三角函数的应用

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三角函数的应用(一)
三角函数在实际生活中的应用

第三章 三角函数在实际生活中的应用

三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古

代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，

在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题

的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的

发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。

三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角

的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并

不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中

也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、

交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决

有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、

航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问

题应用极广、渗透能力很强。

停车场设计问题

1

如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中

ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其

余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边

落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车

场PQCR面积的最大值和最小值。

分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连

延长RP交AB于M.若直接设RP的长度为x，则PM100－x,在RtAPM中， AP，

AM，从而得PQMB100， S（100·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。

解：如上添加辅助线，设PAB（00900），则

，AM90co,PM90sin，RPRM－PM10090sin

PQMB100－90cos，SPQ·PR（100－90cos）（100－90sin）10000－9000（sin cos）8100 sincos.设sin cost(1t，则

t2110210。代入化简得S950.故当t时，Smin950m2；sincos（t－）299

当t时， Smax14050－2)

通讯电缆铺设问题

如图，一条河宽km，两岸各有一座城市

A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电A

2 缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元

C D B

/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？

分析：设电缆为ADDB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示AD和BD的长，不妨设CAD.

解：设CAD，则ADsec,CB,BD－tan, （0900）

∴总费用为

y4 sec－2tan=4

2sin cos

42sin的最小值及相应的θ值，cos

sin2而u－2表示点P与点Q（cos,sin）（0，2）cos

1斜率的－2倍，有图可得Q在单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧（0900）4

切于点Q时，u

取到最小值。此时KPQ

umin 。 即水下6问题转化为求u

电缆应从距B城（－

23+2（万元）。 ）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值3

注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。

探索与思考：

1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

食品包装问题

3

某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：

（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；

（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。

分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面

半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个

“角”把它们联系起来。

解：如图，设OAC，则OC1，下底面半径A B RC ，高hRtan2ACRcot,母线长l，（0）.cos24

R11) cot2 则S全RlR2R(R)R2(cos2cos2

12(+1)=; 1tan2tan2(1tan2)

1tan2

112tg111 R2h R2· R3tg2 ctg3= VRtg2331tg2333O P

2 22tg(1tg)

时，能使S全和v

同时取到最小值，此时2∴当且仅当tg21－tg2,

即tg

即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2时能同时满足条件，Rh2，

4

8外包装用料是8，体积是。 3

营救区域规划问题

如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。

分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。

解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则mn30,令点Q的坐标为， （x,y）

xmsinn则 [0]. 2ymcos

∴

2AQx2y2m2n22mnsinm2n22

mn（mn）2

∵机艇中途东拐，∴x2y2900.„„„„①

又

msin(∵x(ysinc

4

xy30② )nmn30,

满足不等式组①和②的点Q所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。 （x,y）

探索与思考：

1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？

2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？

5

三角函数的应用(二)
三角函数的综合应用

解答题规范练

三角函数的综合应用

(推荐时间：70分钟)

1． 设函数f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cos x,1)，b＝(cos x3sin 2x)，x∈R.

ππ

－，，求x的值； (1)若函数f(x)＝1－3，且x∈33

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

π

2x＋＋1. 解 (1)依题设得f(x)＝2cos2x＋3sin 2x＝1＋cos 2x3sin 2x＝2sin6ππ3

2x＋1＝13，得sin2x＋. 由2sin662ππππ5π

∵－x≤，∴－2x

33266πππ∴2x＋，即x＝－.

634

πππ

(2)当－＋2kπ≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，

262

ππ【三角函数的应用】

即－kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数y＝f(x)单调递增，即函数y＝f(x)的单调增区间为

36

－π＋kπ，πkπ(k∈Z)，

63【三角函数的应用】

2． 已知向量a＝(cos x＋3sin x，3sin x)，b＝(cos x3sin x，2cos x)，函数f(x)＝a·b－

cos 2x.

(1)求函数f(x)的值域；

ππ1

(2)若f(θ)θ∈63，求sin 2θ的值． 5解 (1)f(x)＝a·b－cos 2x

＝(cos x＋3sin x)(cos x3sin x)＋x·2cos x－cos 2x ＝cos2x－3sin2x＋23sin xcos x－cos 2x ＝cos2x－sin2x－2sin2x＋23sin xcos x－cos 2x ＝cos 2x＋3sin 2x－1 π

2x－1， ＝2sin6f(x)的值域为[－3,1]．

π

2θ＋－1， (2)由(1)知f(θ)＝2sin6

ππ31

2θ＋－1＝，即sin2θ＋＝， 由题设2sin6655ππππ5π，∴2θ＋∈，， ∵θ∈63626π42θ＋ ∴cos65

ππππππ

2θ＋－＝sin2θ＋cos －cos2θ＋sin ∴sin 2θ＝sin6666664133＋433【三角函数的应用】

－×＝＝－525210

1

sin A与n＝(3，sin A＋3cos A)共线，其中A是△ABC的内角． 3． 已知向量m＝2

(1)求角A的大小；

(2)若BC＝2，求△ABC面积S的最大值． 3

解 (1)∵m∥n，∴sin A·(sin A3cos A)－＝0.

2∴

1－cos 2A33

sin 2A－0， 222

即

1

Acos 2A＝1， 22

π

2A＝1. 即sin6

π11ππ

－. ∵A∈(0，π)，∴2A－∈666πππ

故2A－＝，A＝.

623

(2)∵BC＝2，由余弦定理得b2＋c2－bc＝4，

又b2＋c2≥2bc，∴bc≤4(当且仅当b＝c时等号成立)， 133

从而S△ABC＝bcsin A＝bc×43.

244即△ABC面积S的最大值为3.

cos A－3cos C3c－a

4． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos Bb

(1)求

sin C

sin A

(2)若B为钝角，b＝10，求a的取值范围． 解 (1)由正弦定理，设则

abck， sin Asin Bsin C

3c－a3ksin C－ksin A3sin C－sin A

＝， bksin Bsin B

cos A－3cos C3sin C－sin A所以

cos Bsin B

即(cos A－3cos C)sin B＝(3sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝3sin(B＋C)． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝3sin A， sin C

因此3.

sin A(2)由

sin C

3得c＝3a. sin A

a＋c>b

由题意知222，

a＋c<b

5

又b＝10，所以a<10.

2

ππ

其中x∈R，A>0，ω>0，－<φ<的部分图象如图所示． 5． 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)22

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)已知函数f(x)的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为－1,1,5，求sin∠MNP的值． 解 (1)由图可知，A＝1，最小正周期T＝4×2＝8. 2ππ由T＝8，得ω＝.

ω4

πππ

＋φ＝1，且－<φ< 又f(1)＝sin422πππ

所以φ＝，解得φ424ππ所以f(x)＝sin4＋4. (2)因为f(－1)＝0，f(1)＝1， 5ππf(5)＝sin4＋4＝－1，

所以M(－1,0)，N(1,1)，P(5，－1)． 所以|MN|＝5，|PN|＝20，|MP|＝37. 由余弦定理得

5＋20－373cos∠MNP＝＝－.

525×20因为∠MNP∈(0，π)， 4

所以sin∠MNP＝.

5

6． 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中

0<α<x<π.

π

(1)若α＝f(x)＝b·c的最小值及相应x的值；

4π

(2)若a与ba⊥c，求tan 2α的值．

3

π

解 (1)∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

4

∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋2(sin x＋cos x)．

π

<x<π，则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t2. 令t＝sin x＋cos x4则y＝t2＋2t－1＝t＋



223

－，－1<t<2， 22

∴t＝－

232时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－， 222

π2x＋， 即2sin42

πππ5∵<x<π，∴<x＋π， 4244π711π∴x＋，∴x＝4612

311π∴函数f(x)，相应x的值为.

212π

(2)∵a与b

3

πa·b∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

3|a|·|b|π∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.

3∵a⊥c，

∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0， π

2α＋＋2sin 2α＝0. ∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin353

∴sin 2α＋α＝0， 22∴tan 2α3

. 5

三角函数的应用(三)
三角函数应用

三角函数应用

一．填空题（共5小题）

1．（2013•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ _________ ， ．

2．（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是 _________ ．

3．（2012•山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 _________ ．

4．（2012•铁岭）如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行 _________ 海里．

5．（2011•衢州）在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距 _________ m．

二．解答题（共6小题）

6．（2013•遵义）我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌（AB），放置在教学楼的顶部（如图所示）．小明在操场上的点D处，用1米高的测角仪CD，从点C测得宣传牌的底部B的仰角为37°，然后向教学楼正方向走了4米到达点F处，又从点E测得宣传牌的顶部A的仰角为45°．已知教学楼高BM=17米，且点A，B，M在同一直线上，求宣传牌AB的高度（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.81，tan37°≈0.75）．

7．（2013•珠海）一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）

8．（2013•张家界）国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2001米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：=1.732，=1.414）

9．（2013•安徽）如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β=45°．若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）

10．（2013•湛江）如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB．（结果保留小数点后一位，其中=1.732）

11．（2013•烟台）如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于北偏西30°方向上，A地位于B地北偏西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45，结果精确到0.1）

2013年10月陈永的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共5小题）

1．（2013•厦门）如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点B（0，），点A在第一象限且AB⊥BO，点E是线段AO的中点，点M在线段AB上．若点B和点E关于直线OM对称，则点M的坐标是（ 1 ，

）．

2．（2013•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=，BE=4，则tan∠DBE的值是 2 ．

3．（2012•山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 （

2，） ．

三角函数的应用(四)
三角函数的应用(含答案解析)

书航教育 三角函数的应用

三角函数的应用

一、填空题（共18小题） 1、（2011•上海）函数

2、（2011•辽宁）已知函数f（x）=Atan（ωx+φ）（ω＞0，|ω|

＜

），y=f（x）的部分图象如图，则f

（

）=

的最大值为

．

3、（2011•江苏）函数（fx）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则（f0）=．

4、（2011•福建）如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=

，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于．

5、（2010•上海）函数y=2cosx+sin2x的最小值是 ．

6、（2010•福建）已知函数全相同．若

和g（x）=2cos（2x+φ）+1的图象的对称轴完

2

，则f（x）的取值范围是 _________ ．

7、（2009•宁夏）已知函

数

的图象如图所示，

则

=

．

8、（2009•宁夏）已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ=．

9、（2008•四川）已知函数调减少，则ω= _________ ．

10、（2008•辽宁）已知f（x）=sin小值，无最大值，则ω= _________ ．

11、（2008•江苏）若函数

12、（2007•四川）下面有5个命题：

44

①函数y=sinx﹣cosx的最小正周期是π； ②终边在y

轴上的角的集合是

③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点； ④把函数

的图象向右平移

得到y=3sin2x的图象；

；

最小正周期为

，则ω=．

（ω＞0），f（

）=f（

），且f（x）在区间

上有最

（ω＞0）在

单调增加，在

单

⑤角θ为第一象限角的充要条件是sinθ＞0 其中，真命题的编号是

_________ （写出所有真命题的编号）

13、（2006•湖南）若

是偶函数，则a=

14、（2005•上海）函数f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 _________ ．

15、（2005•湖北）函数y=|sinx|cosx﹣1的最小正周期与最大值的和为．

16、（2004•湖南）已知向量=（cosθ，sinθ），向量=（ _________ ．

17、（2004•贵州）已知函数

的最小正周期为3π，则A=

，﹣1），则|2﹣|的最大值是

18、函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 ．

二、解答题（共10小题） 19、（2011•重庆）设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R） （I）求f（x）的最小正周期； （II）若函数y=f（x）的图象按=（大值．

20、（2011•天津）已知函数

（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设

，若

，求α的大小． ，

，

）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，

]上的最

21、（2011•山东）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知（1）求

的值；

．

（2）若cosB=，△ABC的周长为5，求b的长．

22、（2011•辽宁）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcosA=（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若C=b+a，求B． 23、（2011•江苏）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c （1）若（2）若

24、（2010•重庆）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b+3c﹣3a=4（Ⅰ）求sinA的值； （Ⅱ）求

的值．

2

2

2

2

2

2

2

a．

，求A的值； ，求sinC的值．

bc．

25、（2010•浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设S为△ABC的面积，满足（Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

26、（2010•广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在（1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）的解析式； （3）若

27、（2009•重庆）设函数（Ⅰ）求f（x）的最小正周期．

（Ⅱ）若y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当

28、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知asinA+csinC﹣（Ⅰ）求B； （Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．

asinC=bsinB，

时y=g（x）的最大值． ．

，求sinα．

时取得最大值4．

．

三角函数的应用(五)
三角函数的应用

三角函数的应用

摘要：

三角函数在历史长河的沉淀中，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，更是我们实际生活中不可缺少的元素。我从三角函数的发展以及生活实际应用举例两方面来研究

关键词：三角函数 三角函数的应用

三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具[1]。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（

和正切函数（）、余弦函数（）或者）[1]。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、半正矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等 1

式。三角函数一般用于计算三角形中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做双曲函数[2]。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。经过数学历史的长河的沉淀，科学研究的进步，实际生活的操作。

三角函数的实际应用在生活中有着不可取代的地位。三角函数可以计算三角形。中未知长度的边和未知的角度，在导航系统工程学以及物理学方面都有广泛的用途。有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。

一、三角函数的形成与发展

三角学由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久的发展，现今使用的三角函数发展于欧洲的中世纪时期。在古代，由于古代天文学的需要， 为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学。随着认识到相似三 2

角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。

就是说对于任何相似三角形，（比如）斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。欧拉的《无穷微量解析入门》对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写sin、cos、tang、cot、sec、cosec。

二、三角函数的应用与生活

三角函数在实际生产、生活中应用的“随处可见” 算屋顶的高和长度的时候会用到，计算比较复杂点的如直的圆的形式各样的楼梯，坡道，土方工程的测量控制、公路桥梁的走向，花园的规划，材料的预算等方面也时常会用到。

（一） 停车场设计问题

如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在 3

BCCD与上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。

解：（1）设∠PAB=θ，0°≤θ≤90°，

则AM=90cosθ，PM=90sinθ

RP=RM-PM=100-90sinθ，PQ=MB=100-90cosθ

S=PQ•PR=（100-90sinθ ）（100-90cosθ ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ

∴S=f（θ）=10000-9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ；

（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=

即t=sin（θ+），0≤θ≤，1≤t≤，

． ． 代入S化简得 S=

故当t=时，Smin=950（m2）；

当t=时，Smax=14050-9000（m2）

（二）采光问题

已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高 4

度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α

(1) 用含α的式子表示h(不必指出α的取值范围)；

(2) 当α＝30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？

(1) 过点E作EF⊥AB于F，由题意，四边形ACEF为矩形

∴EF=AC=30，AF=CE=h, ∠BEF=α，∴BF=3×10-h=30-h 又 在Rt△BEF中，tan∠BEF=BFEF ，

∴tanα= ，即30 - h=30tanα. ∴h=30-30tanα

(2)当α＝30°时，h=30-30tan30°=30-30× ≈12.7，

(2) ∵ 12.7÷3≈4.2， ∴ B点的影子落在乙楼的第五层

当B点的影子落在C处时，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光.

此时，由AB=AC=30，知△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°

∴ 45-30/15 = 1(小时).

故经过1小时后，甲楼的影子刚好不影响乙楼采光。 5

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