高中数学必修四第三章题型归纳

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高中数学必修四第三章题型归纳(一)
高中数学必修四第三章测试题

一、选择题（每题5分）a

121、函数f(x)cosx的周期为 （ ） 2

Ａ． Ｂ． Ｃ．2 Ｄ． 42

2、已知tan()21，tan()，则tan()等于 （ ） 5444

113313Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

6222218

3. sin

12

12的值为 (

)

A.0B.C.24. 已知为第三象限角，sin24，则tan （ ） 252

3

434A.43 B.4

3 C. D.

5. 若sintan11，则为 （ ） ,sin23tan

1A.5 B.1 C.6 D. 6

6. 已知锐角、

满足sin等于 （ ） 333A. B.或 C. D.2kkZ 44444

7.表达式sin(45A)sin(45A)化简后为( )B

A.

AA C.

448. 已知是第三象限的角,若sincos11sinA D. sinA 225,则sin2等于( )A

9

A. 22 B.  C. D.  333

3

2，则sinAcosA( ) A

39. (2006高考)若ABC的内角A满足sin2A

A.55 B. C. D. 333

3

10. (2006高考)函数y4sin2x

A.1的最小正周期为（ ）B Ｄ.4  Ｂ. Ｃ.2

11.tan15tan30tan15tan30等于 ( )D

A.1 B. 2

2

12. 当x0时,

函数f(x)sinxx最小值为( )B

A.1 B. 

2 C. 二、填空题（每题5分）

1331. 已知sincos，则sincos＿＿＿＿.

2

2. tan20tan4020tan40的值是.

3.

设

ABC中，tanA

tanBAtanB，sinAcosA，则此三角形是＿＿＿＿＿＿三角形. 15. 求函数f(x)2cos2x3sinx在

三、解答题 ,上的最值.＿＿＿＿ 22

sin2B. 5cos2B

2xR）2.

已知函数f(x)5sinxcosxx，求： 1. 已知2tanA3tanB，求证：tan(AB)

(1函数)f(x)的最小正周期; (2)函数f(x)的单调区间; (3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

3. 已知，为锐角，tan



4.(本小题

12分) 1，sin，求2. 710

1x). (1)求f(x)的定义域； (2)设的第四象限的角，且tan4，求f()的值. 已知函数f(x)3cosx

35. 已知函数f(x)sinxsin(x),xR.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的的最大值和最小值(3)若f()，24

求sin2的值

6.(2006高考) (本小题12分)

已知310,tancot 43

5sin2

(1)求tan的值；(2)

求8sin

cos

11cos2

8

的值. 2

高中数学必修四第三章题型归纳(二)
高一数学必修4__第三章__题型归类分析

幻灯片1

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

tantantan()

1tantan

sin22sincos

cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

tan2

1tan2

tantantan()1tantan

1

sincossin2

2

sin2sin2sincos2cos2sin

1sin2

1cos22cos2 1cos22sin2

2

(sincos)2

1cos1cos2sin,cos,2222

1cos2tan，21cos



sin1costan=

21cossin

辅助角公式：



asinxbcosxa2b2sinx,

ab其中由cos,sin可以求出.2222

abab

60

【例1】已知sin cos ＝，且，求sin ，cos 的值．

16942

解：法一：因为sin φcos φ＝

60120sin 2φ＝. 169169

πππ

因为<φ<，cos 2φ<0，

422

120119

所以cos 2φ＝－1－sin2φ＝－1－2＝－，

169169

因为sin φ>0，cos φ>0.

1191＋

169121－cos 2φ

所以sin φ＝＝，

2213

1191－

16951＋cos 2φ

cos φ＝.

2213

法二：(sin φ＋cos φ)2＝1＋2sin φcos φ＝1＋ππ

因为<φ<sin φ>cos φ>0，

42

28917

所以sin φ＋cos φ＝

16913又因为(sin φ－cos φ)2

＝1－2sin φcos φ＝1－497 169135

由①、②解得sin φ＝cos φ＝1313所以sin φ－cos φ

＝

12049

， 169169120289

， 169169

课本 P147 A组6（2）（3）B组 1、2、3

4113

【练习1】已知为锐角，cos=，tan=-,求tan（-）.

539

11

【练习2】已知tan+=，tan-=,求tan（+）.1

6263

3

【练习3】已知sin+=，0<<,求sin+.

3521210 

33【高中数学必修四第三章题型归纳】

【练习4】已知sin=，sin=,、0,

454449

求cos

+.

20

45

【练习5】已知、都是锐角,sin=，cos+=，

513

16

求sin的值65

123

【练习1】已知cos= -，cos

+=,1326233

+，2求角.

42



，

给值求角的解题基本步骤是先根据条件求出该角的范围，如果范围未超出两个象限，选择合适的三角函数值，如果范围超出两个象限，可选择两个三角函数值共同决定角的大小或利用单调性先缩小角的范围

.

【例2】化简tan70cos10201)



【练习1】化简1(1)

sin10cos10(2)sin40(tan10(3)sin50(1tan10)

解题思路：切化弦，通分，辅助角公式，非特殊角通过分子分母相约或正负抵消







【练习2】化简求值

12

-sin



12

1-tan75(2)； -1+tan753

(3)tan18tan42tan42;(4)cos555;

4

高中数学必修四第三章题型归纳(三)
高中数学必修4第一章第三章知识点经典题型

第三章三角恒等变换

★1、角三角函数的基本关系：1sin2cos21sin21cos2,cos21sin2；

2

sin

tancos

sin

sintancos,cos．

tan

★2、函数的诱导公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank． 2sinsin，coscos，tantan． 3sinsin，coscos，tantan． 4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．



，．，5sincoscossin6sincoscossin．

2222口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

★3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴⑶

coscoscossinsinsinsincoscossintantan

tantan1tantan tantan1tantan

；⑵；⑷

coscoscossinsinsinsincoscossin

； ；

⑸

⑹

★4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

222

1sin2sincos2sincos(sincos)sin22sincos⑴． 2222

⑵cos2cossin2cos112sin

升幂公式

1cos2cos2



2

,1cos2sin2



2

降幂公式tan2

cos2

cos211cos2

sin2

22，．

2tan

1tan2

★5. 把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数”

cosbsina2b2sin()，tan

ba

. 例题：

1．sin105°cos105°的值为( ) A.1

4 B．－1434

D．－3

4

2．若sin2α＝1πα<π

4，42，则cosα－sinα的值是( ) A.32 B．－3

2C.34

D．－34

3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18

D.38

4．在△ABC中，∠A＝15°，则 3sinA－cos(B＋C)的值为(A.2 B.22 32

D. 2

5．已知tanθ＝1，则cos2θ＋1

32θ等于( ) A．－65 B．－45C.45 D.65

答案 D

6．在△ABC中，已知sinAcosA＝sinBcosB，则△ABC是( A．等腰三角形 B．直角三角形

) ) a

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形 7．sin2



12

cos2



12

的值 （ ）

A．-12

B．12

C．32

D .-32

8．三角形ABC中，若∠C>90°，则tanA·tanB与1的大小关系为(A．tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1 C．tanA·tanB＝1

D．不能确定

9．函数f(x)＝sin2x-cos2x的最小正周期是( ) A．2

B．π C．2π D .4π

1. 解析 原式＝1112＝－2＝－4答案 B

2. 解析 (cosα－sinα)2＝1－sin2α＝1－1344又π<π4α2

∴cosα<sinα，cosα－sinα3＝－3

42.

答案 B

3.解析 sin15°sin30°sin75° = sin15°sin30°sin(90°-75°) ＝sin15°cos15°sin30° ＝1＝11112sin30°22×28答案 C

)

4. 解析 在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝π， 3sinA－cos(B＋C) ＝3sinA＋cosA 31

＝2(2sinA＋2A)

＝2cos(60°－A)＝2cos45°＝2. 答案 A

cos2θ＋sinθcosθ1＋tanθ65. 解析 原式＝＝.

cos2θ＋sin2θ1＋tan2θ5

π

6. 解析 ∵sin2A＝sin2B，∴∠A＝∠B，或∠A＋∠B＝2. 答案 D

（cos27. 解析 原式=



12

-sin2



12

)=-cos

=- 62

答案 D

8. 解析 在三角形ABC中，∵∠C>90°，∴∠A，∠B分别都为锐角． 则有tanA>0，tanB>0，tanC<0. 又∵∠C＝π－(∠A＋∠B)，

tanA＋tanB

∴tanC＝－tan(A＋B)<0，

1－tanA·tanB易知1－tanA·tanB>0， 即tanA·tanB<1. 答案 B

9．解析 f(x)＝sin2x-cos2x=2sin(2x-) 答案 B



4

高中数学必修四第三章题型归纳(四)
高中数学必修四第三章三角恒等变换高考试题汇编

必修四第三章三角恒等变换高考题汇编

1、（07山东理）函数y=sin（2x+



）+cos（2x+）的最小正周期和最大值分别为（ ） 63

A ，1 B ，2 C 2，1 D 2，2

2、（07海南）

cos2sin()

4

=-

2

，则cos+sin的值为（ ） 2

A -

117 B - C D

2222

3、（07福建文）sin15cos75+cos15sin105=（ ）A 0 B 4、（07浙江理）已知sin+cos=

13

C D 1 22

13

且≤≤，则cos2的值是（ ） 5241

5、（07浙江文）已知sin+cos=则sin2的值是（ ）

522x6、（07全国Ⅰ理）函数f（x）=cosx-2cos的一个单调增区间是（ ）

2

2A（ ， ） B（，） C（0，） D（-，）

3362366

12

7、（07广东理）已知函数f（x）=sinx -（x∈R），则f（x）是（ ）

2



的奇函数 B 最小正周期为的奇函数 2

C最小正周期为2的偶函数 D最小正周期为的偶函数

A最小正周期为

8、（07北京文）函数f（x）=sin2x-cos2x的最小正周期是（ ） A



B  C 2 D 4 2



B  C 2 D 4 2

9、（06全国）函数f（x）=sin2xcos2x的最小正周期是（ ） A

10、（06全国）若f（sinx）=3-cos2x，则f（cosx）=（ ） A 3-cos2x B 3-sin2x C 3+cos2x D 3+sin2x 11、（06重庆文）已知,∈（0，cos（+）的值等于（ ）

13

），cos（-）=，sin（-）=-，则

22222

A -113

B - C D

2222

12、（06重庆理）已知,∈（则cos（+

3312

，），sin（+）=-，sin（-）=， 45134



）=（ ） 4

12

13、（06浙江理）函数y=sin2x+sinx，x∈R的值域是（ ）

2

A [-

133121212121，] B [-，] C [-+，+] D [--，-]

222222222222

14、（06浙江文）函数y=2sinxcosx-1，x∈R的值域是（ ） 15、（08

四川）若02,sin，则的取值范围是：( ) （Ａ）

4

, （Ｂ）, （Ｃ）,323333

（Ｄ）,32



 

16、（06湖北）若ABC的内角A满足sin2A=

2

，则sinA+cosA=（ ） 3

A

55 B - C D -

3333

17、（06湖南）若f（x）= asin（x+

）+bsin（x-）（ab≠0）是偶函数，则有序实数对44

（a，b）可以是（ ）（注：只要满足a+b=0的一组数即可）

1cos2x8sin2x

18、（05全国）当0<x<时，函数f（x）的最小值为（ ）

2sin2x

A 2 B 23 C 4 D 43 19、（05全国）设x是第四象限角，若20、（05北京）已知tan

sin3x13

=则tan2x=（ ） sinx5

=2，则tan=（ ），tan（+）=（ ） 24

2

21、（07全国Ⅰ文）函数y= 2cosx的一个单调增区间是（ ）

3

， ） B（0，） C（，） D（，）

444242



22、（07上海理）函数y=sin（x+）sin（x+）的最小正周期T是（ ）

32

A（-23、（07江苏）函数f（x）= sinx- cosx， x∈[-，0] 的单调增区间是（ ） A [-，-

55

] B [-，-] C [-，0] D[-，0]

66636

24、（10浙江理数）（11

）函数f(x)sin(2x__________________ .



4

)2x的最小正周期是

cos-）=3则等于（ ）

sin4

11

A -2 B - C D 2

22

4

26、（07江西文）若tan=3，tan=，则tan（-）等于（ ）

3

11

A -3 B - C 3 D

33

13

28、（07江苏）若cos（+）=，cos（-）=，则tantan=（ ）

55π47π

,则sin(α)的值是 29、（08山东卷5）已知cos（α-）+sinα=

656

25、(07江西理）若tan（（A）-

4422 （B） (C)- (D)

5555

30、（08

湖南）函数f(x)sin2xxcosx在区间



,上的最大值是( ) 42

A.1

B.

1 2

C.

3【高中数学必修四第三章题型归纳】

2

31、（08浙江）若cosa2sina5,则tana= （A）

11

（B）2 （C） （D）2 22

D.

13sin70032、（08海南）=（ ） A.

B. C. 2

20

22cos102



33、（08上海）函数f(x)3sin x +sin(+x)的最大值是

2

2

34、（08广东）已知函数f(x)(sinxcosx)sinx，xR，则f(x)的最小正周期是 ．

35、（08山东卷15）已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（3,1），

n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝

36、（07重庆文）下列各式中，值为

2

2

3

的是（ ） 2

2

2

2

A 2sin15cos15 B cos15-sin15 C 2sin15-1 D sin15+cos1537、（2010陕西文数）3.函数f (x)=2sinxcosx是 [C]【高中数学必修四第三章题型归纳】

(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数

38、（10全国2文）已知sin

2

，则cos(x2) 3

（A

）11B）（C）（D

99

39、（10福建文数）计算12sin22.5的结果等于( )

A．

1

2

B





C





D

40、（10福建理数）计算sin43cos13-sin13cos43的值等于（ ）

A．

1

2

B

C

D

tan(2a)41、（10全国2理数）（13）已知a是第二象限的角，

42、（10浙江文数）（12）函数f(x)sin(2x

2

4

nta ．，则a 3



4

)的最小正周期是 。

3

,则tan25

43、（10全国1文）(已知为第二象限的角，sina44、（2010福建文数）16.观察下列等式： ① cos2a=2cosa-1;

② cos4a=8cosa- 8cosa+ 1;

③ cos6a=32cosa- 48cosa+ 18cosa- 1;

6

4

2

4

2

2

④ cos8a=128cosa- 256cosa+ 160cosa- 32cosa+ 1;

⑤ cos10a= mcosa- 1280cosa+ 1120cosa+ ncosa+ pcosa- 1． 可以推测，m – n + p = ．

10

8642

8642

0＜＜

45、（11浙江理6）若



1-＜＜0cos()

cos()2，243，423，，

cos(

则



2

)

（ ）



A

． B

． C

． D

．

46、（11全国新课标理5）已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos2=

4334



（A） 5 （B）5 （C） 5 （D）5



47、（11

湖北理）函数f(x)xcosx,xR，若f(x)1，则x的取值范围为



x|kxk,kZx|2kx2k,kZ

33 B． A．

{x|k



6

xk

C．

55

,kZ}{x|2kx2k,kZ}666 D．

1

（+）=

3，则sin2 48、（11辽宁理）设sin4

7117



（A）9 （B）9 （C）9 （D）9



sin2

2

49、（11福建理3）若tan=3，则cosa的值等于

A．2 B．3 C．4 D．6

50、（11全国新课标理11）设函数f(x)sin(x)cos(x)小正周期为，且f(x)f(x)则

(0,||



2的最

)

3

(0,)(,)

2单调递减 （B）yf(x)在44单调递减 （A）yf(x)在

3(0,)(,)

2单调递增 （D）yf(x)在44单调递增 （C）yf(x)在

ysin(x)cos(x)

2651、（11上海理8）函数的最大值为 _________________-。



cos2

1sin0,sincos

4的值为2，则262、（11重庆理14）已知，且

__________

高中数学必修四第三章题型归纳(五)
高一数学必修四 第三章 复习参考题

必修四

第三章 复习参考题

A组

451.已知，都是锐角，sin,cos(),求sin的值. 513

351232.已知cos(-)=，sin(+)=-,(),(0,),求sin()的值

. 45413444

13.已知,都是锐角，tan,sin求tan(2)的值

. 74.

(1)证明：tantantan()tantantan()；

(2)求tan200tan400200tan400的值;

3(3)若+=,求(1tan)(1tan)的值;4

tan200tan400tan1200

(4)求的值

.00tan20tan40

5.化简：

11sin100(2)sin400(tan100(3)tan700cos1002001);

(4)sin500(10).

336.(1)已知cos,,求(sincos)2的值.5222

1(2)已知sincos,求sin的值.225 5(3)已知sin4cos4,求sin2的值.9

3(4)已知cos2,求sin4cos4的值.5

137.已知cos(),cos(),求tantan的值. 55

8.证明：

(1)cos44cos238cos4;

1sin211tan; 2cos2sin222

sin(2)sin(3)2cos();sinsin

34cos2Acos4A(4)tan4A.34cos2Acos4A(2)

9.已知函数y(sinxcosx)22cos2x.

(1)求它的递减区间；

(2)求它的最大值和最小值.

10.已知函数f(x)cos4x2sinxcosxsin4x.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)当x[0,]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合.2

11.已知函数f(x)2sinx(sinxcosx).

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)画出函数yf(x)在区间[ ,]上的图像.22

12.已知函数f(x)sin(x)sin(x)cosxa的最大值为1.66

(1)求常数a的值；

(2)求使f(x)0成立的x的取值集合.

13.已知直线l1//l2,A是l1,l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1,h2.B是直线l2上一动点，作ACAB,且使AC与直线l1交与点C,求ABC面积的最小值.

B组

11.已知sincos,0,求sin(2)的值. 54

112.已知coscos,sinsin,求cos()的值

. 23

3.已知sin()sin0,求cos的值. 352

3177sin2x2sin2x4.已知cos(x),x,求的值. 451241tanx

5.已知sincos2sin,sincossin2,求证:4cos22cos22.

6.若函数f(x)2x2cos2xm在区间[0,]上的最大值为6，求常数m的值及此函数当xR2

时的最小值，并求相应的x的取值集合.

7.如图，正方形ABCD的边长为1，P,Q分别为边AB,DA上的点当.APQ的周长为2时，求PCQ 的大小.D

C

A P B

18.已知sincos,(0,).5

(1)求tan的值；

2你能根据所给的条件，自己构造出一些求值问题吗？

高中数学必修四第三章题型归纳(六)
2015年高中数学必修四第三章测试题及答案汇总（人教新课标B版）

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