鞅啥意思

【www.guakaob.com--汉语四六级】

鞅啥意思篇一
《第一章 鞅 第二节 鞅的基本概念和性质》

第二节 鞅的基本概念和性质

定义1-2-1 设(,F,P)为概率空间，{xt,tT}为概率空间上的一族随机变量，则称{xt,tT}为概率空间(,F,P)上的随机过程。

注1-2-1 由随机过程的定义知，对固定的tT，xt为(,F,P)上的随机变量，对固定的，xt()为t的函数。以后设T0,1,2,或T0,{}。 定义1-2-2 设Xxt,tT为概率空间,F,P上的随机过程，如果 （a）X是FttT 是适应的 （b）Ext,tT

（c）对st,s,tT,Extxsxs,a.e. 则称X{xt,tT}为{Ft}tT的鞅。

如果有

（c'）对st,s,tT,Extxsxs,a.e. 则称X{xt,tT}为{Ft}tT的上鞅。

如果有

（c''）对st,s,tT,Extxsxs,a.e. 则称X{xt,tT}为{Ft}tT的下鞅。

注1-2-2 如果X是上鞅，则X为下鞅。如果X既是上鞅又是下鞅，则X为鞅。

注1-2-3 由定义1-2-2的条件c可知，如果X是鞅，则对s,tT,都有

ExsExt。事实上，取t0st，则t0s,t0t，

ExsFt0xt0,ExsFt0xt0



于是

E[xs]EE[xsFt0]Ext0



E[xt]EE[xtFt0]



所以

ExsExt。

如果X是下鞅，st,s,tT，都有

ExtExs

事实上，取t0,st0t，则

E[xt]EE[xtFt0]Ext0





E[xt0]EE[xt0Fs]Exs

所以



ExtExt0Exs。

同样地，X是上鞅，st,s,tT，都有



ExtExs（习题1-2-1）

例1 设{{yn,n0}为相互独立的随机变量，且Eyn，Eyn0,n0.gk是k维的Borel可测函数，令

bngn(y0,y1,...,yn1),n1

并假设Ebn，n1。定义随机变量的序列

xnx0bkyk,(x0为常数）

k1n

Fn(y0,y1,...,yn),n1

则{xn,Fn,n1}是鞅。事实上，

xnx0bkyk

k1n

ExnE[x0]E[bkyk]

k1

n

又 xn1xnbn1yn1

Exn1FnExnFnEbn1yn1Fn

xnEbn1yn1Fn

因为 bn1gn(y0,y1,..y.n,)Bn 所以bn1是Fn可测的，故

Ebn1yn1Fnbn1Eyn1Fn

又因为yn1和yn是独立的，(yn1)与Fn(y0,y1,...,yn)也独立，故

Eyn1FnEyn10 Exn1Fnxn

由此知{xn,Fn,n1}是鞅。

这个例子的直观意思为，设赌徒每局赢的概率为，事件{yn1}表示第n

局赢，{yn1}表示第n局输，所以

Pyn1Pyn1

Eyn0

假定yn,n0是独立的，而赌者在第n局的策略gn依赖于以前n-1局的战绩，即赌注bn是yn1,...,y2,y1,y0的函数，我们记之为

bngy0,y1,...,yn1

则第n局的盈亏为

xnx0bkyk

k1n

这里设初始赌注为x00，于是我们可知

Exnxn10

即，平均地讲，净利的平均值为零。事实上

Exnxn1ExnExn1

EExnFn1Exn1 Exn1EXn10

例2 Doob的鞅过程

设yn,n0是随机变量序列，X是随机变量，EX.令

Fn(y0,y1,...,yn)，

xnEXFn

则xn,Fn,n1是鞅。它 被称为Doob的鞅过程。事实上，

ExnEEXFnEEXFn



=EX

又

Exn1FnEEXFn1FnEXFnxn

定理1-2-1 设xt,Ft,tT，yt,Ft,tT是鞅（或下鞅），则 （1）xtyt,Ft,tT是鞅（或下鞅）； （2）xtyt,Ft,tT是下鞅； （3）xtyt,Ft,tT是上鞅。

证明：（2）设xtyt，则ExtytFsExtFsxs。又ExtFsEytFsys，所以，ExtytFsxsys。

习题1-2-2：证明（1）（3）。

定理1-2-2 （1）设xt,Ft,tT是鞅，f是定义在R'上的凸函数。如果对一切

tT，E[F(xt)]，则f(xt),Ft,tT是下鞅。

（2）设xt,Ft,tT是下鞅，f是定义在R'上的非降凸函数。如果对一切tT，

E[F(xt)]，则f(xt),Ft,tT是下鞅。

（3）设xt,Ft,tT是上鞅，f是定义在R'上的非降凹函数。如果对一切tT，

E[F(xt)]，则f(xt),Ft,tT是上鞅。 证明：（2）因为xt,Ft,tT是下鞅，所以

ExtFsxs

因为f非降，

fExtFsfxs

又因为f是凸函数，

fExtFsE[fxtFs]

所以

E[fxt|Fs]fExtFsfxs。

习题1-2-3：证明（1）（3）。

推论1-2-1 设xt,Ft,tT是鞅（或非负下鞅），1，且对tT，|xt|可积，则{|xt|,Ft,tT}是下鞅。 证明：习题1-2-4

推论1-2-2 如果xt,Ft,tT是下鞅，则xt,Ft,tT也是下鞅。这里，





xtxt0。 证明：习题1-2-5

习题1-2-6 设xn,n1为独立随机变量序列，E[xn]0，则xnxk为鞅序

k1n



列，这里Fnxk,kn。

鞅啥意思篇二
《鞅和马尔可夫过程的相互关系总结》

均马尔可

夫过程 马尔可 鞅 独立增量过夫过程 程

独立增量过程：对任意t0<t1<⋯<tn∈T，随机变量Xt0,Xt1−Xt0,…,Xtn−Xtn−1都相对独立。

马尔可夫过程：s>=t P Xs∈A Ft =P Xs∈A Xt 鞅：E Xs Ft =Xt s>=t

均马尔可夫过程：E Xs Ft =E Xs Xt s>=t

注1：独立增量过程满足E Xt =m 时是鞅，m是常数 注2：独立增量是马尔可夫过程的特例

注3：鞅和马尔可夫都满足均马尔可夫的条件

例1：Brown运动

例2：是尔可夫不是鞅

例3：是鞅不是马尔可夫

鞅啥意思篇三
《期权定价的鞅方法》

鞅啥意思篇四
《平稳过程,鞅及马氏过程的相互关系》

鞅啥意思篇五
《赌博的鞅论模型及随机模拟》

第24卷第6期2011年12月

四川理工学院学报（自然科学版）

JournalofSichuanUniversityofScience＆Engineering（NaturalScienceEdition）Vol.24No.6

Dec.2011



1549（2011）06-0715-04文章编号：1673-

赌博的鞅论模型及随机模拟

112魏艳华，王丙参，李艳颖

（1．天水师范学院数学与统计学院，甘肃天水741001；2．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡721013）

摘要：赌博是一种重要的社会现象，对其定性研究很多，但关于运用数学模型进行定量研究的

文献并不多。鉴于此，运用概率论及鞅论建立了赌博模型，探讨了破产概率、赌博策略及赌博停止次并依据数值模拟结果对赌博策略提出了几点指导意见。数。最后给出了Matlab编制的随机模拟程序，

关键词：赌博模型；鞅论；随机模拟中图分类号：O211.9

文献标识码：A

q

，则甲恰好a+2i局输光p

引言

近几十年来，鞅论不仅在随机过程及其它数学分支中占据了重要的地位，而且在实际问题诸如金融、保险及可靠性理论上也得到了广泛的应用，如在风险模型中，利用鞅论求解破产概率是非常简洁的

［1-3］

c=a+b，令q=1－p，β=的概率是

a

Cia+2ipiqa+i，甲输光的概率a+2i

。赌博是

Pa=

人类的第二大天性，自古至今一直活跃在人们的生活并对社会、经济、政治、文化等方面产生了各种各样中，

的影响，然而实际中的各种赌博胜负都带有极大的偶然性

［4-5］

{

b1

，p=q=a+b2

acpbqa－qcβ－β

=，p≠q

pc－qc1－βc

乙输光的概率为1－Pa。

Bk="a+2i证明令A="恰好赌a+2i局输光"，k=0，1，…，局中赢k局"，由全概率公式可得

P（A）=

。本文运用鞅论建立了赌博模型，探讨了破产

概率、赌博策略及赌博停止次数，最后运用Matlab软件进行了随机模拟。

∑

∞k=0

P（A|Bk）P（Bk）=P（A|Bi）P（Bi）=a

Cia+2ipiqa+i

a+2i

1赌博模型

引理1.1

［6-7］

iia+i

Pa+i，=iCa+2ipq

若在一次选举中，候选人A得到n张

n≥令Xn表示赌了n局后甲手中的赌金，则｛Xn，0｝是一个齐次马尔科夫链（MC），1，状态空间E=｛0，…，c｝，c为吸收态，状态0，其一步转移概率为

选票而候选人B得到m张选票且n＞m，假定选票的一A的票数始切排列次序是等可能的，则在计票过程中，终领先的概率Pn，m=

（n－m）

。

（n+m）

定理1.1若赌徒甲开始有a元，乙有b元，在每次赌局中甲以概率p赢得乙一元，且各局赌博结果相互独立没有和局，赌博一直进行到有一个人全部输光为止，

pij=

{

p，j=i+1

p00=pcc=10＜i＜c，q，j=i－1，0，其他

设Pi表示甲从状态i出发到破产的概率，显然有P0=

10-08收稿日期：2011-07）基金项目：甘肃省自然科学研究基金计划（096RJZE106）；甘肃省教育厅项目（0908-），（E-mail）wei5yan6hua7@126．com作者简介：魏艳华（1978-女，吉林四平人，讲师，硕士，主要从事随机过程及金融数学方面的研究，

1，Pc=0，1≤i≤c－1，由全概率公式可得

Pi=pPi+1+qPi－1Pi+1－Pi=β（Pi－Pi－1）故有

Pi+1－Pi=βi（P1－P0）将上式连加可得

Pc－Pi=（P1－P0）

0≤i≤c∑k=iβk，

c－1

2赌博的鞅论模型

定理2.1

［1］

Fn=σ（X0，…，Xn），n≥0｝为设｛Mn，

T是停时且满足P（T＜∞）=1，E（|MT|）＜∞，鞅，

n→∞

limE（|Mn|I｛T＞n｝）=0，则EMT=EM0。

定理2.2

［1］

设｛Mn｝是关于｛Fn｝的鞅，若一

Pi=

{

1

（c－i）（1－P1），p=q=

2

icβ－β

（1－P1），p≠q1－β

个非负r．vY满足EY＜∞且对n成立|Mn|＜Y，则｛Mn｝是一致可积鞅。

定理2.3

［1］

Fn=σ（X0，…，Xn），n≥0｝为设｛Mn，

令i=1可得

T是停时且满足P（T＜∞）=1，E（|MT一致可积鞅，

|）＜∞，则EMT=EM0。

每个赌博者自然都对使得他在一系列赌博后获得期望收益最大化的策略感兴趣。若一个赌博者正在进n≥每次赌博赢的概率是p，令｛Yn，行一系列的赌博，

1｝是一列独立同分布（i．i．d）的随机变量（r．v），表示P｛Yn=1｝=p，P｛Yn=－1｝=1－每次赌博的结果，

P1=

{{

{

1－

11，p=q=c2

c

β－β

，p≠q1－βc

将P1代入上式得：

（c－i）

p=qcβ－β

，p≠q1－βc

b1，p=q=a+b2

acpbqa－qcβ－β

=，p≠q

pc－qc1－βci

c

Pi=

p=q分别表示赌博者在第n次赌博时赢和输。如果赌博者采用的赌博策略依赖于前面的赌博结果，那么他的…，Yn－1），n≥2赌博可以用下述的r．v序列bn=bn（Y1，

描述，其中bn＜∞是第n次的赌注，若赢则获利bn，否则输掉bn。设X0是该赌博者的初始赌资，则Xn=X0+

Pa=

如果甲乙两人的赌博技能一样，则他们破产的概率与他们各自所拥有的财产成反比，因此同一个富有的对手玩这种游戏是不明智的，由于b→∞，则Pa→0，所以从长期来看，你最终破产几乎是必然的，更不用说对

a

手是一个赌博经验丰富的巨富。若p＞q，Pa=β

∑

ni=1

biYi是他在第n次赌博后的赌资，n=记X=｛Xn，

1，2，…｝。

E［Xn+1|Y1，…，Yn］=

E［Xn|Y1，…，Yn］+E［bnYn+1|Y1，…，Yn］=Xn+bn+1E［Yn+1|Y1，…，Yn］=Xn+bb+1E［Yn+1］Xn+1|Y1，…，Yn］≥Xn，当p≥0.5，则E［即X为下Xn+1|Y1，…，Yn］≤Xn，鞅；当p≤0.5，则E［即X为上Xn+1|Y1，…，Yn］=Xn，鞅；当p=0.5，则E［即X为鞅；n=1，2，…｝为鞅时，显然当｛Xn，对期望收益而言他在而与过去下一次赌博结束时的赌资将等于现在的赌资，这也是鞅所具有的一种无后效性，而同时的输赢无关，

这体现的正是赌博的公平（如果每次赌博的输赢机会并且赌博策略是依赖于前面的赌博结果，则是均等的，

赌博是公平的），任何赌博者都不可能将公平的赌博通

1－βba

所以既使乙在赌本上占有明显优势，结果c＜β，1－β

a

仍会很差，即仍有1－β的可能破产。由上可知，当你

来到一个群体时，先环顾下四周，如果没有发现比你傻的人，则我不幸告诉你，你可能就是最傻的一个，傻并不关键是你要认识到自己的傻，否则别人兴高采太可怕，

烈的喊你去赌博，你也兴高采烈的去了，结果可想而知，人家兴高采烈是因为人家满载而归，你兴高采烈是因为如果在法律容许且风险你傻。但如果你博弈技术很高，

可以容忍的情况下，适当参加博弈是对你有利的。

过改变赌博策略使赌博变为对自己有利的赌博。鞅描述的是公平赌博，下鞅和上鞅分别描述了有利赌博和不利赌博。

n=1，2，…｝为简单若赌注bn≡1，则称｛Xn，

随机徘徊，而简单随机徘徊是常返的，即对整数i有P（n＞1使得Xn=iX0=i）=1。对于m＞n有

P（Xn=r，Xm=s）=P（Xn=r，Xm－Xn=s－r）=

因为让参与博弈的人不加限制的显然是不公平的策略，

欠钱是一个对他过分倾斜的有利条件。

X=｛Xn=a+∑i=1Yi｝是鞅且其实：当p=0.5，

n，即X为一致可积鞅。由满足EXn≤a+b，

EXT≤a+b及鞅停时定理可知EXT=EX0=a，另一方面EXT=0×P（XT=0）+（a+b）P（XT=a+b），即Pa=1－P（XT=a+b）=

b

。a+b

n

3随机模拟

CnpqCm－mp

n+rn+rn－rm－n+s－r

m－n+s－r

q

m－n－s+r

对于n1＜n2＜…＜nk类似有

P（Xn=s1，…，Xn=sk）=

1

k

随着计算技术的飞速发速，随机模拟成为进行科学

∏

kl=1

Cpq

rl

ml

rlml－rl

研究的有力工具，利用随机模拟方法研究破产概率也成为一种快捷易行的手段且受到很多人的青睐。Matlab软件是集数值计算、符号运算及图形处理等强大功能于

其中

ml=nl－nl－1，rl=0.5（nl－nl－1+sl－sl－1）DXn=nDYi=若X0≡x，则EXn=x+n（p－q），4npq，cov（Xn，Xm）=4（n∧m）pq。

若bn≡1，直至其中某一人输光为止，赌博终止，设初始时刻甲有a元，赌徒乙有b元，在每次赌局中甲以概率p赢，而且各局的进行相互独立，规定不欠不借，甲输光的概率为Pa，乙为Pb。由全概率公式可这是一个常系数的差分方程，且知Pa=pPa+1+qPa－1，

Pa+b=0，边界条件为P0=1，对a归纳可得这个差分方程的解为

一体的科学计算语言

［7］

。假如甲的初始财产为a元，乙

mat-共模拟50000次，为b元且每一局甲胜的概率为p，lab程序如下：

time1=0；time2=0；sum=0；num=50000；%模拟的次数fori=1：num

k=0；a=10；%甲的初始财产b=5；%乙的初始财产p=0.55；%每一局甲胜的概率whilea＞0＆b＞0w=rand（1，1）；

Pa=

{

b1

，p=q=a+b2

acpbqa－qcβ－β

=，p≠q

pc－qc1－βc

ifw＜=pa=a+1；b=b－1；elseb=b+1；a=a－1；end

k=k+1；endsum=sum+k；

ifa==0time1=time1+1；endifb==0time2=time2+1；endend

p1=time1/num%甲破产的概率p2=time2/num%乙破产的概率mean=sum/num%赌博的平均次数模拟结果如表1。

Xn∈A｝并约若A表示首次赢一元，则T1=inf｛n，Xn∈｝=∞，定T1（）=inf｛n，可见T1是关于｛Xn，n=1，2，…｝停时且P（T1＜∞）=1。令T=inf｛n：Xn=0或Xn=a+b｝表示甲输光或乙输光，则T及T∧T1n=1，2，为停时。又因为EXT∧T≤a+b，所以｛Xn，

1

…｝为一致可积鞅，由鞅停时定理可知EXT∧T=EX0，

1

即采用首次赢一元就停止的赌博策略也不会对你有利，这与人们的直觉有一定的偏差。当然在简单随机徘徊采用首次赢1元就停止的策略是稳赢1元的，但它中，

718四川理工学院学报（自然科学版）

表1随机模拟结果

2008．华大学出版社，

赌博

次数3350617

2011年12月

甲的财产a1055

乙的财产b510100

每局甲胜的概率p0.550.550.55

最终甲破产的概率0.09090.33360.3663

［3］王丙参，魏艳华．保费收取次数为负二项随机过程的

J］．江西师范大学学报，2010，34（6）：604-风险模型［608．

［4］刘文．关于公平赌博的一个强极限定理［J］．系统科

2002，22（4）：452-457．学与数学，

［5］赵娟，金燕生，刘征福．赌徒破产概率的生灭过程模

J］．黑龙江大学：自然科学学报，2010，27（2）：型［175-179．

［6］马占友，J］．吉林师范陈利．关于赌博问题的研究［

2006，9（1）：48-50．大学学报：自然科学版，

由此可见，如果甲在单次博弈中获胜的概率大于乙，即使乙拥有更多的财产，甲也有可能逃脱破产的厄运且概率很大，对于此次博弈来说，甲逃脱破产的概率是为0.6337。可见只要长时间参与不利博弈，破产的概率是很大的，时间越长，概率越大，极限为1。

参考文献：

［1］张波，M］．北京：清华大学出张景肖．应用随机过程［

版社．2004．

［2］龚光鲁．随机微分方程及其应用概要［M］．北京：清

［7］农吉夫．赌博破产概率及其随机模拟试验［J］．数学

2010，40（16）：222-227．的实践与认识，

GamblingModelwithMartingaleTheoryandStochasticSimulation

WEIYan-hua1，WANGBing-can1，LIYan-ying2

（1．SchoolofMathematicsandStatistics，TianshuiNormalUniversity，Tianshui741001，China；2．DepartmentofMathematics，BaojiUniversityofArtsandSciences，Baoji721007，China）

Abstract：Gamblingisanimportantsocialphenomenon．Therearealotofqualitativeresearches，butthecorrespond-ingresearchliteratureaboutitsmathematicalmodelsisfew．Thegamblingmodelisestablishedbyusingprobabilityandmar-tingale，theprobability，gamblingstrategyandgamblingstoptimesarestudied．Randomsimulationprogramareexploredbyusingmatlabsoftware．Accordingtothesimulationresult，afewcommentsofgamblingstrategyaregiven．

Keywords：gamblingmodel；Martingaletheory；stochasticsimulation

鞅啥意思篇六
《鞅分析在生存分析模型中的应用》

哈尔滨理工大学

硕士学位论文

鞅分析在生存分析模型中的应用

姓名：张怡

申请学位级别：硕士

专业：应用数学

指导教师：孔繁亮

20090301

鞅分析在生存分析模型中的应用

摘要

生存分析是数理统计学研究的一个重要分支，自二十世纪７０年代中期以来得到迅速发展，生存分析最初起源于现代医学，工程等科学研究中的大量实际问题，着重对删失数据进行统计分析研究，因此具有很强的应用性，对医学、工程产品的可靠性的统计具有重要作用。生存分析理论结合一些新的概率统计的前沿理论，能妥善地处理现实生活中常见的删失数据问题，而且在解决实际问题的同时，揭示了一些更为复杂的理论问题，促进了数理统计的发展。本文在综述生存分析的基本理论与鞅理论的基础上，用偏极大似然估计的方法确定带有删失数据的具有Ｃｏｘ强度过程的时间相依协变量分层比例风险模型的参数估计形式，并采用鞅分析方法得出该模型的参数估计是相合的且是渐近Ｊ下念的。由此得出，在临床试验中该模型的参数采用偏极大似然法来估计是可行的。其次应用参数检验与非参数检验两种方法对模型各层的基本风险函数进行假设检验，结合鞅的中心极限定理构造出相应的检验统计量。

本文又将鞅分析方法引入到带有删失数据的具有Ｃｏｘ强度过程的时问变系数比例风险模型中，用局部线性偏极大似然估计的方法确定模型的参数估计形式，并应用鞅分析方法得出时间变系数的局部线性偏极大似然估计及基本累积风险函数的非参数估计的自过程是相合的。由此得出对该模型实施自助法是可行的，为生存分析模型在实际中的应用提供可靠的理论依据。关键词鞅；生存分析；比例风险模型；自助法

ＴｈｅＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＭａｒｔｉｎｇａｌｅＡｎａｌｙｓｉｓ

ＭｏｄｅｌｓｉｎＳｕｒｖｉｖａｌＡｎａｌｙｓｉｓ

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｓｕｒｖｉｖａｌａｎａｌｙｓｉｓ．ｗｈｉｃｈｉｓａｎｉｍｐｏｒｔａｎｔｂｒａｎｃｈｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ｈａｓ

ｉｎｄｅｖｅｌｏｐｅｄｖｅｒｙｑｕｉｃｋｌｙｓｉｎｃｅ１９７０ｓ．Ｉｔｏｒｉｇｉｎａｔｅｄｆｒｏｍｌｏｔｓｏｆｐｒａｃｔｉｃａｌｐｒｏｂｌｅｍｓ

ｍｏｄｅｍｍｅｄｉｃｉｎｅａｎｄｅｌｌ百ｎｅｅｒｉｎｇ，ｓｔｒｅｓｓｅｓｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｆｃｅｎｓｏｒｅｄｄａｔａ，ｈａｓｇｒｅａｔｐｒａｃｔｉｃａｂｉｌｉｔｙａｎｄｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓａｌｏｔｔｏｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙｓｔａｔｉｓｔｉｃｓｏｆｐｒｏｄｕｃｔｓｉｎｍｅｄｉｃｉｎｅａｎｄｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．Ｂｙ

ａｎａｌｙｓｉｓａｐｐｌｙｉｎｇｓｏｍｅｌａｔｅｓｔｔｈｅｏｒｙｏｆｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｔｈｅｏｒｙａｎｄｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．ｓｕｒｖｉｖａｌ

ａｌｓｏｒｅｖｅａｌｓｍｏｒｅｎｏｔｏｎｌｙｄｅａｌｓｗｉｔｈｃｅｎｓｏｒｅｄｄａｔａｐｒｏｂｌｅｍｉｎｒｅａｌｌｉｆｅ，ｂｕｔｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｌｙｔｈｅｏｒｅｔｉｃｐｒｏｂｌｅｍｓａｎｄｐｒｏｍｏｔｅｓｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ｗｈｉｌｅｉｔｓｅｒｉｅｓｄｏｗｎｐｒａｃｔｉｃａｌ

ｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ．ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ

ｔｏｃｏｎｆｉｒｍｔｈｅ

ｃｅｎｓｏｒｅｄＦｉｒｓｔ，ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｂａｓｅｄｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｙｏｆｓｕｒｖｉｖａｌｍａｒｔｉｎｇａｌｅ，ｔｈｅｐａｒｔｉａｌｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｅｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｆｏｒｍｏｆｐａｒａｍｅｔｒｉｃｅｓｔｉｍａｔｏｒｓｆｏｒｔｈｅＣｏｘｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｈａｚａｒｄｓｍｏｄｅｌｆｏｒ

ｄａｔａｗｉｔｈｔｉｍｅ．ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｃｏｖａｒｉａｔｅｓｗｈｉｃｈｈａｖｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｆｅ—ｔｉｍｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆａｎａｓｔｒａｔｕｍｅｆｆｅｃｔｏｎｔｈｅｈａｚａｒｄｉｎｄｉｖｉｄｕａｌ，ａｎｄｔｈｅｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｔａｋｅｎｔｏｇａｉｎｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｏｒｓａｒｅｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔａｎｄａｓｙｍｐｔｏｔｉｃｎｏｒｍａｌ．Ｔ１１ｉｓ

ａｎｄｓｈｏｗｓｔｈａｔｉｎｃｌｉｎｉｃａｌｔｒｉａｌｓｕｓｉｎｇｐａｒｔｉａｌｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｍｅｔｈｏｄｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｔｅｓｔｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｍｏｄｅｌｉＳｆｅａｓｉｂｌｅ．Ｔｈｅｎｔｗｏｍｅｔｈｏｄｓ髂ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ

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ｌｉｍｉｔｔｈｅｏｒｅｍ．

Ｓｅｃｏｎｄ，ｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄｉｎｔｏｔｈｅＣｏｘｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｈａｚａｒｄｓｍｏｄｅｌｆｏｒｃｅｎｓｏｒｅｄｄａｔａｗｉｔｈｔｉｍｅ．ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｔｈｅｌｏｃａｌｌｙｌｉｎｅａｒｐａｒｔｉａｌｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｅｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏ

ｆｏｒｍｏｆｐａｒａｍｅｔｒｉｃｃｏｎｆｉｒｍｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｏｒｓ，ａｎｄｔｈｅｍａｒｔｉｎｇａｌｅａｎａｌｙｓｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｏｂｔａｉｎｔｈａｔｂｏｔｈｔｈｅｌｏｃａｌｌｙｌｉｎｅａｒｐａｒｔｉａｌｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｏｒｓｆｏｒｔｈｅｔｉｍｅ．ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓａｎｄｔｈｅｎｏｎｐａｒａｍｅｔｒｉｃｅｓｔｉｍａｔｏｒｆｏｒｔｈｅＩＩ

哈尔滨理＿Ｔ大学理学硕：ｉ：学位论文

ｂａｓｅｌｉｎｅｃｕｍｕｌａｔｅｈａｚａｒｄｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｃｏｎｓｉｓｔｅｎｔ．Ｔｈｉｓｓｈｏｗｓｔｈａｔｂｏｏｔｓｔｒａｐｐｉｎｇｔｈｅｍｏｄｅｌｉｓｆｅａｓｉｂｌｅ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｒｅｌｉａｂｌｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｉｓｐｒｏｖｉｄｅｄｆｏｒｔｈｅａｃｔｕａｌａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｓｕｒｖｉｖａｌａｎａｌｙｓｉｓｍｏｄｅｌｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓｍａｒｔｉｎｇａｌｅ，ｓｕｒｖｉｖａｌａｎａｌｙｓｉｓ，ｐｒｏｐｏｒｔｉｏｎａｌｈａｚａｒｄｓｍｏｄｅｌ，ｂｏｏｔｓｔｒａｐＩＩＩ

哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明

本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文《鞅分析在生存分析模型中的应用》，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。

作者签名：嗽恒日期：细罗年年月ｇ日

哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书

《鞅分析在生存分析模型中的应用》系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。

本学位论文属于．

保密，［］盔年解密后适用授权书。

不保密团。

（请在以上相应方框内打√）

作者签名：狱他日期：矽哆年中月ｊｉＬ日导师签名：孔掺衫日期：伽声甲月多日

鞅啥意思篇七
《关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理》

关于等价鞅、反等价鞅、剀利公式、赌徒输光定理（非常有启发意义）

我很早就觊觎股市期市和汇市了，但是自己手里一直没有钱。到了澳大利亚后有了奖学金，于是终于可以自己自由的玩这个东西了。我选择了外汇保证金。本来这个东西，打算在赚到钱之前不写什么东西的。但是近的一系列醍醐灌顶的感觉让我觉得还是有必要记录一下最近的心理活动。去年7月份入市以来，现在已经半年过去了，我总共亏损了2000美元。不过相对于我得到的东西，我觉得这已经是相当值得的一个投入产出比了。

这半年来，我一直采用迷你帐户操作，爆仓四次。在这个过程中，我经历了各种剧烈的心理变动，贪婪，恐惧，不确定。自己的人性的各种丑陋的一面被暴露的淋漓尽致。我同时也成了一个疯狂的技术研究者。我疯狂的搜集各种资料，研究各种交易系统，指标，等等等等。我先后尝试了均线，RSI，woodies CCI系统，KDJ和布林线相结合的短线抓震荡的系统，日本蜡烛图技术。。。等等等等，也自己尝试写了很多自动交易程序，测试各种策略。也求助过各种付费服务。

当然，结果，就像各个汇市老手所说的一样，必然是亏钱。在交易了四五个月之后，我开始逐渐的真正开始理解“资金管理”的含义。以前我一直用mini帐户，等于是毫无资金管理可言，而且我所做的事情，正象很多汇市老手描述的一样：“我认为我比别人聪明，因此我听不进老手的建议，我觉得我能找到一套完美的系统，然后使用他盈利，因此我使用极高的杠杆，过度交易，别人说我疯了，但是我自己一点也不这样认为，因为我觉得我比别人聪明”。

于是，我一点也没能逃过预言，越来越大的亏损接踵而至。

前几个星期里，我经历了第四次250美元涨到1200美元，然后直接亏到0。。四次了。。。长期的亏损让我已经对亏钱麻木，心理承受能力也大大的增强了。我开始反思自己的做法。当我意识到我永远

不可能寻找到一种完美的方法来预测市场的时候，“资金管理”的概念便开始真正的被我开始理解了。

于是我开始疯狂的搜索根资金管理和交易哲学的有关的东西。直到我这几天看到了这些，于是这几天的醍醐灌顶的感觉达到了高潮。 那就是 ---- 鞅论以及剀利公式。

有些事情，在你亲自做之前，别人给你讲的时候，你能形式上懂，但是永远不能从“生理”上懂，但是当你亲自做过之后，再回想别人给你讲的道理，才会真正的懂。这就好比小时候很多电影在长大以后再看感觉会大不一样。先学乐理后学演奏和先学演奏后学乐理的感觉也大不一样。比如，我下面讲的数学理论，其实很简单，如果你不屑一顾的话，但是当你真的去期货市场打拼一下的时候，你就会不这么想了。

简单介绍一下这几天看到的一些小结论：

假设有一个赌博游戏－－扔硬币，你可以随便下注，正面，赌注翻倍，反面，输掉所有赌注。那么，怎样下注才能保证赢呢？

直观来讲－－输赢应该是持平的，根本无法持续盈利。但是，实际操作并不是这样，你可能输光所有的钱，也可能赢成亿万富翁，如果你采用不同策略的话。而且，这个过程是稳定的，不是赌博。

(1)等价鞅论，就像传说中的阿拉伯海盗赌钱一样，每次下注，如果输掉，那么下一次就把赌注加倍，这样，直到你赢了为止。这样，只要赢一次，以前的本就都回来了。然后再把赌注恢复到最小。 这样的前提是： 你必须有“无穷多”的资金。

等价鞅论的一个变种就是一般的不懂资金管理的人的策略。比如

1000美元的本金，亏了100美元之后，下一单下多少注？很多人还下100美元，这样其实他只剩900美元了。也就是说，他下注所占总体本金的比例增大了。这样他企图通过下一次赢来全部翻本。他赢了的时候呢，可能下一注只下50美元。也就是说赢了之后为了保住利润，开始用小赌注下注。

(2)反等价鞅论，每次下注，都严格的下所剩的资金的一个固定比例。这样，假设资金无限可分。那么他可以亏无数次，因为“日取其半，万世不竭”。但是呢，在赢钱了以后，却仍然按照这个固定比例下注，也就是说，赢的钱越多，下的注越大。

鞅论的观点是：在理想情况下，第一种，也就是等价鞅论，是可以赚钱的，这个“理想情况”，就是你本来就有无穷多的钱。而我们不可能有无穷多的钱，于是，要想稳定赚钱，必须使用“反等价鞅论”。

但是，人性的本质，是遵从等价鞅策略的。也就说，人性的本质，越赢，下注越小，因为希望保住利润，越输，下注越大，因为为了翻本。这样正好成了等价鞅策略。

为了进一步说明这个问题：这里再提一下“赌徒输光定理”：就是，理想的赌徒，就是没有盈利目标的赌徒，早晚会输光自己所有的钱，因为他不知道什么时候停止，但是他的钱还是有限的，所以他一定有概率触及他的所有的钱的这个底线，一旦触及，他就输光了，就没有赌注继续赌了。

注意到赌徒输光定理的本质是：在输钱的方向上，他有一个底线，一旦他的总钱数触及这个底线，他就game over了。对于抛硬币的游戏，赢多少钱的概率和输多少钱的概率是一样的。既然赌徒不知道退出，那么就总有一天总钱数达到他赢的钱的相反数的时候，那个时候，就是他的死期。

而反等价鞅论之所以能够稳定盈利，就是因为他把这个底线的方向反了过来，放到了赢钱那边，而让输钱的那个方向“日取其半，万世不竭”。

如果我们总是等比的下注，那样，我们永远也亏不光我们的钱，我们可以“无限的赌下去”。那么，既然我们可以“无限的赌下去”，那么，赢成亿万富翁的概率无论多么小，只要他是正的，那么就一定有一天可以达到！

因为，我们可以－－－－“无限的赌下去”

这就是资金管理的数学理论支持。

对此更深一步的阐述，就是“剀利公式”。

据说剀利本来是贝尔实验室研究电话信号传说的一个科研工作者。由于信号传输有一定的概率传不到，于是他就计算了一套策略来获得最大的传输信号的概率。后来，他这个公式被赌博业发现，于是赌球者，赌马者，彩票业，等等，很多人将他应用到了赌博业里面。剀利的文章发表于1956年，网上可以下载到他的原文，有兴趣的可以搜索一下，我就搜到了，但是推导有点麻烦，就没仔细看。于是，20世纪60年代，突然出现了一批科学家出身的赌徒，他们到世界各大赌场，按照剀利公式去赌，各个赚成了亿万富翁，各大赌场都惊惶失

措。。。。后话是啥我就不知道了。这几个科学家赌徒的故事是真是假有待考证。但是剀利公式本身的确是一个非常优秀和有用的理论。

剀利公式： 在反等价鞅策略下，每次下赌注的百分之多少，才可以实现最快的盈利？

答案：

K = W - (1-W)/R

K： 每次下注所占总资金的比例， W：你的策略的胜率， R下注的赔率

投硬币游戏：W=0.5 R=2 那么 K = 0.5-(1-0.5)/2 = 0.25

也就是说，投硬币游戏中，只要你每次投入你的总资金的四分之一，永远遵守这个几率的玩下去，那么，你将以最快的速度成为亿万富翁。

这个公式是引用自Ed Seykota 的风险管理文章。

外汇市场和期货市场呢？我们引用剀利公式的基础方程：

K = (W*R-1)/(R-1)

K,W, R的定义同上。

于是，我们发现，盈利有一个基本的前提，那就是你的胜率乘以你的赔率，结果必须大于1，否则无论如何都不可能盈利。投硬币游戏中W*R=1，正好期望值是持平的。但是由于我们“永远亏不光”，而且我们总有“停手”的那一天，所以，我们可以选择我们赚到一亿美元时候停手，所以，成为亿万富翁仍然是可能的。

根据剀利公式的基础方程，来考虑外汇市场和期货市场。

鞅啥意思篇八
《第一章 鞅 第四节 离散鞅的收敛定理》

第四节 离散鞅的收敛定理

设X{Xn;0nM}为一数列，[a,b]为一闭区间，如果Xka，Xk1b，则称该数列上穿[a,b]一次。记

1

min{n;0nM,Xna}

M1,Xna,0nM

12

min{n;1nM,Xnb}

M1,Xnb,1nM

min{n;1nM,Xna}

M1,Xna,1nMmin{n;2nM,Xnb}

M1,Xb,nMn2

…

2

min{n;k1nM,Xna}

k

M1,Xa,nMnk1min{n;knM,Xnb}

k

M1,Xb,nMnk

于是X1a,X1b，数列穿过[a,b]一次，X2a,X2b，数列穿过[a,b]两次，如此下去，Xka,Xkb，数列穿过[a,b]k次，在这里都假设

i,iM,1ik。

定义1-4-1 kM的最大的k称为数列X{Xn;0nM}上穿[a,b]的次数，记为Vab。若1M1，则令Vab0。

定理1-4-1 （上穿不等式）设X{Xn;0nM}为下鞅，则

E[Vab]

1

{E[(XMa)]E[(X0a)]}ba

1{E[Xn]|a|}ba

证明：令Yn(Xna),0nM,则由定理1-3-2的推论1-3-2知Yn也是下鞅。易见，若Xn穿过[a,b]一次，即Xia,Xib，则Yi0,Yiba,即Yn穿过

[0,ba]一次。所以Yn穿过[0,ba]的次数也是Vab，且由Xn在[a,b]上定义的

k,k和由Yn在[0,ba]上定义的k,k相同。再令

00,M1M1,YM1YM

则

YMY0(YY)(YY) （1）

M

M1

k1

kkk1

kk1Vba是的函数，设Vba(w)r0，则

Yk()Yk()ba,k1,2,,r

Yk()Yk()0,kr

M

(Yk()Yk

())(ba),r(ba)Vb



a() k1

当r0时，上式仍成立。

M

E[(YkYk)](ba)E[Vba] k1又因为k,k是有界停时，且kk1，故由定理1-3-2知

E(Y|Fk1)Yk1，E[Yk]E[Yk1]

M1

M从而 E[(Yk1kYk1)]

1[E(Y

（3）

k1

k

)E(Yk1)]0 由式（1）（2）（3）知

M

M1

E[YM]E[Y0]E[YMY0]E[(Y1

kYk)(Yk1kYk1)]

k(ba)E[Vba]

由此得 E[Vba]

11ba[E(YM)E(Y0)]ba

[E(XMa)E(X0a)] 又因为(XX

Ma)M|a|,所以

E[Vba]

1ba

{E[X

n]|a|}. 定理1-4-2 设X{Xn;n0}为下鞅，满足条件

supE[|Xn|]

记F

k0Fk,则存在F可测的随机变量X，满足

2） （

limXnX a.e.

n

证明：令

A{;Xn()limXn()}

n

n

A(a,b){;limXn()ablimXn()}

n

n

则A,A(a,b)F。记Q为有理数全体，则

AA(a,b) （习题1-4-1 证明此式）

aba,bQ

往证P(A)0,令Vab(M)为X0,X1,,XM上穿[a,b]的次数，Vab表示

X0,X1,X2,上穿[a,b]的次数。显然Vab(M)单调非减，且VablimVab(M)。由

n

上穿不等式

E[Vab(M)]

1

{E[Xn]|a|}.ba

1

[supE(|XM|)|a|]baM0

所以

E[Vab]

1

[supE(|Xn|)|a|] ban0

由此知

P(Vab)1

由上极限和下极限的定义知

A(a,b);Vab()

故P(A(a,b))0,P(A)0.所以limXn几乎处处存在。记

n

XlimXn

n

则

limXnX a.e.

n

由Fatou引理得

E[|X|]limE[|Xn|]sup{|Xn|}

n

n0

注1-4-1 因为



E[|Xn|]2E[Xn]E[Xn]2E[Xn]E[X0]

所以条件supE[|Xn|]可以减弱为supE[Xn]。

n0



n0

推论1-4-1 设X{Xn;0nM}为非负上鞅，则

limXnXF,a.e.

n

证明：因为Xn为上鞅，所以Xn为下鞅，所以

E[|Xn|]E[Xn]E[X1]

'

lim(Xn)XF,a.e. n

'limXnXX,a.e. n

END

定义1-4-2 X{Xn;n0}为随机序列，称X为一致可积的，如果

{|Xn|}

lim

|Xn|dP0

关于n0一致成立。

定理1-4-3 设X{Xn;n0}是鞅（下鞅），且一致可积，则存在可积的随机变量X，X关于F可测，使 （ⅰ）limXnX a.e.

n

（ⅱ）limEXnX0

n

（ⅲ）{Xn;0n}是鞅（下鞅），即对一切n0，都有

E[X|Fn]Xn(Xn),a.e.

证明：因为X{Xn;n0}一致可积，所以当充分大时，对n一致地有

E|Xn|

n0

{|Xn|}

|Xn|dP

{|Xn|}

|Xn|dP

由此可知，supE[Xn]。由定理1-4-2知，存在F可测且可积的X，使

limXnX，a.e.。

n

AFnF，因为E[Xm|Fn]Xn,由条件概率的定义知



A

XndPXmdPE[XmIA]E[XIA],m

A

再由条件概率的定义和性质知，E[X|Fn]Xn(Xn),a.e.（习题1-4-1 证明下

鞅的情形）

END

推论1-4-2 设{Fn,n0}为代数流，FFn，Y是可积的随机变量，令

n0

XnE[Y|Fn],n0,

则（ⅰ）{Xn}一致可积

（ⅱ）limXnE[Y|F],a,e.，且limE|XnE(Y|F)|0

n

n

证明：（ⅰ）由马尔科夫不等式

P(|Xn|)1E|Xn|1E|Y|0,

所以



{|Xn|}

|Xn|dP

{|Xn|}

|Y|dP

{|Y|k}{|Xn|}

k

{|Y|k}{|Xn|}

|Y|dP

|Y|dP

{|Xn|}

dP



{|Y|k}

|Y|dP

|Y|dP

kP(|Xn|)

对0,K,当kK时，

{|Y|k}



{|Y|k}

|Y|dP



2

对所取的k，取充分大的k，使k时，

kP(|Xn|)



2

所以充分大时，



{Xn}一致可积。 （ⅱ）因为

{|Xn|}

|Xn|dP



2





2



E[Xn1|Fn]E[E[Y|Fn1]|Fn]E[Y|Fn]Xn，

所以{Xn;n0}是鞅，又因为{Xn;n0}一致可积，由定理1-4-3知存在XF，

E|X|，使得limXnX，a.e.。

n

鞅啥意思篇九
《独立增量过程的鞅论方法_何声武》

鞅啥意思篇十
《金融中的鞅测度以及布朗运动假设》

金融经济学，最核心的东西是资产定价，什么是资产呢，说白了就是 能够在未来产生未定权益（contingent claim）的东西，不准确的说，就是在未来生成outcome 的东西，这样资产定价就是 通过未来的收益 来决定资产现在的市场价格。再直白一些，就是寻找到这样的一个函数，它的定义域是 未来 未定权益空间的一个子空间，值域是实数集。如果找到这个函数的显示形式，那么我们就做到资产定价了。 可是，我们发现，我们的信息太少了，根本无法建立出这样的函数出来，所以，我们期待加进最少的假设，然后找到这样的函数，注意，这里加入假设很关键，一方面 尽量最少，一方面尽量符合现实，很庆幸，我们找到了这样的假设，这个假设 就是 布朗运动 （Brownian motion）。

其实，我们真正加入的假设，是独立增量的假设，就是任何两个不同时间断下，资产价格的差是相互独立的，白话一些就是说 ，昨天股票价格的涨跌和今天股价的涨跌是独立的，我想，任何一个玩过股票的人都会有这样的感觉吧，有这个假设，和 中心极限定理，就得出，独立增量符合正态分布，再加入技术性的限制，初值为零，就得到了标准布朗运动的假设，为了不出现负的价格，我们常常使用几何布朗运动，也就是说把这个随机过程弄到e的指数上去。

讲完了假设，继续我们的工作，加入这个假设为什么可以解决问题呢，因为，标准布朗运动有一个极好的性质，就是鞅性（Martingale），什么是鞅性的，简单的说就是在任何一个时期对未来资产价格做一个

期望，（就是条件期望，条件是所处的哪个时间点处所知的全部信息），这个期望恰好等于所处时点的资产价格。说白了，就是期望等于自身，好了，这下回忆我们要做的工作。

我们需要寻找一个函数，把未来的收益映射为现在的价格，现在鞅性给我们提供了一个思路，鞅不就是把未来的期望收益映射成为一个现在的价格了吗，（这里，我们完全可以用期望收益代表未来的收益，因为，期望收益可以退化为收益），到这里，我们很欣喜了，只要一个资产价格符合标准布朗运动，我们就找到了这个函数，这个函数就是这个鞅。

是不是问题解决了呢，很不幸，不是，因为我们证明了，只有标准布朗运动才有鞅性，更不幸的是，我们还可以证明，一个带着漂移的布朗运动是没有鞅性的，什么是漂移呢，就是，我们用实际的数据分析，发现，资产价格的真实运动，是有趋势的，不是期望为零的（标准布朗期望为零），这个趋势就是漂移，所以，我们现在知道了，我们的真实股价，是有漂移项的，那样，它就没有鞅性，我们的工作又遇到瓶颈了。

怎样处理呢，这时候的想法，真的比较天才了，鞅性的本质，是条件期望，条件期望里有两个因素，状态概率和状态值，状态值是不能改变的，这时候，天才们说，既然，带了漂移，条件期望不能等于条件时点的价格，那么，我可不可以通过调整期望的计算中的不同因素的值的大小，然后让其相等呢，而，状态值不可以改变，所以只能

改变状态概率了，答案是，这样的做法，在某些情况下是可行的，有些则不能，这个相应的 改变后的概率 就称为等价鞅测度，也就是说，在这个测度下，把原来不是鞅，所以找不到定价函数的资产转化成为了鞅。

这就是天才的测度转化定理！！！当然，不是所有的情况，都可以找到这样的等价测度的，对于这类，不能找到等价测度的资产，我们就不能对它们定价了。

这时，有出现两个问题了，第一，什么时候存在这样的测度转换，什么时候不存在，第二，对于转化测度后的期望，怎样计算。

先来说第二个问题，数学家们证明了，转化测度后，有些分布的期望是不会改变的，其中就有，布朗运动符合的正态分布，这个问题解决了。第一个问题很有趣，显然，不存在这样的测度转换，是由于资产市场特定的支付结构，，就是那个支付矩阵，这个矩阵反应了 不同状态下的不同支付情况。如果这个矩阵给出，我们是可以判断的。 这里，有两个定义，一个叫做完全市场，一个叫做无套利市场，它们的定义大家都知道的，我们证明了，无套利和存在这样的测度转化是等价的，也就是说，如果市场可以套利，就不存在测度转化，就不是鞅，就不可以对它定价，反之，则可以。而完全市场，是说，在这样的市场中，任何一个未定权益都是可以到达，获得的，所以说，如果，一个市场如果完全且无套利，则，其中的任何资产我们都可以给出等价鞅测度，从而写出定价函数。

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