二次函数与一元二次方程教学设计

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二次函数与一元二次方程教学设计(一)
2.8二次函数与一元二次方程(第一课时)教学设计

2.8二次函数与一元二次方程（第一课时）教学设计

南海执信中学 蒋勇军

【教学目标】

1、知识与技能：

（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；

（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征； （3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。 2、过程与方法：

（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系； （2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。 3、情感、态度与价值观：

培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。

【重点与难点】

重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。 难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。

【教法与学法】

教法：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。 学法：探究式学习。

【课前准备】

多媒体、PPT课件。

【教学过程】

附：板书设计：

课题：…….

二次函数与一元二次方程教学设计(二)
22.2二次函数与一元二次方程教学设计

22.2二次函数与一元二次方程

【教学目标】

知识与技能：

理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。

过程与方法：

逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。

情感、态度与价值观：

培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。

【教学重点】：探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。

【教学难点】：函数方程x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。

【教学准备】：多媒体课件、作图工具

【教学方法】：提问法，练习法，总结法

【教学过程】

一、师生互动、课堂探究

1．[探究]（1）教材P43问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2. 考虑以下问题：

球的飞行高度能否达到15m？如能，

需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20m？如能，

需要多少飞行时间？

球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？

球从飞出到落地需要多少时间？

学生交流各自愿 求解方法与结论。

[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；1、函数y=ax2+bx+c，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。 特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。

以上关系，反过来也成立。

[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？

利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。

2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系

[议一议]观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？ 方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2 =1.

方程x2-6x+9=0的根是x1= x2=3。

方程x2-x+1=0无实数根。

[归纳【二次函数与一元二次方程教学设计】

]

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：

如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

三、课堂练习：

根据本节课的内容选4个题进行检测，检查学生掌握的程度。针对存在的问题小组进行评讲，老师总结评价。

四、课时小结：

一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：

如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。

抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

五、布置作业：课本P47习题22.2第1、2题

教学反思：

二次函数与一元二次方程教学设计(三)
二次函数与一元二次方程教学设计

二次函数与一元二次方程【二次函数与一元二次方程教学设计】

一、教学内容：二次函数与一元二次方程

二、教学目标：

知识与技能

1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；

2．利用二次函数y=ax2+bx+c的图形，观察对应一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况。

情感态度与价值观

1．通过经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．

2. 通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。

三、教学重点、难点：

教学重点：

1．体会方程与函数之间的联系。

2．能够利用二次函数的图象观察一元二次方程根的情况。

教学难点：

1．探索方程与函数之间关系的过程。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。

四、教学方法：先学后教，合作探究。

五：教具、学具：课件

六、教学过程：

（一）回顾旧知

1.如何用一次函数图象解相应的一元一次方程。例如用y=2x-1的图象解方程2x-1=0,2x-1=3

2、不解方程如何判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况？

（二）出示学习目标和自学指导

 学习目标：

 1.理解二次函数与一元二次方程根的关系；并能利用图像法求一元二次方程的解.

 2.利用二次函数y=ax2+bx+c的图象观察对应一元二次方程

 ax2+bx+c=0的根的情况.

 自学指导：认真阅读课本43---45页的内容思考1.“问题”里两个云图的问题体会二次函数与一元二次方程的关系；2.看完“思考”想想如何由一元二

次方程的根情况确定相应二次函数的图像与x轴的位置关系。

（三）自学检测

1.观察下列图象，分别说出一元二次方程

x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况.

2. 根据一元二次方程 x2-4=0 的根的情况，

判断二次函数y=x2-4 图象与x轴交点坐标是什么？

3.归纳总结

4.课堂练习

1 、抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）

A 两个交点 B 一个交点

C 没有交点 D 画出图象后才能说明

2.抛物线y=x2-4x+4与X轴有3、不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点是____________与y轴交点坐

标是_________。

4.若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与

x轴交点坐标是。

5.如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿,此时

抛物线 y=x2-2x+m与x轴有＿ 个交点.

6.已知抛物线 y=x2 – 8x +c的顶点在 x轴上,则c=＿＿.

（四）总结

22二次函数y=ax+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax+bx+c=0的

二次函数与一元二次方程教学设计(四)
二次函数与一元二次方程(1)(教学设计说明)

第二章 二次函数

8.二次函数与一元二次方程（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法，其中主要对一般式和顶点式做了大量的训练，因而从“数”的方面对二次函数有了比较全面的认识，但对交点式仍然停留在感性认识层面，特别是对于从数形结合的这一数学思想来认识二次函数，他们对整章各节知识的关系还没有真正完整的形成，通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了认识二次函数图象、求二次函数解析式、利用建立二次函数的数学模型，通过转化为顶点式求出最值，解决了一些简单的实际问题，感受到了二次函数与生活的紧密联系，他们已经有了探索本节课的数学基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了一次函数图象应用的学习，对于一次函数和一元一次方程的关系有了较多的认识，因此教学中多采取联想、类比的启发式教学，相信他们会有能力完成好本节新课的学习任务。

二、教学任务分析

本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;学生的认识要上升到理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标是有困难的，教师必须在课堂上要通过由易到难的设问，巧妙的启发，肯定的评价，努力营造出让学生探索二次函数与一元二次方程关系的氛围，使他们体验到数学活动充满着探索与创造，从而感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，有意识的培养学

生初步的创新精神和实践能力．本节课的教学目标是：

知识与技能：

1．理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根；

过程与方法：

1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．

2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。

情感态度与价值观：

1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；

2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。

教学重点：

理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根

教学难点：

理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标

三、教学过程分析

本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。

第一环节 课前热身、耐心填一填

活动内容：

1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。

2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)顶点式：y = a(x-h)2 + k交点式：y = a(x-x1)(x-x2)

3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.

4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。

活动目的：

教学第一个环节课前热身练习，是利用3分钟时间让学生尽快进入到课堂角色中来。问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。目的一是巩固学生之前所学的基本知识，为本节课学习新知识做好铺垫，二是有意识对班级内基础较差的同学提问，增强他们对后面学习新内容的信心。第3小题要求学生熟练掌握把一般式转化为顶点式的配方法，第4小题目的是让学生回顾求抛物线y= ax2＋bx＋c与x轴交点的问题，就是y=0，转化为二次方程ax2＋bx＋c=0的根就是抛物线与x轴交点的横坐标，教学中通过对这个问题的点评，让学生明确二次函数的学习应该从“数”与“形”两方面进行研究。第5小题的解答虽然可以有三种途径：一般式、顶点式、两根式都可以探索得到，但三种方法的简洁程度不相同，反映的思维深度也不一样，通过提问、启发在课堂中尽量让学生回答出三种解法，并对比三种方法的优劣。热身练习时，教师在课室中巡视，用肯定学生的话语鼓励学生，用启发性的语言提示学生，努力营造出宽松、和谐的课堂气氛,为之后的新课学习作好准备。

实际教学效果：

课前的热身训练中，由于这5个练习题设置基本，精巧简练，所以这个环节

在知识上起到了承前启后的作用，在教与学的双边活动中也营造出了较为宽松的课堂气氛。特别是第5小题的一题多解，即活跃了学生的思维 ，也为本节新课“探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系”打好了铺垫。

第二环节 用心想一想，马到功成

活动内容：

1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？

(2) h和t的关系式是什么？

（3）小球经过多少秒后落地?

你有几种求解方法?与同伴进行交流.

2．分别求出二次函数

y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交

点的坐标,并快速作出草图.

思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.

y=x

y=x-2xy=x-2x

（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？

(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?

(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?

3．归纳整理:

a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:

1、 有两个交点,

2、 有一个交点,

3、 没有交点.b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?

二次函数与一元二次方程教学设计(五)
二次函数与一元二次方程(教学设计)

二次函数与一元二次方程(教学设计)

江阴市祝塘中学 过家福

一、 教材内容分析：

本节是安排在学生已学了三个基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)之后所学的内容,是函数知识的应用之一,其意图是使学生进一步体会函数知识在解决实际问题的重要性；会利用函数知识分析问题、解决问题；认识函数与方程是研究事物变化的重要工具,体会函数与方程的有机联系,也为二分法求方程的近似解提供理论依据,起链接和应用作用。

二、 教学目标分析：

依据知识与技能、过程与方法，情感态度与价值观三类目标，本节教

学目标确定如下：

1． 知识与技能目标

使学生学会结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。

2． 过程与方法

①从具体的一元二次方程的根与对应二次函数的图象与x轴交点横坐标之间的关系到一般的求方程的根与零点的求法，揭示方程根与对应函数的零点间关系。

②从问题出发，多角度探索解决问题的方法，并从中提炼出一元二次方程根的特点与对应二次函数图象特征之间的关系。

3． 情感态度与价值观

体会函数与方程的相互转化，数与形结合的数学思想方法。

三、 教学过程：

㈠、问题情景：

（特殊问题）

提问设计：①下列方程与函数在形式上有何联系？

x22x30, yx22x3

（方程左边式子就是函数的表达式）

②方程的根就是函数的什么值？

（是使y=0时的x的值，是函数图象与x轴交点的横坐标）

㈡、数学构建：

（过渡语）

（1） 由于有这样的联系、特点，我们把这个方程的根称为这个函数的

零点。

（2） 推广：一般地，将一元二次方程ax

2bxc0(a0)的实数

根称为函数yax2bxc(a0)的零点。

因此有： 一元二次方程 二次函数

ax2bxc0(a0) yax2bxc(a0)

实数根

使

y=0

时的x值；

图象与x轴交点的横坐标；

零点；

（数） （形）

（3）再推广：更一般地，方程f(x)0的实数根又叫做函数yf(x) 的

零点。

㈢、数学运用：

1．互动巩固：

①函数yx2x2的零点是____________；

②函数yx26x9的零点是____________；

③函数yx2x2的零点是____________； （④题图）

④函数yf(x)的图象如右，则它的零点是____________；

⑤零点为-3和1的二次函数为____________；

⑥函数f(x)x2bxc的零点为2和-4，则b=______；c=______；

2⑦函数yaxbxc(a0)的零点如何？

2 这就是方程ax(a0)bxc0 (a0)的根与函数yax2bxc

的图象和零点之间的关系。

※小结：①零点是个“数” ； ②数形结合（方程的根对应的是数，而函数我

们更多的是关注图象，以上实际上是研究了数与形的关系，体现了数形结合）

2．举例：

例1．求证：一元二次方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实根。 证明：∵△=32-4×2×（-7）=65>0

∴方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实根。

提问设计：有无其他证法?

①既然方程与对应函数有联系，能否考察对应函数？

②方程有两个不相等的实数根对应函数有两个零点函

数图象与x轴有两个交点。

③图象具备什么特征，才能保证与x轴有两个交点？

④由于开口向上，只要图象上存在一点在x轴下方就可以了。

⑤问题就化归为：说明开口向上,且找到x轴下方的一点。

（顶点可以，但没有x=0时方便）

2证法二：设函数f(x)2x3x7,【二次函数与一元二次方程教学设计】

∵a=2>0, ∴函数图象是一条开口向上的抛物线,

又∵f(0)7<0, ∴函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点,

即方程2x2+3x-7=0有两个不相等的实数根。

※小结：①证法一、证法二的过程体现的是两个不同的角度（数—形）；

②证法二：构造函数，说明图象具备什么特征，得出结论；

a0③证法二是说明有两根且x1<m<x2； f(m)0

提问设计：①你能进一步估计x1,x2的范围吗？

②从证法二中能否得到一点启发?

③从图上发现根附近有f(0)0,但也有n,使f(n)0,如

f(2)70,很显然,有一个根在0与2之间。

④为什么？因为函数f(x)的图象是连续的，从点（0，-7）变

f(0)0化到（2，7），必与x轴相交，即 有根x0且0<x0<2。f(2)0

⑤你能得出更一般的结果吗？

⑥一个新的发现：若二次函数yf(x)对于实数m,n，m<n,

有f(m)f(n)0,则存在x0∈(m,n), f(x0)0。

例2．已知关于x的方程x2+x+4-2m=0的两实数根α，β满足α<1<β,

求m的取值范围。

例3．若关于x的一元二次方程x2-2x+a+1=0的两个实根α，β满足

0〈α<1<β〈2，求实数a的取值范围。

㈣、回顾总结：

1、互动讨论：本节课所学的内容，新的发现和获得的感悟！

2、总结：

①一元二次方程的实数根二次函数的零点

②数形结合（构造函数，从研究形的特征，解决数的问题）

③根的分布（根的估计）

f(m)<0 （f(m)>0）„„

f(m)·f(n)<0  „„

拓展延伸：通过进一步研究，完善，请你尝试就此问题写

一篇小论文。

④f(m)·f(n)<0 f（x）=0在（m,n）内有根x0 x0≈„， 如例2中，f(0)·f(2)<0 „„ x0≈„（“1”左右或大约“1”）

㈤、作业：

1、阅读课本2.5.1节,回顾复习本节课所学内容；

2、课本P76 1-4；

3、若关于x的一元二次方程3ax2+(9-7a)x+12=0的两个实根α，β，满足0<α<1<β<2,求实数a的取值范围。

四、设计思想

根据本节内容，采用问题启迪，互动交流的方法来引导学生探索研究，归纳总结，形成认知结构，培养思维能力。为此，我以简短的具体问题导入对每一环节都针对性地设计一些问题，并注意设问的技巧，以便促进学生对概念的理解和学习能力的提高，同时在设计过程中加强归纳总结，拓展推广，体现从特殊到一般的哲学思想是研究问题的常规方法之一，不断地引导学生发现新问题，提出新问题，激发学生的学习兴趣和求知欲。

本课亮点规划：①紧扣数与形两个条线；②分析提问设计，注重设问技巧，启迪思维，流畅过渡；③互动巩固，注意题型；④及时小结，注重升华；⑤回顾总结，注意拓展延伸和上下链接。

五、素材链接

① 新课程标准

②《怎样解题》

③《合情合理的推论》

本文来源：http://www.guakaob.com/yiyaoleikaoshi/520509.html