等腰三角形的证明题,八年级

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等腰三角形的证明题,八年级(一)
八年级下册第一章等腰三角形的证明测试题

第一章 三角形的证明 检测卷

一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题：

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边；

④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于点D，则BD的长为（ ） A.15 7

B.

12 5

C.

2021 D.

5

7

3. 如图，在△ABC中，A. 30°

B. 36°

，点D在AC边上，且

C. 45°

，则∠A的度数为（ ） D. 70°

4.（2015•湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A.8或10

B.8

C.10

D.6或12

5.如图，已知，，，下列结论：

①②

； ；

③；

④△≌△．

其中正确的有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6. 在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最短边A.5 cm

B.6 cm

C.cm

cm，则最长边AB的长是（ ）

D.8 cm

7.如图，已知是（ ） A.

B.

，，下列条件能使△≌△的

C.

D.三个答案都是

8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线，若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（ ） A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

9.已知一个直角三角形的周长是为（ ） A.5

2，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积

B.2 C.

5 4

D.1

cm

，

10.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，如果

那么△

的周长是（ ）

C.8 cm 二、

D.9 cm

A.6 cm B.7 cm

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, ∠BAC=50°, ∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点 C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是 .

12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是___三角形. 13.（2015•四川乐山中考）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC＝________°. 14.如图，在△ABC中，是

_________.

，AM平分∠

，

cm，则点M到AB的距离

15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点， FE⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则

_________，

_________.

16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC中，AB＝4,AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 . 17.如图，已知

的垂直平分线交

于点，则

.

18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为. 三、解答题（共46分） 19.（6分）如图，在△ABC中，BC，且交∠

，是

上任意一点（M与A不重合），MD⊥.

的平分线于点D，求证：

20.（6分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.

应用：如图（2），CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数.

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探PA 的长.

21.（6分）如图所示，在四边形

求证：

.

中，

平分∠

.

22.（6分）如图所示，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，B，E在C，D的同侧，若23.（6分）如图所示，在Rt△ABC中，

2，求BE的长.

，点D是AC的中点，将

一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

第24题图

24.（8分）（2015·陕西中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，作AD⊥AB交BC

的延长线于

点D，作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E.求证：AD＝CE. 25.（8分）已知：如图，

点，

的延长线交

，是

上一点，

于是等腰

的延长线于点.求证：△

三角形．

第一章三角形的证明检测题参考答案

1.B 解析：只有②④正确.

2.A 解析：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，

∴BC5， ∴ BC边上的高=345

12

. 5

∵ AD平分∠BAC，∴点D到AB，AC的距离相等，设为h， 1111212

则SABC3h4h5解得h，

2225711211215

解得BD．故选A． SABD3  BD，

27257

3.B 解析：因为因为又因为所以所以

，所以，所以

，

.

.

，

所以

4.C 解析：当等腰三角形的腰长是2，底边长是4时，等腰三角形的三边长是2，2，4，

根据三角形的三边关系，不能构成三角形，所以不合题意，舍去；当等腰三角形的腰长是4，底边长是2时，等腰三角形的三边长是4，4，2，根据三角形的三边关系，能构成三角形，所以该三角形的周长为4＋4＋2=10.

5.C 解析：因为

，

等腰三角形的证明题,八年级(二)
精品 2016年八年级数学上册 轴对称 等腰三角形有关的证明题

第03课 等腰三角形有关的证明题

例1.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,DE⊥AB于点E, DF⊥AC于点F.试说明

DE=DF.

例2.如图,已知△ABC中,∠ACB的平分线交AB于E，EF∥BC交AC于点F，交∠ACB的外角平分线于点G．试判断△EFC的形状,并说明你的理由．

例3.如图,△ABC中,AB∥DC,AD=DC=CB,AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F.

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；

（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段,说明它们相等的理由

.

例4.如图,等边三角形ABC中,D是AC的中点,E为BC延长线上一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M.

求证:M是BE的中点

.

例5.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

例6.如图,AD为△ABC的高,∠B=2∠C,用轴对称图形说明:CD=AB+BD．

课堂同步练习：

1.下列语句中，正确的是（ ）

A.等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线

B.等腰三角形的对称轴是底边上的高

C.一条线段可看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形

D.等腰三角形的对称轴就是顶角平分线

2.下列推理中,错误的是( )

A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形

3.△ABC中AC＞BC,边AB的垂直平分线与AC交于点D,已知AC=5,BC=4,则△BCD的周长是（ ）

A.9 B.8 C.7 D.6【等腰三角形的证明题,八年级】

第3题图 第4题图 第5题图

0 4.如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30,则DE等于

（ ）

A.1m B.2m C.3m D.4m

5.如图,△ADC中,∠A=15,∠D=90,B在AC的垂直平分线上,AB=34,则CD=( )

A.15 B.17 C.16 D.以上全不对

6.如图,在△ABC中,∠B=30,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D.若ED=5,则CE的长为（ ）

A.10 B.8 C.5 D.2.5【等腰三角形的证明题,八年级】

000

7.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF•的形状是（ ）

A.等边三角形 B.腰和底边不相等的等腰三角形

C.直角三角形 D.不等边三角形

8.如图,△ABC中,AB=AC=8,D在BC上,过D作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F，则四边形AFDE的周长为

第8题图 第9题图 第10题图

9.如图,∠AOP=∠BOP=150,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=4,则PD等于

10.如图,点B、D、F在AN上,C、E在AM上，且AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20,则∠FEB=________度．

11.一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙.已知AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB刚好为120°，求桌面到地面的距离是

o

第11题图 第12题图 第13题图

12.已知△ABC是等边三角形，分别在AC、BC上取点E、F，且AE=CF，BE、AF交于点D，则∠BDF=_________度.

13.如图,B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE=15cm，CD=6cm，则AC=_____，∠ECD=_____．

14.在△ABC中,AB=AC,∠A=120,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.若DE=1,求BC的长

. 0

15.如图,△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

① 若△BCD的周长为8,求BC的长；② 若BC=4,求△BCD的周长．

16.如图,在△ABC中,AB=AC,点F在AC上,在BA的延长线上截取AE=AF.求证：EF⊥BC．

17.在△ABC中，AD是BC边上的高，CD=AB+BD．求证：∠B=2∠C．

18.如图,在△ABC中,MN⊥AC,垂足为N,且MN平分∠AMC,△ABM的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC的周长．

19.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD．

等腰三角形的证明题,八年级(三)
等腰三角形精选有难度证明题

等腰三角形练习题

一、计算题

1、如图，ABC中，AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB，求A的度数。

2、如图，CA=CB，DF=DB，AE=AD，求A

3、如图，ABC的度数。 中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若EDF=700，求AFD的度数。

4、如图，ABC

5、如图，ABC中，AB=AC，BC=BD=DE=EA，求A的度数。 中，AB=AC，D在BC上，BAD=300，在AC上取点E，使AE=AD，求EDC的度数。

6、如图，ABC中，C=900，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC，BD=，DE+BC=1，1

2

求ABC的度数。

7、如图，ABC

二、证明题 中，AD平分BAC，若AC=AB+BD，求B：C的值。

8、如图，ABC中，ABC、CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E。求证：DE=BD+AE。

9、如图，DEF中，EDF=2E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE之间有什么样的大小关系。

10、如图，ABC

11、如图，ABC

13、如图，ABC中，B=600，角平分线AD、CE交于点O。求证：AE+CD=AC 中，AB=AC，A=1000，BD平分ABC，求证：BC=BD+AD。 中，1=2，EDF=BAC，求证：BD=ED。

15、如图，ABC

16、如图，ABC中，AB=AC，BE=CF，EF交BC于点G。求证：EG=FG。 中，ABC=2C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD，求证：AF=FC。

17、如图，ABC

中，AB=AC，AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE，求证：AH=2BD。

18、如图，ABC中，AB=AC，BAC=900，BD=AB，ABD=300，

求证：AD=DC。

19、如图，等边ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD，求证：EC=ED。

020、如图，四边形ABCD中，BAD+BCD=180，AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延

长线交于点E，E、F的平分线交于点H，求证：EH⊥FH

等腰三角形的证明题,八年级(四)
等腰三角形证明题的思路分析

等腰三角形证明题的思路分析

等腰三角形是特殊的三角形之一，它具有许多特性，因此，以等腰三角形为背景的证明题特别受到中考命题者的青睐，常以此考查同学们对等腰三角形性质的掌握情况及运用能力。

例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD是顶角∠BAC的外角的平分线。 求证：AD∥BC.

分析：要证AD∥BC，只需证明同位角∠1＝∠B（或内错角

∠2＝∠C）即可，而这些角究竟有什么关系呢？考虑已知条件

AB＝AC，知∠B＝∠C。

AD平分∠BAC的外角，得∠1＝∠2

又∠1＋∠2＝∠B＋∠C（三角形外角等于与它不相邻的两个

内角的和）

由这三个相等关系即可得：∠1＝∠B

故AD∥BC成立。

例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E

是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。

求证：DF＝EF.

分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全

等，但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考

虑添加辅助线。

作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB

从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等）

由AB＝AC，得∠B＝∠ACB

从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE

在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等）

故∠GDF＝∠FEC

又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC【等腰三角形的证明题,八年级】

所以DF＝EF

例3.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE

⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DEDF为定值。

分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大

小总是等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常

量。那么本题的定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。

要证DEDFBG，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。

如果注意到高，联想到三角形面积，则可采用如下简单的证法：

连接AD

则由SABDSACDSABC，得：

11AB·DEAC·DFSABC 22

又AB＝AC

DEDF2SABCAC边上的高＝定值. AC

例4.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE。

求证：DE＞BC.

分析：要证DE＞BC，由于它们不是同一个三角形的两边，

故应先考虑通过添加辅助线把它们迁移到同一个三角形中。把

DE沿AB平移到BF，连接EF、CF，则只需证明∠BCF＞∠BFC。易知四边形BDEF是平行四边形，所以

∠DEF＝∠DBF，EF＝BD＝CE，∠ECF＝∠EFC

又∠BCF180∠ACB∠ECF

∠BFC∠BFE∠EFC180∠DEF∠EFC

而∠DEF∠DBF∠ABC∠ACB

所以∠BCF＞∠BFC

故DE＞BC.

【练习】

1.等腰△ABC中，AB＝AC，D是底边BC延长线上一点。

求证：AD2AB2BD·DC.

2.等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC上的点（中点除外），且BD＝AE。 求证：DE1BC. 2

等腰三角形的证明题,八年级(五)
等腰三角形的经典证明题——轻舟数学

1、（2013•张湾区模拟）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．求线段AE与BD的关系．

2． 如图2，在四边形ABCD中，∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D．求证：CD=AB．

3．（2013•东城区一模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，作∠EAB=∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF=AE，连结CF． 求证：BE=CF．

已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F

作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°．

求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC=AD；

（2）如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．

1

6．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=BD，EB交DC于点P，①求证：△AEB≌△BDC ②求∠BPC．

4．已知，如图CF是△ABC的边AB上的高，△APQ是等腰直角三角形，连接BO交AC于点E，求BP与AC的关系．

Q

A

EC

B

5．如图，△BDE是等边三角形，∠BDC=30°，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°．求证：△ABC是等边三角形．

7．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F，H是边BC的中点，连接DH与BE相交于点G． （1）求证：BF=AC； （2）若CE=3，求GE的长．

8．已知，△ABC中，∠ABC为锐角，且∠ABC=2∠ACB，AD为BC边上的高，延长AB到E，使BE=BD，连接ED并延长交AC于F．求证：AF=CF=DF．

9．如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC的中点，AD⊥BM于E，交BC于D点．求证：∠AMB=∠CMD

2

12．如图在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求证：（1）BE=AD；（2）BF=2AF．

11．已知：如图，△ABC中AC=AB，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．

10．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：AB+BD=AC．

13．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，求证：BC=BD+AD．

14．已知，如图AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD．

15.如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E． 1

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

2

（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。

3

18．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AD⊥CF；

（2）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由． 延长线上的一点，且CE=CA． （1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD．

16．如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB．

17．（2011•日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD

A

A

E

B

19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且∠1=∠2，求证：∠B=∠C．

求证：CD=3AD．

（1）求证：CE=CF； （2）如图2，过点F作FG∥AB交AC于点G，若AC=10，EG=4，求CE的长度．

4

22.若∠BAD=120°，BD=DC,AB+AD=AC,求证：AC平分∠BAD

20．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．

23.已知,D为△ABC的边BC的中点,AD⊥AC, ∠BAD=30°,求证AB=2AC

A

B

D

C

24．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E．求证：（1﹚AB=BE； （2﹚∠CAE与∠ABC的关系；

25.如图，在Rt△ABC中，AC=2AB，∠BAC=90°，D是AC的中点，在Rt△DEA中，∠AED=90°，∠EAD=45°，连结BE、CE，试猜想BE和EC的关系，并证明你的猜想．

21．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，作∠ABC的平分线交AC、CD于点E、F． （3﹚AD=CE； （4﹚CD+CE=AB．

26．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC=45°．

求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC=AD；

（2）如图2，若∠ABC=135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．

16．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，CE=CD，连接BE、DA交于点O，CF⊥BE交AB于点F，在BE的延长线上取一点G，连接GF与AC、AD分别交于点M、点N，使得GM=GE． （1）求证：△ADC≌△BEC；GF⊥AD； （2）若FG=5，BG=11，求CF的长．

29．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD=BD，∠ADB=∠ACB=90°，AE=2BC． （1）求证：BC=CD；（2）求证：AC平分∠BAD．

14．已知△ABC中，∠ABC=45°，且CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE与CD交于点I．在BC上存在一点F，连接AF，使得∠BAF=∠ACD．AF交CD于点G，交BE于点H． （1）求证：AF=AC；

（2）试探究线段HI与FG的大小关系．

5 数．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E作EG⊥BC于G．

（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数； （2）若BD=CE，求证：FG=BF+CG．

28．如图，△ABC为等边三角形，在AC边外侧作AD=BC，求∠BDC的度

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