2016理科数学试卷

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2016理科数学试卷(一)
2016年全国丙卷高考数学理科试题答案(word版)

2016年全国丙卷高考数学理科试卷、答案什么时候发布？
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2016年全国丙卷高考时间是：2016年6月7日、8日进行考试，请各位考生、老师关注中国招生考试网·2016年高考动态。
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2016理科数学试卷(二)
2016年高考数学理科真题试卷及答案(word版)

2016年普通高等学校招生考试真题试卷

数 学（理科）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P（A+B）=PA．+PB． S=4лR2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P（A·B）=PA．+PB． 球的体积公式

1+2+„+n43n(n1) V=R 32

12+22+„+n2=n(n1)(2n1) 其中R表示球的半径 6

n2(n1)2

1+2++n= 4333第Ⅰ卷（选择题 共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，反函数是其自身的函数为

A．f(x)x,x0, B．f(x)x3,x, 3

xC．f(x)e,x(,) D．f(x)1,x(0,) x

2．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面内，“l”是lm且“ln”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是

A．a＜-1 B．a≤1 C． a＜1 D．a≥1

4．若a为实数，2ai

12i

＝-2i，则a等于 A．2 B．—2 C．22 D．—22

5．若Ax222x8，BxRlog2x1，则A(CRB)的元素个数为

A．0 B．1 C．2 D．3 

6．函数f(x)3sin(2xπ)的图象为C， 3

11对称； 12①图象C关于直线x

②函灶f(x)在区间(π5π,)内是增函数； 1212

π个单位长度可以得3③由y3sin2x的图象向右平移

到图象C.

以上三个论断中，正确论断的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

2xy207．如果点P在平面区域x2y10上，点Q在曲线

xy20

x2(y2)21上，那么PQ 的最小值为

4

5A．1 B．1 C．221 D．21

8．半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为

A．arccos(3) 3

1

3 B．arccos(6) 314 C．arccos() D．arccos()

x2r2

9．如图，F1和F2分别是双曲线221(a0,b0)的两个焦点，A和B是以O为ab

圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为

A．3 B．5 C． 2 D．1

3

10．以(x)表示标准正态总体在区间（,x）内取值的概率，若随机变量服从正态分布N(,2)，则概率P()等于

A．()-()

C．(B．(1)(1) D．2() 1

)

11．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为

A．0

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。

12．若（2x3+ B．1 C．3 D．5 1

x）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 。

13．在四面体O-ABC中，a,b,c,D为BC的中点，E为AD的中点，则= （用a，b，c表示）。

14．如图，抛物线y=--x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，„，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，„，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1， △Q2P1P2，„， △Qn-1Pn-1Pn-1，当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 。

15．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）。 ．．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；

④每个面都是等边三角形的四面体；

⑤每个面都是直角三角形的四面体。

三、解答题：本大题共6小题，共79分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）

8

2cos2sin2()a，2），且a·b=m。求的值。 cossin

17．（本小题满分14分） 已知0＜a＜4,为f(x)cos(2x)的最小正周期，a(tan(a1),1),b=（cos 4

如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2。

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；

（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；

（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值圾示）。

18．（本小题满分14分）

设a≥0，f （x）=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）。

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0，＋∞）内的单

调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1。

19．（本小题满分12分）

如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）。以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B。直线AB与x轴相交于点C。

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值。

20．（本小题满分13分）

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔。以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．．．的只数。

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望Eξ；

（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）。

21．（本小题满分14分）

某国采用养老储备金制度。公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，„是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利。这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金

－－就变为a1（1＋r）n1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）n2，„„，以Tn表示到第

n年末所累计的储备金总额。【2016理科数学试卷】

（Ⅰ）写出Tn与Tn-1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列。

2016理科数学试卷(三)
2016年浙江省高考数学试卷 理科 解析

2016年浙江省高考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一个是符合题目要求的．

1．（5分）（2016•浙江）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x≥4}，则P∪（∁RQ）=（ ）

A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）

2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，

则（ ）

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

3．（5分）（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上2

的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则

|AB|=（ ）

A．2 B．4 C．3 D．6

*24．（5分）（2016•浙江）命题“∀x∈R，∂n∈N，使得n≥x”的否定形式是（ ）

*2*2A．∀x∈R，∂n∈N，使得n＜x B．∀x∈R，∀n∈N，使得n＜x

*2*2C．∂x∈R，∂n∈N，使得n＜x D．∂x∈R，∀n∈N，使得n＜x

25．（5分）（2016•浙江）设函数f（x）=sinx+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）

A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

6．（5分）（2016•浙江）如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn+1|=|An+1An+2|，

**An≠An+1，n∈N，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1，n∈N，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，

Sn为△AnBnBn+1的面积，则（ ）

A．{Sn}是等差数列

C．{dn}是等差数列 2B．{Sn}是等差数列 2D．{dn}是等差数列

7．（5分）（2016•浙江）已知椭圆C1：+y=1（m＞1）与双曲线C2：2﹣y=1（n＞0）2

的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）

A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1

8．（5分）（2016•浙江）已知实数a，b，c．（ ）

22222A．若|a+b+c|+|a+b+c|≤1，则a+b+c＜100

22222B．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100

22222C．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100

D．m＜n且e1e2＜1

D．若|a+b+c|+|a+b﹣c|≤1，则a+b+c＜100

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

29．（4分）（2016•浙江）若抛物线y=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离

是 ．

210．（6分）（2016•浙江）已知2cosx+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，

b=．

11．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 23cm，体积是 cm．

22222

12．（6分）（2016•浙江）已知a＞b＞1，若logab+logba=，a=b，则a= ，

b= ．

*13．（6分）（2016•浙江）设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N，则

a1=，S5=．

14．（4分）（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的

点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值

是 ．

ba

15．（4分）（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有

|•|+|•|

≤，则•的最大值是．

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．

（Ⅰ）证明：A=2B

（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．

17．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，

∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

18．（15分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=

22（Ⅰ）求使得等式F（x）=x﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围

（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）

（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）

19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆C：+y=1（a＞1） 2

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）

（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．

20．（15分）（2016•浙江）设数列满足|an﹣

（Ⅰ）求证：|an|≥2n﹣1

n|≤1，n∈N． *（|a1|﹣2）（n∈N） ***（Ⅱ）若|an|≤（），n∈N，证明：|an|≤2，n∈N．

2016年浙江省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．（5分）（2016•浙江）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x≥4}，则P∪（∁RQ）=（ ）

A．[2，3] B．（﹣2，3] C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）

【考点】并集及其运算．

【专题】集合思想；分析法；集合．

【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．

2【解答】解：Q={x∈R|x≥4}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，

即有∁RQ={x∈R|﹣2＜x＜2}，

则P∪（∁RQ）=（﹣2，3]．

故选：B．

【点评】本题考查集合的运算，主要是并集和补集的运算，考查不等式的解法，属于基础题．

2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（ ）

A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n

【考点】直线与平面垂直的判定．

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．

【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．

【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，

∴m∥β或m⊂β或m⊥β，l⊂β，

∵n⊥β，

∴n⊥l．

故选：C．

【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

3．（5分）（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上2的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（ ）

A．2 B．4 C．3 D．6

【考点】简单线性规划的应用．

【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），

区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，

而R′Q′=RQ， 由得，即Q（﹣1，1）， 由得，即R（2，﹣2），

则

|AB|=|QR|=故选：

C ==3，

【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．

4．（5分）（2016•浙江）命题“∀x∈R，∂n∈N，使得n≥x”的否定形式是（ ）

*2*2A．∀x∈R，∂n∈N，使得n＜x B．∀x∈R，∀n∈N，使得n＜x

*2*2C．∂x∈R，∂n∈N，使得n＜x D．∂x∈R，∀n∈N，使得n＜x

【考点】命题的否定．

【专题】计算题；规律型；简易逻辑．

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

*2【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∂n∈N，使得n≥x”的

*2否定形式是：∂x∈R，∀n∈N，使得n＜x．

故选：D．

【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．

*2

5．（5分）（2016•浙江）设函数f（x）=sinx+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（ ）

A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【专题】应用题；分类讨论；分析法；三角函数的图像与性质．

【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断． 2

【解答】解：∵设函数f（x）=sinx+bsinx+c，

∴c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，

2

2016理科数学试卷(四)
2016年全国一卷理科数学试卷(含答案)

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试题类型：A

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2A{x|x4x30}，B{x|2x30}，则AB （1）设集合

3333(3,)(3,)(,3)(1,)2（B）2（C）2（D）2（A）

（2）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xyi=

（A）1（B

C

D）2

（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=

（A）100（B）99（C）98（D）97

（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）（B）（C）（D）

（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是

（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【2016理科数学试卷】

（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

1

（A）（B）

（C）

（D）

0c1，则 （8）若ab1，

（A）acbc（B）abcbac（C）alogbcblogac（D）logaclogbc

（9）执行右面的程序图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足

（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB

|=|

DE|=则C的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a平面ABCD=m，a平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为

(A)1(B

)

(C) (D) 3223

12.已知函数f(x)sin(x+)(0 2 2),x4为f(x)的零点，x4为yf(x)图像的对称

轴，且f(x)在5单调，则的最大值为 1836

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.

(14)(2x5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）

满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为。 （15）设等比数列

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分为12分）

ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)c.

（I）求C；

（II

）若c

ABC（18）（本题满分为12分）

如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60． ABC的周长． 3

（I）证明平面ABEFEFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

20. （本小题满分12分）

设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 22

4

（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，学科&网过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

（21）（本小题满分12分） 已知函数

(I)求a的取值范围；

(II)设x1，x2是

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与O相切；

(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD

. 的两个零点，学科.网证明：+x2<2. 有两个零点.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

（I）说明C1是哪种曲线，学.科.网并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x+1∣-∣2x-3∣.

（I）在答题卡第（24）题图中画出y= f(x)的图像；

（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x 5

2016理科数学试卷(五)
2016年北京市高考数学试卷 理科 解析

2016年北京市高考数学试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）（2016•北京）设，是向量，则“||=||”是“|+|=|﹣|”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）（2016•北京）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ）

A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0

6．（5分）（2016•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

）

A． B． C． D．1

）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）7．（5分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣

个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（ ）

A．t=，s的最小值为

C．t=，s的最小值为 B．t= D．t=，s的最小值为，s的最小值为

8．（5分）（2016•北京）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）（2016•北京）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=

6210．（5分）（2016•北京）在（1﹣2x）的展开式中，x的系数为 ．（用数字作

答）

11．（5分）（2016•北京）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=．

12．（5分）（2016•北京）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．

13．（5分）（2016•北京）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则

a=

14．（5分）（2016•北京）设函数f（x）=

．

①若a=0，则f（x）的最大值为

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

22215．（13分）（2016•北京）在△ABC中，a+c=b+ac．

（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求cosA+cosC的最大值．

16．（13分）（2016•北京）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，

（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）

17．（14分）（2016•北京）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求

说明理由． 的值，若不存在，

a﹣x18．（13分）（2016•北京）设函数f（x）=xe+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的

切线方程为y=（e﹣1）x+4，

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

19．（14分）（2016•北京）已知椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的离心率为，A（a，0），B（0，b），O（0，0），△OAB的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：|AN|•|BM|为定值．

20．（13分）（2016•北京）设数列A：a1，a2，…，aN （N≥2）．如果对小于n（2≤n≤N）的每个正整数k都有ak＜an，则称n是数列A的一个“G时刻”，记G（A）是数列A的所有“G时刻”组成的集合．

（Ⅰ）对数列A：﹣2，2，﹣1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（Ⅱ）证明：若数列A中存在an使得an＞a1，则G（A）≠∅；

（Ⅲ）证明：若数列A满足an﹣an﹣1≤1（n=2，3，…，N），则G（A）的元素个数不小于aN﹣a1．

2016年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=（ ）

A．{0，1} B．{0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，0，1，2}

【考点】交集及其运算．

【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．

【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，

B={﹣1，0，1，2，3}，

∴A∩B={﹣1，0，1}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

2．（5分）（2016•北京）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

【考点】简单线性规划．

【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z的取值范围．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

设z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，

由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，

此时z最大． 由，解得，即A（1，2），

代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．

即目标函数z=2x+y的最大值为4．

故选：C．

2016理科数学试卷(六)
2016年新课标1理科数学试卷及答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

2A{x|x4x30}，B{x|2x30}，则AB （1）设集合1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5

3333(3,)(3,)(,3)(1,)2（B）2（C）2（D）2（A）

（2）设(1i)x1yi，其中x，y是实数，则xyi=

（A）1（B

C

D）2

（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=

（A）100（B）99（C）98（D）97

（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）（B）（C）（D）

（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是

（A）(–1,3) （B）(–3) （C）(0,3) （D）3)

（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π

（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为

）（B）

（C）

（D）

0c1，则 （8）若ab1，

cccc（A）ab（B）abba（C）alogbcblogac（D）logaclogbc

（9）执行右面的程序图，如果输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值满足

（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x

(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.已知|AB

|=|

DE|=C的焦点到准线的距离为【2016理科数学试卷】

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a平面ABCD=m，a平面ABA1B1=n，则m、n所成角的正弦值为

1(B

(D) 3nx+(12.已知函数f(x)si)(0

2x),

4为f(x)的零点，x

4为

5yf(x)图像的对称轴，且f(x)在单调，则的最大值为 1836

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.

(14)(2x5的展开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）

满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为。 （15）设等比数列

（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元。该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（17）（本题满分为12分）

ABC的内角A，B，C的对边分别别为a，b，c，已知2cosC(acosB+bcosA)c. （I）求C；

（II

）若c

ABC（18）（本题满分为12分） ABC的周长． AFD90，如图，在已A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，

且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60． 

（I）证明平面ABEFEFDC；

（II）求二面角E-BC-A的余弦值．

（19）（本小题满分12分）

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；

（II）若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？

20. （本小题满分12分）

设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. 22

（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，学科&网过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

（21）（本小题满分12分） 已知函数

(I)求a的取值范围；

(II)设x1，x2是

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以⊙O为圆心，OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与O相切；

(II)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD

. 的两个零点,证明：+x2<2. 有两个零点.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）。在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

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