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对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。中国招生考试网www.chinazhaokao.com 小编今天为大家精心准备了恒成立问题 恒成立问题的求解策略，希望对大家有所帮助!辽宁锦州义县高级中学高二数学组 王双双
高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型;②二次函数型;③分离变量型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤数形结合。
一.一次函数型
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
ⅰ)
或ⅱ)
亦可合并定成
同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例1.对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围。
分析：题中的不等式是关于
的一元二次不等式，但若把
看成主元，则问题可转化为一次不等式
在
上恒成立的问题。
解：令
，则原问题转化为
恒成立(
)。
当
时，可得
，不合题意。
当
时，应有
解之得
。
故
的取值范围为
。
(1)判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数
,有
1)
对
恒成立
;
2)
对
恒成立
例1.已知函数
的定义域为R，求实数
的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式
对
恒成立，即有
解得
。
所以实数
的取值范围为
。
若二次不等式中
的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2.设
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围。
解：设
，则当
时，
恒成立
当
时，
显然成立;
当
时，如图，
恒成立的充要条件为：
解得
。
综上可得实数
的取值范围为
。
(2)、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1)
恒成立
2)
恒成立
例3.已知
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围。
解：设
，则由题可知
对任意
恒成立.
令
，得
.
而
∴
∴
即实数
的取值范围为
。
例4.函数
，若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围。
解：若对任意
，
恒成立，
即对
，
恒成立，
考虑到不等式的分母
，只需
在
时恒成立而得.
而抛物线
在
的最小值
得
注：本题还可将
变形为
，讨论其单调性从而求出
最小值。
三.分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1)
恒成立
2)
恒成立
已知当x
R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+
恒成立，求实数a的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知(x
R)，另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。
解：原不等式即：
要使上式恒成立，只需
大于
的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3
3,
∴
即
上式等价于
或
解得
.
注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+
即
a+1-2sin2x<5-4sinx+
,令sinx=t,则t
[-1,1],
整理得2t2-4t+4-a+
>0,( t
[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t2-4t+4-a+
则二次函数的对称轴为t=1,
f(x)在[-1，1]内单调递减。
只需f(1)>0,即
>a-2.(下同)
四.根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
例1若f(x)=sin(x+
)+cos(x-
)为偶函数，求
的值。
分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。
解：由题得：f(-x)=f(x)对一切x
R恒成立，
sin(-x+
)+cos(-x-
)=sin(x+
)+cos(x-
)
即sin(x+
)+sin(x-
)=cos(x+
)-cos(x-
)
2sinx·cos
=-2sinx·sin
sinx(sin
+cos
)=0
对一切x
R恒成立，
只需也必须sin
+cos
=0。
五.数形结合
若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例1、当x
(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x
(1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值。
故loga2>1,a>1,
1<a
2.
例2、已知关于x的方程lg(x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a的取值范围。
分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。
解：令y1= x2+20x=(x+10)2-100,y2=8x-6a-3,则如图所示，y1的图象为一个定抛物线，y2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使y1和y2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。(包括l1但不包括l2)
当直线为l1时，直线过点(-20，0)此时纵截距为-6a-3=160,a=
;
当直线为l2时，直线过点(0，0)，纵截距为-6a-3=0，a=
∴a的范围为[
，
)。
由上可见，含参的恒成立问题因其覆盖知识点多，方法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。
恒成立问题的求解策略
下面先介绍两个重要结论：
(1)在区间[m，n]上f(x)>0恒成立
在[m，n]上
，在区间[m，n]上f(x)<0恒成立
在[m，n]上
(2)
恒成立
现举例说明恒成立问题的求解策略。
一、直接利用结论
例1 设x>0，y>0，
则
恒成立的a的最小值是( )
A.
B.
C. 2 D.
解：
恒成立，只要
即可。
因为
即
，所以
，选(B)。
二、正难则反
例2 关于x不等式
的解集为
，求a的范围。
解：
解集为
恒成立。
所以
设
所以
所以
，所以
。
三、反客为主，转化为一次函数
例3 设不等式
对满足
的一切m都成立，求x的取值范围。
解：将x的不等式整理成关于m的不等式
把m看成主元，构造函数
上述函数图像表示的是一条线段，从而要
即
解得
四、判别式法
二次函数
，恒成立
二次函数
恒成立
例4 不等式
，对
恒成立，求
的取值范围。
解：当
时，命题成立。
当
时，要使
对
恒成立，只须抛物线
图像在x轴上方。
所以
即
解得
所以m的取值范围是
五、图像法
例5
[-1，1]时，不等式
恒成立，求a的取值范围。
解：构造函数
，
，
时，不等式
恒成立等价转化为：
时，f(x)图像恒在g(x)图像的下方，当直线
与
相切时，由点到直线的距离公式
，得
，所以a取值范围是
。
六、分离参数求最值
例6 设
，当
时，
恒成立，求m的取值范围。
解：即
恒成立，即
成立
即
，故只须求出
在[-1，2]上最大值即可。
，x=1。
，
，
，
。
所以
，所以m的取值范围是m>7。
七、利用函数的单调性
例7 设
，当
时，f(x)有意义，求a的取值范围。
解：
，此不等式在
上恒成立。
令
，可判断u(x)在(
，
)上单调递增。
因为
，所以
要使a>u(x)恒成立，则
，所以a的取值范围是
。
甘肃省临泽第一中学(734200)
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