxxxxx1e

x

lim[y1x]lim[ln(1e)x]=lim[ln(1e)x]

x

x

x

xxx

=lim[lne(1e)x]limln(1e)0，

x

x

1x

x

于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)则下列结论正确的是



x

f(t)dt.

35

F(2). (B) F(3)F(2). 4435

(C) F(3)F(2). (D) F(3)F(2). [ C ]

44

(A) F(3)

【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清

楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)

1

， 2

F(3)是两个半圆面积之差：F(3)

1133

[12()2]=F(2)， 2284

3

3

F(3)

3

f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(3)

因此应选(C).

(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是

f(x)f(x)f(x)

存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)

(C) 若lim存在，则f(0)存在. (D) 若lim存在，则f(0)存在

x0x0xx

(A) 若lim

[ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若lim

x0

f(x)f(x)f(0)f(x)

存在，则f(0)0,f(0)limlim0，可见(C)也正确，

x0x0xx0x

故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)x在x=0处连续，且

lim

x0

xxf(x)f(x)

=lim0存在，但f(x)x在x=0处不可导。 x0xx

(5) 设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0. 令unf(n)(n1,2,,), 则下列结论正确的是

(A) 若u1u2，则{un}必收敛. (B) 若u1u2，则{un}必发散.

(C) 若u1u2，则{un}必收敛. (D) 若u1u2，则{un}必发散. [ D ]

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但

2

{un}{n2}发散，排除(C); 设f(x)=

1

, 则f(x)在(0,)上具有二阶导数，且x

1

f(x)0,u1u2，但{un}{收敛，排除(B); 又若设f(x)lnx，则f(x)在(0,)上

n

具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但{un}{lnn}发散，排除(A). 故应选(D).

(6) 设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是

(A) (C)



T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)



T

f(x,y)dy.

fx(x,y)dxfy(x,y)dy. [ B ]

TT

【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,y1y2. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：



T

f(x,y)dxdxx2x10;

T

T

f(x,y)dydyy2y10;

T

T

T

f(x,y)dsdss0;

T

T

fx(x,y)dxfy(x,y)dydf(x,y)0.

故正确选项为(B).

(7) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A) 12,23,31. (B) 12,23,31.

(C) 122,223,321. (D) 122,223,321. [ A ]

【详解】用定义进行判定:令

x1(12)x2(23)x3(31)0，

得 (x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30.

x30,x1　　　　



0, 因1,2,3线性无关，所以 x1x2　　　

　　　x2x30.

1

又 1

011

00， 1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即12,23,31线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.

211100



(8) 设矩阵A121, B010, 则A与B

112000

(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]

【详解】 由|EA|0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A) 3p(1p)． (B) 6p(1p).

2

2

(C) 3p(1p)． (D) 6p(1p)． [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：C3p(1p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x)fY(y)分别表示Ｘ，

1

2

2

2222

Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A) fX(x)． (B) fY(y)． (C ) fX(x)fY(y). (D)

fX(x)

． [ A ] fY(y)

【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)



2

1

1111

x

dx= e2. 3

2x

1

tx

【分析】 先作变量代换，再分部积分。 【详解】



2

1

1

dx3x

1x



1

23t1

te(

t

11t

)dttedt 12t2

=

1

1

2

tdete

t112

11

1edte2.

22

1

t

(12) 设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则【详解】 利用复合函数求偏导公式，有

yx

zy1x

=f1yxf2ylny. x

zy1x

=f1yxf2ylny. x

2x

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e

的通解为

yC1exC2e3x2e2x. 其中C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为 430，解得11,23. 可见对应齐次线性微分方程y4y3y0的通解为 yC1eC2e.

设非齐次线性微分方程y4y3y2e得k= −2. 故通解为yC1eC2e

x

3x

2

x3x

2x

的特解为yke，代入非齐次方程可

*2x

2e2x.

(14) 设曲面:xyz1，则

(x|

y|)dS=



【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此有轮换对称性，于是

xdS=0. 又曲面:xyz1具



(x|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=









1

(|x||y||z|)dS 3

=

11dS

8 332100



010

, 则A3的秩为1.

001



000

00(15) 设矩阵A00

003

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A

00

001



0003

, 故r()=1. A000

000

13

(16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于的概率为．

24

【详解】 这是一个几何概型, 设x, y为所取的两个数, 则样本空间

{(x,y)|0x,y1}, 记A{(x,y)|(x,y),|xy|.

SAS

1

2

故 P(A)

3

3

，其中SA,S分别表示A与 的面积. 14

三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)

2222

求函数f(x,y)x2yxy在区域D{(x,y)xy4,y0}上的最大值和

2

2

最小值。

【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

fx(x,y)2x2xy2，fy(x,y)4y2x2y，解方程：

2

fx2x2xy0,

 得开区域内的可能极值点为(

. 2

f4y2xy0

y

其对应函数值为f(2.

又当y=0 时，f(x,y)x在2x2上的最大值为4，最小值为0.

2

2007年考研数一答案篇五：07考研数一真题及答案

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (2) 曲线y

1x

ln(1e)，渐近线的条数为_______

1x

ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；

x

x

【详解】 因为lim[

x0

又 lim[

x

1x

ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；

x

进一步，lim

yx

x

lim[

x

1x

2



ln(1e)

x

x

]lim

x

ln(1e)

x

x

x

=lim

e

xx

x

1e

1，

1] limy[x

x

1

lm[xx

x

eln(1x=lim)[ln(1]e)x]

xx

x

=lim[lne(1e)x]limln(1e)0，

x

x

x

于是有斜渐近线：y = x. 故3条 2



(8) 设矩阵A1

1

121

111, B0

02

010

0



0, 则A与B_______(填是否合同，相0

似)

【详解】 由|EA|0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1,从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同.

二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)

(11)



2

1x

3

1

1

xdx=_______

【分析】 先作变量代换，再分部积分。

1

【详解】 

2

1x

3

1x

x

t

1

1

dx



1

2

1

te(

3t

1t

2

)dt



t

112

tedt

1

t

=1tdete

2

t

t112





112

edt

12

e2.

zx

(12) 设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y)，则【详解】 利用复合函数求偏导公式，有

zx

yx

=_______

y1x

=f1yxf2ylny.

(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e

2x

的通解为_______ 其中

C1,C2为任意常数.

【详解】 特征方程为 2430，解得11,23. 可见对应齐次线性微分方程y4y3y0的通解为 yC1exC2e3x.

设非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的特解为y*ke2x，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为yC1exC2e3x2e2x.

(14) 设曲面:xyz1，则(x|y|)dS= _______



【详解】 由于曲面关于平面x=0对称，因此xdS=0. 又曲面:xyz1具



有轮换对称性，于是



(x|y|)dS=|y|dS=|x|dS=|z|dS=







13

(|x||y||z|)dS



=

13



dS

13

8

32

00

(15) 设矩阵A

00

1000

0100

00

, 则A3的秩为_______. 10

0

03

【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A

00

0000

0000

10

, 故r(A3)=1. 00

三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)

求函数f(x,y)x2yxy在区域D{(x,y)x2y24,y0}上的最大值和最小值。

【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。

【详解】 因为

2

fx(x,y)2x2xy，fy(x,y)4y2xy，解方程： 2

2

2

2

2

fx2x2xy0,



得开区域内的可能极值点为(.

2

f4y2xy0y

其对应函数值为f(2.

又当y=0 时，f(x,y)x2在2x2上的最大值为4，最小值为0. 当x2y24,y0,2x2，构造拉格朗日函数 F(x,y,)

2

x2y

22

xy

2

(x

2

2

y 4)

Fx2x2xy22x0,

解方程组 Fy4y2x2y2y0,

得可能极值点：(0,2),(x2y240,F

，其对应函

数值为f(0,2)8,f(比较函数值2,0,4,8,

74



74

.

，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.

(18) (本题满分10分) 计算曲面积分 I





xzdyd2z

2

zydz3dxx ,ydxdy

其中为曲面z1x

2

y

4

(0z1)的上侧。

【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的

区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。

【详解】 补充曲面：1:x

I

2

y

2

4

1,z0，取下侧. 则



1

xzdydz2zydzdx3xydxdyxzdydz2zydzdx3xydxdy

1

=(z2z)dxdydz



3xydxdy

D

2

其中为与1所围成的空间区域，D为平面区域x 由于区域D关于x轴对称，因此3xydxdy0. 又

D

1

y

2

4

1.

(z2z)dxdydz3zdxdy=3zdzdxdy3z2(1z)dz.





Dz

1

其中Dz:x

2

y

2

4

1z.

(19) (本题满分11分)

设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),

f(b)=g(b), 证明：存在(a,b)，使得f()g().

【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令

F(x)f(x)g(x)，则问题转化为证明F()0, 只需对F(x)用罗尔定理，关键是找

到F(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c(a,b)，使得F(c)0，则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F(x)用罗尔定理即可。

【证明】 构造辅助函数F(x)f(x)g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1x2, x1,x2(a,b)使得

f(x1)Mmaxf(x),g(x2)Mmaxg(x)，

[a,b]

[a,b]

若x1x2，令cx1, 则F(c)0.

若x1x2，因F(x1)f(x1)g(x1)0,F(x2)f(x2)g(x2)0，从而存在

c[x1,x2](a,b)，使F(c)0.

在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在1(a,c),2(c,b)，使得

F(1)F(2)0.

再对F(x)在区间[1,2]上应用罗尔定理，知存在(1,2)(a,b)，有

F()0， 即 f()g(

.)

(20) (本题满分10分)



设幂级数anxn在(,)内收敛，其和函数y(x)满足

n0

y2xy4y0,y(0)0,y(0)1.

(I) 证明：an2

2n1

an,n1,2,;

(II) 求y(x)的表达式.

【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。





n



n

【详解】 (I)记y(x)=anx, 则y

n0

na

n1

x

n1

,y

n(n1)a

n2

n

x

n2

,代入微分方程

y2xy4y0,有







n

n

n(n1)a

n2

xn

n2

2nanx4anx0,

n1

n0





即

(n

n0

2)n(

1a)n2

n

x

2

n0

n

nnax

n

4

n0

n

n

ax 0,

故有 (n2)n(1a)n2即 an2

2n1

n2na

4a 0,

an,n1,2, ;

(II) 由初始条件y(0)

an2

2n1

0y,1n!

(0)知，a00,a11. 于是根据递推关系式. 故



an, 有a2n0,a2n1



n



2n1

y(x)=anx =a2nx

n0

n0



n!

n0

1



x

2n1

=x

n0

1n!

(x)xe.

2nx

2

(21) (本题满分11分)

设线性方程组

x1x2x3

x12x2ax3

x4xa2x

231

0,

0, ① 0

与方程

x12x2x3a1 ②

有公共解，求a的值及所有公共解．

【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.

【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:

0,x1x2x3



0,x12x2ax3

③ 2

x4xax0,231

x2xx　　a1.231

若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得:

1

1

A

11

1242

1aa

2

1

0100

00

0a1

1100

1a1(a2)(a1)

1a

0

0

. 0a1

2007年考研数一答案篇六：2007年全国硕士研究生入学考试数学一真题及答案详解

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硕士研究生入学考试

2007数一、数二、数三、数四试题完整版

试题评析与详解

1．试题源于网上资料的整理与摘编，所有试题以国家正式公布的版本为准。

2．2007数一、二、三、四试题共用题达到空前比例。

结论：四个试卷难易程度趋于相同。

3．四个试卷特点进一步反映了水木艾迪教学辅导中强调的：重在基本概念的理解与基本计算的过硬。考研数学考的是数学，并非物理（物理应用题目趋于淡化），更非经济（数三、四试卷中具有经济内容的题目趋于淡化），更确切说考研数学是考大学理工类数学三个学科。

4．这里提供的试题评析与详解，是由水木艾迪考研数学命题研究中心的老师（清华教学科学系教师）对试题进行全面整编和分析，对许多题目，提供多个解法，分析考点及知识点的交叉运用。

希望这份资料对2008年考生提供重要参考与帮助。

限于时间，且没得到官方正式版本，文内疏忽与错误在所难免，敬请读者批评指正。

参与编写的老师为： 刘坤林 谭泽光 俞正光 叶俊 葛余博 章纪民 均为清华大学数学科学系教授

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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

试题详解与评析 水木艾迪考研命题研究中心

一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的 四个选项中，只

有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1）当x→0+时，与x等价的无穷小量是 （A）1−e

（B）ln

1+x

（C）+x−1 （D）1−cosx

1−x

x。

【解】 答案B。ln

1+x1+x

=x+o(x)+x+o(x)=x+o(x)，因此ln~1−x1−x

考点：泰勒公式与等价无穷小量的正确运用，水木艾迪辅导的星级考点。参见水木艾迪考研

数学36计例1-1，1-2，1-3等题目。 （2）曲线y=

1

+ln(1+ex)，渐近线的条数为 x

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

【解】答案D。垂直渐近线x=0，水平渐近线y=0(x→−∞)，斜渐近线y=x(x→+∞)。考点：渐近线的实质是极限问题，应从单侧极限入手考察单侧渐近线的存在性。参见

水木艾迪考研数学36计例5-10，基础班讲义例4-24，强化班第2讲例43。

（3）如图，连续函数y=f(x)在区间[−3,−2]，[2,3]上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2,0],[0,2]上的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=下列结论正确的是

∫

x

f(t)dt，则

35

F(−2) （B）F(3)=F(2) 4435

（C）F(−3)=F(2) （D）F(−3)=−F(−2)

44

（A）F(3)=−

【解】答案C。利用积分的几何意义，并注意代数面积的概念（水木艾迪辅导的星级考点）。 （4）设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 （A）若lim

f(x)f(x)+f(−x)=0，则f(0)=0 （B）若lim=0，则f(0)=0

x→0x→0xx

f(x)f(x)−f(−x)

（C）若lim存在，则f′(0) 存在 （D）若lim存在，则f′(0)存在

x→0x→0xx

【解】答案D。

考点：点连续概念，导数定义，无穷小量比阶的概念与极限运算法则。(D)的成立不一定保证导致可导的两个极限存在。

（5）设函数f(x)在(0,+∞)上具有二阶导数，且f′′(x)>0，令un=f(n)=1,2,Ln，则下

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列结论正确的是

（A）若u1>u2，则{un}必收敛 （B）若u1>u2，则{un}必发散 （C）若u1<u2，则{un}必收敛 （D）若u1<u2，则{un}必发散 【解】答案D。画出草图，结论显见。下面证明D：

u1<u2，则u2−u1>c>0,其中c是某个确定的正数，于是存在ξ1∈(1,2)使得

u2−u1f(2)−f(1)

==f′(ξ1)>c>0， 2−12−1

对任意x∈(ξ1,+∞)，由f′′(x)>0，f′(x)单调增加， 得到f′(x)>f′(ξ1)>c>0，于是又存在ξ2∈(ξ1,x)使得f(x)=f(ξ1)+f′(ξ2)(x−ξ1)→+∞(x→+∞)。

考点：用Lagrange定理分析函数性质是水木艾迪考研数学强调的星级考点。参见水木艾迪考

研数学36计例5-3，基础班讲义例4-42，例4-43，强化班第2讲例28。

（6）设曲线L:f(x,y)=1（f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是 （A）（C）

∫∫

T

f(x,y)dx （B）∫f(x,y)dy

T

T

f(x,y)ds （D）∫fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy

T

【解】答案：（B）

解释：（A）曲线过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，

∫

T

f(x,y)dx=∫1dx=x(N)−x(M)>0，其中x(M),x(N)分别表示M,N的x坐标。

T

（B）f(x,y)dy=

T∫其中y(M),y(N)分别表示M,N的y坐标。 ∫1dy=y(N)−y(M)<0：

TT

（C）（D）

∫

T

f(x,y)ds=∫1ds=弧长>0

fx′(x,y)dx+fy′(x,y)dy∫0dx+0dy=0

T

∫

T

考点：第一类、第二类曲线积分的概念。参见水木艾迪考研数学2007模拟试题一套数一5题。水木艾迪考研数学36计之19。

（7）设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组线性相关的是 （A）α1−α2,α2−α3,α3−α1 （B）α1+α2,α2+α3,α3+α1 （C）α1−2α2,α2−2α3,α3−2α1 （D）α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1 【解】答案A。

因为(α1−α2)+(α2−α3)+(α3−α1)=0，所以α1−α2,α2−α3,α3−α1线性相关。

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考点：线性相关与线性无关的概念。参考：水木艾迪强化班向量例17。

⎛2−1−1⎞⎛1⎜⎟⎜

（8）设矩阵A=⎜−12−1⎟,B=⎜0

⎜−1−12⎟⎜0⎝⎠⎝

10

0⎞⎟

0⎟，则A与B 0⎟⎠

（A）合同，且相似 （B）合同，但不相似

（C）不合同，但相似 （D）既不合同，也不相似 【解】答案B。

因为A的特征值为3,3,0，所以A和B不相似。又A和B的秩都为2且正惯性指数也都为2，所以A和B合同。

考点：矩阵的相似与合同概念，相似矩阵的性质，合同矩阵的性质，惯性定理等。

参考：水木艾迪基础班二次型例2例3。强化班二次型例2，冲刺班特征值例35。36计之例23-5。

（9）某人向统一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A) 3p(1−p) (B) 6p(1−p) (C) 3p(1−p) (D) 6p(1−p) 【解析与点评】P{第4次射击恰好第2次命中目标}

=P{第4次射击命中，且前3次中恰好命中1次}

1

=p⋅C3p(1−p)2=3p2(1−p)2

222222

故选C。

本题是Bernoulli试验中的典型问题，可参见水木艾迪2006考研数学基础班讲义例1.33，强化班第一讲问题7，考研36技之例29-25等题目和内容。

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X，

Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fXY(xy)为（ A ）。

（A）fX(x) (B) fY(y) (C) fX(x)fY(y) (D)

fX(x)

fY(y)

【解析与点评】由于(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，所以X与Y相互独立，从而fXY(xy)=

f(x,y)

=fX(x)，故选A.

fY(y)

本题主要考查了二维正态分布的不相关性与独立性的等价关系，属于最基本的内容。

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 (11)

∫

2

1

1x

dx=__________。 x2

1

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【解】

∫

2

1

11dx=−ed=e∫1x2x

2

1

x1x

11x2

1

=e2。 2

1

考点：水木艾迪考研数学强调：凑微分法是处理积分问题最重要的基础。 (12) 设f(u,v)是二元可微函数，z=f(,)，则x

yxxy∂z∂z−y=__________。 ∂x∂y

【解】答案：−fu′

yxyx

+fv′−fu′+fv′ xyxy

⎛1⎞∂z⎛x⎞∂z⎛−y⎞⎛1⎞′′⎟，=fu′⎜2⎟+fv′⎜=f+f⎜⎟uv⎜⎜y⎟∂y⎜−y2⎟⎟ x∂xx⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠x

∂z∂zyxyx−y=−fu′+fv′−fu′+fv′ ∂x∂yxyxy

⎛yx⎞

′′=−2⎜f−f⎟v⎜ux⎟ y⎝⎠

考点：具有抽象函数记号的多元复合函数的偏导数计算，这是一道很单纯的题目，参见水木

艾迪基础班第10讲19题。

（13）二阶常系数非齐次线性微分方程y′′−4y′+3y=2e【解】齐次解为y=C1e+C2e

x

3x

2x

的通解为y=__________。

2x

，设特解为y=Ae

，由待定系数法得到

4Ae2x−8Ae2x+3Ae2x=2e2x，A−2， 答案：y=C1ex+C2e3x−2e2x。

。这是 考点：常规的二阶常系数非齐次线性微分方程解法( 非齐次项为Pn(x)eαx型)的求解）水木艾迪考研数学强调的星级考点之一，有关处理方法及相同例题参见强化班第8讲例6、7、

8、9、10等题目，水木艾迪考研数学36计之11计的说明与例题。 （14）设曲面Σ:x+y+z=1，则

(x+y)dS=____________。

Σ

∑

【解】（方法1）由域与被积函数的对称性有：

xdS=0,y=x=z

∑

∑

∑

1

(x+y)dS=y=(y+x+z 3∑∑∑∑∑

=

1184

++==⋅=()xyzdSdS 33323∑∑

（方法2）利用物理意义

2007年考研数一答案篇七：2007考研数一真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：110小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当x

0( )



A

.1

B(2) 曲线y

C1

D.1c

1

ln(1ex)渐近线的条数为( ) x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(3) 如图，连续函数yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间

下半圆周，设F(x)f(t)dt,则下列结论正确的是( ) 2,0,0,2上图形分别是直径为2的上、

0x

35

A.F(3)F(2) B.F(3)F(2)

4435

C.F(3) F(2) D.F(3)F(2)

44

(4) 设函数f(x)在x0连续，则下列命题错误的是( )

f(x)f(x)f(x)存在，则f(0)0 B.若lim存在，则f(0)0

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)

C.若lim存在，则f(0)存在 D.若lim存在，则f(0)存在

x0x0xxA.若lim

(5) 设函数f(x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0，令unf(n)(n1,2,)是( )

，则下列结论正确的

A. 若u1u2，则un必收敛 B. 若u1u2，则un必发散 C. 若u1u2，则un必收敛 D. 若u1u2，则un必发散

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1

(6) 设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M和第IV象限内的点N，

为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是( )

A.







f(x,y)dx B.





f(x,y)dy

C.



f(x,y)ds D.





fx(x,y)dxfy(x,y)dy

(7) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是( )

A.12,23,31 B.12,23,31

C.122,223,321 D.122,223,321

211100(8) 设矩阵A121，B010，则A与B( ) 112000

A. 合同，且相似 B. 合同，但不相似

C. 不合同，但相似 D. 既不合同，也不相似

(9) 某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

A.3p(1p)2 B.6p(1p)2

C.3p2(1p)2 D.6p2(1p)2

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度fX(xy)为( )

A.fX(x) B.fY(y)

C.fX(x)fY(y) D.

fX(x)

fY(y)

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (11)



2

1

11

xdx_________ 3x

z

______ x

2

yx

(12) 设f(u,v)为二元可微函数，zf(x,y),则

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(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y_____ (14) 设曲面:xyz1，则

(xy)dS_____



00(15) 设距阵A00100

010

,则A3的秩为＿＿＿＿＿

001

000

1

的概率为＿＿＿＿＿＿ 2

(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题满分10分)

求函数f(x,y)x22y2x2y2,在区域D(x,y)xy4,y0上的最大值和最小值.

(18)(本题满分11分)



22



y2

(0z1)的上侧. 计算曲面积分 Ixzdydz2zydzdx3xydxdy, 其中为曲面z1x4

2

(19)(本题满分11分)

设函数f(x)，g(x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，

f(b)＝g(b)，证明：存在(a,b),使得f''()g''().

(20)(本题满分10分)

设幂级数

ax

nn0



n

在(,)内收敛，其和函数y(x)满足y2xy4y0,y(0)0,y(0)1

(I) 证明an2

2

an,n1,2,n1

(II) 求y(x)的表达式

(21)(本题满分11分)

x1x2x30

设线性方程组x12x2ax30 (1)

2

x14x2ax30

与方程 x12x2x3a1

(2)

3

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有公共解，求a得值及所有公共解.

(22)(本题满分11分)

设3阶实对称矩阵A的特征值11,22,32,1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量,记BA4AE，其中E为3阶单位矩阵.

(I) 验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B.

(23)(本题满分11分)

5

3

2xy,

f(x,y)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 

0,

(I) 求PX2Y；

(II) 求ZXY的概率密度fZ(z).

(24)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

0x1,0y1.其他

12,1

f(x;),

2(1)0,

0x,

x1,.

其他

其中参数(01)未知，X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

(I) 求参数的矩估计量；

(II) 判断4X是否为的无偏估计量，并说明理由.

2

2

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题 (1)【答案】B 【详解】

方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当x0时，

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x

e1x1

1xx;1cosx2sin222

x

2x2

2(),当x0

0，所以22

1

2,可以排除A、C、D，所以选(B). 2

1方法2： (1

1

ln[1





当x

时，110，又因为

x0时，ln1x

x

，

所以ln[1

~~x

1~(B).



方法3

：limx0

lim lim

x0x0

lim

x0

1lim

x

1x

1x



A，则A

1B1x4x2

1x对应系数相等得：A

B1，所以

原式lim

x0

1

x

lim

x0lim

x0

lim011，选(B). 

x0

(2)【答案】D

【详解】因为limylim

x0

11

ln(1ex)limlimln(1ex)，

x0xx0xx0

所以x0是一条铅直渐近线；

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5

2007年考研数一答案篇八：07年考研数一及解析

2007年数学一试题分析详解

一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当x

0(A)

1

(B) ln

(C)

1.

(D) 1cos. 【 】

【答案】 应选(B).

【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.

【详解】当x

0时，有11cos

~

12

2

(12

1)~

1~

；

x. 利用排除法知应选(B).

【评注】

本题直接找出ln

但由于另三个的等价无穷小

很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，

x0

1xlim

x0

lim

2t



1

t

lim

t0

ln(1t)ln(1t)

t

2

=limt0

2

lim2t(1t)1t1.

2

t01(1t)(1t)

2

(2)曲线y

1x

ln(1e)，渐近线的条数为

x

(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】

【答案】 应选(D).

【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为lim[

x0

1x

ln(1e)]，所以x0为垂直渐近线；

x

又 lim[

x

1x

ln(1e)]0，所以y=0为水平渐近线；

x

进一步，lim

yx

x

lim[

x

1x

2



ln(1e)

x

x

]lim

ln(1e)

x

x

x

=lim

e

xx

x

1e

1，

limy[1x]

x

1

l[xx

x

len(1x=lim)[ln(1]e)x]

x

x

xx

=lim[lne(1e)x]limln(1e)0，

x

x

x

于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).

【评注】 一般来说，有水平渐近线(即limyc)就不再考虑斜渐近线，但当limy不

x

x

存在时，就要分别讨论x和x两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x<0 的一侧有水平渐近线，而在x>0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数ex当x时极限不存在，必须分x和x进行讨论。

(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)下列结论正确的是

(A) F(3)(C) F(3)

34

34

F(2). (B) F(3)

54

F(2). 54

F(2). 【 】

x0



f(t)dt.则

F(2). (D) F(3)

【答案】 应选(C).

【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)F(3)是两个半圆面积之差：F(3)

F(3)

1

03

12

，

12332

[1()]=F(2)， 2284



30

f(x)dx

f(x)dx



30

f(x)dxF(3)

因此应选(C).

【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此 F(2)

2

02



f(x)dx



f(x)dx，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.

【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的

巧妙之处。

(4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若lim

f(x)

x0

(C) 若lim

xf(x)x

存在，则f(0)=0. (B) 若lim

f(x)f(x)x

f(x)f(x)

x

存在，则f(0)=0. 存在，则f(0)存在

【 】

x0

x0

存在，则f(0)存在. (D) 若lim

x0

【答案】 应选(D).

【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算

等进行分析讨论。

【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若lim

f(x)x

x0

存在，则f(0)0,f(0)lim

f(x)f(0)

x0

x0

lim

f(x)x

x0

0，可见(C)也正确，

故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)x在x=0处连续，且

f(x)f(x)

x

lim

x0

=lim

xxx

x0

0存在，但f(x)x在x=0处不可导。

(5)设函数f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0. 令unf(n)(n1,2,,), 则下列结论正确的是：

(A) 若u1u2，则{un}必收敛. (B) 若u1u2，则{un}必发散.

(C) 若u1u2，则{un}必收敛. (D) 若u1u2，则{un}必发散. 【 】

【答案】 应选(D).

【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。

【详解】 设f (x)=x2, 则f (x)在(0,)上具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但

{un}{n}发散，排除(C); 设f(x)=

2

1x

, 则f (x)在(0,)上具有二阶导数，且

1

{收敛，f(x)0,u1u2，但{un}排除(B); 又若设f(x)lnx，则f(x)在(0,)上n

具有二阶导数，且f(x)0,u1u2，但{un}{lnn}发散，排除(A). 故应选(D).

【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若u1u2，则存在k0，使得u2u1k0. 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理, 存在1(1,2)使得

u2u121



f(2)f(1)21

f(1)k0,

又因为在(0,)上f(x)0, 因此f(x)在(1,)上单调增加，于是对x(1,)有

f(x)f(1)k0.

在区间[1,x]上应用拉格朗日中值定理, 存在2(1,x)使得

f(1)f(2

f(x)f(1)

x1

f(2),

即 f(x)故应选(D).

)x(1

),x( )

(6)设曲线L:f(x,y)1(f(x,y)具有一阶连续偏导数)，过第II象限内的点M和第IV象限内的点N，T为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的是

(A)



T

f(x,y)dx. (B) f(x,y)ds. (D)



T

f(x,y)dy.

fx(x,y)dxfy(x,y)dy. 【 】

(C)



TT

【答案】 应选(B).

【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。

【详解】 设M 、N点的坐标分别为M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,y1y2. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：



T

f(x,y)dxf(x,y)ds



T

dxx2x10; dss0;



T

f(x,y)dy



T

dyy2y10;

TT



T

fx(x,y)dxfy(x,y)dy



T

df(x,y)0.

故正确选项为(B).

【评注】 对于线、面积分，应尽量先将线、面方程代入被积表达式化简，然后再积分.

(7) 设向量组1,2,3线性无关，则下列向量组线性相关的是

(A) 12,23,31. (B) 12,23,31.

(C) 122,223,321. (D) 122,223,321. 【 】 【答案】应选(A) .

【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 (12)(23)(31)， 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令

x1(12)x2(23)x3(31)0，

得 (x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30. x30,x1　　　　



0, 因1,2,3线性无关，所以 x1x2　　　

　　　x2x30.

1

011

1

00， 1

又 1

故上述齐次线性方程组有非零解, 即12,23,31线性相关. 类似可得(B), (C),

(D)中的向量组都是线性无关的.

这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P314例3.5和辅导班上对应章节的例题 2

(8) 设矩阵A1

1

121

111, B0

02

010

0



0, 则A与B 0

(A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .

(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】

【答案】应选 (B) .

【详解】 由|EA|0 得A的特征值为0, 3, 3, 而B的特征值为0, 1, 1，从而A与B不相似.

又r(A)=r(B)=2, 且A、B有相同的正惯性指数, 因此A与B合同. 故选(B) .

【评注】1)若A与B相似, 则| A |=| B |；r(A)= r(B)；tr(A)= tr(B); A与B有相同的特征值. 2)若A、B为实对称矩阵, 则A与B合同 r(A)= r(B), 且A、B有相同的正惯性指数. 完全类似的问题见《历年真题（一）》P307的小结

(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0<p<1), 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A) 3p(1p)2． (B) 6p(1p)2.

(C) 3p2(1p)2． (D) 6p2(1p)2． 【 】 【答案】应选 (C) .

【详解】“第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标. 由独立重复性知所求概率为：C3p(1p). 故选(C) .

(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，fX(x)fY(y)分别表示Ｘ，Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y的条件下，Ｘ的密度fX|Y(x|y)为

fX(x)fY(y)

1

2

2

(A) fX(x)． (B) fY(y)． (C ) fX(x)fY(y). (D) 【答案】应选 (A) .

． 【 】

【详解】因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是

fX|Y(x|y)=fX(x). 因此选(A) .

【评注】对于二维连续型随机变量(Ｘ,Ｙ)，有

Ｘ与Ｙ相互独立 f (x, y)=fX(x)fX(y)fX|Y(x|y)=fX(x)fY|X(y|x)=fY(y).

二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)

2007年考研数一答案篇九：考研数三完整版(历年真题+答案详解)之_2007年真题

2007年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当x

0 ）



A

.1

B.ln )

C1

D.1c

（2） 设函数f(x)在x0处连续，下列命题错误的是： ( )

f(x)f(x)f(x)

存在，则f(0)0 B.若lim存在，则f(0)0

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)

C..若lim存在，则f'(0)存在 D.若lim存在，则f'(0)存在

x0x0xxA.若lim

（3） 如图.连续函数yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)则下列结论正确的是：（ ）



x

f(t)dt,

35

A..F(3)F(2) B.F(3)F(2)

4435

C.F(3) F(2) D.F(3)F(2)

44

（4） 设函数f(x,y)连续，则二次积分





2

dx

1

sinx

f(x,y)dy等于（ ）



A. C.



10

1

dy

2



arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)dx D.





1

dy

arcsiny

arcsiny

f(x,y)dx

f(x,y)dx

dy

arcsiny1

dy

2

（5） 设某商品的需求函数为Q1602，其中Q，分别表示需要量和价格，如果该

商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）

A. 10 B. 20 C.30 D.40

（6） 曲线y

1

ln(1ex),渐近线的条数为（ ） x

A. 0 B.1 C.2 D.3

( )

（7）设向量组线性无关

（A）12,21,31 (B)21,23,31 （C）122,223,321 (D)122,223,321

211100

（8）设矩阵A121，B010则A与B（ ）

112000

（A）合同，且相似 (B) 合同，但不相似

(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似

(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )

(A)3p(1p)2 (B)6p(1p)2 (C)3p2(1p)2 (D)6p2(1p)2

(10) 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x),fy(y)分别表示X, Y的概率密度，则在Yy条件下，X的条件概率密度fX(xy)为( ) （A）fX(x) (B)fy(y) (C)fx(x)fy(y) (D)

fx(x)

fy(y)

二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上

x3x21

(sinxcosx)________. （11）lim

x2xx3

（12）设函数y

1(n)

，则y(0)_________. 2x3

（13）设f(u,v)是二元可微函数，zf(,),则

yxxyzz

y________. xy

（14）微分方程

dyy1y3

()满足ydxx2x

x1

1的特解为00

（15）设距阵A

00100

010

,则A3的秩为_______.

001

000

1

的概率为________. 2

(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于

三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数yy(x)由方程ylnyxy0确定，试判断曲线yy(x)在点（1，1）附近

的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数

x2.

f(x,y)计算二重积分

D

xy1.1xy2.

f(x,y)d.其中D(x,y)

xy2



（19）（本题满分11分）

设函数f(x)，g(x)在a,b上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，

f(b)＝g(b)，证明：

（Ⅰ）存在(a,b),使得f()g()； （Ⅱ）存在(a,b),使得f''()g''(). （20）（本题满分10分）

将函数f(x)

1

展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.

x23x4

(21)(本题满分11分)

x1x2x30

设线性方程组x12x2ax30

2

x14x2ax30与方程x12x2x3a1

（22）（本题满分11分）

设3阶实对称矩阵A的特征值11,22,32,1(1,1,1)T是A的属于1的一个特征向量.记BA4AE，其中E为3阶单位矩阵.

（Ⅰ）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

5

3

(1)

(2)

有公共解，求a的值及所有公共解

2xy,0x1,0y1.

f(x,y)

0,其他

（Ⅰ）求PX2Y；

（Ⅱ）求ZXY的概率密度fZ(z). （24）（本题满分11分）

设总体X的概率密度为

1

2,0x,1

f(x;),x1,.

2(1)0,其他

其中参数(01)未知，X1,X2,...Xn是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值.

； （Ⅰ）求参数的矩估计量

（Ⅱ）判断4X是否为的无偏估计量，并说明理由.

2

2

2007年考研数学（三）真题

一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （7） 当x

0B）



A

.1

B.ln )

C1

D.1c

（8） 设函数f(x)在x0处连续，下列命题错误的是： (D)

f(x)f(x)f(x)

存在，则f(0)0 B.若lim存在，则f(0)0

x0x0xx

f(x)f(x)f(x)

C..若lim存在，则f'(0)存在 D.若lim存在，则f'(0)存在

x0x0xxA.若lim

（9） 如图.连续函数yf(x)在区间3,2,2,3上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间2,0,0,2上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)则下列结论正确的是：（C ）



x

f(t)dt,

35

F(2) B.F(3)F(2) 4435

2) C.F(3) F(2) D.F(3)F(

44

A..F(3)

（10） 设函数f(x,y)连续，则二次积分 A. C.

dx

2

1

sinx

f(x,y)dy等于（B）

xf(x,y)d



10

1

dy

2



arcsinx

f(x,y)dx B.

f(x,y)d x D.





1

dy



arcysin

arcsiny

dy

arcysin1

dy

f(x,y)dx

2

（11） 设某商品的需求函数为Q1602，其中Q，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D）

A. 10 B. 20 C.30 D.40 （12） 曲线y

1

ln(1ex),渐近线的条数为（D） x

A. 0 B.1 C.2 D.3

(A)

（7）设向量组线性无关

（A）12,21,31 (B)21,23,31 (C)122,223,321 (D)122,223,321

2007年考研数一答案篇十：2001年数一考研答案

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