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2014年全国各地中考数学压轴题集锦答案
1.(北京模拟)已知抛物线y=-x+2x+m-2与y轴交于点A(0,2m-7),与直线y=2x交于点B、C(B在C的右侧). (1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为E,在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得∠BFE=∠CFE,若存在,求出点F的坐标,若不存在,说明理由;
2
(3)动点P、Q同时从原点出发,分别以每秒5个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动,以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ(直角边分别平行于
坐标轴),设运动时间为t秒.若△PMQ与抛物线y=-x+2x+m-2有公共点,求t的取值范围.
2
解:(1)把点A(0,2m-7)代入y=-x+2x+m-2,得m=5
2∴抛物线的解析式为y=-x+2x+3
2
y=-x+2x+3x1=3x2=3(2)由 解得 y=2xy1=3y2=-23∴B3,3),C(-3,-3)
22
∵y=-x+2x+3=-(x-1)+4 ∴抛物线的对称轴为x=1 设F(1,y)
∵∠BFE=∠CFE,∴tan∠BFE=tan∠CFE 3-13+1
当点F在点B=
y-2y+23
解得y=6,∴F(1,6)
3-13+1当点F在点B=
23-y-y-3
解得y=6(舍去)
∴满足条件的点F的坐标是F(1,6)
(3)由题意,OP5t,OQ=5t,∴PQ5t ∵P、Q在直线直线y=2x上 ∴设P(x,2x),则Q(2x,4x)(x<0)
2
∴x +4x =5t,∴x=-t
∴P(-t
,-2t),Q(-2t,-4
t) ∴M(-2t,-2t)
2
当
M(-2t,-2t)在抛物线上时,有-2t=-4t-4t+3
13-1
4
2
当P(-t,-2t)在抛物线上时,有-2t=-t-2t+3 解得t=3(舍去负值) 解得t=
∴t
13-1
t≤3 4
2.(北京模拟)在平面直角坐标系中,抛物线y1=ax+3x+c经过原点及点A(1,2),与x轴相交于另一点B.
(1)求抛物线y1的解析式及B点坐标;
(2)若将抛物线y1以x=3为对称轴向右翻折后,得到一条新的抛物线y2,已知抛物线y2与x轴交于两点,其中右边的交点为C点.动点P从O点出发,沿线段OC向C点运动,过P点作x轴的垂线,交直线OA于D点,以PD为边在PD的右侧作正方形PDEF. ①当点E落在抛物线y1上时,求OP的长; ②若点P的运动速度为每秒1个单位长度,同时线段OC上另一点Q从C点出发向O点运动,速度为每秒2个单位长度,当Q点到达O点时P、Q两点停止运动.过Q点作x轴的垂线,与直线AC交于G点,以QG为边在QG的左侧作正方形QGMN.当这两个正方形
2
解:(1)∵抛物线y1=ax+3x+c经过原点及点A
(1,2)
2
c=2a=-1∴ 解得 a+3+c=2c=0
∴抛物线y1的解析式为y1=-x+3x
2
令y1=0,得-x+3x=0,解得x1=0,x2=3 ∴B(3,0) (2)①由题意,可得C(6,0) 过A作AH⊥x轴于H,设OP=a
2
可得△ODP∽△OAH
DPAH
==2 OPOH
∴DP=2OP=2a
∵正方形PDEF,∴E(3a,2a) ∵E(3a,2a)在抛物线y1=-x+3x上【2015年全国各地中考数学试题压轴题汇编】
2
72
∴2a=-9a+9a,解得a1=0(舍去),a2=
9
7
∴OP的长为
9
②设直线AC的解析式为y=kx+b
2=k+b212∴ 解得k=-,b=
550=6k+b
212
∴直线AC的解析式为y=-x+
55
由题意,OP=t,PF=2t,QC=2t,GQ=当EF与MN重合时,则OF+CN=6 ∴3t+2t+
4
t 5
430
t=6,∴t= 529
当EF与GQ重合时,则OF+QC=6 6
∴3t+2t=6,∴t=
5
当DP与MN重合时,则OP+CN=6 430
∴t+2t+t=6,∴t=519
当DP与GQ重合时,则OP+CQ=6
∴t+2t=6,∴t=2
3.(北京模拟)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+4经过A(-3,0)、B
(4,0)两点,且与y轴交于点C,点D在x轴的负半轴上,且BD=BC.动点P从点A出发,沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动,同时动点Q从点C出发,沿线段CA以某一速度向点A移动. (1)求该抛物线的解析式;
(2)若经过t秒的移动,线段PQ被CD垂直平分,求此时t的值;
(3)该抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MA的值最小?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2
解:(1)∵抛物线y=ax+bx+4经过A(-3,0)、B(4,0)两点
2
9a-3b+4=011∴ 解得a=-,b=3316a+4b+4=0
121
∴所求抛物线的解析式为y=-x+x+4
33
(2)连接DQ,依题意知AP=t
∵抛物线y=-
121
x+x+4与y轴交于点C 33
∴C(0,4)
又A(-3,0,B(4,0)
可得AC=5,BC=2,AB=7
∵BD=BC,∴AD=AB-BD=7-4
∵CD垂直平分PQ,∴QD=DP,∠CDQ=∠CDP ∵BD=BC,∴∠DCB=∠CDB ∴∠CDQ=∠DCB,∴DQ∥BC ADDQ
∴△ADQ∽△ABC,∴=ABBC
7-42ADDPDP
∴=,∴=ABBC742
解得DP=2-
3217
,∴AP=AD+DP= 77
∴线段PQ被CD垂直平分时,t的值为(3)设抛物线y=-
17
7
1211
x+x+4的对称轴x=与x轴交于点E 332
由于点A、B关于对称轴x=
1
对称,连接BQ交对称轴于点M 2
则MQ+MA=MQ+MB,即MQ+MA=BQ
当BQ⊥AC时,BQ最小,此时∠EBM=∠ACO 3
∴tan∠EBM=tan∠ACO=
4
∴
ME3ME321
=,即 =,解得ME=BE4148
4-
2
121∴M(,
28
121∴在抛物线的对称轴上存在一点M(,,使得MQ+MA的值最小
28
4.(北京模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8.动点P从点A出发,沿AC→CB→BA边运动,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位.直线l从与AC重合的位置开始,以每秒【2015年全国各地中考数学试题压轴题汇编】
4
个单位的速度沿CB方向移动,移动过程中保持l∥AC,3
且分别与CB、AB边交于点E、F.点P与直线l同时出发,设运动的时间为t秒,当点P第一次回到点A时,点P和直线l同时停止运动.
(1)当t=_________秒时,点P与点E重合;当t=_________秒时,点P与点F重合; (2)当点P在AC边上运动时,将△PEF绕点E逆时针旋转,使得点P的对应点P′ 落在EF上,点F的对应点为F′ ,当EF′⊥AB时,求t的值;
(3)作点P关于直线EF的对称点Q,在运动过程中,若形成的四边形PEQF为菱形,求t的值;
(4)在整个运动过程中,设△PEF的面积为S,直接写出S关于t的函数关系式及S的最大值.
l
A B A B
备用图 解:(1)3;4.5
提示:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8 ∴AB=
6+8=10,∴sinB=
AC3BC4AC3
=,cosB==,tanB== AB5AB5BC4
Pl
当点P与点E重合时,点P在CB边上,CP=CE
∵AC=6,点P在AC、CB边上运动的速度分别为每秒3、4个单位 ∴点P在AC边上运动的时间为2秒,CP=4(t-2)
∵CE=
44
t,∴4(t-2)=t,解得t=3 33
当点P与点F重合时,点P在BA边上,BP=BF
∵AC=6,BC=8,点P在AC、CB、BA边上运动的速度分别为每秒3、4、5个单位 ∴点P在AC、CB边上运动的时间共为4秒,BF=BP=5(t-4)
A F B
∵CE=
44t,∴BE=8-t 33
在Rt△BEF中,8-
BE
=cosB BF
4t34
∴=,解得t=4.5
55(t-4)
l
A
(PB
(2)由题意,∠PEF=∠MEN ∵EF∥AC,∠C=90°,∴∠BEF=90°,∠CPE=∠PEF ∵EN⊥AB,∴∠B=∠MEN
∴∠CPE=∠B,∴tan∠CPE=tanB CEAC3
∵tan∠CPE=,tanB==
CPBC4
A
N l
∴
CE34
=,∴CP=CE CP43
B
∵AP=3t(0<t<2),CE=
4
t,∴CP=6-3t 3
4454
∴6-3t=×t,解得t=
3343
(3)连接PQ交EF于O
∵P、Q关于直线EF对称,∴EF垂直平分PQ 若四边形PEQF为菱形,则OE=OF=
1EF 2
2015年中考数学压轴题汇编(1)
一.解答题(共30小题) 1.(2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
2.(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
2
3.(2015•酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2015•阜新)如图,抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
2
5.(2015•济宁)如图,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方),与x轴的正半轴交于点C,直线l的解析式为y=x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点的抛物线过点B. (1)求抛物线的解析式;
(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;
(3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.
6.(2015•荆门)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系. (1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2015•盘锦)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F. (1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长; (3)在(2)的条件下:
①连接DF,求tan∠FDE的值;
②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
2
2
8.(2015•益阳)已知抛物线E1:y=x经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
9.(2015•徐州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
(1)∠
OBA= °. (2)求抛物线的函数表达式.
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、
A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?
10.(2015•乌鲁木齐)抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A,B两点(OA<OB),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点
P的运动时间为t秒(0<t<2). ①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时,
+
的值最小,求出这个最小值
2
并写出此时点E,P的坐标;
②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
2
11.(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
12.(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.
2
13.(2015•常德)如图,曲线y1抛物线的一部分,且表达式为:y1=
(x﹣2x﹣3)(x≤3)曲线y2与曲线y1
2
关于直线x=3对称.
(1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
(2)过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D,连接AD,在曲线y2上有一点M,使得四边形ACDM为筝形(如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形),请求出点M的横坐标;
(3)设直线CM与x轴交于点N,试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P,使△PMN的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
14.(2015•自贡)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编
填空题(1)
江苏泰州鸣午数学工作室 编辑
1. (2015年广东4分)如图,△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,若S△ABC12,则图中阴影部分面积是 ▲
.
【答案】4.
【考点】等底同高三角形面积的性质;转换思想和数形结合思想的应用.
【分析】如答图,各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥,
∵△ABC三边的中线AD,BE,CF的公共点G,∴AG=2GD.
∴①=②,③=⑥,④=⑤,①+②=2③,④+⑤=2⑥.
∵S△ABC12,∴①+②+③+④+⑤+⑥12. ①+②④+⑤+④+⑤+12, 22
2②2⑤∴2②++2⑤+123②⑤12②⑤4,即图中阴影部分面积是4. 22∴①+②+
2. (2015年广东深圳3分)如图,已知点A在反比例函数yk(x0)上,作RtABC,点D为斜边ACx
的中点,连DB并延长交y轴于点E,若BCE的面积为8,则k= ▲
.
- 1 -
【答案】16.
【考点】反比例函数的应用;相似三角形的判定和性质;直角三角形斜边上中线的性质;等腰三角形的性质..
【分析】由题意,SBCE1BCOE8,∴BCOE16. 2
BCAB. OBOE∵点D为斜边AC的中点,∴BDDC. ∴DBCDCBEBO. 又∵ABCEOB,∴ABC∽EOB. ∴
∴kOBABBCOE16.
3. (2015年广东汕尾5分)若1
2n12n1ab,,对任意自然数n都成立,则 2n12n1
ab ;计算:m
【答案】111113355719211110;;. 2221
【考点】探索规律题(数字的变化类).
【分析】∵1
2n12n11111ab,∴a, b. 2222n122n12n12n1
∴m11111111111110. 133557192126610384224221
4. (2015年广东广州3分)如图,四边形ABCD中,∠A=90
°,ABAD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点(含端点,但点M不与点B重合),点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为 ▲
.
【答案】3.
【考点】双动点问题;三角形中位线定理;勾股定理.
【分析】如答图,连接DN,
∵点E,F分别为DM,MN的中点,∴EF
- 2 - 1DN. 2
∴要使EF最大,只要DN最大即可.
根据题意,知当点N到达点B与B重合时,DN最大.
∵∠A=90
°,ABAD=3,
∴
DNDB6,此时,EF1DN3. 2
5. (2015年广东佛山3分)各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有个.
【答案】20.
【考点】探索规律题(图形的变化类);三角形构成条件.
【分析】应用列举法,逐一作出判断:
三边边长都为8,能构成1个三角形;
两边边长为8,能构成三角形的另一边有1,2,3,4,5,6,7,计7个;
一边边长为8,能构成三角形的另两边组合有(2,7),(3,7),(4,7),(5,7),(6,7),(7,7),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),(4,5),(5,5),计12个.
∴各边长度都是整数,最大边长为8的三角形共有20个.
6. (2015年广东梅州3分)若1
2n12n1ab,,对任意自然数n都成立,则 2n12n1
ab ;计算:m
【答案】111113355719211110;;. 2221
【考点】探索规律题(数字的变化类).
【分析】∵1
2n12n11111ab,∴a, b. 2222n122n12n12n1
∴m11111111111110. 133557192126610384224221
7. (2015年浙江衢州4分)如图,已知直线y3x3分别交x轴、y轴于点A、B,P是抛物线4
13yx22x5上的一个动点,其横坐标为a,过点P且平行于y轴的直线交直线yx3于点Q,24
则当PQBQ时,a的值是 ▲ .
- 3 -
【答案】4或
1或4
4【考点】二次函数与一次函数综合问题;单动点问题,曲线上点的坐标与方程的关系;勾股定理;分类思想和方程思想的应用.
【分析】根据题意,设点P的坐标为a,
在y12a2a5,则Q23a, a3. 43x3令x0得y3.∴B0, 3. 4
∵PQBQ
1232∴a2a5a3,即2a11a85a. 242由2a11a85a解得a4或a1. 由2a11a8
5a解得a4
a4综上所述,a的值是4或
1或4
48. (2015年浙江绍兴5分) 实验室里,水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高),底面半径之比为1:2:1,用两个相同的管子在容器的5cm高度处连通(即管子底端离容器底5cm),现三个容器中,只有甲中有水,水位高1cm,如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水,开始注水1分钟,乙的水位上升25cm,则开始注入
0.5cm. 6
【答案】
333171或或 52040- 4 -
【考点】方程思想和分类思想的应用
【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1:2:1,注水1分钟,乙的水位上升
∴注水1分钟,甲、丙的水位上升5cm, 610cm. 3
设开始注入t分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
甲与乙的水位高度之差0.5cm时有三种情况: ①乙的水位低于甲的水位时,有153t0.5t(分钟). 65
②甲的水位低于乙的水位,甲的水位不变时, 59109t10.5t(分钟),6>5,∴此时丙容器已向甲容器溢水. 6535
1035353(分钟)∵5,(cm),即经过分钟丙容器的水到达管子底端,乙的水位上升326242∵
5cm, 4
∴55333(分钟). 2t10.5t46220
③甲的水位低于乙的水位,乙的水位到达管子底端,甲的水位上升时, ∵乙的水位到达管子底端的时间为35515, 52(分钟)2464
∴5121015171(分钟). t0.5t3440
333171或或分钟的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 52040综上所述,开始注入
9. (2015年浙江台州5分)如图,正方形ABCD的边长为1,中心为点O,有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转,在旋转过程中,这个正六边形始终在正方形ABCD内(包括正方形的边),当这个六边形的边长最大时,AE的最小值为 ▲
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2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题
1. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =
12
x+1,点C的坐标为(–4,0),平行4
四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标;
(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围; ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1:2时,求t的值.
2. 如图,已知在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,P是线段AD边上的任意一点(不含端点
A、D),连结PC, 过点P作PE⊥PC交AB于E
(1)在线段AD上是否存在不同于P的点Q,使得QC⊥QE?若存在,求线段AP与AQ之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(2)当点P在AD上运动时,对应的点E也随之在AB上运动,求BE的取值范围.
B
C
1
3.如图,已知抛物线y=-x2+x+4交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B.
2
(1)求A、B两点的坐标,并求直线AB的解析式;
(2)设P(x,y)(x>0)是直线y=x上的一点,Q是OP的中点(O是原点),以PQ为对角线作正方形PEQF,若正方形PEQF与直线AB有公共点,求x的取值范围; (3)在(2)的条件下,记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S,求S关于x的函数解析式,并探究S的最大值.
4.如图,P为正方形ABCD的对称中心,A(0,3),B(1,0),直线OP交AB于N,DC于M,点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动,同时,点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动,运动时间为t。求:
(1)C的坐标为 ; (2)当t为何值时,△ANO与△DMR相似? (3)△HCR面积S与t的函数关系式;
并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。
5.(2010年浙江金华)如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,
.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB,BA上运动的速度分别为1
2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与3
OB,AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.请解答下列问题: (1)过A,B两点的直线解析式是 ;
(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ;当t ﹦ ,点P与点E重合;
(3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为菱形,则t的值是多少?
② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
6.如图1、在平面直角坐标系中,O是坐标原点,□ABCD的顶点A的坐标为(-2,0),点D的坐标为(0,23),点B在x轴的正半轴上,点E为线段AD的中点,过点E的直线l与x轴交于点F,与射线DC交于点G。 (1)求DCB的度数;【2015年全国各地中考数学试题压轴题汇编】
(2)连结OE,以OE所在直线为对称轴,△OEF经轴对称变换后得到△OEF,记直线EF
与射线DC的交点为H。
①如图2,当点G在点H的左侧时,求证:△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为3,请直接写出点F的坐标。
(图1)
(图3)
(图2)
7.△ABC中,∠A=∠
B=30°,AB=ABC放在平面直角坐标系中,使AB的中点位于坐标原点O(如图),△
ABC可以绕点O作任意角度的旋转.
(1) 当点BB的横坐标;
(2) 如果抛物线yax2bxc(a≠0)的对称轴经过点C,请你 探究:
1
① 当ab,cA,B两点是否都
2
在这条抛物线上?并说明理由;
② 设b=-2am,是否存在这样的m的值,使A,B两点不可能同时在这条抛物线
上?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
8.如图,设抛物线C1:yax15, C2:yax15,C1与C2的交点为A, B,点A
2
2
的坐标是(2,4),点B的横坐标是-2. (1)求a的值及点B的坐标;
(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为l,且l与x轴交于点N.
① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为 (1, 2),求点N的横坐标;
② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
9.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y. (1)求证:△DHQ∽△ABC;
(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值; (3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?
2015年中考数学压轴题汇编(1)
一.解答题(共30小题) 1.(2016•贵阳模拟)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(﹣4,0),B(0,﹣4),C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=﹣x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
2.(2015•枣庄)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax+bx+6(a≠0)相交于A(,)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C. (1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由; (3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标.
2
3.(2015•酒泉)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴;
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC,在直线AC的下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
4.(2015•阜新)如图,抛物线y=﹣x+bx+c交x轴于点A(﹣3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在抛物线上,且S△AOP=4SBOC,求点P的坐标;
(3)如图b,设点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.
2
5.(2015•济宁)如图,⊙E的圆心E(3,0),半径为5,⊙E与y轴相交于A、B两点(点A在点B的上方),与x轴的正半轴交于点C,直线l的解析式为y=x+4,与x轴相交于点D,以点C为顶点的抛物线过点B. (1)求抛物线的解析式;
(2)判断直线l与⊙E的位置关系,并说明理由;
(3)动点P在抛物线上,当点P到直线l的距离最小时.求出点P的坐标及最小距离.
6.(2015•荆门)如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系. (1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;
(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;
(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2015•盘锦)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+3交x轴于A(﹣1,0)和B(5,0)两点,交y轴于点C,点D是线段OB上一动点,连接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,过点E作直线l⊥x轴于H,过点C作CF⊥l于F. (1)求抛物线解析式;
(2)如图2,当点F恰好在抛物线上时,求线段OD的长; (3)在(2)的条件下:
①连接DF,求tan∠FDE的值;
②试探究在直线l上,是否存在点G,使∠EDG=45°?若存在,请直接写出点G的坐标;若不存在,请说明理由.
2
2
8.(2015•益阳)已知抛物线E1:y=x经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
9.(2015•徐州)如图,在平面直角坐标系中,点A(10,0),以OA为直径在第一象限内作半圆,B为半圆上一点,连接AB并延长至C,使BC=AB,过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E,已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点.
(1)∠
OBA= °. (2)求抛物线的函数表达式.
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点,以P、O、
A、E为顶点的四边形面积记作S,则S取何值时,相应的点P有且只有3个?
10.(2015•乌鲁木齐)抛物线y=x﹣x+2与x轴交于A,B两点(OA<OB),与y轴交于点C.
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点
P的运动时间为t秒(0<t<2). ①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时,
+
的值最小,求出这个最小值
2
并写出此时点E,P的坐标;
②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
2
11.(2015•佛山)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标; (2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积; (4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
12.(2015•天水)在平面直角坐标系中,已知y=﹣x+bx+c(b、c为常数)的顶点为P,等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,﹣1),点C的坐标为(4,3),直角顶点B在第四象限. (1)如图,若抛物线经过A、B两点,求抛物线的解析式.
(2)平移(1)中的抛物线,使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时,试证明:平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.
(3)在(2)的情况下,若沿AC方向任意滑动时,设抛物线与直线AC的另一交点为Q,取BC的中点N,试探究NP+BQ是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由.
2
13.(2015•常德)如图,曲线y1抛物线的一部分,且表达式为:y1=
(x﹣2x﹣3)(x≤3)曲线y2与曲线y1
2
关于直线x=3对称.
(1)求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式;
(2)过点D作CD∥x轴交曲线y1于点D,连接AD,在曲线y2上有一点M,使得四边形ACDM为筝形(如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分,这样的四边形为筝形),请求出点M的横坐标;
(3)设直线CM与x轴交于点N,试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P,使△PMN的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2
14.(2015•自贡)如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点,与x轴交于点B.
(1)若直线y=mx+n经过B、C两点,求直线BC和抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,求出点M的坐标; (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.
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